一元二次方程根与系数的关系
1
、 假如方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0) 的两根是 x 1、 x 2，那么 x 1+x 2 =
， x 1· x 2 = 。 2、已知 x 1、 x 2是方程 2x 2
+3x － 4=0的两个根，那么： x 1 +x 2=
； x 1· x 2=
；
1
1
x 1
x 2
22
； (x 1+1)(x 2+1)=
；｜ x 1－ x 2｜
； x 1+x 2=
=
。
3、以 2和
3为根的一元二次方程 ( 二次项系数为 1) 是
。
4
、假如对于 x 的一元二次方程 x 2+ 2
x+a=0的一个根是 1－ 2
，那么另一个根是
，a
的值为 。
2 的两根差为 2，那么 k= 。 5
、假如对于 x 的方程 x +6x+k=0
6、已知方程 2x
2
+mx － 4=0两根的绝对值相等，则 m=
。
7、一元二次方程 px 2
+qx+r=0(p ≠ 0)的两根为 0和－ 1，则 q ∶p=
。
8、已知方程 x
2
－ mx+2=0 的两根互为相反数，则
m=
。
9、已知对于 x 的一元二次方程 (a
2
－ 1)x 2 －(a+1)x+1=0 两根互为倒数，则 a=
。
10
、已知对于 x 的一元二次方程
2
－ 6=0的两根为 x 1 和x 2，且 x 1+x 2=－ 2，则 m=
，
mx － 4x (x 1
+x )
x 1 x
2
=
。
2
13
11
、已知方程 3x 2+x － 1=0，要使方程两根的平方和为 9 ，那么常数项应改为
。
12、已知一元二次方程的两根之和为 5，两根之积为 6，则这个方程为
。
13、若
α、β为实数且｜α+β－ 3｜ +(2 －αβ )
2
=0，则以α、β为根的一元二次方程
为
。 ( 此中二次项系数为 1)
14、已知对于 x 的一元二次方程 x
2
－2(m － 1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则
m=
；
若方程两根之和与两根积互为相反数，则 m=
。
15、已知方程 x
2
+4x － 2m=0的一个根α比另一个根β
小 4，则α =
；β = ；
m=
。
16、已知对于
x 的方程 x 2 －3x+k=0 的两根立方和为 0，则 k=
1
1 3
17、已知对于 x 的方程 x 2
－3mx+2(m － 1)=0 的两根为 x 1、 x 2，且
x 1
x 2
18
、对于 x 的方程
2x 2－ 3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当
程有一个正根，一个负根；当 m 时，方程有一个根为 0。 19
、若方程 x 2－4x+m=0与x 2－ x － 2m=0有一个根同样，则 m= 。
4
，则 m=
。 m
时，方
20
、求作一个方程，使它的两根分别是方程 x 2+3x － 2=0两根的二倍，则所求的方程为
。
21、一元二次方程 2x
2
－ 3x+1=0的两根与 x 2－ 3x+2=0的两根之间的关系是
。
22
、已知方程 5x 2+mx － 10=0的一根是－ 5，求方程的另一根及 m 的值。
23
2+ 3
是 x 2－ 4x+k=0的一根，求另一根和 k 的值。
、已知
24、证明：假如有理系数方程 x
2
+px+q=0有一个根是形如 A+
B
的无理数 (A 、B 均为有理数 ) ，
那么另一个根必是 A － B
。
25、不解方程，判断以下方程根的符号，假如两根异号，试确立是正根仍是负根的绝对值大
?
(1) x 2 3x 5 0, (2) x 2 2 6
3 0
26、已知 x 1和 x 2是方程 2x
2
－ 3x －1=0 的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值： x 31x 2+x 1x 32
27、已知 x 1和 x 2是方程 2x
2
－ 3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：
1 1
x 12
x 22
28、已知 x 1和x 2是方程 2x
2
－3x － 1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：
(x 21－ x 22)2
2
29、已知 x 1和x 2是方程 2x －3x － 1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：
30、已知 x 1和 x 2是方程 2x
2
－ 3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：
x 2
2 x 1
31、已知 x 1和x 2是方程 2x
2
－3x － 1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：
x 51· x 22+x 21 ·x 52
32
、求一个一元二次方程，使它的两个根是
2+ 6
和2－ 6 。
、已知两数的和等于
6，这两数的积是
4，求这两数。
33
34
、造一个方程，使它的根是方程 3x 2－ 7x+2=0的根； (1) 大 3；(2)2 倍； (3) 相反数； (4) 倒数。
35、方程 x 2
+3x+m=0中的 m 是什么数值时，方程的两个实数根知足： (1) 一个根比另一个根大 2；(2)
一个根是另一个根的 3倍； (3) 两根差的平方是 17。 36、已知对于 x 的方程 2x 2－ (m － 1)x+m+1=0的两根知足关系式 x 1 －x 2 =1，求 m 的值及两个根。
(
1)(
1) 1
9
2
2
37
、α、 β是对于 x 的方
程
100 ，求 m
4x －4mx+m+4m=0的两个实根， 而且知足
的值。
38、已知一元二次方程
8x 2
－ (2m+1)x+m － 7=0，依据以下条件，分别求出 m 的值：
(1) 两根互为倒数； (2) 两根互为相反数； (3) 有一根为零；
(4) 有一根为 1；
1
(5)两根的平方和为
64
。
39、已知方程 x
2
+mx+4=0和 x 2－ (m －2)x － 16=0有一个同样的根，求 m 的值及这个同样的根。
2
－ 2(a － 2)x+a 2
－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的
2倍，
40
、已知对于 x 的二次方程 x
求 a 的值。
41
、已知方程 x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于 3，两根的平方和等于 29，求 b 、 c
的值。
42、设： 3a
2
－ 6a － 11=0， 3b 2－ 6b －11=0且 a ≠ b ，求 a 4－ b 4的值。 43、试确立使
x 2+(a － b)x+a=0 的根同时为整数的整数 a 的值。
44、已知一元二次方程 (2k －3)x
2
+4kx+2k － 5=0，且 4k+1是腰长为 7的等腰三角形的底边长，求
当 k 取何整数时，方程有两个整数根。
45、已知：α、β
是对于 x 的方程 x 2+(m － 2)x+1=0 的两根，求 (1+m α +α 2)(1+m β +β 2) 的值。
46
、已知 x 1,x 2是对于 x
的方程 x 2+px+q=0 的两根， x 1 +1、 x 2+1是对于 x 的方程 x 2 +qx+p=0 的两根，求
常数 p 、 q 的值。，
2 2 2
+5my+7=0的两
个 47、已知 x 1、 x 2是对于 x 的方程 x +mx+n=0的两个实数根； y 1、 y 2是对于 y 的方程 y 实数根，且 x 1 － y 1=2,x 2－ y 2=2，求 m 、 n 的值。
2
2
2
2
48、对于 x 的方程 mx +(2m+3)x+1=0 有两个乘积为 1的实根， x +2(a+m)x+2a － m+6m － 4=0有大于 0 且小于 2的根。求 a 的整数值。
49、对于 x 的一元二次方程 3x 2－(4m 2
－ 1)x+m(m+2)=0 的两实根之和等于两个实根的倒数和，求 m
的
值。
50、已知：α、β是对于 x 的二次方程： (m － 2)x 2
+2(m － 4)x+m － 4=0的两个不等实根。
(1) 若 m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
(2) 若α 2+β 2=6时，求 m 的值。
2
2
51、已知对于 x 的方程 mx － nx+2=0两根相等，方程
x －4mx+3n=0的一个根是另一个根的 3倍。
2
求证：方程 x － (k+n)x+(k － m)=0必定有实数根。 x 2
2 mx
1 n 2
52、对于 x 的方程
4
=0，此中 m 、 n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1) 求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是
8，等腰三角形的面积是 12，求这个三角形的周长。
53、已知对于 x 的一元二次方程 x
2
+2x+p 2=0有两个实根 x 1和 x 2(x 1≠ x 2) ，在数轴上，
表示 x 2的点在表示 x 1的点的右侧，且相距 p+1，求 p 的值。
54
、已知对于 x
的一元二次方程 ax 2
+bx+c=0的两根为α、 β，且两个对于 x 的方程 x 2+( α +1)x+ β
2=0
与 x 2+( β +1)x+ α 2=0有独一的公共根，求 a 、 b 、c 的关系式。
55
、假如对于 x
的实系数一元二次方程 x 2
+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、 β，那么 ( α－ 1)
2+( β
－ 1) 2 的最小值是多少 ?
56、已知方程 2x
2
－ 5mx+3n=0的两根之比为 2∶ 3，方程 x 2－ 2nx+8m=0的两根相等 (mn ≠ 0) 。求
证：对随意实数 k ，方程 mx 2+(n+k － 1)x+k+1=0 恒有实数根。
57
方程 x 2
－ 3x+m=0 的一个根是
2
，则另一个根是
。
、 (1)
(2)若对于 y 的方程 y 2－ my+n=0 的两个根中只有一个根为 0，那么 m ， n 应知足
。
58、不解方程 ,求以下各方程的两根之和与两根之积
x 2+3x+1=0 ；
59、不解方程
,求以下各方程的两根之和与两根之积
3x 2－ 2x － 1=0 ；
60
、不解方程 ,求以下各方程的两根之和与两根之积 － 2x 2 +3=0；
61
、不解方程 ,求以下各方程的两根之和与两根之积
2
2x +5x=0 。
62、已知对于 x 的方程 2x 2
+5x=m 的一个根是－ 2，求它的另一个根及
m 的值。
63、已知对于
x 的方程 3x 2－ 1=tx 的一个根是－ 2，求它的另一个根及 t 的值。
64、设 x 1， x 2是方程 3x
2
－ 2x － 2=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：
(1)(x 1－ 4)(x 2－ 4)； (2)x 13x 2 4+x 14x 23；
1
1 x 1x 2
(3)
3x 2
3x 1 ；
(4)x 13+x 2 3。
65、设 x 1， x 2是方程 2x
2
－ 4x+1=0 的两个根，求｜ x 1－ x 2｜的值。
2
2
－mx+n=0 的两实根是 x 1+7 和x 2 +7， 求 m 和
n
66、已知方程 x +mx+12=0 的两实根是 x 1和 x 2，方程 x
的值。
67
、以 2，－ 3为根的一元二次方程是
(
)
2
2
A.x +x+6=0
B.x +x － 6=0
2
－ x+6=0 D.x 2－ x － 6=0
68
、以 3，－ 1为根，且二次项系数为 3的一元二次方程是 (
)
A.3x 2－ 2x+3=0
B.3x 2+2x －3=0
2
－ 6x －9=0
D.3x 2 +6x － 9=0
69、两个实数根的和为 2的一元二次方程可能是
(
)
A.x 2+2x － 3=0
B.x 2－ 2x+3=0
2
2
C.x +2x+3=0
D.x － 2x － 3=0
、以－ 3，－ 2为根的一元二次方程为
，
70
3 1
3 1
以
2 ，
2
为根的一元二次方程为
，
以 5，－ 5为根的一元二次方程为
，
1
以 4， 4
为根的一元二次方程为 。
71、已知两数之和为－ 7，两数之积为 12，求这两个数。
72、已知方程 2x
2
－ 3x －3=0 的两个根分别为 a ， b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，
使它的两个根分别是：
(1)a+1.b+1
2b 2a
(2)
a
,
b
7
73
6cm ，面积为 2 cm
2
，求这个直角三角形斜边的长 。 、一个直角三角形的两条直角边长的和为
74、在解方程 x
2
+px+q=0 时，小张看错了
p ，解得方程的根为 1与－ 3；小王看错了 q ，解得方程的 根为 4与－ 2。这个方程的根应当是什么
?
75、对于 x 的方程 x
2
－ ax － 3=0有一个根是 1，则 a=
，另一个根是 。
x
2
2x 3 76
、若分式 x 1
A.－1
的值为 0，则 x 的值为
(
)
C.－ 1或 3
D.－ 3或 1
77、若对于 y 的一元二次方程 y
2
+my+n=0 的两个实数根互为相反数，则
(
)
A.m=0 且 n ≥ 0
B.n=0 且 m ≥ 0
C.m=0 且n ≤ 0
D.n=0 且m ≤0
78
， x 是方程 2x 2 +3x － 1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：
、已知 x 1 2
(1)(2x 1－ 3)(2x 2－ 3)； (2)x 13x 2 +x 1x 23。
2
2
79
、已知 a =1 －a ， b =1－ b ，且 a ≠ b ，求 (a － 1)(b － 1)的值。
80 2x
2
－ 3mx+1=0 的一个根，则 m= ，另一个根为
。
、假如 x=1是方程
1
1 0 m
1
1
81、已知
m 2
+m － 4=0 ， n
2
4
m
n =
n
， m ， n 为实数，且 n
，则
。 82、两根为 3和－ 5的一元二次方程是
(
)
2
－ 2x －15=0
B.x 2－ 2x+15=0
2
+2x － 15=0
D.x 2+2x+15=0
83、 .设 x 1， x 2是方程 2x
2
－ 2x － 1=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值：
(1)(x 12+2)(x 22+2) ； (2)(2x 1+1)(2x 2+1) ； (3)(x 1－ x 2)2。
84、 .已知 m ， n 是一元二次方程
x 2－ 2x － 5=0 的两个实数根，求 2m 2+3n 2+2m 的值。
85
、已知方程 x 2+5x － 7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程
的两个根的负倒数。
2 2
86
、已知对于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0)的两根之比为 2∶ 1，求证： 2b =9ac 。
87、 .已知对于 x 的一元二次方程 x 2
+mx+12=0 的两根之差为 11，求 m 的值。
88
2
－ 2ay － 2a － 4=0 。(1)证明：无论 a 取何值， 这个方程总有两个不相等的 实
、已知对于 y 的方程 y
数根； (2)a 为何值时，方程的两根之差的平方等于
16?
89、已知一元二次方程 x
2
－ 10x+21+a=0 。 (1)当 a 为何值时，方程有一正、一负两个根
?(2)此 方程
会有两个负根吗 ?为何 ?
90、已知对于 x 的方程 x
2
－ (2a － 1)x+4(a －1)=0 的两个根是斜边长为 5的直角三角形的两条直角边的
长，求这个直角三角形的面积。 91
、已知方程 x 2+ax+b=0 的两根为 x 1， x 2，且 4x 1+x 2=0，又知根的鉴别式 =25，求 a ，b 的值。
92、已知一元二次方程
8y 2－ (m+1)y+m － 5=0 。(1)m 为何值时， 方程的一个根为零 ?(2)m 为何值时 ，
方程的两个根互为相反数
?(3)证明：不存在实数
m ，使方程的两个互相为倒数。
93
2
2的根 ?(2)有一个根大于－ 2，另一个 根
、当 m 为何值时， 方程
3x +2x+m －8=0：(1) 有两个大于－
小于－ 2?
94
2
2
－4t － 2=0， s ， t 为实数，且 st ≠ 1。求以下各式的值：
、已知 2s +4s － 7=0， 7t
st 1
(1)
t ； ; 3st 2s 3
(2)
t
。
2
2 5
是一元二次方程 x
2
m
22
2
x 1
2
x 22
95、
，x + ，
已知 x 1 2
x+n=0 的两个实数根， 且 x 1 +x 2 +(x 1+x 2) =3，
求 m 和 n 的值。
装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案 一、单选题 1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．5- 2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2 B ．－1.5 C ．－2 D ．4 3．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ c OA OB a ⋅=- ，其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ． 3 2 B ． 52 C ．5 D ．2 二、解答题 6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围． （2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值． 7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值；
、单项选择 题: 一元二次方程根与系数的关系习题 1.关于x 的方程ax 2 2x 1 0中,如果a 0,那么根的情况是( B ) (A) (C) 有两个相等的实数根 没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (D)不能确定 解: (2)2 4a 4a 0 原方程有两个不相等的实数根. 2.设 (A) 解: X i 4 4a 4 4a 0 X 1,X 2是方程2x 2 15 (B) 12 方程两根为 X 2 3, x 1x 2 6x (C) 6 X i, X 2 3 0的两根,那么 (D) 3 2 X 1 3.以下方程中,有两个相等的实数根的是( (A) 2y 2+5=6y (B) x 2+5=2 5 x (C) 3 x 2 (此题为找出 0〞的方程即可) 2 X 1 2 X 2 2 X 2的值是( (X i 32 B ) —2 x+2=0 4.以方程X 2 +2X —3=0的两个根的和与积为两根的 (A) y 2+5y —6=0 (B) y 2+5y + 6=0 解：设方程两根为 X1, X2,那 么: x 1 x 2 2, x 1x 2 3为根的一元二次方程为 5.如果X 1, X 2是两个不相等实数, 且满足 (A) 2 (B) -2 X 2)2 21 2x 1x 2 (D) 3x 2—2^x+1=0 二次方程是 (C) y 2-5y + 6=0 (D) 2 - y [( 2)( 3)]y ( 即：y (C) 5y 解：X ： 2 2x 1 1, x 2 2X 2 x n X 2可看作是方程x 2x 二、填空题: 1、如果 二次方程 4x k 2 解：方程X 2 4x k 2 有两个相等的实数根 2 X 1 2x 1 2 X 2 (D) 的两根 X 1X 2 2)( 3) 0 2x 2 1,那么X i ? X 2等于 0有两个相等的实数根,那么 k= 2. 16 4k 2
一、填空题与选择题： 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ． 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A B 、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题： 8、设21,x x 是一元二次方程 01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （3） 1121 12+++x x x x （4）||21x x -
（5） )31)(31(1221x x x x ++ （6）3231x x + 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程 012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m 的值； 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根 是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。 11、已知关于x 的方程 04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.
一元二次方程根与系数的关系习题 一、单项选择题： 1．关于x 的方程0122 =+-x ax 中，如果0-∴a 实数根。原方程有两个不相等的 ∴ a 44-=044>-∴a 0∆即 2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2 221x x +的值是（C ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 21x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴ 2332121= =+x x x x ，623232=⨯-= 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（B ） （A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆ 4．以方程x 2 ＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（B ） （A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0 ，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y 322121-=-=+x x x x ，0652=++y y 即： ：为根的一元二次方程为和以32--∴ 5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，1222 2=-x x ，那么21x x ∙等于（D ） （A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－1 121222 2121=-=-x x x x ，解： 的两根 12221=-∴x x x x 可看作是方程，121-=∴x x 二、填空题： 1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。 0422=++k x x 方程解： 04162=-=∆∴k 有两个相等的实数根 2±=∴k 2、如果关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是8 9->k 。
一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕 一．选择题〔共22小题〕 1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕 A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 2．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕 A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4 3．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成 立？那么正确的结论是〔〕 A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在 4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕 A．10 B．9C．7D．5 5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1 6．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕 A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕 A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D． +=﹣1 8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2 9．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0 10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕 A．2021 B．2021 C．2021 D．2021 11．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕 A．﹣6 B．6C．3D．﹣3 12．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．13 13．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕 A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C． a=﹣，b=﹣1 D． a=﹣，b=1
. 一、填空题与选择题： 2有一个根为-1,则a、b、c的关系是1、若一元二次方程)0a?c?0,(ax??bx______. 22的所有实数根的和等于____. 与2、一元二次方程0??x?3x?1?0xx3?2=0)，则以α、β为根的一元二次3｜+(2－αβ3、若α、β为实数且｜α+β－方程 为。(其中二次项系数为1) 22，且，则，． 4、已知bb??a?1a?1??1)(a?1)(b ba?2的两根之差等于6的方程，那么______ 、已知关于5x0?4x?k?x1??k2的两个根，、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程60?x?2x7?8则这个直角三角形的斜边长是（） 3 B、3 C、、6 D、A9 2的一第三边的长为二次方程和9,7、已知三角形两边长分别为20??48?14xx根, 则这个三角形的周长为 ( ) D.19 C.17或 A.11 B.17 19 二、解答题：x,x22x?5x?1?0的两个根，利用根与系数的关系，求8、设是一元二 次方程21下列各式的值： 22)?3?(x3)(x(x?1)?(x?1)（2）； 1（）2121 xx12?1?x?x1|x?x| 3（））（42121 . .
11)(x?)(x?2133xx33x?x（6）5（）1221 22xx0?2m?12?2(m?)x?xx9、已知，是关于的两个实根，且满足的方程1222?x?x0m的值；，求21 x和x22x?mx?n?0?xmx?12?0的两实根、已知方程，方程的两实根是1021x?7x?7，求m 是和n和的值。21 22x?2(m?2)x?m?4?0x11、已知关于有两个实数根，并且这两个实的方程m的值. 21数根的平方和比它们的积大，求 . . 2x?4x?2?0，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它、解方程12的根分
初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题（精选100道习题 附答案详解） 1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( ) A ．-6 B ．6 C ．-15 D ．15 2．关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( ) A ．-1或5 B ．1 C ．5 D ．-1 3．已知一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中,其中真命题有( ) ①若a+b+c=0，则240b ac -≥；②若方程20ax bx c ++=两根为− 1和2，则2a+c=0；③若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 4．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则12 11x x +=（ ） A ．12 B ．1 C D 5．若α，β是方程x 2﹣2x ﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 6．若m 、n 是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn 的值是（ ） A ．-7 B ．7 C ．3 D ．-3 7．若方程22 4()0x m x m +-+=的两个根互为相反数，则m 等于（ ） A ． 2- B ．2 C ．2± D ．4 8．已知m 、n 是方程210++=x 的两根， （ ） A ．9 B ．3± C ．3 D ．5 9．定义运算：a ⋆b=2ab ．若a ，b 是方程x 2+x-m=0(m ＞0)的两个根，则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．4m D ．-4m 10．关于x 的一元二次方程()2 2a 1x 2x 30--+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．2a 3> B ．2a 3>且1a 2≠ C ．2a 3< D ．2a 3<且1a 2≠ 11． 若x x 的方程20x m -+=的一个根，则方程的另一个根是（ ）
一元二次方程根与系数的关系练习题（1） 一、 宇文皓月 二、 填空： 1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x =，1x 2x =. 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x =，1x 2x =. 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x =，1x 2x =. 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m =；如 果两根互为倒数，那么n =. 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m =，n =. 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 7、以13+，13-为根的一元二次方程是. 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为. 9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为. 10、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x +=. 11、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是. 12、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k =， 若两根互为倒数，则k =. 13、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么 n mx x ++2在实数范围内可分解为 14、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，则 （1）1x 2+2x 2= _； （2）2111x x +=；
（3）=-221)(x x __； （4）)1)(1(21++x x =. 二、选择题： 1、关于x 的方程 p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4 2、已知方程 122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B)3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2 111x x +=（ ） (A )－31 (B)31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x 5、若方程 04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ） (A )5或－2 (B)5 (C ) －2 (D) －5或2 6、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是 （ ） (A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 三、解答题: 1、若关于x 的方程 02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的
1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆ （1） 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=∆时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0<∆时，方程没有实数根。 反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。 [韦达定理相关知识] 1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么 =+21x x ，=•21x x 。我们把这两个结论称为一元 二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。 2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ， =•21x x 。 3、以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=•++-x x x x x x 4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。 5、二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果 方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ， =k 。
一元 二次方程根与系数的关系 1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。 2、已知x 1、x 2是方程2x 2 +3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。 3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。 4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。 5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。 6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。 7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。 8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。 9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。 10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ， (x 1+x 2)21x x ⋅= 。 11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913 ，那么常数项应改为 。 12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。 13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2 =0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2 =0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。 15、已知方程x 2 +4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。 16、已知关于x 的方程x 2 －3x+k=0的两根立方和为0，则k= 17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且 43x 1x 121-=+，则m= 。 18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个 正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。 19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m= 。 20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程为 。 21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是 。 22、已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。 23、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为． 评卷人得分
三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值． 14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．
-元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例已知关于兀的方程（1）X2-（1-2^Z+^2-3=0有两个不相等的实数根，且关于兀的方程（2）X — 2x+2d-1 = 0没有实数根，问金取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1）, （2）条件的么的取值圉中筛选符合条件的金 的整数值。 解：•・•方程（1）有两个不相等的实数根， =[-（l-2a）]2-4（<22 -3）> 0 A A J 13 a u — 解得 4 ； •・•方程（2）没有实数根， ：4二（-2）2-4（2&-1） <0 解得Q > 1; 1< @ < 于是，同时满足方程（1） , （2）条件的么的取值圉是4 其中，么的整数值有« = 2或Q = 3 当Q = 2时，方程（1）为X2+3^+1=0,无整数根； 当«=3时，方程（1）为/十弘十6二0,有整数根。 解得：心二一2 , x2 = 所以，使方程（1）有整数根的么的整数值是«=3O 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定幺的取值用，并依幕熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出«=3,这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程2X2+3X-7=0两根的符号。 分析：对于处2+肚+ 0 = 0⑺註0)来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式厶，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定勺兀2或兀+兀2的正负情况。因此解答此题的关键是: 既要求出判别式的值，乂要确定心勺或兀】+兀2的正负情况。 解：・.・2川+3—7=0, .\A = 32—4 X 2X(—7)=65 ＞0 ・••方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为珂，花， 7 ・••原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外山于本题中勺勺＜0,所以可判定方程的根为一正一负；倘若心心＞0,仍需考虑皿+花的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程戏-6"/_2加十* 0的一个根为2,求另一个根及於的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把^ = 2代入原方程, 先求出也的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及炖的值。 解法一：把x = 2代入原方程，得： 2? - 6 x 2 十珑$ - 2加4-5 = 0 即承2 -2m- 3 = 0 解得诙1二?，戲2=-1
一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题） 2 3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成 222 2 2 2 ． +=﹣1 22 2 22 22 12．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是 13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别
﹣， 222 22 2 17．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（） ．C D． 18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（） 19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0， 2 21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（） D． 22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周 二．填空题（共4小题） 23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=_________． 24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=_________． 25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为 _________． 26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是_________．