1.1.2 弧度制
一、教学目标
①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
二、教学重点、难点
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
三、学习方法：自学完成学案
四、学习过程
（1）复习引入.
1、复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系
. 提出问题：
①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？
② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？
③角的范围是什么？如何分类的？
二）概念形成
(1)初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：
①角的弧度制是如何引入的？
②为什么要引入弧度制？好处是什么？
③弧度是如何定义的？④角度制与弧度制的区别与联系?
2．学生动手画图来探究：
①平角、周角的弧度数
②角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
③角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
3．角度制与弧度制如何换算？
4．初中学过用角度制计算弧长及扇形面积，现在用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢？
5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同. 角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
三、应用举例
例1：（1）把'
30
67 化成弧度（精确到0.001）
（2）把'
30
67 化成弧度（用π表示）
例2：把rad
5
3
化成度
例3：填写下表：
例4：直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴
3⑵
165
例5：已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．
归纳小结：
我的收获：
我的疑问:
我还想知道:
1．布置作业:练习2.3.
2．习题A的4、7
1.1.2 弧度制 一、教学目标 ①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. ③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 二、教学重点、难点 重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 三、学习方法：自学完成学案 四、学习过程 （1）复习引入. 1、复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 . 提出问题： ①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ ② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？ ③角的范围是什么？如何分类的？ 二）概念形成 (1)初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？ 1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： ①角的弧度制是如何引入的？ ②为什么要引入弧度制？好处是什么？ ③弧度是如何定义的？④角度制与弧度制的区别与联系? 2．学生动手画图来探究： ①平角、周角的弧度数 ②角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ ③角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？ 3．角度制与弧度制如何换算？ 4．初中学过用角度制计算弧长及扇形面积，现在用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢？ 5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同. 角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 三、应用举例 例1：（1）把' 30 67 化成弧度（精确到0.001） （2）把' 30 67 化成弧度（用π表示） 例2：把rad 5 3 化成度 例3：填写下表：
《弧度制》教学设计 教材分析 “弧度制”是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容。一般在高一函数学完以后上。前面所学的任意角为本节课的学习起到铺垫作用。应用弧度制，能使三角的有关计算大大简化；弧度的扇形模型体现了把线段和弧的度量单位统一的思想，为今后学习三角函数带来很大的方便。通过本节课的学习学生可以认识到角度制的产生和弧度制的产生过程十分相似，都是利用等分圆周得到单位弧长，从而定义单位角的大小。不同点在于把圆周按不同方式进行等分。 教学目标 1．理解弧度的意义,能够正确进行角度与弧度的换算． 2．能熟记特殊角的弧度． 3．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并且能够解决一些简单实际问题． 教学重点 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算. 教学难点 理解弧度制定义. 教学方法 在自主学习中通过类比角度制得到弧度制。 学情分析 同学们在初中已经学过角度制并在上一节课学过任意角，也已经掌握了一些基本单位的转化方式，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便。 一 、引入新课 1. 1磅等于多少公斤？ 设计意图：通过介绍郎平的体重说明一个量可以有多种度量制度。 2. 设计意图：通过比较大小让学生发现 是实数，是十进制，而 是角度，是六十进制，单位不统一，不能直接比较大小，要想比较大小，必须将单位统一，一个是角度的六十进制运算，一个是实数的十进制运算，那种更简单？从而引入本节课的主题—角的新的度量方式 二、探索新知 问题： 1．将射线OB 绕着O 点进行旋转，我们可以发现什么？ 2． ）的角是如何定义的？ 度（?11比大小？和? ?3030sin 2 130sin =??30
第（1）课时 课题：书法---写字基本知识 课型：新授课 教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。2、了解我国书法发展的历史。3、掌握基本笔画的书写特点。 重点：基本笔画的书写。 难点：运笔的技法。 教学过程： 一、了解书法的发展史及字体的分类： 1、介绍我国书法的发展的历史。 2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。 二、讲解书写的基本知识和要求： 1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正） 2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。 三、基本笔画书写 1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。 2、教师边书写边讲解。 3、学生练习，教师指导。（姿势正确） 4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。 5、学生练习，教师指导。（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。 板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸 我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。 总第（2）课时 课题：书写练习1 课型：新授课 教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。2、使学生理解“杏花春雨江南”
§3 弧 度 制 , ) 1．问题导航 (1)“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？ (2)“2 rad ”的角终边在第几象限？ (3)30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度数是多少？ 2．例题导读 P 10例1.通过本例学习，学会把角度换算成弧度，并留意，不要用“rad ”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面． 试一试：教材P 12习题1－3 T 1你会吗？ P 10例2.通过本例学习，学会把弧度换算成度，并留意，“度”的单位“°”不能省略． 试一试：教材P 12习题1－3 T 2你会吗？ 1．度量角的单位制 (1)角度制 规定周角的1 360 为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)单位圆 半径为1的圆称为单位圆． (3)弧度制 当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，称这个常数为该角的弧度数． 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad ，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制． 2．弧度数与弧长公式 (1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0． (2)公式：如图所示，l 、r 、α分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数． 弧度数公式：|α|＝l r ； 弧长公式：l ＝|α|r ； 这就是说，弧长等于弧所对的圆心角弧度数的确定值与半径的积． 3．角度制与弧度制的换算 (1)角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad ＝360° 180°＝π rad π rad ＝180° 1°＝π 180 rad ≈0.017_45 rad 1 rad ＝⎝⎛⎭ ⎫180π°≈57.30°＝57°18′ (2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系 角度 数 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧度数 π12 π6 π4 π3 5π12 π2 2π3 3π4 5π6 角度 数 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度数 π 7π6 5π4 4π 3 3π2 5π3 7π4 11π 6 2π 4.弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l ＝|n |πr 180 l ＝|α|r 扇形面积公式 S ＝|n |πr 2 360 S ＝|α|2r 2＝1 2 lr 留意事项 r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度数 r 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数， l 是弧长 明显弧度制下的两个公式在形式上都要简洁得多，记忆和应用也就更加便利． 留意：在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但假如已知角是以“度”为单位，则应当先化成弧度后再计算． 1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( ) (2)周角的大小是2π.( ) (3)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( ) 解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．周角的大小是2πr r ＝2π. (3)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝π 2 ，故其圆心角是直角． 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3 B ．－10 3 π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π6 D.π 12 化成度是15° 解析：选C.对于A ，60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－10 3×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150× π180＝－5π6；对于D ，π12＝1 12 ×180°＝15°. 3．已知圆的半径为2，则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的弧度数为________． 解析：|α|＝l r ＝4 2 ＝2. 答案：2 4．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l ＝________，面积S ＝________． 解析：由于α＝60°＝π3，r ＝1，所以l ＝|α|·r ＝π 3， S ＝12r ·l ＝1 2×1×π3＝π6 .
高中数学第一章三角函数1.1.2 弧度制学案（含解析）新人教A版必修4 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.1.2 弧度制学案（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数1.1.2 弧度制学案（含解析）新人教A版必修4的全部内容。
1。1。2弧度制 班级:__________姓名：__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒ 学习目标 1．了解弧度制的概念. 2．能进行弧度和角度的互化。 3．会计算弧长和扇形面积. 学习重点 理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算 学习难点 弧度的概念及其与角度的关系 自主学习 1．角的单位制 （1）角度制 (2)弧度制
2．任意角的弧度数与实数的对应关系 （1)正角:正角的弧度数是一个___________. （2）负角：负角的弧度数是一个___________。 （3)零角：零角的弧度数是___________. (4）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l那么，角α的弧度数的绝对值是｜α｜=________. 3．角度与弧度的互化 4．弧度制下的弧长与扇形面积公式 若扇形的半径为R,弧长为l，面积为S，圆心角为α（0〈α〈2π），则 （1)弧长公式______ :l=___________. (2)扇形面积公式:S=___________＝___________. 预习评价 1．下列各种说法中，不正确的是
2019-2020年高中数学1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教案新人教 A版必修4 一、教学目标 1．知识目标： ①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. 2. 能力目标： ①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系. ②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. ③通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力. 3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解. 二、教学重点、难点 重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 三、教学方法 自学—讨论—讲授—练习 先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学. 四、教学过程
读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫 做弧度制． ②平角、周角的弧度数：平角= rad 、周角=2 rad ③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角 的弧度数是0 ④角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径） 3．角度制与弧度制的换算： ∵ 360=2 rad ∴180= rad ∴ 1= '185730.571801 =≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad 4． 用弧度制表示弧长及扇形面积 公式： ① 弧长公式： 由公式： 比公式简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半 径的积 ②扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径 5．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间 建立一种一一对应的关系 正角 正实数 o R S l
弧度制（一） 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊 角的弧度数． （二） 过程与能力目标 能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式， 并能运用公式解决一些实际问题 （三） 情感与态度目标 通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与 角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简 洁美． 教学重点 弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点 “角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程 一、复习角度制： 初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的 360 1作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入： —弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫
做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考： （1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关 吗？ （2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=r r ②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度： π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈= ︒π；rad n n 180 π=︒． ②将弧度化为角度： ︒=3602π；︒=180π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；︒=) 180 (π n n ． 5．常规写法： ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度
1.1.1 弧度制 【学情分析】：（适用于特色班） 教学对象是高一的学生，在前面已经系统学习了任意角的概念，学生对用角度来表示角已经相当熟练，在此基础上引进角的另一种度量方式——弧度制。由于这种度量方式的定义较抽象，是以比值来定义角的大小，不像角度制那样可以看得见，能体会得到，而高一学生的抽象思维水平发展有限，因此应多结合具体实例来说明弧度制的合理性和必要性，从具体实例出发，慢慢抽象概括，最后得角的弧度制定义，这符合学生的认知规律。 【教学三维目标】： 一、知识与技能 1、1弧度的角的定义； 2、弧度制的定义； 3、角度与弧度的换算； 4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式； 5、角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系； 二、过程与方法 1、理解1弧度的角、弧度制的定义； 2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算； 3、熟记特殊角的弧度数； 4、理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系； 5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题； 三、情感态度与价值观 使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质. 【教学重点】：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 【教学难点】：理解弧度制定义，弧度制的运用. 【课前准备】：计算器、投影机、三角板 【教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图 一、复习引入【创设情境】 1、度量角的大小第一种单位制—角度制的定义 初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角 是如何定义的？ 规定周角的 360 1 作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫 做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为 180 r n l π = 2、探究 30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l， 再计算弧长与半径的比 结论：圆心角不变，则比值不变， 直接抛出弧度制的 定义。
2019-2020年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4 【学习目标】 1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数； 2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 ； 【重点、难点】 弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 【温故而知新】 1.复习填空 （1）角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 1 度，故一周等于 度，平角等于 度，直角等于 度. （2）所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 . 【教材助读】 1.认真阅读课本P9—11，理解弧度制，并思考完成以下问题 (1)角的弧度制是如何引入的？ (2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？ (4)规定：周角 为1度的角； 叫做1弧度的角. (5)角度制与弧度制相互换算： 1弧度= （度）；1度= （弧度） (6)弧长公式： (7)扇形面积公式： lr r r n S 2 1 2136022=⋅==απ 【预习自测】 1.将下列表格中特殊角的度数转化为弧度制 2、下列说法中，叙述错误的是( D ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C ．根据弧度的定义，一定等于弧度 D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 3、求半径为，圆心角为所对应的弧长和扇形的面积。 【我的疑惑】 二、课堂互动探究 【例1】1.把下列各角从度化为弧度： （1） （2） （3） （4） （5）
解：(1) (2) (3) (4) (5) 2.把下列各角从弧度化为角度： （1） （2） （3） （4） （5） 解：（1） （2） （3） （4） （5） 【例2】将下列各角化成)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 的形式,并确定其所在的象限． ； ． 解: (1) 而是第三象限的角,是第三象限角. (2) 6 31,656631π πππ- ∴+-=- 是第二象限角. 【变式训练1】用弧度制分别表示终边在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴，轴上 的角的集合。 【例3】在平面直角坐标系中，，角的终边与角的终边分别有如下关系时，求角. （1）若，两角的终边关于轴对称； （2）若，两角的终边关于轴对称； （3）若，两角的终边关于原点对称； （4）若，两角的终边关于对称； 【例4】（1）已知半径为的圆上，有一条弧的长为,求该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值。 （2）知扇形的周长为，圆心角为，，求该扇形的面积。 解：（1）（弧度） （2）由题意有：即 则：)(4222 1 21222cm r S =⨯⨯=⋅=α 【我的收获】 三、课后知能检测 1.弧度化为角度是( C ) A ．110° B ．160° C ．108° D ．218° 2. －105°转化为弧度数为( B ) A.712π B ．－712π C ．－76π D ．－73 π 3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( B ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718 π
1、1、2弧度制 有人问：某某到某某有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？〔1英里=1.6公里〕 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 一、[学习目标] 1、理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换； 2、能用弧度表示终边相同角的角； 3、熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式. 二、[自学内容和要求及自学过程] 1、阅读教材第6页内容，回答以下问题〔弧度制〕 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？ <1>什么叫角度制，请简要复述之. 结论：角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1 度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. <2>什么叫做弧度制，请简要复述之. 结论：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).如下图： <3>半径为r 的圆的圆心与圆点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆于点A ，终边与圆交于点B.请在以下表格中 弧AB 的长 OB 旋转的方向 AOB ∠的弧度数 AOB ∠的度数 r π 逆时针方向 π 1800
2r π 逆时针方向 2π 3600 r 逆时针方向 1 57.50 2r 顺时针方向 2- -1150 πr 顺时针方向 π- -1800 0 逆或顺时针 0 00 πr 逆时针方向 π 180︒ 2πr 逆时针方向 2π 3600 结论：我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. <4>如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少? 结论：角α的弧度数的绝对值是：r l /=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 角的正负主要由角的旋转方向来决定 注意：①在应用公式r l /=α求圆心角时，其结果是圆心角与弧度的绝对值.在物理学中计算角速度经常用到它，它的正负主要由角的旋转方向来决定；②这个公式可变形为)0(||/||≠==αααl r r l 、，在应用这两个公式时，如果的角以“度〞为单位，应先把它们化成弧度数后再计算.可以看出，这些公式各有各的用处. 2、阅读教材第7页内容，回答以下问题〔弧度制与角度制的转换〕 用角度制和弧度制来 度量零角，单位不同，但量数相同〔都是零〕；用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同. <5>角度制和弧度制应该怎样转换？ 结论：因为圆周的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以： 3600=2πrad ，1800=πrad ，10=〔π/180〕 rad ≈0.01745rad.反过来有1rad=〔180/π〕 0≈57.300=57018‘. 一般地，我们可以根据如 下图的公式进行角度与弧度的换算. <6>请你设计一个算法，把角度换算为弧度.
[A.基础达标] 1．－630°化为弧度为( ) A ．－7π2 B ．7π4 C ．－7π16 D ．－7π4 解析：选A.－630°＝－630× π180＝－7π 2 . 2．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选C.由于α＝－3≈－3×57.30°＝－171.9°， 所以α的终边在第三象限． 3．与角2 3π终边相同的角是( ) A.113 π B ．2k π－2 3π(k ∈Z ) C ．2k π－10 3 π(k ∈Z ) D ．(2k ＋1)π＋2 3 π(k ∈Z ) 解析：选C.选项A 中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A 错；2k π－2 3 π，k ∈Z ，当k ＝1时，得[0，2 π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B 错；2k π－103π，k ∈Z ，当k ＝2时，得[0，2π)之间的角为2 3 π， 与23π有相同的终边，故C 对；(2k ＋1)π＋23π，k ∈Z ，当k ＝0时，得[0，2π)之间的角为5 3 π，故D 错． 4．已知扇形的周长是3 cm ，面积是1 2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．1或4 C ．4 D ．2或4 解析：选B.设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝3，12l ·r ＝1 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝12 ，l ＝2， 故|α|＝l r ＝1或4. 5．扇形圆心角为π 3 ，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9 解析：选B.如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a 3 ， 所以S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 2 6， 所以S 圆S 扇＝2 3 . 6．在[－2π，2π]内，与α＝－11π 3的终边相同的角为________． 解析：与α＝－11π 3 终边相同的角的集合为 P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫β|β＝－11π3＋2k π，k ∈Z ， 令k ＝1，2，得β＝－5π3，π 3 . 答案：－5π3，π 3 7．将时钟拨慢了15分钟，则分针转过的弧度数是________． 解析：由于时钟拨慢了15分钟，所以分针逆时针旋转了90°，即分针转过的弧度数为π 2 . 答案：π2 8．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π 3 m ，则这座大钟分针的长度为 ________ m. 解析：由于分针20 min 转过的角为2π 3 ，所以由l ＝αr ， 得r ＝l α＝π32π 3 ＝0.5(m)， 即这座大钟分针的长度为0.5 m. 答案：0.5 9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并推断2 014°是不是这个集合的元素． 解：由于150°＝56π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ β|56π＋2k π≤β≤32π＋2k π，k ∈Z . 由于2 014°＝214°＋5×360°＝107π 90＋10π. 又56π<107π90<3π2 ，
第一章三角函数三角函数 1．1任意角和弧度制 1．1.2弧度制 1．理解并把握弧度制的定义，理解1弧度的定义，能娴熟进行弧度与角度的互化． 2．理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运用弧长、扇形面积公式计算． 基础梳理 一、弧度制的概念 1．弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2．正角、零角、负角的弧度数． (1)正角的弧度数是一个正数； (2)零角的弧度数是零； (3)负角的弧度数是一个负数． 思考应用 1．肯定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？ 解析：由弧度定义，肯定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是确定的，与圆的半径大小无关． 二、角度制与弧度制的互化 角度制与弧度制的换算：由于周角所对的弧是整个圆周，其长为2π·r，所以周角的弧度数是2π，但周角又等于360°，所以360°＝2π，所以180°＝π，故得：1°＝ π 180rad，1 rad＝⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 180 π°≈57.3°＝57°18′. 附：完成常用角的弧度角度换算表： 2．如何理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系？ 解析：在角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角．由于角度制是六十进位制，而弧度制是十进位制，故在弧度制下，争辩问题更加便利． 三、弧长公式与扇形面积公式
1．角度制：半径为R ，圆心角为n °的扇形中，圆心角所对的弧长l 和面积S 分别为： 弧长l ＝n π·r 180，扇形的面积S ＝n π·r 2 360 ． 2．弧度制：半径为R ，圆心角为α rad 的扇形中，圆心角所对的弧长l 和面积S 分别为： 弧长l ＝|α|r ，扇形的面积S ＝12l ·r ＝1 2|α|·r 2． 练习：扇形弧长为π，面积为π，圆的半径是2． 解析：弧长l ＝π.∵S 扇＝1 2lr ＝π， ∴1 2×πr ＝π，即r ＝2，∴圆的半径为2. 思考应用 3．依据扇形的面积公式和弧长公式，在弧长，面积，圆心角，半径四个量中，可以知道几个量就可以求出其他的量？ 解析：只需知道两个量就可以求出其他量．例如：已知扇形的弧长为π，面积为π，则可求所在圆的半径R 和圆心角α. 由l ＝|α|·r ，得π＝|α|·r ⇒|α|＝πr ， 又由S ＝12|α|·r 2，得π＝1 2|α|·r 2， 将|α|＝πr 代入得π＝12·πr ·r 2 ，解得r ＝2. 自测自评 1．下列说法正确的是(A ) A ．1弧度角的大小与圆的半径无关 B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D ．用弧度表示的角都是正角 解析： ∵1 rad ＝180° π ＝57.3°＝57°18′，其大小与圆的半径无关． 2．某扇形的面积为1 cm 2，周长为4 cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为(B ) A ．2° B ．2 C ．4° D ．4 解析： ∵4＝|α|·r ＋2r ⇒r ＝4 2＋|α|， 且1＝1 2 |α|·r 2， ∴1＝12|α|·⎝ ⎛⎭ ⎪⎪ ⎫4|α|＋22，解得|α|＝2，故选B. 3. 若将钟表拨慢30分钟，则时针转了多少度？多少弧度？分针转了多少度？多少弧度？ 解析： 钟表拨慢30分钟，按逆时针方向旋转，为正角． 时针转了30×360°12×60＝15°，表示15°，π12弧度； 分针转了30×360° 60，表示180°，π弧度． 4．(1)将－300°化为弧度是－5 3 π；
. 弧度制 一、教课目的： 1、知识与技术 〔1〕理解并掌握弧度制的定义；〔 2〕领悟弧度拟订义的合理性；〔 3〕掌握并运用弧度制表 示的弧长公式、扇形面积公式；〔 4〕娴熟地进行角度制与弧度制的换算；〔 5〕角的会合与 实数集 R 之间成立的一一对应关系.(6)使学生经过弧度制的学习，理解并认识到角度制与 弧度制都是对角胸怀的方法，两者是辨证一致的，而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法 创建情境 , 引入弧度制胸怀角的大小, 经过研究理解并掌握弧度制的定义, 领悟定义的合 理性 . 依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式. 以详细的实例学习角度制与 弧度制的互化 , 能正确使用计算器. 3、神态与价值 经过本节的学习，使同学们掌握另一种胸怀角的单位制--- 弧度制，理解并认识到角度 制与弧度制都是对角胸怀的方法，两者是辨证一致的，而不是孤立、割裂的关系. 角的观点 推行此后 , 在弧度制下 , 角的会合与实数集R 之间成立了一一对应关系: 即每一个角都有唯 一的一个实数 ( 即这个角的弧度数) 与它对应；反过来，每一个实数也都有独一的一个角〔即 弧度数等于这个实数的角〕与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教课重、难点 要点 :理解并掌握弧度拟订义；娴熟地进行角度制与弧度制地互化换算； 弧度制的运用. 难点 :理解弧度拟订义，弧度制的运用. 三、学法与教课器具 在我们所掌握的知识中，知道角的胸怀是用角度制，可是为了此后的学习，我们引入了弧度 制的观点，我们必定要正确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上娴熟掌握角度制与弧度制的 互化 . 教课器具 : 计算器、投影机、三角板 四、教课假想 【创建情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250 公里，但也有人回答约160 英里，请问 那一种回答是正确的？〔 1 英里 =1.6 公里〕 明显，两种回答都是正确的，但为何会有不一样的数值呢？那是由于所采纳的胸怀制不 同，一个是公里制，一个是英里制. 他们的长度单位是不一样的，可是，他们之间能够换算：1 英里 =1.6 公里 . 在角度的胸怀里面，也有近似的状况，一个是角度制，我们已经不再陌生, 此外一个就 是我们这节课要研究的角的此外一种胸怀制--- 弧度制 . 【研究新知】 1．角度制规定：将一个圆周分红360 份，每一份叫做 1 度，故一周等于360 度，平角 等于 180 度，直角等于90 度等等 . 弧度制是什么呢？ 1 弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧 度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本P6 P7，自行解决上述问题. 2. 弧度制的定义 y [ 展现投影 ] 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1 rad，
课题：1.1.2 弧度制 一、教材分析： 1、教材地位与作用： 本节课是普通高中实验教科书人教A 版必修4第一章第一节第二课时.本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度” ，并且上节课学了任意角的概念，将角的概念推广到了任意角；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用.通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式.另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便. 2、教材内容分析： 新的教育理念认为：数学教学过程就是学生对有关的数学内容进行探索，实践与思考的过程，所以学生应当成为学习活动的主体，教师应成为学习活动的组织者、引导者与合作者.在教学中教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性，引导学生开展观察、比较、概括、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过这些活动，掌握基本的数学知识与技能.教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者. 教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角，接下来用四点来分析教材的内容： （1） 要弄清1弧度的意义.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单. （2） 通过实例和几何画板演示，来讲述1弧度的含义，这样便于学生概念的理解，通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法在运算中具有优越性； （3） 关于弧度与角度二者的换算，教学时应抓住： 180 1π = ︒弧度；1弧度︒=)180 ( π （4） 由例2应让学生知道，无论是利用角度制还是弧度制，都能在已知弧长和半径 的情况下推出扇形面积公式，但利用弧度制来推导要简单中些．
1．1.2弧度制 明目标、知重点 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的 1 360. (2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． ②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零． ③角的弧度数的计算 假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝l r. 2．角度制与弧度制的换算 (1) 角度化弧度弧度化角度 360°＝2π rad2π rad＝360° 180°＝π radπ rad＝180° 1°＝ π 180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝⎝ ⎛ ⎭ ⎫ 180 π°≈57.30° (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度0°1°30°45°60°90° 弧度0 π 180 π 6 π 4 π 3 π 2 度120°135°150°180°270°360° 弧度2π 3 3 4π 5π 6π 3π 22π 3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别α为角度制α为弧度制 扇形的弧长l＝ απR 180l＝α·R 扇形的面积S＝ απR2 360S＝ 1 2l·R＝ 1 2α·R2 [情境导学]学校几何争辩过角的度量，规定周角的 1 360 作为1°的角．我们把用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今日我们就来争辩这种新的单位制—弧度制． 探究点一弧度制 思考11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示， ∠AOB就是1弧度的角． 思考2假如一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律． AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数 ∠AOB 的度数 0没旋转00° π 2r 顺时针方向－ π 2－90° πr逆时针方向π180° 2πr顺时针方向－2π－360° πr 180 逆时针方向 π 1801° r逆时针方向1⎝⎛⎭⎫ 180 π° （
1.1.2弧度制 学习目标核心素养1.体会引入弧度制的必要性，了解弧度制 下，角的集合与实数集之间的一一对应 关系． 2．能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽象素养．2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养. 1．度量角的两种单位制 角度制 定义用度作为单位来度量角的单位制1度的 角 周角的 1 360为1度的角，记作1° 弧度制 定义以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度 的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角.1弧度记作1 rad 2．弧度数的计算 思考：比值l r 与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧 度 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π5.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝ 1 2lR＝ 1 2αR 2. 1．下列说法中错误的是() A．1弧度的角是周角的 1 360 B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制 C．1弧度的角大于1度的角 D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 A[A错误，1弧度的角是周角的 1 2π.B、C、D都正确．] 2．(1) 7π 5化为角度是________． (2)105°的弧度数是________． (1)252°(2) 7π 12[(1) 7π 5＝⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 7π 5× 180 π°＝252°； (2)105°＝105× π 180rad＝ 7π 12rad.] 3．半径为2，圆心角为 π 6的扇形的面积是________． π 3[由已知得S扇＝ 1 2× π 6×2 2＝ π 3.]
2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.1.2 弧度制学案新人教A版必修4 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.1.2 弧度制学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.1.2 弧度制学案新人教A版必修4的全部内容。
1.1。2 弧度制 学习目标1。理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换（重点).2。体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的一一对应关系。3。掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式（重、难点)． 知识点1 弧度制 1．度量角的两种制度 角度制 定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的 1 360 为1度的角，记作1° 弧度制 定义以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度 的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧 度记作1 rad 2．弧度数的计算 (1)正角：正角的弧度数是一个正数． （2）负角：负角的弧度数是一个负数． (3）零角：零角的弧度数是0． (4）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是｜α｜＝错误!． 3．角度制与弧度制的换算 角度化弧度弧度化角度 360°＝2π_rad2π rad＝360° 180°＝π_radπ rad＝180° 1°＝错误!rad≈0.017 45 rad 1 rad＝（错误!)°≈57。30° 度数×错误!＝弧度数弧度数×（错误!）°＝度数 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”) （1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．( ）