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根与系数关系练习题

第五节根与系数关系

1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为_______________________________.

2、若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，则=+21x x ，=∙21x x

3、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ，=∙21x x 。

4、求下列方程的两根之和与两根之差。

（1）2x 2-3x-5=0 （2）2t 2+3=7t （3）x 2+16x-13=0（4）x 2-22x+1=0 （5）0.4x 2-0.8x=1 （6）23y 2+13

y-2=0 5、已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是，=k 。

6、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？

7、已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是；

若两根之和为－35

，则m= ，这时方程的两个根为 . 8、已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m 的值

9、设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：

（1）2221x x + （2）)1)(1(21++x x （3）

2111x x + （4）221)(x x - 10、设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：

(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2

（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 11、已知关于x 的方程01032

=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值：

（1）有两个实数根。（2）有两个正实数根。（3）有一个正数根和一个负数根。

12、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。

（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（2）a 取何值时，方程有两个正根。

（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。（4）a 取何值时，方程到少有一根为零？

13、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。综合练习：

1．关于x 的方程0122

=+-x ax 中，如果0

（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根

（C ）没有实数根（D ）不能确定

2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（）

（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）

（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0

4.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）

（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根

（C ）没有实数根（D ）不能确定

5.设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（）

（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3

6．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝

7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是

8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝，（x 1－x 2）2＝

9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ .

10、不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=0

11、当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；

12、求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。

13、设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2，不解方程，求下列各式的值:

(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2（3）

21x x +（4）x 1x 22＋12 x 1 (5)x 2x 1 + x 1x 2 （8）221)(x x - （7）2111x x + 14、一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ，则p= ,q= ;

15、一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ，则p= ,q= ;

16、已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m= ;

17、若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ;

18、已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k 的值;

19、已知a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形

20、若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;

21、已知p<0,q<0，则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;

22、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程为。

初三数学根与系数关系练习题精选

初三数学根与系数关系式习题精选一、填空题与选择题： 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ． 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（） A 、、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题： 8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ；（2）2221)1()1(+++x x （3） 112112+++x x x x （4）||21x x -

（5）)31)(31(1221x x x x ++ （6）3231x x + （7） 21x x 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足022 21=-x x ，求m 的值； 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。

初中数学一元二次方程解法根与系数关系练习题(附答案)

初中数学一元二次方程解法根与系数关系练习题一、单选题 1.一元二次方程293x x -=-的解是( ) A.3x = B.4x =- C.123,4x x ==- D.123,4x x == 2.直角三角形两条直角边长的和是7，面积是6，则斜边长是（） B.5 D.7 3.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 为（） A.2- B.1 C.2 D.0 A.2m =± B.2m = C.2m =- D.2m ≠± 5.若a ，β为方程22510x x --=的两个实数根，则2235a a ββ++的值为（） A.13- B.12 C.14 D.15 A.2 B. 1- C.2或1- D.不存在 7.已知关于x 的一元二次方程2 (1)2(1)0a x bx a ++++=有两个相等的实数根，下列判断正确的是( ) A.1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 B.0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 C.1和1-都是关于x 的方程20x bx a ++=的根 D.1和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根 8.关于x 的一元二次方程2 (1)320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是( )

A.18a >- B.18a ≥- C. 18a >-且1a ≠ D. 18 a ≥-且1a ≠ 9.一个正方体的表面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数值相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.2或3 10.定义一种新运算：()a b a a b =-?.例如，434(43)4=?-=?.若23x =?，则x 的值是( ) A.3x = B.1x =- C.123,1x x == D.123,1x x ==- 二、解答题 11.已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx m --++=. （1）求方程的根；（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 12.阅读材料: 把形如2ax bx c ++ (,,a b c 为常数)的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即2222()a ab b a b ±+=±. 例如:222213(1)3,(2)2,(2)24 x x x x x -+-+-+ 是224x x -+的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项. 请根据阅读材料解决下列问题: (1)仿照上面的例子，写出242x x -+的三种不同形式的配方; (2)已知2223240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值. 14.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方 15.若关于x 的一元二次方程220mx x m ++=的两根之积为-1，则m 的值为 . 16.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(,)a b 进入其中时，会得到一个新的实数223a b -+.若

初三上学期一元二次方程-韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0∆≥ 练习题一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

初三数学练习(根与系数关系)含答案

初三数学练习班级姓名 1.如果方程12 =+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（） A0 B -1 C 1 D ±1 2.已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫ ⎝⎛2 2，则方程的两根之比为（） A 0:1 B 1:1 C 1:2 D 2:3 3.设21,x x 是方程0242=+-x x 的两根，则 1）2 111x x += ；2）21x x -= 3）=++)1)(1(21x x 4.以方程0422 =--x x 的两根的倒数为根的一元二次方程是 5.已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根为，m 的值为 6.21,x x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值 1）2221x x + 2）21x x - 3）2222133x x x -+ 7.关于x 的一元二次方程0)32(2 2=+-+k x k x 有两个不相等的实数根βα， 1）求k 的取值范围 2）若6=++αββα,求53)(2-+-αββα的值

8.已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m= 9.已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值 10.已知a 、b 、d 是四个不同的有理数，且,1))((,1))((=++=++d b c b d a c a 求))((c b c a ++的值 11.已知方程,0,0242 2≠=-+-k k x x 且不解方程证明： 1）方程有两个不相等的实数根 2）方程的一个根大于1，另一个根小于1 12.设21,x x 是关于x 的方程)0(0)1(2≠=---m m x m x 的两个根，且满足03 21121=++x x ，求m 的值

一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案

装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案一、单选题 1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（） A ．3 B ．3- C ．5 D ．5- 2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（） A ．2 B ．－1.5 C ．－2 D ．4 3．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ c OA OB a ⋅=- ，其中正确的结论有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（） A ． 3 2 B ． 52 C ．5 D ．2 二、解答题 6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值． 7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根．（1）若方程的一个根为1，求m 的值；

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系 1、如果方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。 2、已知x 1、x 2是方程2x 2 +3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ； 2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2 ｜= 。 3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。 4、如果关于x 的一元二次方程x 2 +2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。 5、如果关于x 的方程x 2 +6x+k=0的两根差为2，那么k= 。 6、已知方程2x 2 +mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。 7、一元二次方程px 2 +qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。 8、已知方程x 2 －mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。 9、已知关于x 的一元二次方程(a 2 －1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。 10、已知关于x 的一元二次方程mx 2 －4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ， (x 1+x 2) 2 1x x ?= 。 11、已知方程3x 2 +x －1=0，要使方程两根的平方和为913 ，那么常数项应改为。 12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。 13、若α 、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。(其中二次项系数为1) 14、已知关于x 的一元二次方程x 2 －2(m －1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。 15、已知方程x 2 +4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ； m= 。 16、已知关于x 的方程x 2 －3x+k=0的两根立方和为0，则k= 17、已知关于x 的方程x 2 －3mx+2(m －1)=0的两根为x 1 、x 2 ，且43 x 1x 121 -=+，则m= 。 18、关于x 的方程2x 2 －3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。 19、若方程x 2 －4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m= 。 20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2 +3x －2=0两根的二倍，则所求的方程为。

根与系数的关系练习题一

一元二次方程的根与系数的关系关系：如果1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，那么有12b x x a +=-，12c x x a = eg2．已知α、β是方程x 2-7x+8=0两个，且α＞β，不解方程，求下列各式的值. （1）α2β＋αβ2 （2） α2＋β2 （3）（1+2/α）（1+2/β）（4）α－β （5）2/α+3β2 1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______． 2、关于x 的一元二次方程2 0x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______，c =______． 3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（） A ．0a = B ．2a =或2a =- C ．2a = D ．2a =或0a = 4、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值. 5.已知关于x 的一元二次方程22 (21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值． 6、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（） A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <0 6、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=g .则k 的值为（） A 、－1或34 B 、－1 C 、34 D 、不存在 7、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求 2112x x x x +的值. 8、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值. 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程(2)()(2)()x x m p p m --=-- 的两个实数根．（1）求1x ，2x 的值；（2）若1x ，2x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值． 10、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（） A ．3 C ．6 D ．9 11、已知,a b 是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两个实数根,则式子 b a a b +的值是（） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n --

一元二次方程根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系 1 、假如方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0) 的两根是 x 1、 x 2，那么 x 1+x 2 = ， x 1· x 2 = 。 2、已知 x 1、 x 2是方程 2x 2 +3x － 4=0的两个根，那么： x 1 +x 2= ； x 1· x 2= ； 1 1 x 1 x 2 22 ； (x 1+1)(x 2+1)= ；｜ x 1－ x 2｜； x 1+x 2= = 。 3、以 2和 3为根的一元二次方程 ( 二次项系数为 1) 是。 4 、假如对于 x 的一元二次方程 x 2+ 2 x+a=0的一个根是 1－ 2 ，那么另一个根是，a 的值为。 2 的两根差为 2，那么 k= 。 5 、假如对于 x 的方程 x +6x+k=0 6、已知方程 2x 2 +mx － 4=0两根的绝对值相等，则 m= 。 7、一元二次方程 px 2 +qx+r=0(p ≠ 0)的两根为 0和－ 1，则 q ∶p= 。 8、已知方程 x 2 － mx+2=0 的两根互为相反数，则 m= 。 9、已知对于 x 的一元二次方程 (a 2 － 1)x 2 －(a+1)x+1=0 两根互为倒数，则 a= 。 10 、已知对于 x 的一元二次方程 2 － 6=0的两根为 x 1 和x 2，且 x 1+x 2=－ 2，则 m= ， mx － 4x (x 1 +x ) x 1 x 2 = 。 2 13 11 、已知方程 3x 2+x － 1=0，要使方程两根的平方和为 9 ，那么常数项应改为。 12、已知一元二次方程的两根之和为 5，两根之积为 6，则这个方程为。 13、若 α、β为实数且｜α+β－ 3｜ +(2 －αβ ) 2 =0，则以α、β为根的一元二次方程为。 ( 此中二次项系数为 1) 14、已知对于 x 的一元二次方程 x 2 －2(m － 1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则 m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则 m= 。 15、已知方程 x 2 +4x － 2m=0的一个根α比另一个根β 小 4，则α = ；β = ； m= 。 16、已知对于 x 的方程 x 2 －3x+k=0 的两根立方和为 0，则 k= 1 1 3 17、已知对于 x 的方程 x 2 －3mx+2(m － 1)=0 的两根为 x 1、 x 2，且 x 1 x 2 18 、对于 x 的方程 2x 2－ 3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当程有一个正根，一个负根；当 m 时，方程有一个根为 0。 19 、若方程 x 2－4x+m=0与x 2－ x － 2m=0有一个根同样，则 m= 。 4 ，则 m= 。 m 时，方 20 、求作一个方程，使它的两根分别是方程 x 2+3x － 2=0两根的二倍，则所求的方程为。 21、一元二次方程 2x 2 － 3x+1=0的两根与 x 2－ 3x+2=0的两根之间的关系是。 22 、已知方程 5x 2+mx － 10=0的一根是－ 5，求方程的另一根及 m 的值。 23 2+ 3 是 x 2－ 4x+k=0的一根，求另一根和 k 的值。、已知 24、证明：假如有理系数方程 x 2 +px+q=0有一个根是形如 A+ B 的无理数 (A 、B 均为有理数 ) ，那么另一个根必是 A － B 。 25、不解方程，判断以下方程根的符号，假如两根异号，试确立是正根仍是负根的绝对值大 ?

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师 [准备知识回顾］： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1）当0>?时,方程有两个不相等的实数根。（2）当0=?时，方程有两个相等的实数根。（3）当0

如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么 ))((212x x x x a c bx ax --=++.如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1:已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ,=k 。解: 变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少? 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少? 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1)2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x (3)2 11 1x x + (4）221)(x x -