1.2.2 同角三角函数的基本关系
自主学习
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：____________________.
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：
sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；
(sin α＋cos α)2＝__________；
(sin α－cos α)2＝____________；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；
sin α·cos α＝____________＝____________.
(2)tan α＝sin αcos α
的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.
自主探究
1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．
2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α
； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12
cos 2α.
对点讲练
知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值
例1 已知cos α＝－817
，求sin α、tan α.
回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．
变式训练1 已知tan α＝43
，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简
例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.
回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．
变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α
.
知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式
例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α
.
回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．
证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．
常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
常用技巧：切化弦、整体代换．
变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x
.
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精
髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α
＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.
课时作业
一、选择题
1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )
A.14
B.12 C ．1 D.32
2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α
的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1
3．若sin α＝45
，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43
4．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α
的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13
D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α
的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8
二、填空题
6．已知α是第二象限角，tan α＝－12
，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2
，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.
8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3
，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．
三、解答题
9．证明：
(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1
＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．
10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．
1.2.2 同角三角函数的基本关系
答案
知识梳理
1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2
，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α
1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－12
1－(sin α－cos α)22
(2)cos αtan α sin αtan α
自主探究
1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x
，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r
＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2
，k ∈Z )． 2．解 关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．
(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611
. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α
＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1
＝14×4＋13×2＋125＝1330
. 对点讲练
例1 解 ∵cos α＝－817
<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．
(1)如果α是第二象限的角，可以得到
sin α＝1－cos 2α＝ 1－????－8172＝1517
. tan α＝sin αcos α＝1517－817
＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：
sin α＝－1517，tan α＝158
. 变式训练1 解 由tan α＝sin αcos α＝43
， 得sin α＝43
cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②
由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925
. 又α是第三象限角，
∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45
. 例2 解 原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α
＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)2
1－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|
＝?
????
1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解 原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α
＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α
＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α
＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α
＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)
＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23
. 例3 证明 左边＝
cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)
＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α
第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，
高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数 的基本关系 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-
同角三角函数的基本关系 【知识梳理】 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即 sin α cos α＝tan_α ? ?? ??其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 【例1】 (1)已知sin α＝12 13 ，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－4 5 ，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2 α＝1－sin 2 α＝1－? ????12132＝? ?? ??5132 ，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－ 513，tan α＝sin αcos α＝－125 . (2)sin 2 α＝1－cos 2 α＝1－? ????－452＝? ?? ??352 ， 因为cos α＝－4 5 <0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3 4；当α是第 三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3 4 .
【类题通法】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得 cos α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得 sin α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin α cos α ＝m?sin α＝ m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝± 1 1＋m2 ，sin α＝ ± m 1＋m2 的值． 【对点训练】 已知tan α＝ 4 3 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝ sin α cos α ＝ 4 3 ，得sin α＝ 4 3 cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得 16 9 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ 9 25 . 又α是第三象限角，故cos α＝－ 3 5 ，sin α＝ 4 3 cos α＝－ 4 5 . 题型二、化切求值 【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．
第1课时§1.1 任意角 【教学目标】 一、知识与技能 1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的 概念；终边相同角的表示方法． 2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与α角 终边相同的角(包括α角)的表示方法． 二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确 三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法【教学过程】 【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步 印象． 【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组 成的图形叫做角α．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而 成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)． 讲解新课： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的 始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫 ⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1 角有正负之分 2 角可以任意大 3 可以为零角 2．“象限角及轴线角” 建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于 _______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________） 3．终边相同的角 (1)在平面直角坐标系中作出30 , 390 ， 330 角 ⑴观察：390 ， 330 角，它们的终边都与________角的终边相同 ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0 到360 的角与)(Z k k ∈个周角的和： 390 =______+____360 330 =______+_____360 ⑶结论：所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合： }{__________==ββS 例题分析： 例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 (1)120(2)640(3)95012'-??-? 例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在360~720-??间的角写出来：（1）60? （2）21-? （3）36314?'。
三角函数公式 （一）同角三角函数的基本关系式 （1）平方形式：sin 2α＋cos 2α＝1 （2）倒数形式：sinα/cosα＝tanα （二）诱导公式 （1）sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α (其中k ∈Z) （2）sin （2k π－α）＝－sin α cos （2k π－α）＝cos α tan （2k π－α）＝－tan α (其中k ∈Z) （3）sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tan α （4）sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tan α （5）sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α （6）sin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α （7）sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin α （8）sin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α （9）sin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α (三) 两角和与差的三角函数公式 （1）sin （α＋β）＝sin αcosβ＋cos αsinβ （2）sin （α－β）＝sin αcosβ－cos αsinβ （3）cos （α＋β）＝cos αcosβ－sin αsinβ （4）cos （α－β）＝cos αcosβ＋sin αsinβ （5）tan （α＋β）＝ tanα+tanβ1－tanαtanβ （6） tan （α－β）=tanα－tanβ1+tanαtanβ （四）二倍角的正弦、余弦和正切公式 （1）sin2α＝2sin αcos α （2）cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α （3）tan2α= 2tan α/（1－tan 2α） （五）三角函数的降幂公式 （六）半角的正弦、余弦和正切公式 (七)（辅助角的三角函数的公式） (八)正、余弦定理公式及其变形 ● a sinA =b sinB =c sinC =2R （R 为△ABC 的外接圆的半径） ● a 2=b 2+c 2-2bccosA ● b 2= a 2+ c 2-2accosB ● c 2= b 2+ a 2-2abcosC （ⅰ) sinA=a 2R ，sinB=b 2R ，sinC=c 2R （ⅱ）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC （ⅲ）a:b:c=sinA: sinB: sinC （ⅳ）asinB=bsinA bsinC=csinB asinC=csinA （九）常用的三角形面积公式 （ⅰ) S=12 absinC=12 acsinB=12 bcsinA （ⅱ）S =12 (a+b+c)r (r 为△ABC 的内切圆的半径) （ⅲ）S=abc 4R （R 为△ABC 的外接圆的半径） （十）利用余弦定理判断三角形的形状 （ⅰ)在△ABC 中，若a 2﹤b 2+c 2，则0°﹤A ﹤90°；反之，若0°﹤A ﹤90°，则a 2﹤b 2+c 2。 （ⅱ）在△ABC 中，若a 2=b 2+c 2，则A=90°；反之，若A=90°，则a 2=b 2+c 2。 （ⅲ）在△ABC 中，若a 2﹥b 2+c 2，则90°﹤A ﹤180°；反之，若90°﹤A ﹤180°，则a 2﹥b 2+c 2。
任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o
问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）?480； （２）?-760； （３）03932'?. 变式练习 1、 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。
三角函数 公式大全 姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)]
新人教版高中数学 三角函数的诱导公式导学案必修四-2019最新 整理 【学习目标】 1、能推出诱导公式二～四； 2.记住诱导公式二～四，会用来求三角函数的值，并能进行简单三角函数 式的化简。 【学习重点】诱导公式二～四的推导及应用。 【学法指导】根据三角函数的定义，在单位圆中利用对称性进行探究；先 从特殊角出发再推广到任意角。 【知识链接】任意角三角函数的定义、诱导公式一、点的对称性。 【学习过程】 一、课前准备 （预习教材P23-27，找出疑惑之处,并作标记） Sin210°= （公式一能解决吗？） 二、新课导学 1、诱导公式二： （1）设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p 、p ＇，则点p 与p ＇ 的 位置关系如何？（画图分析） 设点p （x ，y ），则点p ＇怎样表示？ （2）将210°用（180°+）的形式表达为 α （3）sin210°与sin30°的值关系如何？ 设为任意角 （1）设与（180°+）的终边分别交单位 ）（点的终边与单位圆相交于已知任意角y x P ,α
圆于p ，p ′， 设点p （x,y ），那么点p ′坐标怎样表示？（画图分析） ααα （2）sin 与sin （180°+）、cos 与cos （180°+）以及tan 与tan （180° +） 关系分别如何？ αααααα 经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？ 书写诱导公式二： （记忆方法）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）α 作用：②把求（180°+）的三角函数值转化为求的三角函数值。αα 练习1：求下列各三角函数值： ①sin 225° ②cos225° ③tan π ④重新解决上 面练习（2）4 5 2、诱导公式三： 思考下列问题： （1）30°与（－30°）角的终边关系如何？ （2）设30°与（－30°）的终边分别交单位圆于点p 、p ′，设点p （x,y ），则点p ′的坐标怎样表示？（画图分析） （3）sin （－30°）与sin30°的值关系如何？ 小组合作分析：在求sin （－30°）值的过程中，我们利用（－30°） 与30°角的终边及其与单位圆交点p 与p ′关于原点对称的关系，借助三 角函数定义求sin （－30°）的值。 导入新问题：对于任意角， sin 与sin （－）的关系如何呢？试说出 你的猜想？ααα 设为任意角 类比上面过程思考： α sin 与sin （－）、 cos 与cos （－）以及tan 与tan （－）关系如何？αααααα 经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？ 诱导公式三： sin （－）= α cos （－）= α tan （－）= α sin()______. cos()______. tan()______. πααπαπαπα++=+=+=与的三角函数关系
1.2.2同角三角函数的基本关系（3） 教学目的： 知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明； 能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。 （2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．同角三角函数的基本关系式。 （1）倒数关系：sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?=，tan cot 1αα?=． （2）商数关系： sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα =． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=． （练习）已知tan α43=，求cos α 2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（ ）=1 二、讲解新课： 例82tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合。 =|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos | αα． 2tan α-=-， ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα +=， 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠． 所以，角α的集合为：{|k ααπ=或322,}22 k k k Z πππαπ+<<+∈． 例9．化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+． 解：原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα -+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=?=?112sin cos 2sin cos αααα-+?==?． 说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点： （1）所含三角函数的种类最少； （2）能求值（指准确值）尽量求值； （3）不含特殊角的三角函数值。 例10．求证： cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．
2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数学案 苏教版必修4 典题精讲 例1 已知sin α=t 且|t|<1,求角α的余弦值和正切值. 思路分析:利用三角函数基本关系式,分类讨论求解，即要考虑到α所在象限，以及要求的三角函数值的正负情况. 解:∵sin α=t 且|t|<1,∴角α可能为四个象限的角和x 轴上的轴线角. (1)当α为第一、四象限或x 轴正半轴上的角时, 有cos α=221sin 1t -=-α,tan α=ααcos sin =21t t -. (2)当α为第二、三象限或x 轴负半轴上的角时, 有cos α=221sin 1t --=--α, tan α=ααcos sin =-21t t -. 绿色通道:若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论. 变式训练 1 (2006重庆高考卷，文13) 已知sin α=5 52，2π≤α≤π，则tan α等于______. 思路解析:由sin α=552，2π≤α≤π?cos α=5 5-,所以tan α=-2. 答案:-2 变式训练 2 sin2α>0且cos α<0,试确定α所在的象限. 思路分析:由sin2α>0得出α的范围,再由cos α<0得出α的范围,两者取交集即可. 解:∵sin2α>0,∴2k π<2α<2k π+π(k∈Z ). ∴k π<α 高中数学必修四三角函数重要公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα 1.2.1任意角的三角函数（A 层学案） 学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点：任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1．任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的________，记作______，即sin α＝y ； ②x 叫做α的________，记作______，即cos α＝x ； ③ y x 叫做α的________，记作______，即tan α＝y x (x ≠0)． (2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )，它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为： sin α＝ cos α＝ tan α＝ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀： 。 3．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k ·2π)＝________，cos(α＋k ·2π)＝________， tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z . 4.利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. 角α 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 3 2 π 2π sin α cos α tan α 二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1： （1）已知角α的终边过点 0(3,4) P--，求角α的正弦、余弦和正切值. （2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值． 知识点二：三角函数值的符号问题 例2. （1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α （2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2：判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°. & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 三角函数习题课 【教学目标】 进一步研究三角函数的简单性质，会运用三角函数的图象与性质解题。 【教学重点】 三角函数的性质运用。 【教学难点】 三角函数性质的综合运用。 【教学过程】 一、基础训练 1.已知函数),23sin( x y -=π则函数在[]0,π-上的单调递减区间是___________. 2.若,4π ≤x 则函数1cos sin )(2++=x x x f 的最小值为_________. 3.已知集合{}[]4,4,1sin 2-=-==B x y x A ，则=?B A _______________. 4.已知函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在区间,34ππ??-???? 上的最小值是-2，则ω的最小值是_______.若函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在区间??? ??- 4,3ππ上单调递增，则ω的取值范围是__________. 5.已知函数215cos( )(),36k y x k N ππ+=-∈对任意实数a ，在区间[]3,+a a 上要使函数值4 5出现的次数不少于4且不多于8，则k 的值为________. 二、例题选讲 例1、已知,0>a 函数,2)62sin(2)(b a x a x f +++-=π当?? ????∈2,0πx 时，.1)(5≤≤-x f （1）求常数b a ,的值； 鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 鑫达捷 （2）设)2()(π +=x f x h ，且0)(lg >x h ，求)(x h 的单调增区间. 例2、已知函数.2 1)43sin(2)(+++-=m x x f π （1）写出函数)(x f 的最小正周期T 及单调递增区间；（2）若]3 ,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为2，求此时函数)(x f 的最大值，并指出x 取何值时)(x f 取到最大值。 例3、函数x x a a x f 2 sin 2cos 221)(---=的最小值为).)((R a a g ∈ （1）求);(a g （2）若,2 1)(= a g 求a 及此时)(x f 的最大值. 三、作业： 《数学之友》T1.14 补充练习： 1、若函数x x f sin 2)(=对任意的,R x ∈都有),()()(21x f x f x f ≤≤则||21x x -的最小值是___________. 2、已知α是第三象限角，是否存在这样的实数,m 使得ααcos ,sin 是关于x 的方程 012682=+++m mx x 的两根？若存在，求出实数;m 若不存在说明理由。 3、已知,3 1sin sin =+y x 求2sin cos u x y =+的最大值与最小值。 4、当实数m 在什么范围内取值时，对于任意角θ能使14cos 2sin 2-++=m m y θθ恒 为正数？ 数学必修四三角函数公式盘点与归纳 1、诱导公式： sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα sin(2π-α)=-sinα, cos(2π-α)=cosα sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα sin(+α)=cosα, cos(+α)=-sinα sin(-α)=cosα, cos(-α)=sinα 2、同角三角函数基本关系： sin2α+cos2α=1, =tanα, tanα×cotα=1, 1+tan2α=， 1+cot2α= cosα=， sinα= 3、两角和与差的三角函数： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ， cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ， sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ， sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ tan（α+β）=， tan（α-β）=， 4、二倍角的三角函数： sin2α=2sinαcosα， cos2α=cos2α-sin2α =1-2sin2α =2cos2α-1， tan2α=， sin=， cos=， tan= = = 5、万能公式： sin2α=， cos2α= 6、合一变式： asinα+bcosα =sin（α+γ）（tanγ=）7、其他公式： sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]， cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]， cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]，sinαsinβ=[cos（α+β）-cos（α-β）]，sinα+sinβ=2sin cos， sinα-sinβ=2cos sin， cosα+cosβ=2cos cos， cosα-cosβ=2sin cos 2019-2020学年高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》导学案 新人教 A 版必修4 【学习目标】 1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断. 【重点难点】 重点：精确模型的应用——由图象求解析式，由解析式研究图象及性质 难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型 【学法指导】 预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用 【知识链接】 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线. 【学习过程】 自主探究； 问题一、如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(?ω． （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式 问题二、画出函数x y sin =的图象并观察其周期． 问题三、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值， 那么这三个量之间的关系是δ?θ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值． 如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？ 【基础达标】 1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由. 【拓展提升】 1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24 θφφ-δδ 太阳光 《三角函数》【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角： {}090αα<< 小于90的角：{}90αα< 5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 8、角度与弧度对应表： 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α 终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”） 三角函数的周期性 班级_______姓名______学号_________成绩_________ [基础过关] 1、若函数)(x f y =满足)3()1(-=+x f x f ，则此函数是周期函数，则（ ）为其一个 周期。 A ．1 B 。3 C 。－3 D 。４ 2、函数)6 52cos(3π-=x y 的最小正周期为（ ） A ．52π B 。2 5π C 。π2 D 。π5 3、在函数|sin ||,|sin x y x y ==,)32sin(π +=x y , )3 22cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数有（ ） A ．１个 B 。２个 C 。３个 D 。４个 4、由函数? ??++∈+∈=)22,12[1)12,2[0)(n n x n n x x f （)Z n ∈的图象，可知此函数的周期为（ ） A ． 2k B ．2 3k C ．kD ．2k （以上k 0,≠∈k Z ） 5.已知|sin |x y ω=的周期是x y 4sin =周期的４倍，则正数ω的值为（ ） A ． 2 1 B 。１ C 。２ D 。４ 6、已知函数)53sin(2π+=kx y 的周期为23π，则ｋ的值为 。 7、函数|)62sin(|π+=x y 的周期为 。 8、已知函数7)3 4sin(3++=πx k y 的最小正周期不小于４，则正整数ｋ的最小值为 。 9、)(x f 是以2π为周期的奇函数，且1)2(-=-πf ，那么)2 5(πf = 。 10.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，()()()61,21+=+=x f x f f ,求 ()()()5.224100f f f ++的值； 11、已知()()x f x f -=+2，当[]6,4∈x 时()12-=x x f ，求 ()x f 在[]2,0上的表达式。 12、已知定义域为R 的奇函数()x f 满足()()x f x f -=+11， 当 ()0,1-∈x 时,()512+=x x f ,求()20 2log f 的值； 高中数学必修4重点公式与解题技巧公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切； 四余弦”。 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。 其他三角函数关系： ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接） 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 （1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； （2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。 （3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 1.3.3 已知三角函数值求角 1.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x ，arccos x ，arctan x 表示角.(重点、难点) 2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角. [基础·初探] 教材整理 已知三角函数值求角的相关概念 阅读教材P 57～P 60内容，完成下列问题. 1.已知正弦值，求角： 对于正弦函数y ＝sin x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在?????? －π2，π2上有 唯一的x 值和它对应，记为x ＝arcsin_y ? ? ? ??其中－1≤y ≤1，－π2≤x ≤π2. 2.已知余弦值，求角： 对于余弦函数y ＝cos x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x 值和它对应，记为x ＝arccos_y (其中－1≤y ≤1,0≤x ≤π). 3.已知正切值，求角： 一般地，如果y ＝tan x (y ∈R )且x ∈? ???? －π2，π2，那么对每一个正切值y ，在开 区间? ????－π2，π2内，有且只有一个角x ，使tan x ＝y ，记为x ＝arctan_y ? ?? ??－π 2＜x ＜π2. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在区间?????? －π2，π2上，满足条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有1个.( ) (2)在区间[0,2π]上，满足条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有2个.( ) (3)在区间[0,2π]上，满足条件cos x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有2个.( ) (4)在区间?????? －π2，π2上，满足条件tan x ＝a (a ∈R )的x 只有1个.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问5：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ [小组合作型] 已知正弦值求角 已知sin x ＝32. (1)当x ∈?????? －π2，π2时，求x 的取值集合； (2)当x ∈[0,2π]时，求x 的取值集合； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合. 【精彩点拨】 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解. 【自主解答】 (1)∵y ＝sin x 在???? ?? －π2，π2上是增函数，且sin π3＝32，∴x ＝π3，高中数学必修四三角函数重要公式
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案
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