《两角差的余弦公式》教学设计
教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4
课题：3.1.1 两角差的余弦公式
课时：1课时
一、教学内容分析
三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.
因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.
二、教学目标
1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；
2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.
三、学生学情分析
学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.
教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.
因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.
四、教学过程设计
1.创设情景
【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑
市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B
的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角
（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.
（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×
50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角
的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）
【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.
【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）
【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.
2.新知探究
【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？
（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
.） ()()
cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭
特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、
2π来替换.由于特殊中往往
能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.
【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.
【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？
本环节以教师引导探究为主，
展现知识的生成过程.
【问题1】根据三角函数的定义,
你能写出点12,P P 的坐标吗?
（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.
）
【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？
（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：
方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.
设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）
【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.
【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？
（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）
【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1
P2O P0
上完成图1对应的表格.
【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.
【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？
（请学生根据学案中的图2，四人一
组完成探究. 教师引导说明角2π
β-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，
以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：
0312OP OP OP OP ⋅=⋅
βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∴
【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.
【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么
()cos αβ-= ？
（学生观察上式，归纳说明.）
【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.
【探究3】你能否证明自己的猜想？
π
（请学生类比上面两式的推导过
程，在学案中自主探究完成，并与周围
同学相互交流，解决自己存在的问题.
其中，差角αβ-的形成过程教师可利
用几何画板旋转得到，帮助学生认识图
形间的内在联系.之后投影展示某生的
证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅
()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）
【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.
【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+
【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？
（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）
【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.
3.应用举例
例.求cos15︒的值.
（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）
【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.
4.课堂小结
【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？
（学生说明，师生共同归纳总结.）
（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；
（2）向量作为工具性知识的运用；
（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.
β的终边α)
【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.
5.作业布置
（1）课本127页，练习2,3题；
（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？
【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.
两角差的余弦公式 （选自人教版高中数学必修4第三章3.1.1节） 一、教材分析 《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。 二、学情分析 1．本节课的授课对象是高二学生，他们已经了解高中数学的教学模式，并形成自己独特的掌握新知识的方法，具有强烈的好奇心和求知欲； 2．在知识水平上，高二学生之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，教师在教学新内容前可以先对这些知识进行适当回顾，为学生本节课的学习奠定良好的基础； 3．教师在学生已经掌握三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用的基础上，引导学生如何利用差角的正弦余弦值来表示任意角，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。 三、教学目标 （一）知识与技能 引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。 （二）过程与方法 通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。 （三）情感态度与价值观 在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。 四、教学重难点 1．教学重点 通过探索得到两角差的余弦公式以及两角差余弦公式的应用。 2．教学难点 探索过程中的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程所必备的基础知识是否已掌握的问题以及运用已学知识和方法的能力问题等等。 五、教学方法与手段 启发式讲授法，并用多媒体展示、计算机辅助教学。 六．教学关键 注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比，联系，化归的观点去分析，处理问题，使他们能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换，还包括式子中角的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了这种引导的渐进性和层次性。
第三章 三角恒等变换 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 自主学习 知识梳理 1.如图所示，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则A 点坐标是________________，B 点坐标是 ______________，向量OA →＝______________，向量OB →＝______________.OA →·OB →＝ ______________.另一方面OA →·OB →＝|OA →| ·|OB →|·cos ∠AOB ＝____________. 2．两角差的余弦公式 C (α－β)：cos(α－β)＝________________________________. 自主探究 灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值． 对点讲练 知识点一 给角求值 例1 求下列各式的值． (1)sin 195°＋cos 105°； (2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．
回顾归纳 (1)公式C (α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用； (2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值． 变式训练1 求下列各式的值． (1)cos π12 ； (2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)sin(x －40°)． 知识点二 给值求值 例2 设cos ????α－β2＝－19，sin ????α2－β＝23，其中α∈????π2，π，β∈????0，π2，求cos α＋β2 . 回顾归纳 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．例如： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12 [(β＋α)－(β－α)]等． 变式训练2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129 ，求cos β的值． 知识点三 给值求角型 例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114 ，且α、β∈????0，π2，求β的值．
《两角差的余弦公式》教学设计 教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4 课题：3.1.1 两角差的余弦公式 课时：1课时 一、教学内容分析 三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维. 因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式. 二、教学目标 1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算； 2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性. 三、学生学情分析 学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础. 教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.
2019-2020年高中数学《3.1.1两角差的余弦公式》教案新人教A版必 修4 一、课标要求： 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用. 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用. 二、编写意图与特色 1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受； 2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式； 3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识； 4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议 本章教学时间约8课时，具体分配如下： 3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时 3.2简单的恒等变换约3课时 复习约2课时 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、课标要求： 本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、编写意图与特色
人教A版必修四《两角差的余弦公式》教案及 教学反思 一、教学目标 1.掌握余弦定理的两角差公式； 2.能够通过两角差公式解决相关问题； 3.培养学生运用数学方法解决实际问题的能力； 4.培养学生基本的计算技能和思维能力。 二、教学重点难点 教学重点：掌握余弦定理的两角差公式。 教学难点：能够通过两角差公式解决相关问题。 三、教学过程 1. 导入 教师通过学生已经掌握的知识，引出余弦定理的推导过程，激发学生的学习兴趣。 2. 讲解 通过解释“两角差的余弦公式”的概念和应用，让学生了 解余弦定理的两角差公式的基本形式和运用方法。 3. 练习 通过讲解例题，带领学生一步一步地掌握余弦定理的两角 差公式，培养学生对于公式的理解和灵活运用能力。 例如，教师可以通过如下例题的讲解来帮助学生掌握两角 差公式：
已知$\\tan A =\\frac{1}{3}$，$\\tan B =\\frac{1}{2}$，且$A−B=\\frac{π}{4}$，求$\\sin A$。 解析： 设$A=\\alpha+B$，则$\\alpha=\\frac{π}{4}+B$。 由$\\tan A =\\frac{1}{3}$和$\\tan B =\\frac{1}{2}$得$\\frac{\\tan A}{\\tan B}=\\frac{2}{3}$。 又因为$\\tan(\\alpha+B)=\\frac{\\tan \\alpha+\\tan B}{1- \\tan \\alpha \\tan B}=\\frac{\\frac{1}{3}+\\frac{1}{2}}{1- \\frac{1}{6}}=1$，所以$\\alpha+B=kπ+\\frac{π}{4}$，其中k为整数。 又因为$0 教学设计 教学案一体化高一数学教学案 学情分析 本节课的主要内容就是“推导两角差的余弦公式”，用到的方法有 三角函数线和向量法。都属于必修4刚刚学过的基础知识，内容简单，容易理解和接受，这是学习本节课的有利因素。 但是，使用向量法来推导公式虽然简单，而向量夹角范围是[0,]π，这与两角差αβ -的范围并不一致，还要分类计论。分类讨论是学生的弱项，客观上也成为学习本节的不利因素，也成为本节课的一个难点。 效果分析： 两角差的余弦公式，有多种证明方法，在教材改革过程中也经历过不同的偿试。这是因为在教学过程中，教法和学法的选择往往是上位的，它直接决定了问题处理起来的难易程度。 本节课采用的“向量数量积”的方式，是较简单的一种方式，而难点也由此产生，要根据向量夹角的范围来进行分类讨论，为了降低难点，引导学生采用“从特殊到一般”的处理方式，而没有上来就分类讨论，化解了难点。 另外，教材中还介绍了从三角函数线的角度进行证明的一种思路，根据实际情况，作为课外探究内容，同时也丰富了作业的层次性，调动了学生积极性，满足不同层次的学生。 教材分析 本节课是高中数学必修4（人教A版）第三章3.1.1两角差的余弦公式的内容，教学安排是1课时。 在学习本章之前学生已经学习了任意角的三角函数和诱导公式等知识，并学习了向量的相关知识，因此我准备优先选择运用向量的知识推导和证明两角差的余弦公式，降低新课难度，使学生容易接受。 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式，因此本节内容对于后续内容三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。 第三章 三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1 两角差的余弦公式 1．cos72°·cos12°＋sin72°·sin12°的值是( )． A.1 2 B ．22 C.3 2 D ．1 2．cos 5π24·cos π24＋sin 5π24·sin π 24的值为( )． A.1 2 B ． 22 C.32 D ．1 3．满足cos αcos β＝ 3 2 －sin αsin β的一组α，β的值是( )． A ．α＝13π12，β＝3π4 人教A版必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角差的余弦公式》第一课时新授课 §3.1.1两角差的余弦公式 黄石四中陈伟 一、教材分析 （一）地位与作用 《普通高中课程标准实验教科书数学4必修本（A版）第三章《三角恒等变换》处于三角函数与代数变换这两个不同知识板块的交汇点，它既是对已学知识的巩固，又是进一步深入应用. 两角差的余弦公式是本章的第一课时，高考中一般以中、低档题的形式呈现.它是本章公式体系推导过程的基础与核心，处于一个承上启下的关键位置，是本章的重要内容. （二）内容处理 课本上采取的是迂回导入以退为进的方法导入差角公式.它先得出锐角的两角差的计算公式，再通过探求其任意性的证明，从公式的结构上对比联想到向量的数量积,进而推导出两角差的余弦公式.这种方法对学生能力的要求比较高，而且之前的锐角的两角差的公式的推出就比较复杂，有一定的难度，如何探求一种学生容易接受的方法呢？ 根据新课改的调整，学生在此前刚学习了任意角的三角函数值的求法，联系已学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的.于是通过对三角函数值的求法的联想，数形结合构造两角差余弦的几何意义，再借助单位圆利用向量的数量积，由特殊到一般推导出两角差的余弦公式.这样既是对任意角的三角函数值的求法的复习巩固，更水到渠成地完成本节课的探究任务，学生比较容易接受.（三）重点难点 教学重点:两角差的余弦公式的推导.如何突出重点呢？ 通过自主探究、合作讨论，让学生自己推导出公式.经历猜想、质疑、纠错的过程激发欲望；经历联想、探索、反思的过程完成推导，进而体验探究的乐趣，突出重点. 教学难点：如何引导学生用向量法来推导出两角差的余弦公式.怎样突破呢？ 先追根溯源回忆基本方法，再引导提出关键问题并运用逐步渗透的方法将难点分解，采用从特殊到一般的思维方式、组织有效的探究活动将难点突破. 二、学情分析： 认知上已完成了任意角三角函数、诱导公式和向量等内容的学习，这为本节课的学习建立了良好的知识基础. 能力方面，本课时面对的学生是高一年级的学生，他们经过半个 《两角差的余弦公式》教学设计 一、教材内容分析 本节课是人教A版必修4中第三章（三角恒等变换）的第一节内容，起到了承前启后的作用。一方面它是前面三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材；另一方面又为后续的两角和差的正弦、正切，倍角公式等提供研究的平台。 明确公式的本质就是体现了圆的对称性是本节课的基点，而公式的发现和证明是本节课的重点。在学习三角函数及平面向量后再学本节知识，更符合知识的产生规律和认知规律。 二、学情分析 教学对象是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展时期。学生对探索未知世界有主动性，对新知识充满渴求，具有一定的观察、分析问题的能力和抽象概括能力，这是积极地一面。但是，另一方面由于年龄原因，思维尽管活跃，却缺乏冷静、深刻与辨证，从而导致思维的片面、不够严谨。 在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。 三、教学分析 本节课是数学公式的教学。要遵循公式教学的规律：一是让学生了解公式的由来,掌握公式的推导和证明；二是让学生认识公式的特征,便于识记；三是让学生灵活运用公式解题。 四、教学目标 1、知识技能 通过两角差的余弦公式的探究，理解单角与复角的三角函数之间的内在联系；让学生在理解公式结构的基础上识记公式，并通过题目的训练加深对公式的理解；以此来培养学生的运算能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。 2、过程与方法 利用公式的推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法，在公式的灵活运用过程中进一步培养学生化归思想、分类讨论思想、数形结合思想。 3、情感态度与价值观 通过学习使学生体验成功探索新知的乐趣，认识事物的联系与转化，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中体会数学的严谨，形成理性思维。 五、教学重难点 重点：探究得出两角差的余弦公式；公式的灵活运用。 难点：探究过程的组织和引导。 六、教学过程 1、设置问题情境、引入新课 问题（1）：前面我们曾学习过许多三角函数诱导公式，你能写出一些与大家分享吗 问题（2）：通过这些诱导公式你能提出一些新问题吗 你有哪些初步的判断 对于问题（1）要求学生写的越多越好；通过问题（1）分享为问题（2）思考做好铺垫。 通过对三角函数诱导公式的举例，引导学生对诱导公式进行观察、比较、分析，初步判断两角和与差的正余弦函数sin(α±β),cos(α±β)与两个角的正弦sinα,sinβ和余弦cosα,cosβ都有关系。 设计意图： （1）通过对诱导公式共性的归纳，给两角和与差的三角函数公式提供猜想的指向，即两角和与差的正余弦与两角的正余弦皆有关系（但不是简单的“分配律”的关系）； （2）从诱导公式出发，在学生思维的“最近发展区”内提出问题，启发学生从特殊到一般，思考两角和与差的三角函数问题，有利于学生展开创造性思维，得出有关猜想。 课题：两角差的余弦公式 教材：人教A版数学必修4 一、教学目标： 1.探究并纠正常犯的直觉性错误； 2.探究并理解用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式； 3.探究并理解用向量的数量积推导两角差的余弦公式； 4.掌握两角差的余弦公式的初步运用. 二、教学重难点： 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角差的余弦公式 难点：两角差的余弦公式的探索与证明 三、教学方法与手段： 1.在教学中可以利用多媒体动态演示“用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式”以及“用向量的数量积推导两角差的余弦公式”的过程，结合课件配合教学。 2.利用课件中的单位圆及线段、角度等，可以清晰的演示出公式的探索过程。 () 五、课后练习 1．利用两角差的余弦公式，求︒75cos 设计意图：题型同例1，评价学生是否正确记忆并使用公式。 2．化简求值： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ ︒+︒15sin 2 315cos 212）（ 设计意图：评价学生能否掌握公式的逆用，从反方向上正确运用公式化简求值。第（2）小题 需要根据公式右边的特点，先分别将2 3 21、化成同角的余、正弦。 3．已知23 sin ,cos ,,34 αβαβ==-在第二象限，求cos()αβ- 设计意图：题型同例2，评价学生是否正确掌握并运用公式。学生需要思考使用公式前应作出的必要准备，结合同角三角函数的知识进行计算。 4．11 ,(0,),tan )214 παβααβ∈=+=-，求cos β 设计意图：通过本题评价学生对差角公式掌握情况，以及灵活运用情况，难度较大。考察学 《两角差的余弦公式》教案 （人教A版高中课标教材数学必修4第三章第3.1.1节） 一、教学目标： 1.知识与技能 ①.掌握运用单位圆中的三角函数线和向量的方法推导两角差的余弦公式. ②.掌握公式的结构和特点，能够简单运用公式. 2.过程与方法 ①.在公式探究过程中体会从特殊到一般，数形结合、分类讨论等多种数学思想. ②.通过公式的探究、灵活运用，培养学生分析问题、解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观 ①.通过公式的推导论证过程，培养学生学习数学的严谨、求实的科学态度. ②.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神. 二、学情分析 在学习本节课之前，学生刚刚学习了同角三角函数的公式与变换及平面向量的知识，对用举反例推翻猜想、运用单位圆和三角函数线、用向量知识解决三角问题已经有了一定的基础，但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明的水平. 三、教学重难点 重点：两角差的余弦公式的推导过程及简单应用 难点：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导。 三、教学与学法 教法：情境引入法问题导学法讲授法讨论法 学法：小组合作探究法 四、教具 多媒体课件直尺圆规粉笔 五、教学课时 1课时 六、教学过程 1.创设情境，导入新课 [引例]清明节前后到界首裕民桥游玩，小外甥问了一个问题“七七抗日纪念碑有多高？”.从而进行了一个实地测量得到了一组数据： 如图，在Rt ∆ACD 中，C 为直角，B 是CD 上一点，∠DAB =450，BC =3，AB =5，求CD 的长. 问1：同学们愿意帮我解决这个问题吗？ 学生甲：在Rt ∆ABC 中，AC =4 在Rt ∆ACD 中，AC CD =+)45tan(0α 所以 )45tan(0α+⋅=AC CD )45tan(40α+= 问2：怎么计算)45tan(0α+呢？你以前学过这种公式吗？ 引入课题：两角差的余弦公式 2.探索公式，建构新知 (1)课前准备： ①三角函数的定义（利用单位圆下的定义） ②三角函数线：正弦线 余弦线 (2)问3：如何用角α、β的正弦、余弦值来表示)cos( βα-呢？ 猜想：βαβαcos cos )cos( -=-成立吗？请同学们动手实践 建议：单位圆是解决三角函数的一种方法，我们可不可以借助单位圆来研究这个 问题呢？ (3)小组合作完成：讨论最简单的情况：βα、为锐角，且βα>，作出单位圆后， 带着问题交流合作，动手实践： ①怎样作出角α、β、βα-？ ②怎样作出角βα-的余弦线？ ③角α、β的正弦值、余弦值如何在图中表示出来？ ④得到余弦线后，它等于哪些线段的和？ 35 A C B D 两角和与差的余弦 教学目标 经历两角和与差余弦公式的推导过程，体会探究数学问题时猜想与证明的数学思想和方法。大胆的猜想和严谨的证明相结合，培养学生从已知知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。从公式的正用，逆用以及变形用三个层面去引导学生掌握两角和与差的余弦公式。 教学重难点 重点：两角和与差的余弦公式的推导及公式的运用； 难点：两角和与差的余弦公式的推导过程 教材分析 两角和与差的余弦位于人教版必修四第三章第一节，教材分别利用三角函数线和向量 αβαβ为锐角的情方法对两角差的余弦公式进行了推导。其中，利用三角函数线仅对,,- αβ为任意角时教材指出公式的推导是复杂的，并没有给出推导过程。况进行了推导，而, 利用向量方法推导两角差的余弦公式简洁明了，充分的体现出了向量的工具性作用。所以这也是教材在编排上的一个考虑：在学生学完第一章任意角的三角函数后没能直接学习第三章三角恒等变换，而是先学习第二章平面向量。然而为了更好的构建学生的知识体系，在学生学习完第一章后，能够直接进入第三章的学习，就必须给出另外一种推导两角和与差的余弦公式的方法。因为该公式是全部和、差角公式，以及倍角、半角等公式的基础，是本章公式推导的“源”。所以两角和与差的余弦公式不仅起着承上启下的核心作用，也是高考的重点考点。 学情分析 数学是严谨的，从猜想开始证明一个数学公式，学生在情感上是不容易接受的。然而，猜想与证明却是发现数学问题的主要思想方法之一。所以培养学生对数学问题的猜想能力是有必要的。学生主要的困难表现在：不敢猜，怕出错。而不会猜，主要是缺乏数学意识。 教学设计 一、提出问题，引入课题 《3.1.1两角差的余弦公式》教案 玉林高中数学科授课人：饶蔼 一. 教材分析 本节课选自人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节课“3.1.1两角差的余弦公式”。变换是数学的重要工具，而三角恒等变换处于三角函数知识与数学变换的结合点和交汇点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。两角差的余弦公式是“三角恒等变换”这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点。 教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。教材里面没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行，从简单情况入手得出结果，有利于学生学会探究和思维的发展. 由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析问题，寻找解决问题的思路. 二. 教学目标 1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过 公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础. 2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、 合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值. 3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来 源于生活，激发学生的学习积极性. 三．教学重、难点 1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用. 2. 难点：探究过程的组织和适当引导. 四．学情分析 学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. . 第三章三角恒等变换 本章教材剖析 本章知识框图 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式, 以及运用这些公式进行简 单的恒等变换 . 变换是数学的重要工具 , 也是数学学习的主要对象之一. 在本册第一章 , 学生接触了同角三角函数公式. 在本章 , 学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式, 由此出发导出其余的三角变换公式 , 并运用这些公式进行简单的三角恒等变换. 三角恒等变换位于三角 函数与数学变换的联合点上. 经过本章学习 , 使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法 的过程中 , 发展推理能力和运算能力 , 并领会三角恒等变换的工具性作用, 学会它们在数学中的一些应用 . 本章内容安排按两条线进行, 一条明线是成立公式 , 学习变换 ; 一条暗线就是发展推理能 力和运算能力 , 并且发展能力的要求不只是表达在学习变换过程之中, 也表达在成立公式的 过程之中 . 所以在本章教课中, 教师要特别注意恰时恰点地提出问题, 指引学生用对照、联系、化归的看法去剖析、办理问题 , 使学生能依照三角函数式的特色, 渐渐明确三角函数恒等变换 不单包含式子的结构形式变换, 还包含式子中角的变换 , 以及不一样三角函数之间的变换, 增强运用数学思想方法指导设计变换思路的意识. 突出数学思想方法的教课, 在类比、推行、特别化等一般逻辑思虑方法长进行指引, 本章不单关注使学生获得和 ( 差) 角公式 , 并且还特别关注公式推导过程中表达的数学思想方法. 比如 , 在两角差的余弦公式这一要点性问题的解决中表达了数形联合思想以及向量方法的应 用; 从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 二倍角的正弦、余弦、正切公式 , 在这个过程中, 一直指引学生领会化归思想; 在应用公式进行恒等变换的过程中, 渗透了察看、类比、推行、特别化、化归等思想方法, 特别是充散发挥了“察看〞“思虑〞“探 究〞等栏目的作用, 对学生解决问题的一般思路进行指引, 这对学生养成科学的数学思虑习 惯能起到踊跃的促使作用. 此外 , 还在适合的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的 总结 . 比如 , 在旁白中有“倍是描绘两个数目之间关系的,2 α是α 的二倍,4α 是2α 的二倍, 这里包含着换元的思想〞等, 都是为了增强思想方法而设置的. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考察的“要点〞和“热 点〞 , 在高考取据有重要的地位, 主要考察对这十一个公式的正用、逆用、变形用, 考察对公 式的娴熟掌握程度和灵巧运用能力, 其考察难度属低档, 这就要求我们不要过分指引学生去 发掘一些特别的变化技巧, 应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上. 教师在教课中, 要注意控制好难度. 因为近几年的高考取对三角部分的考察难度降低, 但教材中部分习题却有必定难度, 所以教师要掌握好难度. 本章教课时间约需8 课时 , 详细分派以下 ( 仅供参照 ): 节次标题课时 两角差的余弦公式 1 课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2 课时 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 内容要求 1.了解两角差的余弦公式的推导过程，理解用向量法导出公式的主要步骤(难点).2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算(重点)． 知识点 两角差的余弦公式 【预习评价】 (1)cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°的值为( ) A ．12 B ．－12 C ． 32 D ．－32 解析 原式＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝32 ． 答案 C (2)已知α是锐角，sin α＝23，则cos(π 3－α)＝________． 解析 因为α是锐角，sin α＝23，所以cos α＝5 3 ， 所以cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12×53＋32×23＝5＋23 6． 答案 5＋23 6 题型一 两角差的余弦公式的正用和逆用 【例1】 (1)cos(－15°)的值是( ) A ． 6－2 2 B ． 6＋2 2 C ．6－24 D ．6＋24 (2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________． (3)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8° ＝________． 解析 (1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×2 2＝ 6＋2 4 ． (2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝1 2． (3)原式＝ － －sin 15°sin 8° cos 8° ＝ cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8° cos 8° ＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝6＋24． 答案 (1)D (2)12 (3)6＋24 规律方法 运用两角差的余弦公式求值的注意点 (1)要深刻理解所用公式的特征、恰当地套用公式， (2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值． 【训练1】 求下列三角函数式的值： (1)sin π 12；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°． 解 (1)原式＝cos(π2－π12)＝cos 5π12＝cos[π4－(－π 6 )] 2019-2020年高中数学3.1.1两角差的余弦公式教学设计新人教A 版必修 4 一、教学目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。 2、能力目标 通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 二、教学重点、难点 重点：通过探索得到两角差的余弦公式。 难点：探索过程的组织和适当引导。 三、教学过程 (一) 问题引入 （1） 任意角的三角函数的定义？ （2） 若角与的终边与单位圆的交点分别是A ，B ， 则_____,______.OA OB == ______________.OA OB ⋅= (二) 公式探究 第一步，明确探究途径与目的 提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。 如右图，在单位圆中作出角，它们的终边与单位圆分 别交于A 、B 两点，先假设，且，提出以下问题： （3） 此时的取值范围是多少？ （4） 图中哪个角可以表示？ （5） 可以看作是哪两个向量的夹角？ （问题设计目的：在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位。首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣。） 第二步，复习相关知识 （1）向量的数量积运算（强调向量夹角的范围） ),(),,(2211y x OB y x OA == 1212cos ,OA OB OA OB OA OB x x y y ⋅==+ （2）三角函数线（结合图形，特别要强调方向问题） 第三步，推导公式 在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A 、点B 的坐标。 证明：在平面直角坐标系XOY 内作单位圆O ，以OX 为 始边作角，其中，且，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则 )sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα== 由向量数量积的坐标表示，有： (cos ,sin )(cos ,sin )cos cos sin sin OA OB ααββαβαβ⋅=⋅=+ 由，且知，那么向量的夹角就是，由数量积的定义，有 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=- 于是 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- （1） 由于我们前面的推导均是在，且的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。事实上，只要，所表示的就是向量的夹角。（这一点可以结合图形作出说明。） 但是，若，（1）式是否依然成立呢？ 当时，设与的夹角为，则 cos cos OA OB OA OB θθ⋅==βαβαsin sin cos cos += 另一方面，， 于是所以 也有 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 综上所述，得出公式： 对任意的高中数学_3.1.1.两角差的余弦公式教学设计学情分析教材分析课后反思
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