高中数学 新人教A版必修4导学案全套

任

意

角

高中数学

1.1.1任意角导学案新人教A版必修4

一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。

二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点

三、知识链接：

1.初中是如何定义角的？

2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？

四、学习过程:

（一）阅读课本1-3页解决下列问题。

问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。

问题2、

问题3、象限角与象限界角

为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。

问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角：

（1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o

问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o

角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α

与整数个周角的和。

例1. 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：

（１）︒480； （２）︒-760； （３）03932'︒.

变式练习 1、 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：

(1)420 º (2)—54 º18′ （3）395º 8 ′ (4)—1190º 30′

2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720

o

β≤＜360o 的元素

写出来：

（1）1303o 18， （2）--225o

问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合

变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360

≤β＜720o 元素β写出来。

当堂检测：

1、以原点为角的顶点，x 轴正方向为角的始边，终边在坐标轴上的角等于（ ） （A ）00

、900

或2700

（B ）k ⋅3600

（k ∈Z ） （C ）k ⋅1800

（k ∈Z ） （D ）k ⋅900

（k ∈Z ） 2、如果x 是第一象内的角，那么（ ） （A ）x 一定是正角

（B ）x 一定是锐角

（C ）-3600

或00

（D ）x ∈{x ∣k ⋅3600

+900

k ∈Z } 3、设A={θ∣θ为正锐角}，B={θ∣θ为小于900

的角}， C={θ∣θ为第一象限的角} D={θ∣θ为小于900

的正角}。则下列等式中成立的是（ ） （A ）A=B （B ）B=C （C ）A=C （D ）A=D

4、在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系为（ ）

（A ）β=α+900

（B ）β=α±900

（C ）β=α+900

+k ·3600

（D ）β=α±900

+ k ·3600

k ∈Z 5、设α是第二象限角，则

2

α

是 象限角。 6、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 . 7、如果2

x

是第三象限角，则x 在第 象限和 半轴。

8、若α为锐角，则180°＋α在第__________象限，－α在第______________象限.

9、写出与370°23′终边相同角的集合S ,并把S 中在-720°～360°间的角写出来.

10、钟表经过4小时，时针与分针各转了 度

课堂小结：1、任意角的概念与分类。

2、象限角的概念及第一，二，三，四象限角的表示。

3、终边相同角的集合表示。

高中数学 1.1.2弧度制教学案 新人教A 版必修4

一、学习目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式||l

r

α=

（l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 二、重点、难点

弧度与角度之间的换算；

弧长公式、扇形面积公式的应用。 三教学过程

(一)复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o

角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？ (二)为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。

<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、

2

r

的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？ 由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是：

，α的正负由 决定。 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。 <说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角

的度量。

例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r

παπ-=-=-=-． (三)角度与弧度的换算

3602π=o rad 180π=o rad

1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(

π

5718'≈o

例1、把下列各角从度化为弧度：

(1)0

252 （2）0

/

1115

变式练习 把下列各角从度化为弧度：

(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º (4) 0

30 (5)'3067︒

归纳：把角从弧度化为度的方法是：

把角从度化为弧度的方法是：

<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整

30° 90° 120° 150°

270°

4π

3

π

4

3π

π

π2

(四)在弧度制下分别表示轴线角、象限角的集合

（1）终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为 ；

x 轴的非正半轴的角的集合为 ；

终边落在y 轴的非负半轴的角的集合为 ；

y 轴的非正半轴的角的集合为 ；

所以，终边落在x 轴上的角的集合为 ；

落在y 轴上的角的集合为 。

（2）第一象限角的集合为 ；

第二象限角的集合为 ；

第三象限角的集合为 ；

第四象限角的集合为 ．

(五)弧度是一个量,弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就

建立了一个一一对应关系.

(六)弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：

||l r α=⋅

因为||l r

α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅． 扇形面积公式：．

说明：以上公式中的α必须为弧度

单位．

例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。

变式练习 若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积

是 ．

正角 零角 负角

正实数 零 负实数

(2) ;R 21(1)S 2

α=2

(1) 1(2) 21(3) 2l R

S R

S lR αα===

B

（九）当堂检测

1、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。

2、半径变为原来的

1

2

，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。 3、在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。

4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦AB 3，AB 所对的圆心角α

的弧度数为 ．

5、直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45o

，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？

6、选做题 如图，扇形OAB 的面积是2

4cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。

高中数学 1.2.1任意角的三角函数(1)教学案 新人教A 版必修4

学习目标

1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.

2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题. 重点难点

教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。.

教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号。 教学过程

（一）提出问题

问题1:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题2:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?

问题3:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?

问题4:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?

（二）新课导学 1、单位圆的概念：

.在直角坐标系中,我们称以 为圆心,以 为半径的圆为单位圆.

2、三角函数的概念

我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.

如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r=

22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线

段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sin α=OP MP =r b ,cos α=OP OM =r a ,tan α=OP MP =a

b

.

如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:

(1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;

(3)

x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x

y

(x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数

值的函数,我们将它们统称为三角函数.

注意:(1)正弦、余弦、正切、都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.

(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.

（3）由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的

位置的改变而改变.

3、例1：已知角α的终边与单位圆的交点是 求角α的正弦、余弦和正切值。

练习1：已知角α的终边经过点 ，求角α正弦、余弦和正切值。

例2 求 的正弦、余弦和正切值.

练习2：用三角函数的定义求 的三个三角函数值

4、定义推广：

3

5π

)22

,22(-P 6

7π

)23,21(-P

设角α是一个任意角，P （x,y ）是其终边上的任意一点， 点P 与原点的距离022>+=

y x r

4、 探究 .三角函数的定义域 三角函数 定义域

5、例题讲解 例3

已知角α的终边经过点P 0(-3,-4)，求角α的正弦、余弦和正切值 .

练习3. 已知角θ的终边过点P(-12,5) ,求θ的正弦、余弦和正切三个三角函数值.

5、探究三角函数值在各象限的符号

r y

r

y =αsin r

x r x

=

αcos x

y

()0tan ≠=x x y α③ 叫做α的正切，即 那么① 叫做α的正弦，即 ② 叫做α的余弦，即 α

sin α

cos α

tan

6、例题讲解

例4、 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.反之也对。⎩

⎨⎧><.0tan ,

0sin θθ

变式训练

（ ） ） （ ） ）

（ ） ） （ ） ）

x

y

o αtan （ ）

）

+

（ ） ） （ ）

） x y

o αsin （ ） （ ）

（ ） （ ）

x y o α

cos

（1、） (2007北京高考)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( )

A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角

D.第一或第四象限角

（2、）教材第15页第6题

（三）课堂小结知识

能力

高中数学 1.2.1任意角的三角函数（2）教学案新人教A版必修4

学习目标

1.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.

2.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出

来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

重点难点

教学重点终边相同的角的同一三角函数值相等

教学难点利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.

教学过程

（一）复习提问

1、三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念。（两个定义）

2、三角函数（正弦，余弦，正切函数）的定义域。

3、三角函数（正弦，余弦，正切函数）值在各象限的符号。

角α30º45º60°120°135°150°

角α的弧

度数

sinα

cosα

tanα

角α0°90°180°270°360°

角α的弧度

数

sinα

cosα

tanα

（二）新知探究

1、问题 ：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？

2、求下列三角函数值 (1)sin420°; (2) sin60°

3、结论 由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.

sin(α+k·2π)=sinα,

cos(

α+k·2π)=cos α, tan(α+k·2π)=tanα,

其中k ∈Z .

（作用）利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到

360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”.

4.例题讲解

例1、确定下列三角函数值的符号：（1）sin(-392°) (2)tan(-6

11π

)

练习(1)、确定下列三角函数值的符号： （1）tan(-672°) (2)sin1480°10¹ (3)cos

4

9π

例2、求下列三角函数值 (1)sin390°; (2)cos 6

13π

; (3)tan(-690°).

练习(2)、求下列三角函数值 (1)sin420°; (2)cos

6

25π

; (3)tan(-330°).

5、由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.

三角函数线（定义）：

（1） （2） （3） （4）

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点P (,)x y 。

过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α=

===， cos 1x x

x OM r α====， tan y MP AT

AT x OM OA

α====．

我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明：

①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在

x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向

垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向

的为负值。

④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

6、典型例题

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）3

π

； （2）56π；

o x y M T

P

A x y o M T P A x y o M T

P A o x y M T P A

练习1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）23π-

； （2）136

π-．

7、课下探究 （1） 利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1︒ 32sin π与54sin π 2︒ tan 32π与tan 5

4π

（三）课堂小结、

本节课你学了哪些知识？有哪些收获？你已经正确理解、掌握它们了吗？

高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系教案 新人教A 版必修4

【教学目标】

1、 掌握同角三角函数的基本关系式.

2、 能用同角三角函数的基本关系式化简或证明三角函数的恒等式

【教学重点】

三角函数式的化简或证明

【教学难点】

同角三角函数基本关系式的变用、活用、倒用

【教学过程】 （一）知识回顾

1．若角α在第三象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线． 2．在角α的终边上取一点P （3，4），请分别写出角α的正弦、余弦和正切值．并计算sin

2

α+cos 2α和

α

α

cos sin 的值。 3．请分别计算下列各式：

（1）2

2

(cos30)(sin 30)_______.︒+︒= （2）22

(sin 30)(cos60)______.︒+︒=

（3）tan 60_______.︒=

（4）

sin 60______.cos60︒

=︒

（二）新知学习

由上可知：同角三角函数的基本关系式及公式成立的条件：

① 平方关系：（语言表述）

（式子表述）

② 商数关系：（语言表述）

（式子表述）

<思考> 对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值？ （三） 应用示例 例1 已知sinα=5

4

,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.

变式练习 已知cos α=5

4

-,且α为第三象限角，求sin α,tan α的值。

例2 已知cosα=17

8

-,求sinα,tanα的值.

变式练习 已知sin α=5

3

-,求cosα,tanα的值.

例3、求证:

.cos sin 1sin 1cos x

x

x x +=-

变式练习 求证：

例4、化简（1）ο100sin 12- （2）οο10cos 10sin 21- （3）(1+tan 2

α)cos 2

α;

αααα2244cos sin cos sin )1(-=-1

cos cos sin sin )2(2

224=++αααα

变式练习化简（1）

2

1sin440

-o．（2）12sin40cos40

-o o（3）

α

α

2

2

2

-

1

1

-

2

sin

cos

、

要注意sina+cosa,sinacosa,sina-cosa 三个量之间有联系： (sina+cosa)2 = 1+2sinacosa; (sina —cosa)2= 1—2sinacosa 知“一”求“二”

（四）课外探究

（五）归纳小结

θθθθθθθθπθθθsin cos 4cos sin 3cos sin 2cos sin 1021cos sin .64433-++⋅∈=+）（）（）（）（），求值：，（，已知例.012k 6x 3cos sin 2的值求实数的两根，是方程、已知k k x =+++αα

高中数学 1.3三角函数的诱导公式(1)教学案 新人教A 版必修4

学习目标：

1、利用单位圆探究得到诱导公式二，三，四，并且概括得到诱导公式的特点。

2、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。

3、能初步运用诱导公式进行求值与化简。 教学重点：

诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。

教学难点：

诱导公式的灵活应用 教学过程： 一、复习引入：

1、诱导公式一:（角度制表示）

（ ）

（弧度制表示） （ ）

2、诱导公式（一）的作用： 其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。 二、讲解新课：

由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ， c os α=x, s in(180º+α)=-y, cos(180º+α)=-x, 所以 :sin(180º+α)=-sin α，cos(180º+α)=-cos α 诱导公式二： 用弧度制可表示如下：

类比公式二的得来，得：

诱导公式三：

(1)已知角 的某一三角函数值,求它的其它三角函数值; (2)公式的变形、化简、恒等式的证明.

α

α α + 180

x y P(x,y) P 0(-x,-y)

M M O (4-5-1)

α

α

- x y P(x,y) M

O

高中数学《任意角》导学案4 新人教A版必修4

§1.1.1 任意角 学习目标 1．理解任意大小的角、正角、负角和零角概念； 2．掌握终边相同的角的表示； 3．了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P2～P6，找出疑惑之处） 复习1：回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？ 角可以看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到 终止位置OB，就形成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的， OB叫，射线的端点O叫做叫α的顶点． 初中所研究的角的范围为． 复习2：举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720°”（即转体周），“转体108°”（即转体周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（时针旋转度）如果慢了 5 分钟，又该如何校正？（时针旋转度） ③又如：自行车车轮；螺丝扳手；． 二、新课导学 ※学习探究 探究任务一：角的概念 问题：上面的实例中，已经形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围．如何重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法呢？ 新知：按逆时针方向旋转所形成的角叫角，按顺时针方向旋转所形成的角叫角，未作任何旋转所形成的角叫角． 试试：图 2 中的角a是正角，为；图3中的角β、γ是正角，分别为、． 再试试画出－45 °及405°．A B O α 图2 图3

反思：角的概念推广到了，包括任意大小的角、角和角． 探究任务二：坐标系中讨论角 问题：如何将角放入坐标系中讨论？ 角的顶点与重合，角的与x轴的非负半轴重合． 新知：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 试试：在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别它们分别在第、、象限． 反思：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？ 探究任务三：终边相同的角 问题：与60°终边相同的角有、、、…都可以用代数式表示为． 与α终边相同的角如何表示？ 新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合为：． 试试：与390°终边相同的角可表示为，也可以表示为． 反思：给定顶点、终边、始边的角有个. 终边相同的角相等；但相等的角，终边相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍． ※典型例题 例1 在0°～360°间，找出下列终边相同角： （1）－150°；（2）1040°；（3）－940° 变式：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角． （1）120°；（2）－270°；（3）1020°

新人教A版必修4高中数学2.3.1 平面向量基本定理学案

高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案 新人教A版必修4 【学习目标】1知识与技能 (1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解 决简单问题； (2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。 2过程与方法 (1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的 思维方法； (2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。3情感.态度与价值观 （1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识； （2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。 【重点难点】 重点：平面向量基本定理的应用 难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。 【学习内容】 一【知识链接】 1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？

2．怎样理解向量的数乘运算λa ？ （1）模：|λ a |=|λ ||a |； （2）方向：λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0 3. 向量共线定理 ：向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二【新课导入】 情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究（一）：平面向量的基本定理 探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e . 探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、 2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如 λ11e +λ22e 的向量表示呢? 【定理解读】 1 、1e 、2e 必须是

人教版--高一数学必修4全套导学案

目录 第一章 三角函数 1。1。1 任意角 ..........................................................................................1 1。1。2 弧度角 ..........................................................................................5 1。2.1 任意角的三角函数(1） ........................................................................8 1。2。1 任意角的三角函数(2） ........................................................................12 1。2.2 同角三角函数的关系(1） .....................................................................15 1。2.2 同角三角函数的关系（2） .....................................................................17 1。2.3 三角函数的诱导公式(1） .....................................................................19 1.2.3 三角函数的诱导公式(2） .....................................................................22 1。2.3 三角函数的诱导公式(3) .....................................................................25 1。3。1 三角函数的周期性 ...........................................................................27 1。3。2 三角函数的图象和性质(1) ..................................................................30 1.3。2 三角函数的图象和性质（2） (33) 1.3.2 三角函数的图象和性质(3) ..................................................................36 1.3。3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（1) ......................................................38 1。3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象(2) ......................................................41 1.3.4 三角函数的应用.................................................................................44 三角函数复习与小结 (46) 第二章 平面的向量 2。1 向量的概念及表示..............................................................................49 2。2。1 向量的加法.......................................................................................52 2.2.2 向量的减法.......................................................................................55 2。2.3 向量的数乘（1) .................................................................................58 2.2.3 向量的数乘(2) .................................................................................62 2。3。1 平面向量的基本定理 ........................................................................65 2.3。2 向量的坐标表示(1） ........................................................................68 2。3.2 向量的坐标表示（2） (70) 2。4。1 向量的数量积(1） (72) 2。4。1 向量的数量积（2) (75) 第三章 三角恒等变换 3.1。1 两角和与差的余弦公式 .....................................................................77 3。1。2 两角和与差的正弦公式 (81)

高中数学 新人教A版必修4导学案全套

任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o

问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）︒480； （２）︒-760； （３）03932'︒. 变式练习 1、 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 º (2)—54 º18′ （3）395º 8 ′ (4)—1190º 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。

2014-2015学年高中数学人教A版必修四平面向量导学案

§2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案 【学习要求】 1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别． 2．会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量． 3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 【学法指导】 本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量、相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵. 【知识要点】 1．向量：既有 ，又有 的量叫做向量． 2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作____. 3．向量的有关概念： （1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 . （2）单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量． （3）相等向量： 且 的向量叫做相等向量． （4）平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作 . ②规定：零向量与 平行. 【问题探究】 探究点一 向量的概念和几何表示 （1）我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量． 例如，已知下列各量： ①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有 ，是向量的有 . 向量的模是非负数，可以比较大小，向量不能比较大小． （2）带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段来表示．有向 线段AB →的长度就是向量AB →的长度(简称模)，记作|AB →|；有向线段AB →箭头 表示向量AB →的方向．假设下图每个格子是边长为1 cm ，比例尺为1∶100，请求出下列各向量的模． |AB →|＝ ，|CD →|＝ ，|EF →|＝ ，|GH →|＝ ，|a |＝ . 探究点二 几个向量概念的理解 （1）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的． （2）单位向量：长度(或模)为1的向量叫做单位向量． （2）相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量．若向量a 与b 相等，记作a ＝b . 研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素．对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错． 例如：下列说法中正确的是________． ①3牛顿的力一定大于2牛顿的力；②长度相等的向量叫作相等向量； ③一个向量的相等向量有无数多个；④若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；⑤单位向量都大于零向量． 想一想，在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？ 探究点三 平行向量与共线向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a 、b 平行，通常记作a ∥b .规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a . a 、 b 、 c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c . 由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆． 练一练，如图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形， （1）写出与BC →相等的向量：________. （2）写出与BC →共线的向量：________. 想一想，向量平行具备传递性吗？ 【典型例题】 例1 判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC → ，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； （2）若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； （4）向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反 例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． （1）作出向量AB →、BC →、CD →；（2）求|AD →|. 跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. （1）试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ； （2）在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．

2020年高中数学人教A版必修4第1章 三角函数《任意角的三角函数一》 导学案(含答案解析)

1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x (x≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域

思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？ 梳理三角函数的定义域 知识点三 思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 知识点四诱导公式一 思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案

1.2.2.同角三角函数的基本关系 学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 2 30°＋cos 2 30°； (2)sin 2 45°＋cos 2 45°； (3)sin 2 90°＋cos 2 90°. 由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角α，有sin 2 α＋cos 2 α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝ x . ∴sin 2 α＋cos 2 α＝x 2 ＋y 2 ＝|OP |2 ＝1. 思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin α cos α . 梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1. ②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π 2，k ∈Z ). (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2 α＋cos 2 α＝1的变形公式 sin 2 α＝1－cos 2 α；cos 2 α＝1－sin 2 α. ②tan α＝sin α cos α 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin α tan α . 类型一.利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值

2020年高中数学人教A版 必修4 导学案《任意角》(含答案)

1．1.1 任意角 [新知初探] 1．任意角 (1)角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶 点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． (3)角的分类： 名称定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转形成的角 [点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． [点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [点睛] 对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－30°是第四象限角．( ) (2)钝角是第二象限的角．( ) (3)终边相同的角一定相等．( )

2．与45°角终边相同的角是( ) A．－45° B．225° C．395° D．－315° 3．下列说法正确的是( ) A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角 C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角 4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________． 任意角的概念 [典例] A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________． 终边相同角的表示 [典例] 写出与080°范围内与75°角终边相同的角．

高中数学人教A必修四第一章全章导学案

鸡西市第十九中学学案 如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点 成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的 的顶点.初中所研究的角的范围为. 【复习二】举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体 ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（小结：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？ 思考：与60°终边相同的角有、、…都可以用代数式表示为那么，与α终边相同的角如何表示？ 新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z

3.写出终边在直线y=－

鸡西市第十九中学学案

α终边所在的象限角α的集合 Ⅰ{α| <α< ，k∈Z} Ⅱ{α| <α< ，k∈Z} Ⅲ{α| <α< ，k∈Z} Ⅳ{α| <α< ，k∈Z} 2lR =

鸡西市第十九中学学案 问题2 如图，锐角任取一点P (a ，b )OP r === = ；OM = = . 问题3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于tan α＝ . 【单位圆定义任意角三角函数】设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点记作sin α，即sin α＝ 问题 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角请以角α为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的 小结：根据三角函数的定义可知，三角函数是一个和点P (x ，y )离原点的距离无关

三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． 判断下列各式的符号： cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan 若sin αcos α<0，则α是第________象限角． 代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．

【人教A版】2020高中数学必修四导学案：第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二_含答案

1.3 三角函数的诱导公式（二） 学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力. 知识点一 诱导公式五 完成下表，并由此总结角α，角π 2－α的三角函数值间的关系. (1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3； (2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π 4； (3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π 6. 由此可得 诱导公式五 知识点二 诱导公式六 思考 能否利用已有公式得出π 2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？ 答案 以－α代替公式五中的α得到 sin ? ????α＋π2＝cos(－α)， cos ? ????α＋π2＝sin(－α). 由此可得 诱导公式六

知识点三 诱导公式的推广与规律 1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(3 2π－α)＝－sin α， sin(32π＋α)＝－cos α，cos(3 2π＋α)＝sin α. 2.诱导公式记忆规律： 公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π 2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加 上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”. 六组诱导公式可以统一概括为“k ·π 2 ±α(k ∈Z )”的诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·π 2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性， 当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号. 类型一 利用诱导公式求值 例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ? ?? ??π2＋α的值. (2)已知cos ? ????π6－α＝13，求cos ? ????5π6＋α·sin ? ?? ??2π3－α的值. 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－1 2， ∴cos α＝1 2，又α为第一象限角， 则cos ? ?? ??π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α

2018版高中数学平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案新人教A版必修4 含解析

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题. 知识点一 向量数乘的定义 思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？ 答案 向量. 思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 答案 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同. －3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反. 思考3 λa 的几何意义是什么？ 答案 λa 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩. 当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍. 梳理 向量数乘运算 实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |. (2)λa (a ≠0)的方向??? ? ? 当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反； 特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 答案 结合律，分配律. 梳理 向量数乘运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 思考1 若b ＝2a ，b 与a 共线吗？ 答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与a 共线.

2020-2021学年数学人教A版必修4学案：2.3.1 平面向量基本定理

2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1平面向量基本定理 [目标] 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理． 2.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义． 3.掌握平面向量基本定理并能熟练应用． [重点] 平面向量基本定理与向量夹角． [难点] 平面向量基本定理的应用． 知识点一平面向量基本定理 [填一填] (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底． [答一答] 1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？ 提示：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底． 2．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底． 提示：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，

这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底． 知识点二向量的夹角 [填一填] (1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝ θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角． (2)向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°；当a与b同向时，夹角 θ＝0°；当a与b反向时，夹角θ＝180°. (3)如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. [答一答] 3．零向量与向量a的夹角是多少呢？ 提示：向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与向量a 的夹角没有意义． 4．等边三角形ABC中，向量与的夹角是60°吗？ 提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形ABC中，向量与的夹角是120°而不是60°. 类型一基底的概念 [例1](1)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是() A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 (2)设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________. [解析](1)在B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，

【人教A版】2020高中数学必修四导学案：第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例_含答案

2.5.2 向量在物理中的应用举例 学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力. 知识点一向量的线性运算在物理中的应用 思考1 向量与力有什么相同点和不同点？ 答案向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的. 思考2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？ 答案速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 梳理(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上. (2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算. 知识点二向量的数量积在物理中的应用 思考向量的数量积与功有什么联系？ 答案物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. 梳理物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积. 知识点三向量方法解决物理问题的步骤 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 类型一向量的线性运算在物理中的应用 例1 (1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.

2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：1.1.2 弧度制 Word版含答案

1．1.2弧度制 明目标、知重点 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的 1 360. (2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． ②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零． ③角的弧度数的计算 假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝l r. 2．角度制与弧度制的换算 (1) 角度化弧度弧度化角度 360°＝2π rad2π rad＝360° 180°＝π radπ rad＝180° 1°＝ π 180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝⎝ ⎛ ⎭ ⎫ 180 π°≈57.30° (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度0°1°30°45°60°90° 弧度0 π 180 π 6 π 4 π 3 π 2 度120°135°150°180°270°360° 弧度2π 3 3 4π 5π 6π 3π 22π 3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别α为角度制α为弧度制 扇形的弧长l＝ απR 180l＝α·R 扇形的面积S＝ απR2 360S＝ 1 2l·R＝ 1 2α·R2 [情境导学]学校几何争辩过角的度量，规定周角的 1 360 作为1°的角．我们把用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今日我们就来争辩这种新的单位制—弧度制． 探究点一弧度制 思考11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示， ∠AOB就是1弧度的角． 思考2假如一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律． AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数 ∠AOB 的度数 0没旋转00° π 2r 顺时针方向－ π 2－90° πr逆时针方向π180° 2πr顺时针方向－2π－360° πr 180 逆时针方向 π 1801° r逆时针方向1⎝⎛⎭⎫ 180 π° （

高中数学 143正切函数图像与性质导学案(答案不全)新人教A版必修4 学案

第一章 §1.4.3正切函数的图象与性质 编号031 【学习目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象. 2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质. 3.掌握正切函数的基本性质. 【学习重点】正切函数图像与性质 【基础知识】正切函数图像：1.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象： 2.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 正切函数性质： 1.定义域： |,2x x k k z ππ⎧⎫ ≠+∈⎨ ⎬⎩⎭ ， 2.值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 π π， 2 π π+−→−k x 时，∞−→− x tan 当x 从大于()2 k k z π π+ ∈，2 x k π π−− →+时，-∞−→− x tan . 3.周期性：π=T . 结论：)tan(ϕω+=x y 的周期为| |ωπ=T 4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数. 5.单调性：在开区间,2 2k k k z π πππ⎛ ⎫ - + ∈ ⎪⎝ ⎭ 内，函数单调递增. 【例题讲解】例1.（1）比较tan1670 与tan1730 的大小; （2）比较⎪⎭⎫ ⎝⎛- 413tan π与⎪⎭ ⎫ ⎝⎛- 517tan π的大小. 例2 讨论函数⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ + =4tan πx y 的性质. 例3 求下列函数的单调区间：13tan().24y x π=+ 变式训练1：求函数3tan()24 x y π =- +的单调区间. 例4 求下列函数的周期：3tan(2).4 y x π =+ 变式训练2：求解 13tan()24 y x π =+的周期. 例5 求函数y=tan 33x π⎛⎫ - ⎪⎝ ⎭ 的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期.

2022年高中数学必修4全套教案新人教A版

第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、教学目旳： 1、知识与技能 （1）推广角旳概念、引入不小于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角旳定义；（3）理解任意角以及象限角旳概念；(4)掌握所有与α角终边相似旳角（涉及α角）旳表达措施；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后旳角旳概念；（6）揭示知识背景，引起学生学习爱好.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求旳学习态度，强化学生旳参与意识. 2、过程与措施 通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有不小于360︒角、零角和旋转方向不同所形成旳角等，引入正角、负角和零角旳概念；角旳概念得到推广后来，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角旳概念及象限角旳鉴定措施；列出几种终边相似旳角，画出终边所在旳位置，找出它们旳关系，摸索具有相似终边旳角旳表达；解说例题，总结措施，巩固练习. 3、情态与价值 通过本节旳学习，使同窗们对角旳概念有了一种新旳结识，即有正角、负角和零角之分.角旳概念推广后来，懂得角之间旳关系.理解掌握终边相似角旳表达措施，学会运用运动变化旳观点结识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角旳定义，掌握终边相似角旳表达法. 难点: 终边相似旳角旳表达. 三、学法与教学用品 之前旳学习使我们懂得最大旳角是周角,最小旳角是零角.通过回忆和观测平常生活中实际例子,把对角旳理解进行了推广.把角放入坐标系环境中后来,理解象限角旳概念.通过角终边旳旋转掌握终边相似角旳表达措施.我们在学习这部分内容时,一方面要弄清晰角旳表达符号,以及正负角旳表达.此外尚有相似终边角旳集合旳表达等. 教学用品:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】

人教A版2020高中数学必修四导学案第二章平面向量232 233平面向量的坐标运算 含答案

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算掌握两个 向量和、差及数了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.学习目标 1.. .3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来乘向量的坐标运算法则 平面向量的正交分解知识点一bbaaba互相垂直的两个向与垂直，记作的夹角是90°，则称向量.与思考如果向量⊥量能否作为平面内所有向量的一组基底？. 互相垂直的两个向量能作 为平面内所有向量的一组基底答案. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解梳理平面向量的坐标表示知识点二aiija＝30°，且是两个互相垂直的单位向量，向量|与|思考1 如图，向量的夹角是，a?ji，4，以向量为基底，如何表示向量 ija. 2 ＝＋23答案AAA点位置确定了吗？给定向量，则在平面直角坐标系内，给定点，的坐标为1)(1思考2 aaa的位置确定了吗？ 1)，则向量＝(1，的坐标为AAAaaa的坐标为点位置确定.点，若给定坐 标为对于向量(1，1)，则，给定答案对于a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任1)，此时给出了＝(1，a的位置还与其起点有关意平移，因此. →→→→BCOBCOAOAA点，，则为坐标原点，若将向量的坐标是多少？平移到思考3 设向量，＝(11)坐标是多少？ →→OAOAAA(1，1)，1). 答案向量点坐标为的坐标为(1＝，梳理 (1)平面向量的坐标 xyij作为基底.、①在平面直角坐标系中，分别取与轴、对于轴方向相同的两个单位向量axyaxiyj.＋平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数＝，，使得axyxya的坐标，记(叫做向量，)平面内的任一向量都可由、唯一确定，我们把有序数对axy). ，(＝作 ij＝(0，1)，00)，＝(0，②在平面直角坐标平面中，0). ＝(1，(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系