第2课时 诱导公式五、六
[目标] 1.能够借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式五、六． 2.能灵活地利用诱导公式进行化简、求值．
[重点] 诱导公式五、六的应用． [难点] 诱导公式的推导与证明．
知识点一 诱导公式
[填一填]
公式五：sin ? ????π2－α＝cos α，cos ? ????
π2－α＝sin α.
公式六：sin ? ????π2＋α＝cos α，cos ? ??
??π2＋α＝－sin α. [答一答]
1．如何用sin α，cos α表示tan ? ????π2－α，tan ? ????
π2＋α？ 提示：tan ? ??
??π2－α＝sin ? ???
?
π2－αcos ? ???
?π2－α＝cos α
sin α；
tan ? ??
??π2＋α＝sin ? ???
?
π2＋αcos ? ??
?
?π2＋α＝cos α－sin α＝－cos αsin α.
知识点二 关于该组公式的记忆
[填一填]
π
2±
α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
[答一答]
2．你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示：诱导公式六的推导过程如下： ∵π2＋α＝π
2－(－α)，由诱导公式三、五，得
sin ? ????π2＋α＝sin ??????π2－(－α)＝cos(－α)＝cos α， cos ? ????π2＋α＝cos ??????π2－(－α)＝sin(－α)＝－sin α. 即sin ? ????π2＋α＝cos α，cos ? ??
??π2＋α＝－sin α. 3．(1)若α＋β＝π2且sin α＝15，则cos β＝15.
(2)已知α是第四象限角，且cos α＝12，则cos(α＋90°)＝3
2.
类型一 利用诱导公式化简求值 [例1] 已知 f (α)＝
sin (α－3π)cos (2π－α)sin ? ?
?
?
?－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)
.
(1)化简f (α)；
(2)若α是第三象限角，且cos ? ?
???α－3π2＝15，求f (α)的值；
(3)若α＝－31π
3，求f (α)的值． [解] (1)f (α)＝
sin (α－3π)cos (2π－α)sin ? ?
?
?
?－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)
＝(－sin α)·cos α·(－cos α)
(－cos α)·sin α
＝－cos α.
(2)因为cos ? ????α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－1
5， 又α是第三象限角， 所以cos α＝－1－? ??
??－152＝－26
5. 所以f (α)＝26
5.
(3)因为－31π3＝－6×2π＋5π
3，
所以f ? ????－31π3＝－cos ? ????－31π3＝－cos ? ?
???－6×2π＋5π3
＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12， 所以f (α)＝－1
2.
解决三角函数化简求值问题时若角含k π
2，k π，k ∈Z ， 则首先考虑诱导公式，有时需借助同角三角函数基本关系.
[变式训练1] 若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝m ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为( D )
A ．－1
2m B ．－32m C.12m
D.32m
解析：由题意得－sin α－sin α＝m ，所以sin α＝－m
2. cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝3
2m .故选D.
类型二 利用变角技巧进行条件求值
[例2] (1)已知cos31°＝m ，则sin239°tan149°的值是( ) A. 1－m 2m B.1－m 2 C ．－1－m 2
m
D ．－1－m 2
(2)已知sin ?
??
??π3－α＝12，则cos ?
??
??
π6＋α的值是____.
[解析] (1)sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°(－tan31°)＝sin31°＝1－m 2.
(2)cos ?
??
??
π6＋α＝cos ?
???
??π2－?
????π3－α
＝sin ? ????π3－α＝12
. [答案] B (2)12
[变式训练2] (1)已知cos ? ????α＋π6＝35，则sin ? ????α＋23π＝35. (2)已知sin ? ????π6＋α＝33，则cos ? ????α－π3＝3
3. 解析：(1)sin ? ?
???α＋23π＝sin ??????π2＋? ????α＋π6 ＝cos ? ?
?
??α＋π6＝35. (2)cos ? ?
???α－π3＝cos ????
??? ????π6＋α－π2
＝cos ?
?????π2－? ????π6＋α＝sin ? ????π6＋α＝3
3.
类型三 利用诱导公式证明三角恒等式 [例3] 证明下列等式：
(1)sin (θ－5π)cos ? ????π2－θsin ? ??
??
π2＋θcos (3π－θ)cos ? ????
3π2＋θsin (－4π－θ)
＝－1.
(2)tan (2π－α)cos ? ??
??3π2－αcos (6π－α)sin ? ?
???α－3π2cos ? ??
??α＋3π2＝tan α. [证明] (1)左边＝－sin (5π－θ)sin θcos θ
cos (π－θ)sin θ[－sin (4π＋θ)]
＝－sin (π
－θ)sin θcos θ－cos θsin θ(－sin θ)＝－sin θsin θ＝－1＝右边， 故原式得证．
(2)左边＝tan (－α)[－cos ? ??
??π2－α]cos (－α)sin ? ?
???α＋π2cos ? ??
??α－π2 ＝－tan α(－sin α)cos α
cos αsin α＝tan α＝右边， 所以原式成立．
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同.
[变式训练3] 求证：cos (x －5π)tan (2π－x )cos ? ???
?3π2＋x ＋tan 2(π－x )＝1＋tan 2x .
证明：左边＝cos (4π＋π－x )·tan (2π－x )
cos ?
?
?
?
?π＋π2＋x ＋tan 2
x ＝cos (π－x )·tan (－x )－cos ?
??
?
?
π2＋x ＋tan 2x ＝cos x ·tan x sin x ＋tan 2x
＝1＋tan 2x ＝右边.
1．已知sin40°＝a ，则cos130°等于( B ) A ．a B ．－a C.1－a 2
D ．－1－a 2
解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a . 2．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π
4＋α)的值等于( D ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13
解析：∵π4＋α－(α－π4)＝π2，∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π
4)]＝－sin(α－π4)＝－13.
3．已知sin(π6－θ)＝13，则cos(π3＋θ)等于1
3. 解析：cos(π3＋θ)＝cos[π2－(π6－θ)]＝sin(π6－θ)＝1
3.
4．已知cos α＝15，且α为第四象限角，那么cos(α＋5π2)等于26
5. 解析：∵α为第四象限角且cos α＝1
5， ∴sin α＝－
1－cos 2
α＝－26
5.
∴cos(α＋5π2)＝－sin α＝26
5. 5．化简 1＋2sin (π2－2)·cos (π
2＋2). 解：原式＝1＋2cos2·(－sin2)＝
1－2sin2cos2
＝
(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|.
又∵sin2>cos2，∴原式＝sin2－cos2.
——本课须掌握的三大问题
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π
2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．
3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．
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整体代换，寻找角间关系
开讲啦 对于一些给值(或式)求值问题，要注意已知角与未知角
的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补关
系，若满足，则可利用诱导公式求解．
①常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．
②常见的互补关系有：π3＋α与23π－α；π4＋α与3
4π－α等．
遇到此类问题，可将未知角向已知角转化，即用已知角表示未知角，然后利用诱导公式求解．
[典例] 已知cos ?
??
??π6－α＝13，求cos ?
??
??56π＋α·sin ?
??
??
2π3－α的值．
[分析] ? ????π6－α＋? ??
??
5π6＋α＝π；
2π
3－α＝π－? ????π3＋α；? ????π3＋α＋? ????π6－α＝π2
. 可利用以上互余、互补关系求解．
[解] cos ? ????56π＋α·sin ? ????
2π3－α
＝cos ??????π－? ????π6－α·sin ??????π－? ????π3＋α ＝－cos ? ????π6－α·sin ? ????π3＋α ＝－cos ? ????
π6－α·sin ?
?????π2－? ????π6－α ＝－cos ? ????π6－α·cos ? ??
??π6－α＝－13×13＝－1
9.
[针对训练] 已知cos(75°＋α)＝1
3，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值．
解：cos(105°－α)－sin(15°－α)
＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－23.
1.1.2 《弧度制》导学案 【学习目标】 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 【重点难点】 弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。 【学法指导】 1.了解弧度制的表示方法； 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 【知识链接】 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？ 自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： 1、 角的弧度制是如何引入的？ 2、 为什么要引入弧度制？好处是什么？ 3、 弧度是如何定义的？ 4、 角度制与弧度制的区别与联系? 三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数？ 2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？ 【学习过程】 （一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？ （二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。 <说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。 例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r παπ-=- =-=-． （三）角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 1801π =?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 (π5718'≈ 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： <试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067? 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o
高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第一章三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0 720”，怎么刻画？ 720”这样的动作名词，这里的“0 ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________ ， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。 4．象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则
数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公 式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123 a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+=】 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 二、公式法 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2111n S S n S a n n n 求解。 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。 解：由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时，有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-L ].)1(2[323])2(1[2)1(2)] 2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n Λ 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．
《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=
（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.
第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与通项公式 双基达标 (限时20分钟) 1．下列说法中，正确的是 ( )． A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列?? ?? ??n ＋1n 的第k 项是1＋1 k D ．数列0,2,4,6,8，…，可表示为a n ＝2n (n ∈N *) 解析 A 错，{1,3,5,7}是集合．B 错，是两个不同的数列，顺序不同．C 正确，a k ＝k ＋1k ＝1＋1 k .D 错，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)． 答案 C 2．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n －1)，…，则9是这个数列的 ( )． A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项 D ．第15项 解析 令a n ＝3(2n －1)＝9，解得n ＝14.
答案 C 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于 ( )． A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，所以x ＝5＋8＝13. 答案 C 4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 解析 a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，n ＝24. 答案 24 5．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1 2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递 减”)． 解析 由已知a 1>0，a n ＋1＝1 2a n (n ∈N *)， 得a n >0(n ∈N *)． 又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－1 2a n <0， ∴{a n }是递减数列． 答案 递减 6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，1 3， (2) 53，( )，1715，2624，3735 ，… (3)2,1，( )，1 2，… (4)32，94，( )，65 16 ，… 解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则 序号 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 数 912 812 712 ( ) 512 4 12 于是括号内填6 12，而分子恰为10减序号． 故括号内填1 2，通项公式为a n ＝10－n 12. (2) 53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1 ，
第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，
任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o
问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）?480； （２）?-760； （３）03932'?. 变式练习 1、 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。
2.3向量的坐标表示 2. 3.1平面向量基本定理 1．A 设向量23,42,m a b n a b =-=- 32p a b =+，试用,m n 表示p ，则p =__ 2．A 在ABC ?中，AB c =，AC b =，若点 D 满足2BD DC =，则AD =________ 3．B 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa ＋μb (λ，μ∈R )， 则λ μ = . 4．B D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、 AB 的中点，且BC =a ，CA =b ，给出下 列命题： ①12AD =-a -b ； ②BE =a +2 1b ； ③12CF =- a +2 1 b ； ④0AD BE CF ++=． 其中正确命题的个数是______________． 5．B 设a ，b 是不共线的两个向量，已知 2AB a kb =+， BC a b =+， 2CD a b =-，若A 、B 、D 三点共线， 求实数k 的值． 6．B 在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，1 3 BN BD =，求证,,M N C 三点共线. 7．C 如图，//OM AB ，点P 在由射线 OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的 阴影区域内(不含边界)运动，且 OP xOA y OB =+ → → → ，则x 的取值范围 是 ；当1 2 x =-时，y 的取值范围是 . 8．C 已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直
线与AB 、AC 两条边分别交于M 、N ，且AM x AB = → → ，AN y AC = → → .求11 x y +的 值. 2.3.2平面向量的坐标运算 专题1平面向量的坐标表示及坐标运算
高一数学必修五数列知识点 1.数列的函数理解： ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的 观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解 析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。 ③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用 一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。 数列通项公式的特点： (1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。 3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点： (1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有递推公式。 有递推公式不一定有通项公式。 注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。 1、ABC的三边a，b，c既成等比数列又成等差数列，则三角 形的形状是()
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 2、在等比数列{an}中，a6a5a7a548，则S10等于() A.1023 B.1024 C.511 D.512 3、三个数成等比数列，其积为1728，其和为38，则此三数为() A.3，12，48 B.4，16，27 C.8，12，18 D.4，12，36 4、一个三角形的三内角既成等差数列，又成等比数列，则三内角的公差等于() A.0 B.15 C.30 D.60 5、等差数列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比数列，则a1的值是()a4 A.1 B.2 C.3 D.4 6、某种电讯产品自投放市场以来，经过三年降价，单价由原来的174元降到58元，这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是() A.29% B.30% C.31% D.32% 7、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是。 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
一、解三角形1.正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C = = = 2.三角形面积公式 111sin sin sin 2 2 2 A B C S bc A ac B ab C = == 3.余弦定理2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 4.韦达定理1212b x x a c x x a ? +=-?????=?? 二、数列1.等差数列A P 定义：()12n n a a d n n N d -+-=≥∈，，是常数 通项公式：()()()111n m a a n d a n m d pn q p d q a d =+-=+-=+==-， 等差中项：2 a b A a A b A P += ?，，成 性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N ++=+∈，，， 若{}n a 为A P ，则123456789a a a a a a a a a ++++++，，，…仍成A P 前n 项和：() ()12 1112 2 22n n n a a n n d d d S na An Bn A B a +-??= =+ =+==- ?? ?， 性质：当项数为2n 时，S S nd -=偶奇22n n n n n S S S AP d n d --'=23，，成， 2.等比数列G P 定义： () 1 20n n a q n n N q a +-=≥∈≠，，通项公式： 1 1 10n n m n m n m a a a q a q c q c q ---??=?=?=?=≠ ??? 等比中项：)0g a b a g b GP =≠?，，，成 性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N +=∈，，，21122n n n n a a a a a -+-+=?=? 2 1726354a a a a a a a ?=?=?=前n 项和：()11111111 n n n a q a a q q S q q na q ?--?=≠=?--? =?，，性质：当项数为2n 时， S q S =偶奇 ；2n n n n n n S S S G P q q --'=23，，成，三、不等式1.性质a b b a >?>?>， a b a c b c >?+>+0a b c ac bc >>?>，0a b c ac bc >>?+>+， a b c d a c b d >-，00a b c d ac bd >>>>?>，01n n a b a b n N n +>>?>∈>，， 01a b n N n +>>? > ∈>， 2.均值不等式如果a b R + ∈， ，则 2 a b +≥，当且仅当 a b =时，等式成立如果a b R +∈，，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等式成立
2014级必修四 编号：4001 课题：角的概念的推广 编制人：李敏 审核人：王国燕 编制日期 ： 班级 姓名 一、学习目标： 1. 会判断角的大小； 2. 能够会用集合表示终边相同的角； 3. 会用集合表示表示象限角区间角以及终边在坐标轴上的角. 二、自主学习 1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？ 初中所研究的角的范围为 . 2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o ”（即转体 周），“转体1080o ”（即转体 周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度） 如果慢了5分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度） 3、在实际生活中有些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义？研究这些角的分类及记法？ 4、如何将角放入坐标系中讨论？ 角的顶点与 重合，角的 与x 轴的非负半轴重合. 象限角的定义： 5、终边相同的角 与60°终边相同的角有 , , …都可以用代数式表示为 . 与α终边相同的角如何表示？ 6、终边在以下象限中的角如何表示? 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角: 第四象限角 三．尝试练习 1、基础过关 (1)（A ）下列命题是真命题的有 .（填序号） ①三角形的内角必是第一二象限角 ②始边相同而终边不同的角一定不相等 ③第四象限角一定是负角 ④钝角比第三象限角小 (2)用集合表示下列各角：“第一象限角”、“锐角”、“小于90o 的角”、“0o ~90o 的角” 2、难点突破 (A) (1)写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. －15° 124°30′ (A) (2)求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： 210-； 731484'- ． (B) (3)若α是第二象限的角，试分别确定2α， 2α，3 α 的终边所在位置. (B) (4)如果α是第三象限的角，那么—α，2α的终边落在何处？ 四．巩固提高 (A)1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° (A)2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (B)3、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C (B)4、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 (B)5、若α是第四象限的角，则α- 180是 ． A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角 (C)6、设集合{} Z k k x k x A ∈+?<<+?=,30036060360| , {} Z k k x k x B ∈?<<-?=,360210360| , 求B A ,B A .
高中数学必修五公式大全 一、解三角形：ΔABC 的六个元素A, B, C, a , b, c 满足下列关系： 1、角的关系：A + B + C =____， 特殊地，若ΔABC 的三内角A, B, C 成等差数列，则∠B =_____， ∠A +∠C =____. 2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) =________, cos ( A + B ) = ________, sin ( 22B A +) = cos 2C , cos (22B A +) = sin 2 C . 3、边的关系：a + b > c , a – b < c （两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.） 4、边角关系：（1）正弦定理：2R === （R 为ΔABC 外接圆半径）， 分体型：2sin a R A =??=? ?=? ，推论：:::: a b c =. （2）余弦定理：22 2 __________________, __________________,__________________.a b c ??????? =+-=+-=+- 变形： cos ,cos ,cos . A B C ? =?? ?=?? ?=?? 5、面积公式：_____________________.ABC S ?=== 二、数列 （一）、等差数列{ a n }：定义：______________()-=常数 1、通项公式：1________,n a a =+推广:________.n m a a =+( m , n ∈N ) 2、前n 项和公式：____________.n S == 3、等差数列的主要性质 ① 若m + n = 2 p ，则 _________________（等差中项）( m , n ∈N ) ② 若m + n = p + q ，则 __________________ ( m , n , p , q ∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等差数列，公差为n d （二）、等比数列{ a n }：定义： ____,0q =≠ 1、通项公式：1____,n a a =推广：____.n m a a =( m , n ∈N )
用构造法求数列的通项公式 在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法： 一．利用倒数关系构造数列。 例如：}{n a 数列中，若),(41 1, 21 1N n a a a n n ∈+= =+求a n n n n n b b a b == +1,1 则设+4, 即n n b b -+1＝４， n b {∴｝是等差数列。 可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311 ,2 111N n a a a n n ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,2 2,111+= =+n n n a a a a 求a n 通项公式。 3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-?+≠=--且求a n . 二．构造形如2 n n a b =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52 2 11∈-==+ 解：设4,4,112 -=--==++n n n n n n b b b b a b 即则 ) ,71(,429429429)4()1(25254}{2 2 11N n n n a n a n n b a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-?-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列 练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-, 求数列{ a n }的通项公式。 三．构造形如n n a b lg =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且),,2(,lg 2 1 lg 1N n n a a n n ∈≥=-求a n . 解：由题意得： n n n n a b a a lg 2 1 lg lg 1=∴=-可设，， 即 ,2 1 1=-n n b b 110lg 2 1 1==∴b b n ，是等比数列，公比为 )(,)2 1 ()21(111N n b n n n ∈=?=∴--. 即1)21 (1 10,)2 1(lg -=∴=-n n n n a a 练习：（选自2002年高考上海卷） 数列{ a n }中，若a 1=3,2 1n n a a =+,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。 四．构造形如m a b n n +=的数列。 例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。 解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1） 设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1 则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7, 11271,27--?=+?=∴n n n n a b 即 1271-?=∴-n n a ，)(N n ∈ 构造此种数列，往往它的递推公式形如： 的形式和2)1(,1+=+≠+?=+n a S c d a c a n n n n 。 如：a n+1＝c a n +d,设可化成a n+1+x=c(a n +x), a n+1=c a n +(c-1)x 用待定系数法得： (c-1)x ＝d
1 向量线性运算的应用 平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简 例1 化简下列各式： (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)； (2)1 24[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )]. 解 (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD → ) ＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD → ＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →. (2)1 24 [3(2a ＋8b )－6(4a －2b )] ＝124(6a ＋24b －24a ＋12b )＝1 24(－18a ＋36b ) ＝－34a ＋32 b . 点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数 例2 如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成
立，则m ＝________. 解析 如图， 因为MA →＋MB →＋MC → ＝0， 即MA →＝－(MB →＋MC →)， 即AM →＝MB →＋MC →. 延长AM ，交BC 于点D ， 所以点D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD → ， 所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →， 所以m ＝3. 答案 3 点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值. 三、表示向量 例3 如图所示，在△ABC 中，AD →＝23AB → ，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用向量a ，b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM → . 解 因为DE ∥BC ，AD →＝23 AB → ， 所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB → ＝b －a . 由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝2 3(b －a ). 又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ，
《必修五知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C 中， a b c 、 C 的对边，，则有 a b c 2R 、、分别为角、 sin sin sin C ( R为 C 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ① a 2Rsin ， b 2R sin ， c 2Rsin C ； ② sin a ， sin b ， sin C c ； 2 R 2R 2 R ③a : b : c sin :sin :sin C ； 3、三角形面积公式：S C 1 bc sin 1 ab sin C 1 ac sin ．2 2 2 4、余弦定理：在 C 中，有a2 b2 c2 2bc cos ，推论： cos A b2 c2 a 2 2bc b2 a2 c 2 2ac cos B ，推论：cos B a 2 c2 b2 2ac c2 a2 b2 2ab cosC ，推论： cosC a2 b2 c2 2ab 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、 无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于 180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （ 4）正弦定理中,a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC，其中 R 是△ ABC 外接圆半径 .
（ 5）在余弦定理中 :2bccosA= b 2 c 2 a 2 . （ 6）三角形的面积公式有 :S= 1 ah, S= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 acsinB ,S= P( P a) (P b)( P c) 其 2 2 2 2 中， h 是 BC 边上高， P 是半周长 . 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （ 1）已知两角及一边，求其它边角，常选用 正弦定理 . （ 2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用 正弦定理. （ 3）已知三边，求三个角，常选用 余弦定理. （ 4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用 （ 5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用 余弦定理. 正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边 . 4、三角形中的三角变换 （ 1）角的变换 因 为 在 △ABC 中 ， A+B+C=π ， 所 以 sin(A+B)=sinC ； cos(A+B)= － cosC ； tan(A+B)= － tanC 。 sin A B cos C , cos A B sin C ； 2 2 2 2 （ 2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径， p 为周长之半 （ 3）在 △ ABC 中，熟记并会证明： ∠ A ，∠ B ， ∠C 成等差数列的充分必要条件是 ∠ B=60°；△ ABC 是正三 角形的充分必要条件是 ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 成等差数列且 a ，b ，c 成等比数列 . 三、解三角形的应用 1.坡角和坡度： 坡面与水平面的锐二面角叫做坡角， 坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度， 用 i 表示，根据定 义可知：坡度是坡角的正切，即 i tan .