一元二次方程根与系数的关系
1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2,那么x 1+x 2= ,x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x -4=0的两个根,那么:x 1+x 2= ;x 1·x 2= ;
2111x x + ;x 21+x 22= ;(x 1+1)(x 2+1)= ;|x 1-x 2|= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1-2,那么另一个根是 ,a 的值为 。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2,那么k= .
6、已知方程2x 2+mx -4=0两根的绝对值相等,则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和-1,则q ∶p= 。
8、已知方程x 2-mx+2=0的两根互为相反数,则m= .
9、已知关于x 的一元二次方程(a 2-1)x 2-(a+1)x+1=0两根互为倒数,则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2-4x -6=0的两根为x 1和x 2,且x 1+x 2=-2,则m= ,
(x 1+x 2)21x x ?= 。
11、已知方程3x 2+x -1=0,要使方程两根的平方和为913
,那么常数项应改为 .
12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为 。 13、若α、β为实数且|α+β-3|+(2-αβ)2=0,则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1)
14、已知关于x 的一元二次方程x 2-2(m -1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数,则m= ;
若方程两根之和与两根积互为相反数,则m= 。
15、已知方程x 2+4x -2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α= ;β
= ;m= 。
16、已知关于x 的方程x 2-3x+k=0的两根立方和为0,则k=
17、已知关于x 的方程x 2-3mx+2(m -1)=0的两根为x 1、x 2
,且43x 1x 121-=+,则m= 。 18、关于x 的方程2x 2-3x+m=0,当 时,方程有两个正数根;当m 时,方程有一个正根,一个负根;当m 时,方程有一个根为0。
19、若方程x 2-4x+m=0与x 2-x -2m=0有一个根相同,则m= 。
20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x 2+3x -2=0两根的二倍,则所求的方程为 .
21、一元二次方程2x 2-3x+1=0的两根与x 2-3x+2=0的两根之间的关系是 。
22、已知方程5x 2+mx -10=0的一根是-5,求方程的另一根及m 的值。
23、已知2+3是x 2-4x+k=0的一根,求另一根和k 的值。
24、证明:如果有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A 、B 均为有理数),
那么另一个根必是A -B 。
25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大?
0362)2(,053)1(22=+-=--x x x
26、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: x 31x 2+x 1x 32
27、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
2221x 1x 1+
28、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: (x 21-x 22)2
29、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
x 1-x 2
30、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: 122
x x
31、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
x 5
1·x 2
2+x 2
1·x 5
2 32、求一个一元二次方程,使它的两个根是2+
6和2-6。 33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数. 34、造一个方程,使它的根是方程3x 2-7x+2=0的根;(1)大3;(2)2倍;(3)相反数;(4)倒数.
35、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时,方程的两个实数根满足:(1)一个根比另一个根大2;
(2)一个根是另一个根的3倍;(3)两根差的平方是17。
36、已知关于x 的方程2x 2-(m -1)x+m+1=0的两根满足关系式x 1-x 2=1,求m 的值及两个根.
37、α、β是关于x 的方程4x 2-4mx+m 2+4m=0的两个实根,并且满足10091)1)(1(=---βα,求m 的值。
38、已知一元二次方程8x 2-(2m+1)x+m -7=0,根据下列条件,分别求出m 的值:
(1)两根互为倒数;
(2)两根互为相反数;
(3)有一根为零;
(4)有一根为1;
(5)两根的平方和为641
。
39、已知方程x 2
+mx+4=0和x 2-(m -2)x -16=0有一个相同的根,求m 的值及这个相同的根。
40、已知关于x 的二次方程x 2-2(a -2)x+a 2-5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,
求a 的值。
41、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b 、c
的值。
42、设:3a 2-6a -11=0,3b 2-6b -11=0且a ≠b,求a 4-b 4的值。
43、试确定使x 2+(a -b )x+a=0的根同时为整数的整数a 的值。
44、已知一元二次方程(2k -3)x 2+4kx+2k -5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求
当k 取何整数时,方程有两个整数根.
45、已知:α、β是关于x 的方程x 2+(m -2)x+1=0的两根,求(1+m α+α2)(1+m β+β2)的值.
46、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根,x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根,求常
数p、q的值。,
47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根;y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根,且x1-y1=2,x2-y2=2,求m、n的值。
48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根,x2+2(a+m)x+2a-m2+6m-4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值.
49、关于x的一元二次方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m的值。
50、已知:α、β是关于x的二次方程:(m-2)x2+2(m-4)x+m-4=0的两个不等实根。
(1)若m为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值;
(2)若α2+β2=6时,求m的值.
51、已知关于x的方程mx2-nx+2=0两根相等,方程x2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。
求证:方程x2-(k+n)x+(k-m)=0一定有实数根。
52、关于x的方程
2
2n
4
1
mx
2
x+
-
=0,其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1)求证:这个方程有两个不相等的实根;
(2)若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长。
53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2),在数轴上,
表示x2的点在表示x1的点的右边,且相距p+1,求p的值。
54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β,且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根,求a、b、c的关系式.
55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β,那么(α-1)2+(β-1)2的最小值是多少?
56、已知方程2x2-5mx+3n=0的两根之比为2∶3,方程x2-2nx+8m=0的两根相等(mn≠0)。求证:对任意实数k,方程mx2+(n+k-1)x+k+1=0恒有实数根。
57、(1)方程x2-3x+m=0的一个根是
2,则另一个根是。
(2)若关于y的方程y2-my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m,n应满足。58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
x2+3x+1=0;
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
3x2-2x-1=0;
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
-2x2+3=0;
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
2x2+5x=0。
62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是-2,求它的另一个根及m的值。
63、已知关于x的方程3x2-1=tx的一个根是-2,求它的另一个根及t的值。
64、设x1,x2是方程3x2-2x-2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x1-4)(x2-4);
(2)x13x24+x14x23;
(3)
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
+
1
2
2
13
1
3
1
x
x
x
x
;
(4)x13+x23.
65、设x 1,x 2是方程2x 2
-4x+1=0的两个根,求|x 1-x 2|的值.
66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2,方程x 2-mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7, 求m 和n
的值.
67、以2,-3为根的一元二次方程是 ( ) A 。x 2+x+6=0 B 。x 2+x -6=0
C 。x 2-x+6=0
D 。x 2-x -6=0
68、以3,-1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是 ( ) A 。3x 2-2x+3=0 B.3x 2+2x -3=0
C 。3x 2-6x -9=0
D 。3x 2+6x -9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( ) A.x 2+2x -3=0 B 。x 2-2x+3=0
C.x 2+2x+3=0
D.x 2-2x -3=0
70、以-3,-2为根的一元二次方程为 , 以213-,21
3+为根的一元二次方程为 ,
以5,-5为根的一元二次方程为 ,
以4,41
为根的一元二次方程为 。
71、已知两数之和为-7,两数之积为12,求这两个数。
72、已知方程2x 2
-3x -3=0的两个根分别为a ,b ,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程 ,使它的两个根分别是:
(1)a+1。b+1 (2)
b a a b 2,2 73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ,面积为27
cm 2,求这个直角三角形斜边的长 。
74、在解方程x 2
+px+q=0时,小张看错了p ,解得方程的根为1与-3;小王看错了q ,解得方程的根为4与-2。这个方程的根应该是什么?
75、关于x 的方程x 2-ax -3=0有一个根是1,则a= ,另一个根是 。 76、若分式13
22+--x x x 的值为0,则x 的值为 ( )
A.-1
B.3 C 。-1或3 D.-3或1
77、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则 ( )
A 。m=0且n ≥0
B 。n=0且m ≥0
C 。m=0且n ≤0 D.n=0且m ≤0
78、已知x 1,x 2是方程2x 2+3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(2x 1-3)(2x 2-3);
(2)x 13x 2+x 1x 23。
79、已知a 2
=1-a ,b 2=1-b ,且a ≠b ,求(a -1)(b -1)的值。
80、如果x=1是方程2x 2-3mx+1=0的一个根,则m= ,另一个根为 。 81、已知m 2+m -4=0,04112=-+n n ,m ,n 为实数,且
n m 1≠,则n m 1+= 。 82、两根为3和-5的一元二次方程是 ( ) A 。x 2-2x -15=0 B.x 2-2x+15=0
C.x 2+2x -15=0 D 。x 2+2x+15=0
83、。设x 1,x 2是方程2x 2-2x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x 12+2)(x 22+2);
(2)(2x 1+1)(2x 2+1);
(3)(x 1-x 2)2。
84、.已知m ,n 是一元二次方程x
2-2x -5=0的两个实数根,求2m 2+3n 2+2m 的值。
85、已知方程x 2+5x -7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方 程
的两个根的负倒数.
86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根之比为2∶1,求证:2b 2=9ac .
87、。已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+12=0的两根之差为11,求m 的值。
88、已知关于y 的方程y 2-2ay -2a -4=0。(1)证明:不论a 取何值,这个方程总有两个不相等的 实
数根;(2)a 为何值时,方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x 2-10x+21+a=0.(1)当a 为何值时,方程有一正、一负两个根?(2)此 方
程会有两个负根吗?为什么?
90、已知关于x 的方程x 2-(2a -1)x+4(a -1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角
边的长,求这个直角三角形的面积。 91、已知方程x 2+ax+b=0的两根为x 1,x 2,且4x 1+x 2=0,又知根的判别式?=25,求a ,b 的值.
92、已知一元二次方程8y 2-(m+1)y+m -5=0。(1)m 为何值时,方程的一个根为零?(2)m 为何值
时 ,方程的两个根互为相反数?(3)证明:不存在实数m ,使方程的两个相互为倒数。
93、当m 为何值时,方程3x 2+2x+m -8=0:(1)有两个大于-2的根?(2)有一个根大于-2,另一
个 根小于-2?
94、已知2s 2+4s -7=0,7t 2-4t -2=0,s ,t 为实数,且st ≠1。求下列各式的值:
(1)t st 1
+;;
(2)t s st 3
23+-.
95、已知x 1,x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根,且x 12+x 22+(x 1+x 2)2=3,5222221=+x x ,
求m 和n 的值。
课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1.掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法;使学生掌握含有未知数 的解法. 2.教学过程中,渗透数学转化思想及方程的思想,提高学生灵活运用数学知识解题的能力;培养学生严谨的逻辑思维. 3.通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较,认识到任何事物都是相对的,而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点. 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用. 教学过程: 一、引入新课 问题一:方程x2+1=0在复数范围内有没有解,解集是什么? 因为-1=i2,则原方程化为x2-i2=0,即(x+i)(x-i)=0.所以原方程解集为{i,-i}.问题二:方程ax2+bx+c=0(a,b,c是实数)在复数范围内解集是什么? 当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实根,解集为 二、讲授新课 引导思考:方程x2+1=0中,Δ=-4<0,上述结论对吗? 解为: 无意义.此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数范围内解的情况为: 当Δ≥0时有实根; 当Δ<0时,有一对共轭的虚根. 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0
i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解: 例2 已知实系数一元二次方程2x 2+ax +b=0的一个根为2i-3,求a ,b 的值. 解:2x 2+ax +b=0一根为2i-3,另一根为-3-2i .由韦达定理知: b=(2i-3)(-2i-3)=9+16=25, a=2i-3+(-2i-3)=-6. 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题.对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解? 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解. 解:将方程左端配方,得(x-i )2-4=0,即(x-i )2=4.解得x-i=±2,即x 1=2+i ,x 2=-2+i . 练习P22 1、2、3 2、二项方程:形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程,任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式,都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即:所以解:原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点,这些点均匀分布在以原点为圆心,以2为半径的圆上.
一元二次方程根与系数的关系(附答案) 评卷人得分 一.选择题(共6小题) 1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是() A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根D.无法确定 · 2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是()A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1 3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.不能确定 4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是()A.2 B.4 C.5 D.6 5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为()A.﹣5 B.5 C.﹣2 D. 6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为()》 A.﹣1 B.0 C.1 D.3 评卷人得分 二.填空题(共1小题) 7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为.
评卷人· 得分 三.解答题(共8小题) 8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长. 9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0. (1)若该方程的一个根为1,求a的值; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. · 10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程一个根为3,求m的值. 11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围; (3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值.12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立若存在,求出k的值;若不存在,说明理由; (2)求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值; : (3)若k=﹣2,λ=,试求λ的值. 13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2. (1)求k的取值范围;
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.
复数范围内实系数一元二次方程(19题)(答案) 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+,则这个方程可以是 228039 x x -+= . 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根,则下列等式成立的是( C ) (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假,并说明理由; (1)在复数范围内,方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ,且0)a ≠总 有两个根.( √ ) ) (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根,则这个方程的另 一个根是12i -.( ? ) (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根,则p 、q 均为实数.( √) 5、已知复数z ,解方程3i 13i z z -?=+. 解:设i()z x y x y =+∈R ,,则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+. 由复数相等,有3133x y y x -=??-=?,,解得543.4 x y ?=-????=-??,. ∴53i 44z =--. 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ; | 若z R ∈,则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数, 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ,则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以,方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= (1)x R ∈ (2)x C ∈ 解:(1)1x = (2)11x orx i ==-
一元二次方程(根与系数关系专题测试) 一、单选题(共10题;共30分) 1.已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根,则x12+x22的值为() A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 2.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根是2,则另一个根是() A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 3.一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x1、x2,则x1+x2等于() A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 4.是方程的两根, 的值是() A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 5.关于x的方程有两个实数根,,且,那么m的值为() A. -1 B. -4 C. -4或1 D. -1或4 6.关于x的方程(为常数)根的情况下,下列结论中正确的是() A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根,一个负根 D. 无实数根 7.已知一元二次方程x2﹣4x+m=0有一个根为2,则另一根为() A. ﹣4 B. ﹣2 C. 4 D. 2 8.已知,是一元二次方程的两个实数根且,则的值为(). A. 0或1 B. 0 C. 1 D. -1 9.若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2+αβ的值为() A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 10.若a≠b,且则的值为() A. B. 1 C. .4 D. 3 二、填空题(共6题;共18分) 11.如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么x1+x2=﹣, x1x2= ,这就是一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).利用韦达定理解决下面问题:已知m与n是方程x2﹣5x﹣25=0的两根,则+ =________. 12.一元二次方程的两根为,则________
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.
13.6(1)实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后,对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要,数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数,解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=,当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此,本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况;会在复数集中解实系数一元二次方程;会在复数范围内对二次三项式进行因式分解;理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系,并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程;在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计
六、教学过程设计 (一)复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式,我 们回顾一下: 当240b ac ?=-≥ 时,方程有两个实数根:2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”,大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①:一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解? 设问②:在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=? [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知,x 即为-1的平方根:i ±;设问②是为了引出本节课的课题:实系数一元二次方程. (二)讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况: 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠,所以原方程可变形为2b c x x a a +=-, 配方得
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。 例1:已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解? 分析:在同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解:∵方程(1)有两个不相等的实数根, ∴ 解得; ∵方程(2)没有实数根, ∴ 解得; 于是,同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围是 其中,的整数值有或 当时,方程(1)为,无整数根; 当时,方程(1)为,有整数根。 解得: 所以,使方程(1)有整数根的的整数值是。 总结:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选出 ,这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1:不解方程,判别方程两根的符号。
分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否,若 判定根的正负,则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定或的正负情况。 解:∵,∴△=—4×2×(—7)=65>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为, ∵<0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中<0,所以可判定方程的根为一正一负;倘若>0,仍需考虑的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。 例2:已知方程的一个根为2,求另一个根及的值。 分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把代入原方程,先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一:把代入原方程,得: 即 解得 当时,原方程均可化为: ,