1.1.2 弧度制
自主学习
知识梳理 1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．
2
3.
我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．
对点讲练
知识点一 角度制与弧度制的换算
例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π
12
化成角度．
回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°
即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°
π
即可．
变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π
5＝________度．
知识点二 利用弧度制表示终边相同的角
例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°； (2)23π
6
； (3)－4.
回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．
知识点三 弧长、扇形面积的有关问题
例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．
变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．
易知：度数×π
180
rad ＝弧度数，弧度数×????180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
课时作业
一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( )
A.????
??
α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }
D.????
??
α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝????
??α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π
2，k ∈Z }的关系是( )
A ．A ＝
B B ．A ?B
C ．B ?A
D ．以上都不对
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A ．2
B ．sin 2
C.2sin 1
D ．2sin 1 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．?
B ．{α|－4≤α≤π}
C ．{α|0≤α≤π}
D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．扇形圆心角为π
3
，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．4∶3
D ．4∶9
二、填空题
6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
7．若2π<α<4π，且α与－7π
6角的终边垂直，则α＝________.
8．若角α的终边与角π
6
的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.
三、解答题
9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．
10. 如右图，已知扇形OAB 的中心角为4，其面积为2 cm 2，求扇形的周长和弦AB 的长．
1.1.2 弧度制
答案
知识梳理
1．(1)1
360 (2)半径长 1 rad
(3)|α|＝l
r
终边的旋转方向 正数 负数 0
解 半径为r ，圆心角n °的扇形弧长公式为l ＝n πr
180
，
扇形面积公式为S 扇＝n πr
2360
.
∵l 2πr ＝|α|
2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π
，∴S 扇＝1
2|α|r 2.
∴S 扇＝12|α|r 2＝1
2
lr .
对点讲练
例1 解 (1)∵112°30′＝112.5°＝????
2252° ＝2252×π180＝5π8. (2)－7π12＝－7π12×???
?180π°＝－105°.
变式训练1 (1)5π3 (2)－π
8
(3)288
例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋5π
3
，是第四象限角．
(2)∵23π6＝2π＋11π6，
∴23π6与11π6
终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
变式训练2 －10π＋7π
4
解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
∴－1 485°可以表示为－10π＋7π
4
.
例3 解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .
∴S ＝12lr ＝1
2
×(40－2r )r ＝20r －r 2
＝－(r －10)2＋100.
∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，
此时θ＝l r ＝40－2×10
10
rad ＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 变式训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，
∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝1
2
lR ，
得1＝1
2
(4－2R )·R ，
∴R ＝1，∴l ＝2，
∴α＝l R ＝2
1
＝2，
即扇形的圆心角为2 rad. 课时作业 1．D 2.A
3．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2
sin 1
.]
4．D [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]
5．B [设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋r
sin
π6
＝r ＋2r ＝3r .
∴S 内切＝πr 2
.
S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.
∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.] 6．25
解析 216°＝216×π180＝6π
5，
l ＝30π＝α·r ＝6π
5
r ，∴r ＝25.
7.7π3或10π3
解析 －7π6＋7π2＝14π6＝7π
3
，
－7π6＋9π2＝20π6＝10π3. 8．－11π3，－5π3，π3，7π3
解析 由题意，角α与π
3
终边相同，
则π3＋2π＝7π3， π3－2π＝－5π3，π3－4π＝－11π3
. 9．解 (1)??????
α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .
(2)????
??
α|2k π－34π≤α≤2k π＋3π4，k ∈Z .
1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式） －150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置
§1.1.2 弧度制 1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题. 一、课前准备 （预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？ 二、新课导学 ※探索新知 问题1：什么叫角度制？ 问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？ 问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？ 问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？
问题5：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。 问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合. 问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。 ※ 典型例题 例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法） （1） 5 3π （2）3.5 （3）252o （4）11o151 变式训练：①填表 ②若6-=α，则α为第几象限角？ ③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集 合 ___ ____. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合
__ _____. 例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积 变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积. 变式训练 (2)：A=()? ??? ??∈? -+=Z k k x x k ,21π π, B=? ?? ? ?? ∈+=Z k k x x ,22π π则A 、B 之间的关系为 . ※ 动手试试 1、将下列弧度转化为角度： （1） 12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6 13π = °； 2、将下列角度转化为弧度： （1）36°= rad ； （2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 3、已知集合M =｛x ∣x = 2 π ? k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2 π π± ?k , k ∈Z ｝，则 （ ） A ．集合M 是集合N 的真子集
第2课时弧度制 1.了解弧度制的概念及其意义,会将角度制与弧度制互相转化. 2.了解弧度制下的弧长公式和扇形公式并能应用公式解决有关问题. 3.理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系. 自行车大链轮有48个齿,小链轮有20个齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是多少度?多少弧度? 问题1:弧度制的定义 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制,把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1rad. 问题2:角度与弧度之间的转换 ①将角度化为弧度:360°=,180°=,1°=≈0.01745rad,n°= rad. ②将弧度化为角度:2π=,π=,1rad=()°≈57.30°=57°18',n rad=()°. 问题3:弧度制下终边相同的角的表示 (1)与任意角α终边相同的角组成的集合为,其中α为角的弧度数. (2)用弧度制表示角省掉单位“弧度”后,就使角的集合与实数集R之间建立了一种的关系,即每一个角都有的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有的一个角与之对应. (3)在表示与角α终边相同的角时,要注意统一单位,应避免出现30°+2kπ或+k·360°, 即同一表达式中度量单位要. 问题4:弧长公式及扇形的面积公式 (1)弧长公式: ①弧度制:; ②角度制:. (2)扇形的面积公式:
①弧度制:; ②角度制:. 上述公式中,由α、r、l、S中的两个量可以求出另外两个量,即知二得二;使用弧度制下的弧长公式有很多优越性(如公式简单,便于记忆、应用),但是如果已知的角是以“度”为单位时,则必须先把它化成弧度后再用公式计算. 1.225°角的弧度数为(). A.B.C.D. 2.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为(). A.40πcm2 B.80πcm2 C.40cm2 D.80cm2 3.半径为2的圆中,弧长为4的弧所对的圆心角是. 4.两角差为1°,两角和为1rad,求这两角的弧度数. 角度与弧度的互化 (1)把22°30'化成弧度; (2)把化成角度. 用弧度表示终边相同的角
最新高中数学必修4《任意角和弧度制》教案 高中数学必修4《任意角和弧度制》教案【一】教学准备 教学目标 一、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 二、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 三、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一
的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，为下一节学习三角函数做好准备https://www.doczj.com/doc/0118273319.html, 教学重难点 重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 教学工具 投影仪等 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里) 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制 ---弧度制.
1．1.2 弧度制 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．
知识点一角度制与弧度制 思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ [答案]周角的1 360等于1度． 思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？ [答案]把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示． 思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [答案]“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 梳理(1)角度制和弧度制 (2)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 知识点二角度制与弧度制的换算 思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ [答案]利用1°＝ π 180rad和1 rad＝? ? ? ? 180 π°进行弧度与角度的换算． 梳理(1)角度与弧度的互化
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 知识点三扇形的弧长及面积公式 思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ [答案]设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则： 1．1 rad的角和1°的角大小相等．(×) 提示 1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝π 180rad.
2．用弧度来表示的角都是正角．( × ) 提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( √ ) 提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π 5. [考点] 弧度制 [题点] 角度与弧度的互化 解 (1)20°＝20π180＝π 9. (2)－15°＝－15π180＝－π 12. (3)7π12＝7 12×180°＝105°. (4)－11π5＝－11 5 ×180°＝－396°. 反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以????180π°即可． 跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度：
1.1.2 《弧度制》导学案 【学习目标】 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 【重点难点】 弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。 【学法指导】 1.了解弧度制的表示方法； 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 【知识链接】 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？ 自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： 1、 角的弧度制是如何引入的？ 2、 为什么要引入弧度制？好处是什么？ 3、 弧度是如何定义的？ 4、 角度制与弧度制的区别与联系? 三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数？ 2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？ 【学习过程】 （一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？ （二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。 <说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。 例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r παπ-=- =-=-． （三）角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 1801π =?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 (π5718'≈ 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： <试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067? 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o
1.1.2 弧度制 课前预习学案 一、预习目标： 1.了解弧度制的表示方法； 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 二、预习内容 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？ 自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： 1、 角的弧度制是如何引入的？ 2、 为什么要引入弧度制？好处是什么？ 3、 弧度是如何定义的？ 4、 角度制与弧度制的区别与联系? 三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数？ 2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？ 课内探究学案 一、学习目标 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 二、重点、难点 弧度与角度之间的换算； 弧长公式、扇形面积公式的应用。 三、学习过程 （一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o 角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？ （二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。 <说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示 角的度量。 例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r παπ-=- =-=-． （三）角度与弧度的换算 3602π=o rad 180π=o rad 180 1π=?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180(π5718'≈o 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： 例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067? 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o 例2、把下列各角从弧度化为度： （1）3 5π (2) 3.5 (3) 2 (4)4 π 变式练习：把下列各角从弧度化为度：
任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o
问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）?480； （２）?-760； （３）03932'?. 变式练习 1、 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。
1.1.2 弧度制 重点：用弧度制表示各种角以及弧度制与角度制之间的换算. 难点：对弧度制的引入. 一、角度制与弧度制的转化 同一个角，除零角之外，用“度”表示与用“弧度”表示是不同的数量.“度”不可省略，“弧度”即“rad”可省略.其换算关系以π=180°为转化点. 例1 (1)把112°30′化为弧度；(2)把－5π12化为度． 【分析】 先把“分”、“秒”化为“度”，再利用1°＝π180 rad ，1 rad ＝(180π )°进行相应地转化． 【解】 (1)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝2252×π180＝5π8 ； (2)－5π12＝－(5π12×180π )°＝－75°. 【点评】以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式.如无特殊要求，不必把π写成小数. 二、用弧度表示角的集合 角度制中的度、分、秒是六十进制，弧度制是十进制，因此弧度制使用起来比角度制方便. 例2（1）用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如下图）. （2）把-1480°写成α+2kπ（k ∈Z ）的形式，其中0≤α<2π. 【思路点拨】先用弧度制表示这个角（临界角），然后结合图形或者范围写出该角.
【解】 (1)135°＝135×π180＝3π4，225°可以看成是与－135°终边相同的角，而－135°＝－3π4 ， ∴阴影部分角的集合为： {θ|2k π－3π4<θ<2k π＋3π4 ，k ∈Z}． (2)∵－1480°＝－1480π180＝－74π9＝－10π＋16π9 ， 又0≤16π9 <2π， ∴－1480°＝16π9－2×5π＝16π9 －10π. 【思维总结】在表示角的集合时，一定使用统一制度，只能用角度或弧度制中的一种，不能混用. 三、 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 在弧度制下，当圆心角为弧度时，弧长公式、扇形面积公式有更简单的形式，更利于计算. 例3 已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积和弧长. 【思维流程】 化为弧度→代入公式 【解】 ∵72°＝72×π180＝2π5 (rad)， ∴l ＝αr ＝2π5 ×20＝8π(cm)． ∴S ＝12lr ＝12 ×8π×20＝80π(cm 2)． 【思维总结】弧度制下与角度制下的弧长公式、扇形面积公式是等价的.
第一章 三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0 720”，怎么刻画？ ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_________重合。这样，我们就把角的概念推广到了___________，包括_______、________和________。 3. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 ______. 4．象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________. 象限角的集合
2014级必修四 编号：4001 课题：角的概念的推广 编制人：李敏 审核人：王国燕 编制日期 ： 班级 姓名 一、学习目标： 1. 会判断角的大小； 2. 能够会用集合表示终边相同的角； 3. 会用集合表示表示象限角区间角以及终边在坐标轴上的角. 二、自主学习 1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？ 初中所研究的角的范围为 . 2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o ”（即转体 周），“转体1080o ”（即转体 周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度） 如果慢了5分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度） 3、在实际生活中有些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义？研究这些角的分类及记法？ 4、如何将角放入坐标系中讨论？ 角的顶点与 重合，角的 与x 轴的非负半轴重合. 象限角的定义： 5、终边相同的角 与60°终边相同的角有 , , …都可以用代数式表示为 . 与α终边相同的角如何表示？ 6、终边在以下象限中的角如何表示? 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角: 第四象限角 三．尝试练习 1、基础过关 (1)（A ）下列命题是真命题的有 .（填序号） ①三角形的内角必是第一二象限角 ②始边相同而终边不同的角一定不相等 ③第四象限角一定是负角 ④钝角比第三象限角小 (2)用集合表示下列各角：“第一象限角”、“锐角”、“小于90o 的角”、“0o ~90o 的角” 2、难点突破 (A) (1)写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. －15° 124°30′ (A) (2)求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： 210-； 731484'- ． (B) (3)若α是第二象限的角，试分别确定2α， 2α，3 α 的终边所在位置. (B) (4)如果α是第三象限的角，那么—α，2α的终边落在何处？ 四．巩固提高 (A)1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° (A)2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (B)3、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C (B)4、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 (B)5、若α是第四象限的角，则α- 180是 ． A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角 (C)6、设集合{} Z k k x k x A ∈+?<<+?=,30036060360| , {} Z k k x k x B ∈?<<-?=,360210360| , 求B A ,B A .
§3 弧度制 课时目标
1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____． 2．角度制与弧度制的换算
3设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 一、选择题 1．集合A ＝??????α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝???? ??α|α＝2k π±π 2，k ∈Z 的关系是 ( ) A ．A ＝ B B ．A ?B C ．B ?A D ．以上都不对 2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C ．2 sin 1 D ．2sin1 3．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2 ，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或5 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．? B ．{α|－4≤α≤π} C ．{α|0≤α≤π} D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} 5．把－11 4π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34 π 6．扇形圆心角为π 3 ，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
第1课时任意角的概念与弧度制导学 案
第1课时 任意角的概念与弧度制导学案1、学习目标 （1）了解任意角的概念。并会写象限角和终边相同的角的集合。 （2）熟练掌握角度与弧度的互化。 （3）熟记弧长和扇形面积的公式。 2、新知导读 1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ． 3．轴线角（终边在坐标轴上的角） 终边在x 轴上的角的集合为 ， 终边在y 轴上的角的集合为 ， 终边在坐标轴上的角的集合为 ． 4．象限角是指： ．如何确定四个象限角？ 5．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它 将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系． 6．弧度与角度互化：180o＝ 弧度，1o＝ 弧度，1弧度＝ ≈ o． 特殊角的角度与弧度的互化。30o= 弧度45o= 弧度60o= 弧度90o= 弧度 7．弧长公式：l ＝ ； 扇形面积公式：S ＝ . 8、阅读练习册P60的名师支招 3、范例点睛 例1.（象限角问题） 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,3 α的终边所在位置.
例2. （弧长与扇形面积） 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3 π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值． 4、达标检测 1、已知,αβ的终边关于y=x 对称，则αβ+= 。 2 、一个半径为r 的扇形，如果它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么该扇形的圆心角度数是________弧度或_____角度，该扇形的面积是____________________ 3、练习册P62对应演练。
Period 4 语法专题课 学习目标 1.Know about the rules of this grammar point. (1)Study three main kinds of word formation:compounding,conversion and derivation. (2)Deal with some exercises about word formation. 2.Make use of word formation to extend their vocabulary. 呈现新知 Look through the first reading passage,and write out the missing words of the following sentences and talk about the meaning of them,meanwhile pay attention to the pattern of them. 1.There are (不同的)kinds of theme parks,with a different park for almost (一切). 2.Some parks are famous for having the (最大或最长的过山车). 3. (不论哪一个和不论什么)you like,there is a theme park for you. 4.The theme park you are (很有可能)most familiar with is Disneyland. 5.If you want to (体验)the ancient days and great deeds of English knight and ladies,princes and queens,then England’s Camelot Park is the place for you. 6.Every area of the park is (仿效,仿造)after life in the days of King Arthur and the knights of the Round Table. 感受新知 https://www.doczj.com/doc/0118273319.html,bine the words from the first two columns to make new words in the third column and discuss the characteristic of the word formation in Column 3. Column 1 Column 2 Column 3 police by (1) black ever(2) English looking(3) ordinary office(4) how board(5) cow boy(6) passer made(7) post stop(8) bus speaking(9) man woman(10) The characteristic of the word formation:words in Column 3 are all words. 2.Write out the missing words in their correct forms according to the requirements and observe the characteristic of the word formation. Verb/Noun/Adj. Opposite word Noun Adj./Adv. agree usual× successful polite knowledge× possible The characteristic of the word formation:the missing words are all words. 3.Read the following sentences and find out the part of speech of the underlined words.Meanwhile translate them into Chinese.
任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若 13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是3 π． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30?；390?；-330?是第象限角 300?；-60?是第象限角 585? ； 1180?是第象限角 -2000?是第象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=④（填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}
③ {第一象限的角}④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜ 2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2 α＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜ 2α＜n ·360°+270°. ∴2 α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3 α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜ 3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜ 3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3 α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第四象限.
高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第一章三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0 720”，怎么刻画？ 720”这样的动作名词，这里的“0 ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________ ， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。 4．象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
弧度制 使用说明： 1.阅读探究课本P9-11页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力； 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。 【学习目标】 1.通过探究使学生认识到角度值和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。 2.培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。 【重点难点】 重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算。 难点：弧度的概念及其与角度的关系。 一、知识链接 1.在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？ 2. 除了用角度度量外，还有没有其它度量角的办法呢？ 二.教材助读 1.什么是1弧度的角？其单位是什么？ 2.角度与弧度的转化： 360= rad 180= rad 90= rad 60= rad 1= rad ≈rad 1rad= ≈= 3.什么叫弧度制？ 4.弧长公式： l= = 5.扇形的面积公式：S= = 注意：对于4和5中的公式，一定要搞清楚各个量所表示的含义。 预习自测 1.把下列各角从度化成弧度. （1）135；（2）90；（3）60；（4）45； 2.把下列各角从弧度化成度. （1）2π；（2）；（3）；（4）。 3.时间经过4h,时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？ 4.扇形弧长为18cm,半径为12cm,求扇形面积。
探究案 基础知识探究 1.用弧度制表示终边在x 轴上的角的集合 2.用弧度制表示终边在y 轴非负半轴上的角的集合 3.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m 的圆中，60的圆心角所 对的弧的长度。 综合应用探究 把下列各角化为0-2π间的角加上2k π（ k 是整数）的形式，并指出它们是哪个象限的角。 （1）6 23π （2）-15000 （3）6720 （4）-7 18π 我的收获
Period 3知识讲练课 学习目标 After this class,students will be able to: 1.Grasp the usage of such important words and expressions as more than,various,be famous for,no wonder,be modelled after,get to close,come to life,etc. 2.Master the following patterns: (1)Whichever and whatever you like,there is a theme park for you! (2)It will bring you into a magical world and make your dreams come true,whether you are travelling through space,visiting a pirate ship or meeting your favourite fairy tale or Disney cartoon character. (3)Futuroscope is not only for individuals,but is also the perfect mix of fun and learning for class outings. https://www.doczj.com/doc/0118273319.html,e your dictionaries or reference books to understand some difficult words and expressions in reading. 学习过程 ?Step 1:Fill in the blanks according to what you have learned. Parks provide people (1) a place to amuse (2)for a while.In recent decades,many parks have been designed to provide (3)(entertain).We call them theme parks.The new parks are usually huge places and have a (4)(various)of things to see and do.Theme parks have a certain idea—a certain theme—that the whole parks are based (5).For example,a sport theme park will offer visitors sports to play or watch;a history (6)culture theme park will let us see (7)our ancestors dressed,worked or (8)(live).The (9)(old)theme park in the world is Disneyland.It seemed like a place of fantasy.Besides these,we have the marine or ocean parks,which (10) a lot of visitors. ?Step 2:Words and expressions to learn 1.“Theme Parks—Fun and More Than Fun 主题公园——是娱乐,又不仅仅是娱乐 【观察思考】 (1)She stayed in Paris for more than a year.她在巴黎待了一年多。 (2)More than one student has said so.不止一个学生这么说。 (3)Both of us are much more than workmates.We are close friends. 我们俩不只是同事,我们还是知心朋友。 (4)He is more than glad to see me.他见到我非常高兴。 (5)The beauty of nature is more than I can describe.大自然之美是我难以用语言来形容的。 more than+数词,表示“多于,超过”,相当于over。 more than one+可数名词单数,表示“不止一个”,作主语时,谓语动词用单数形式。 more than+名词,意为“不只是,不仅仅”。 more than+形容词,意思是“很,非常”。 more than+句子(句子常含can/could),意为“非……所能的,难以……的”。 【尝试运用】 完成句子 (1)More than one girl (hold)such a view in the school.