元二次方程根与系数的关系应用例析及训练
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是
的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应
用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记
一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，
即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数
根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴
解得；
∵方程（2）没有实数根，
∴
解得；
于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或
当时，方程（1）为，无整数根；
当时，方程（1）为，有整数根。
解得：
所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出
，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，
∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，
先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：
即
解得
当时，原方程均可化为：
，
解得：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。解法二：设方程的另一个根为，
根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：
，
即
解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根，
∴△
解这个不等式，得≤0
设方程两根为
则，
∵
∴
∴
整理得：
解得：
又∵，∴
说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非
零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，∴则有
∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：
（1）（2）
若，则有：；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。若，则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于是方程的实数根，所以
设，与相加，得：
）
（变形目的是构造和）根据根与系数的关系，有：
，
于是，得：
∴=0
解法二：由于、是方程的实数根，∴
∴
说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为，根据根的意义，
有
两式相减，得
当时，，方程的判别式
方程无实数解
当时，有实数解
代入原方程，得，
所以
于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。
【趁热打铁】
一、填空题：
1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则
。
3、已知关于的方程的两根为，且，则。
4、已知是方程的两个根，那么：；
；。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且
，则；。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。
7、已知是的一根，则另一根为，的值
为。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。
二、求值题：
1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
的值。
2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
的值。
3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
的值。
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。
6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。
三、能力提升题：
1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？
2、已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。
3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。
4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根
，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。
5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。
6、实数、分别满足方程和，求代数式
的值。
答案与提示：
一、填空题：
1、提示：，，，∴，
∴，解得：
2、提示：，由韦达定理得：，，∴，
解得：，代入检验，有意义，∴。
3、提示：由于韦达定理得：，，∵，
∴，∴，解得：。
4、提示：由韦达定理得：，，
；；由
，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则
；②设
＜0，＞0，则。
5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，
，∴，∴。
6、提示：设，由韦达定理得：，，∴
，解得：，，即。
7、提示：设，由韦达定理得：，，∴
，
∴，∴
8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，
，
∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：
二、求值题：
中考数学根与系数关系培优练习 阅读与思考 根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值； 3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式． 当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0． 例题与求解 【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为 s ，则s 的取值范围是_________. 【例2】 如果方程2 (1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取 值范围是_________. A ．01m ≤≤ B ．34m ≥ C ．314m <≤ D ．3 14 m ≤≤ 【例3】已知α，β是方程2 780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求22 3βα +的值．
【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41 st s t ++的值． 【例5】（1）若实数,a b 满足2 58a a +=，2 58b b +=，求代数式11 11 b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236 x y z a xy yz zx ++=?? ++=?有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值； （3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值． 【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程2 0ax bx c ++=有大于 3 5 而小于1的根． 能力训练 A 级 1．已知m ，n 为有理数，且方程2 0x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程2 30x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程22 8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程2 2 240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m
装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案 一、单选题 1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．5- 2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2 B ．－1.5 C ．－2 D ．4 3．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ c OA OB a ⋅=- ，其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ． 3 2 B ． 52 C ．5 D ．2 二、解答题 6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围． （2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值． 7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值；
一元二次方程根与系数的关系 1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。 2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ； 2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。 3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。 4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。 5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。 6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。 7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。 8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。 9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。 10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ?= 。 11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913 ，那么常数项应改为 。 12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。 13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ； 若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。 15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。 16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k= 17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2 ，且43x 1x 121-=+，则m= 。 18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。 19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m= 。 20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程 为 。 21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是 。
元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是 的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应 用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记 一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式， 即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数 根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。
解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。
一元二次方程根与系数的关系 1 、 假如方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0) 的两根是 x 1、 x 2，那么 x 1+x 2 = ， x 1· x 2 = 。 2、已知 x 1、 x 2是方程 2x 2 +3x － 4=0的两个根，那么： x 1 +x 2= ； x 1· x 2= ； 1 1 x 1 x 2 22 ； (x 1+1)(x 2+1)= ；｜ x 1－ x 2｜ ； x 1+x 2= = 。 3、以 2和 3为根的一元二次方程 ( 二次项系数为 1) 是 。 4 、假如对于 x 的一元二次方程 x 2+ 2 x+a=0的一个根是 1－ 2 ，那么另一个根是 ，a 的值为 。 2 的两根差为 2，那么 k= 。 5 、假如对于 x 的方程 x +6x+k=0 6、已知方程 2x 2 +mx － 4=0两根的绝对值相等，则 m= 。 7、一元二次方程 px 2 +qx+r=0(p ≠ 0)的两根为 0和－ 1，则 q ∶p= 。 8、已知方程 x 2 － mx+2=0 的两根互为相反数，则 m= 。 9、已知对于 x 的一元二次方程 (a 2 － 1)x 2 －(a+1)x+1=0 两根互为倒数，则 a= 。 10 、已知对于 x 的一元二次方程 2 － 6=0的两根为 x 1 和x 2，且 x 1+x 2=－ 2，则 m= ， mx － 4x (x 1 +x ) x 1 x 2 = 。 2 13 11 、已知方程 3x 2+x － 1=0，要使方程两根的平方和为 9 ，那么常数项应改为 。 12、已知一元二次方程的两根之和为 5，两根之积为 6，则这个方程为 。 13、若 α、β为实数且｜α+β－ 3｜ +(2 －αβ ) 2 =0，则以α、β为根的一元二次方程 为 。 ( 此中二次项系数为 1) 14、已知对于 x 的一元二次方程 x 2 －2(m － 1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则 m= ； 若方程两根之和与两根积互为相反数，则 m= 。 15、已知方程 x 2 +4x － 2m=0的一个根α比另一个根β 小 4，则α = ；β = ； m= 。 16、已知对于 x 的方程 x 2 －3x+k=0 的两根立方和为 0，则 k= 1 1 3 17、已知对于 x 的方程 x 2 －3mx+2(m － 1)=0 的两根为 x 1、 x 2，且 x 1 x 2 18 、对于 x 的方程 2x 2－ 3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当 程有一个正根，一个负根；当 m 时，方程有一个根为 0。 19 、若方程 x 2－4x+m=0与x 2－ x － 2m=0有一个根同样，则 m= 。 4 ，则 m= 。 m 时，方 20 、求作一个方程，使它的两根分别是方程 x 2+3x － 2=0两根的二倍，则所求的方程为 。 21、一元二次方程 2x 2 － 3x+1=0的两根与 x 2－ 3x+2=0的两根之间的关系是 。 22 、已知方程 5x 2+mx － 10=0的一根是－ 5，求方程的另一根及 m 的值。 23 2+ 3 是 x 2－ 4x+k=0的一根，求另一根和 k 的值。 、已知 24、证明：假如有理系数方程 x 2 +px+q=0有一个根是形如 A+ B 的无理数 (A 、B 均为有理数 ) ， 那么另一个根必是 A － B 。 25、不解方程，判断以下方程根的符号，假如两根异号，试确立是正根仍是负根的绝对值大 ?