二、层次分析法（APH ）
2.1.1正互反矩阵
则称A 为正互反矩阵。
1 3
4
1
2.1.2层次分析法的步骤
（1）建立层次结构模型：
j ij G 与Cj 比
相等 较强 强 很强 绝对强 a ij
1
3
5
7
9
1、单层排序
求解判断矩阵 A 的最大特征值
’max ，再由最大特征值求出对应的特征向量
-'A ，二’max ，'，并将••标准化，即为同一层相对于上一层某一因素的权重，根据此
右矩阵A = a 」满足
m n
a ij 0
;② a ” =
1
a ji
如: 目标层0
准则层C
方案层P
（2）构造判断矩阵
P2
P4
P 1
P3
决策目标
准则C1 准则C2 准则Cn
权重的大小，便可确定该层因素的排序。
2、一致性检验
取一致性指标Cl =Ax n，（n为A的阶数）
n —1
取随机性指标Rl如下：
令CR ，若CR ：：： 0.1，则认为A具有一致性。
Rl
否则，需要对A进行调整，直到具有满意的一致性为止。
（4）层次总排序及一致性检验
假定准则层C1,C2JH,C n排序完成，其权重分别为a1,a2^|,a n，方案层P包含m个方案：R,P2」ll,R m。其相对于上一层的Cj（ j =1,2,|H,n ）对方案层P中的m个方案进行单
层排序，其排序权重记为b.j,b2j,|||,b mj j=1,2,|||,n，则方案层P中第i个方案Pi的总
n
排序权重为a a j b ij，见下表：
j生
从而确定层的排序。
例：（企业利润分配模型）
方案：发奖金（R ），建基础设施（R ），办培训班（巳），建俱乐部（P4 ），引进新设备（R ）。
解：（1）建立层次结构模型
(2)构造判断矩阵O-C
1 3
3 ,求得扎max =3.0385 ,得到⑷，将㈢标准化㈢=(0.105, 0.632, 0.258) 1 (3)构造判断矩阵 C ! - P 、C 2 - P 、c 3 - P
二 0.491,0.232,0.092,0.138,0.046 二 0. 055, 0. 564, 0. 1 18, 0.2034 06,0.406,0. 094, 0. 094
(4)层次总排序
CI =0.0193
RI =0. 58 CR = 0. 0 3 3：2
0.(具有满意的一致性)
目标层o
准则层C
方案层P
1 5 1 1 3
G -P
C 2 - P C 3 -P
1 -13
2 5
3 111
一
一
1
一
3
5 3 2
1 1 --
2 1
3
4 2 1111
一
一
一 一
1
‘1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 <3 3
max
-5.126 max
= 4.117
max
合理使用
利润
3 5
C1C2C3
- 方案总排序
0.1050.630.258
P0.49100.4060.157
P20.2320.0550.4060.164
P30.0920.5640.0940.393
P40.1380.1180.0940.113
P50.0460.26300.172排序结果为：P3.F5.P2.P1.F4
层次分析法（AHP） 对于草地农业生态系统这个涉及复杂的社会、经济、生态问题的系统，过去的系统分析与设计常常凭经验，靠主观判断进行，缺乏应有的科学性，因而往往造成重大失误。层次分析法是一种新的定性分析与定量分析相结合的系统分析方法，是将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法，简称AHP（The Analytic Hierarchy Process)法。近年来，层次分析法在草地农业生态系统的系统分析、设计与决策中日益受到重视。 1层次分析法的基本方法和步骤 层次分析法是把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构。通过两两比较的方式确定各个因素相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总排序。运用层次分析法进行系统分析、设计、决策时，可分为4个步骤进行； （1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构； （2）对同一层次的各元素关于上一层中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵； （3）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重； （4）计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序， 2递阶层次结构的建立 首先把系统问题条理化、层次化，构造出一个层次分析的结构模型。在模型中，复杂问题被分解，分解后各组成部分称为元素，这些元素又按属性分成若干组，形成不同层次。同一层次的元素作为准则对下一层的某些元素起支配作用，同时它又受上面层次元素的支配。层次可分为三类； （1）最高层：这一层次中只有一个元素，它是问题的预定目标或理想结果，因此也叫目标层； （2）中间层：这一层次包括要实现目标所涉及的中间环节中需要考虑的准则。该层可由若干层次组成，因而有准则和子准则之分，这一层也叫准则层； （3）最底层：这一层次包括为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。 目录 1简介 2定义 3优缺点 ?优点 ?缺点 4基本步骤 5注意事项 6应用实例 1简介编辑 层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。 在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升 购物层次分析模型
学志愿的问题等等。在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。这些因素是相互制约、相互影响的。我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析以及最终的决策提供定量的依据。 2定义编辑 所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。 及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 3优缺点编辑 优点 1. 系统性的分析方法 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各个因素对结果的影响，而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果，而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的，非常清晰、明确。这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价。
浅谈对层次分析法（AHP的认识 层次分析法的简介及学习体会 层次分析法（AHP ）就是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。 短学期里，在有限的几节课上，老师给我们介绍了层次分析法的背景、基本步骤、应用与解法等。现在，我将在本文中浅谈一下自己上完课后对层次分析法的认识理解，阐述层 次分析法的基本步骤，并举出一个使用层次分析法的案例，最后对层次分析法的优缺点进行 评估。 层次分析模型是数学建模中常用的模型。在现实世界中，无论是日常工作还是生活，涉 及经济社会等因素，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题、选择升学志愿 的问题、对企业进行评估的实例等等。在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面 的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为 分析、决策提供定量的依据。 层次分析法的基本步骤 1. 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标一准则或指标一方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 如在老师教案中的例子一一选择旅游地中，将决策问题分为3个层次：目标层0,准则 层C,方案层P;每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。通过相互比 较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。 2. 构造成对比较阵 用成对比较法和1-9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。 3. 计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。 4. 计算组合权向量（作组合一致性检验*） 组合权向量可作为决策的定量依据。 层次分析法的案例分析AHP建模实例
层次分析法 出自 MBA智库百科(https://www.doczj.com/doc/a819212235.html,/) 层次分析法（The analytic hierarchy process,简称AHP），也称层级分析法\什么是层次分析法 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C 中确定哪个作为最佳地点。 [编辑] 层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。 2、构造成对比较阵。从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。 3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。
1.层次分析法 层次分析法，简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。层次分析法是在20世纪70年代初，由美国著名的运筹学专家萨蒂教授提出的，萨蒂教授在进行"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题研究时，提出了一种层次权重分析的方法。 层次分析法简单来说，就是将需要解决的问题，归为一个系统。并且将整个要解决的问题进行目标分解，从而形成多个层次指标通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。 在进行层次分析法使用的过程中，需要根据问题按照总目标—子目标—评价准备的层次进行分解，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，最终权重最大的就是此问题的最优解决方案。 同时分析法的基本原理就是将问题进行系统化处理，汇总成一个总的目标，并且根据问题的不同以及因素的不同，再将问题进行分解，按照问题之间的关系形成一个彼此相连接的层次，在进行问题解决时逐层分析最终将问题分解到最低层，从而找出最优解。 层次分析法的应用比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。因此层次分析法多被应用于社会、经济及管理领域的各种问题，因为这些领域的问题多是由许多相互关联，相互制约的因素所构成的在进行分析解决事很难有明确的判断，而通过层次分析法研究者可以将复杂的系统进行层次分解，使得问题更加的简洁从而帮助研究者找出解决问题的方法。 在安全科学和环境科学领域，层次分析法也被经常使用。在安全生产科学方面，层次分析法常被应用于煤矿的安全研究、危化品评价、油库安全评价、城市灾害应急能力研究以及交通安全评价等。在环境保护研究中的应用主要包括：水安全评价、水质指标和环境保护措施研究、生态环境质量评价指标体系研究以及水生野生动物保护区污染源确定等。 层次分析法除应用于以上这些科学领域的研究以外，对于个人日常生活也有
AHP层次分析法原理 一. AHP 层次分析法介绍 •AHP 层次分析法简介 AHP，即层次分析法（Analytic Hierarchy Process,AHP）是一种系统化的、层次化的多目标综合评价方法。在评价对象的待评价属性复杂多样，结构各异，难以量化的情况下AHP层次分析法也能发挥作用。 •AHP 基本思想 AHP 把复杂的问题分解为各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成 地递阶层次结构。通过两两比较的方式确定方式确定层次中诸因素的相对重要性。然后综合有人员的判断，确定备选方案相对重要性的总排序。整个过程体现了入门分解问题—判断—综合，的思想特征。 •AHP 步骤 1)分析问题，明确需求，确定评价指标，并建立评价层次关系。 2)构造上一层每个节点与下一层的判断矩阵。 3)由判断矩阵得出层间的相对权重（层次单排序及一致性检验）。 4)计算各层对总评价目标的总权重（层次总排序），得出各备选方案的评 估结果。 二. AHP 的实际问题应用案例 本章节我们将在选择购买空调的过程中使用 AHP 来完成决策。 为了从三种空调，空调A、空调B、空调C，中选购最合适的空调，我们采用 AHP 法对我们的需求进行分析与评估，最终完成决策。 1. 确定评价指标，建立层次关系 为了选出最合适的空调，我们确定从四个指标来对空调进行评估，分别是：价格、噪声、功耗、寿命。在AHP 中，要构建三层层次关系：目标层、准则层、方案层。
•目标层 只有一个要素，是分析问题的预期结果或期望实现的最终目标，是评价的最高准则，可称为目的或目标层 •准则层 准则层可以是多层构成，其包括所要考虑的准则，子准则等。 •方案层 表示实现目标所提供的各种方案与措施，是最终评价对象，决策的结果将从中选出。 2. 构造上一层每个节点与下一层的判断矩阵 对一层的每一个节点，与其下层的所有与其有关联的节点构建判断矩阵。 判断矩阵描述了下一层节点之间的相对重要性或优越性。为了量化节点间的优劣先后，将用到以下判断矩阵标度定义。 标度含义 1 两个要素相比，重要性相 同 3 两要素相比，前者比后者 稍微重要或有优势 5 两要素相比，前者比后者 比较重要或有优势 7 两要素相比，前者比后者 十分重要或有优势 9 两要素相比，前者比后者 绝对重要或有优势 2,4,6,8 为上述标度之间的中间值若要描述后者与前者比较，则用倒数为标度。例如
一文读懂层次分析法（AHP） 大家还记得上次我们聊过的Delphi法吗？在Delphi法中各条目的权重确定，我们说可以使用层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）来进行。本次咱们就一起看看AHP的基本设计思路。 起源 AHP是匹兹堡大学Thomas L. Saaty教授于20世纪70年代初提出的，它把一个复杂的问题表示为一个有序的递阶层次结构，并通过主管判断和科学计算给出备选方案的优劣顺序（或权重）。简而言之，层次分析法人如其名，首先要构建合理的层次，其次要分析层次内部各因素的优劣。下面来谈谈AHP的设计初衷。过去研究自然和社会现象主要有机理分析和统计分析两种方法，机理分析就是通过数学关系分析现象的因果联系，统计分析是以概率论为基础，通过大量数据的观察寻求统计规律。这两种方法一度飞黄腾达到一手遮天，甚至有些人片面地认为所有问题的解决都应该依靠数学模型来进行，一味地追求一个完全精确的数学模型，必然使其十分繁杂，无法运算。后来人们越发认识到数学工具并非万能的，在建立数学模型时总会有无法定量表示的部分，而这正是软科学与自然科学（硬科学）的区别之处。1971年，Saaty教授用其提出的AHP为美国国防部研究“应急计划”，随后又开展了多项研究，奠定了AHP在定性研究领域的基础，1982年AHP在“中美能源、资源、环境”学术会议上被首次介绍到中国。 基本思路 AHP的基本思路是先分解后综合的思想，其分析过程是首先将要
分析的问题层次化、步骤化，然后形成多层分析结构模型，最终确定最低层相对于最高层的重要程度权值或优先次序。过程如下图： 实战演练 下面以购买新车为例，目标是购买一辆新车，方案有A、B、C三辆车，考虑的因素有价格、燃油费、舒适感和车型。那么我们就可以构建如下层次： 在上述的三个层次中，最高层即目标层，中间层即基准层，最低层即方案层。然后我们咨询自己认为的专业人士，让其曾对上述基准层进行评分，最终推导出方案层的优先次序来，指导我们买车这一行为。在临床决策中的应用也是一样。当然评分标准以及不同人士评分的加权算法会有不同的计算形式，我们也会在日后介绍此类方法。感兴趣的人也可以购买《层次分析法及其应用案例》来拜读。参考资料|《层次分析法及其应用案例》，张炳江编著，电子工业出版社出版文章来源|临床流行病学和循证医学
APH层次分析法检验 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是由美国经济学家托马斯·塞蒂（Thomas L. Saaty）于20世纪70年代初提出的一种决策分析方法。该方法通过对决策问题中各个因素之间的相对重要性进行比较，从而得到最终的决策结果。这篇文章将从AHP方法的基本原理、应用场景以及主要优缺点等方面进行分析。 首先，我们需要了解AHP方法的基本原理。该方法的核心思想是将复杂的决策问题分解为层次结构，根据各个因素之间的相对比较进行权重判断，并最终得到决策结果。具体来说，AHP方法分为以下几个步骤： 1.建立层次结构：将决策问题分解为多个层次，从总目标到具体的因素，形成一个层次结构。 2.构造判断矩阵：通过专家意见、问卷调查或统计数据等方式，确定各个因素之间的相对重要性，并构造成一个判断矩阵。 3.计算判断矩阵的特征向量：通过特征值法或逼近法，计算判断矩阵的特征向量，得到各个因素的权重。 4.一致性检验：通过计算一致性指标和随机一致性指标，检验判断矩阵的一致性程度，以确保判断矩阵的可靠性。 5.计算各层次的权重：根据各个因素的权重和上层因素的权重，计算出各层次的综合权重。 6.最终决策结果：根据各层次的综合权重，得到最终的决策结果。 AHP方法有广泛的应用场景，尤其适用于多因素、多目标、多参考点的决策问题。例如，在工程项目管理中，可以利用AHP方法对各项指标进
行权重比较，从而确定项目的优先级和资源分配计划。在投资决策中，可 以利用AHP方法对不同投资标的的风险、收益、流动性等因素进行评估， 帮助投资者做出合理的投资决策。此外，AHP方法还可以应用于组织评估、供应链管理、市场营销等多个领域。 虽然AHP方法在决策分析中具有一定的优势，但也存在一些局限性。 首先，AHP方法对专家意见的依赖性较高，专家经验和主观判断会对最终 决策结果产生较大影响。其次，AHP方法需要构建判断矩阵，计算复杂， 容易产生计算误差。在判断矩阵的构造过程中，还需要进行一致性检验， 如果检验结果不合理，则需要重新调整判断矩阵，增加了决策过程的复杂性。 综上所述，AHP方法是一种有效的决策分析工具，能够帮助决策者从 多个因素出发，全面考虑问题，并得出合理的决策结果。但在应用过程中 需要注意专家意见的权威性和判断矩阵的可靠性，以确保最终的决策结果 具有合理性和可操作性。同时，我们也需要看到AHP方法的局限性，结合 具体情况进行决策时，可以综合考虑其他的决策分析方法，提高决策的准 确性和可行性。
层次分析法简单介绍 层次分析法 层次分析法(ＡHP）又称多层次权重分析法，是一种用于定性分析的多目标分析方法。它能有效地分析指标体系各层次之间排序关系,有效地综合衡量和判断评价者的意图.适用于多目标、多准则、多因素、难以量化的大型复杂系统，已广泛应用于资源系统分析、建设管理、交通、评标、经济评价等各个社会领域。 层次分析法解决复杂问题的基本思想是：首先，将总目标进行分层，并根据各个指标之间隶属关系和相关影响，将各个指标按不同层次进行分类。形成指标层、准则层和目标层,然后利用层次分析法，求本各层次的指标对上一层次指标的权重,然后利用最大特征值方法依次归并,最终求出总目标权重系数。指标越重要,其指标权重系数越大. 因此，层次分析方法的计算需要以下步骤： (1）建立层次结构模型 首先，将问题分解为不同的组成部分,并根据各个指标之间的相互影响和隶属关系,对各指标进行分组和组合，形成多层次结构,相对于确定最高层的综合相对重要性系数，即相对优序,系统分析被简化到最底层。 (２）调查问卷设计 ,对同一层次的指标将进行重要性等级进行两两访问对比,确定其重要性,然后利用比例标度法，。构成比较判断矩阵。 表1-1 比例标度法 Table4－1 Proportionaｌsｃaｌｉnｇmｅtｈｏｄ 两指标影响比较相等稍微重要明显重要非常重要极其重要δ1１13579 （３)调查对象的构成 在选择范围上，主要选择具有绿色施工、绿色建筑、节能环保等研究领域的高校专家和学者、建设单位项目管理人员、工程项目施工单位工作人员和涉及环保监督政府人员。
（４）整理分析问卷并构建判断矩阵 整理出问卷中的信息,并将问卷中信息进行汇总分析，计算出各因素的要性程度,建立判断矩阵。见表1-2. 表1—2 各因素相对重要性判断矩阵 Table４—2 Relative imporｔaｎce ｊudgment maｔrix B k B1Ｂ2B n Ｂ１δ11δ12。．. δ1n Ｂ2δ21δ２2．．。δ2ｎ ....．．．．. .．。..． Ｂnδn1δn２.．. δｎｎ其中，δiｊ是对于A k而言，Bｉ对B j的相对重要性的数值表示,δｉj是δi与δj 的比值. （5)排序一致性检验 层次分析法最主要的优点就是将调查问卷专家的主观定性思维过程定量化,因为不同方面的专家信息具有主观片面性以及层次分析法本身所存在的主观性，即使九级标度也无法完全保证每个判断矩阵都具有完全一致性，所以对各项指标的权重间是否存在着矛盾性还要经过一致性的检验。 检验一致性的步骤如下。 计算矩阵的最大特征根λmax ()max 1 n i i i AW W λ==∑ 1)?－１） 式中：λmax —矩阵的最大特征根Ｎ-判断矩阵行数Ａ-判断矩阵W—矩阵的特征向量 AW －矩阵A 和特征向量W 相乘所得向量AW 的第i 个元素。计算一致性指标ＣI 。 max 1
二、层次分析法（APH ） 2.1.1正互反矩阵 若矩阵() ij m n A a ⨯=满足：①0ij a >；②1ij ji a a = 则称A 为正互反矩阵。 如：11231 1421314 A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ 2.1.2层次分析法的步骤 （1）建立层次结构模型： 目标层O 准则层C 方案层P （2）构造判断矩阵 判断矩阵() ij A a =应为正互反矩阵，而且ij a 的判断如下（1~9尺度法）： （3）单层排序及一致性检验 1、单层排序 求解判断矩阵A 的最大特征值max λ，再由最大特征值求出对应的特征向量 ω()max A ωλω=，并将ω标准化，即为同一层相对于上一层某一因素的权重，根据此
权重的大小，便可确定该层因素的排序。 2、一致性检验 取一致性指标max 1 n CI n λ-= -，（n 为A 的阶数） 令CR RI = ，若0.1CR <，则认为A 具有一致性。 否则，需要对A 进行调整，直到具有满意的一致性为止。 （4）层次总排序及一致性检验 假定准则层12,,,n C C C 排序完成，其权重分别为12,,,n a a a ，方案层P 包含m 个方 案：12,, ,m P P P 。其相对于上一层的()1,2, ,j C j n =对方案层P 中的m 个方案进行单层排序，其排序权重记为12,,,j j mj b b b ()1,2, ,j n =，则方案层P 中第i 个方案Pi 的总 排序权重为 1 n j ij j a b =∑，见下表： 从而确定层的排序。 例：（企业利润分配模型） 方案：发奖金()1P ，建基础设施()2P ，办培训班()3P ，建俱乐部()4P ，引进新设备()5P 。 解：（1）建立层次结构模型
层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 §1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型； （ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类： （i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。 （ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。 在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。
用人话讲明白AHP层次分析法（非常详细原理+简单工具实现）文章目录1、前言与算 法简述2、AHP层次分析法过程 2.1 构建层次评价模型 2.2 构造判断矩阵 2.3 层次单排序与一致性检验 2. 3.1 层次单排序 2.3.2 求解最大特征 根与CI值 2.3.3 根据CI、RI值求解CR值，判断其一致性是否通过。 2.4 层次总排序与一致性检验3、案例以及工具实现 3.1 外出旅游最重视的因素 3.1.1 使用工具 3.1.2 案例操作 3.1.3 分析结果解读 3.1.4 小结 3.2 选择最佳外出旅游地 3.2.1 使用工具 3.2.2 案例操作 3.1.3 分析结果解读 3.2.4 小结4、代码实现1、前言与算法简述今天应粉丝 要求，梳理一下层次分析法。层次分析法，即Analytic Hierarchy Process(AHP) ，是美国运筹学家 Saaty 于２０世纪７０年代初期提出的一种 主观赋值评价方法。层次分析法将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等多 个层次，并在此基础上进行定性和定量分析，是一种系统、简便、灵活有效的决策 方法。这个算法是一个多指标综合评价算法，由于这个算法简单、实用，因此在经管 类或者实际生活中应用的非常多，其一般有两个用途：指标定权给指标制定权重，打 个比方，例如选择旅游地这个决策，可能一般我们由以下5个因素组成，但是每个人（主观）对因素的重视程度不一，ahp可以实现在无需搜集数据的情况下，给这些指 标制定权重。 量化方案选择同样是选择旅游地这个决策，可能我们有一些方案，例如苏杭、北戴河、桂林这三个方案，层次分析法可以综合以上5个因素，给这些方案计算得出一个量化 得分，例如苏杭0.3分、北戴河0.35分、桂林0.45分，这样根据分值大小，我们就 可以选择得到内心或者经验上最心怡的方案了。
AHP （层次分析法）示例说明 (The Analgtic Hierarachy Process----AHP) 一. AHP 预备知识 为了更好地理解AHP ，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从《线性代数》中找到。 1.1 特征根与特征向量 设() n m ij a A ⨯=为n 阶方阵，若存在常数λ和非零n 维向量),,,(21n g g g g =，使得 g g A λ= (1) 则称，λ是矩阵A 的特征根（或特征值），非零向量g 是矩阵A 关于特征根λ的特征向量。 1.2 特征根的求法 由(1)得()00=-⇒=-g E A g g A λλ，这是一个n 元一次线性齐次方程组，该方程组如果 有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即 0=-E A λ (2) 称(2)式为矩阵A 的特征方程，它是一个一元n 次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有n 个根。 1.3 重量模型 设n u u u ,,,21 为n 个物体，重量分别是n g g g ,,,21 。但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值： j i ij g g a = 设准则C 为比较重量，问题是： 已知),1(n j i a ij ≤≤，在准则C 下对元素n u u u ,,,21 排序，也就是按其重量大小排序已知。 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛==⨯n n n n n n m n ij g g g g g g g g g g g g g g g g g g a A 2 1 2221212111 对于以下三个特性： （1）0>ij a （2）ji ij a a 1= （3）ik jk ij a a a =⋅ ()ij a 显然满足（1）与（2），但是，（3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很难）， 满足（1）、（2）的矩阵A 为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的矩阵A 称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵A ，在准则C 下对n 个物体排序。即按重量大小排序。
2 层次分析法 2.1层次分析法的简单介绍 层次分析法（Analytic Hierarchy Process 简称AHP），是20世纪80年代由美国运筹学教授T. L. Satty 提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，它根据问题的性质和要达到的目标分解出问题的组成因素，并按因素间的相互关系将因素层次化，组成一个层次结构模型，然后按层分析，最终获得最低层因素对于最高层（总目标）的重要性权值。 在经营决策中经常会遇到多指标、多方案的综合比较问题, 由于经常出现多个方案互有好坏的情况。因此要从成百上千个指标、方案中选择最佳的组合方案就成了一个较为麻烦的问题。在实际应用中,尽管人们还不能解决多个方案的综合比较问题, 但是如果就2个方案之间进行比较还是可以判断出相对好坏的。于是, 设法在数学上找到1种方法, 使之从多方案比较过渡到两两之间的比较,从而解决多方案比较的问题, 这就是AHP法的基本思想。 2.2层次分析法的基本层次结构 第一类：最高层，又称顶层、目标层。 第二类：中间层，又称准则层。 第三类：最底层，又称措施层、方案层。 层次结构图 （一）层次之间的支配关系是完全的结构模型层
(二) 层次之间的支配关系是不完全的结构模型 2.3 判断矩阵 设要比较n 个因素)...,,(21n y y y y =对目标z 的影响，从而确定它们在z 中所占的比重，每次取两个因素i y 和j y 用ij a 表示i y 与j y 对z 的影响程度之比，按1～9的比例标度来度量ij a ，n 个被比较的元素构成一个两两比较（成对比较）的判断矩阵.)(n n ij a ⨯=A 显然，判断矩阵具有性质： ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=A nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 ,0>ij a ,1 ij ji a a = 1=ii a )...,2,1,(n j i = 所以又称判断矩阵为正互反矩阵（简称正互阵，又称成对比较阵）。 现在，来看看如何确定ij a 的取值？T.L.Satty 的做法是用数字1～9及其倒数作为标度 （见表2-1）。选择1～9方法是基与下述根据：
第一单元 层次分析法—AHP 介绍 (The Analgtic Hierarachy Process----AHP) 前言 最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：——人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP 产生的背景。 匹兹堡大学Saaty 教授于七十年代中期提出层次分析法A HP 。于80年代初由Saaty 的学生介绍到我国。 层次分析AHP 的特点： 1. 输入信息主要是决策者的选择和判断。决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识； 2. 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算； 3. 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析； 4. 系统性： 人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP 把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP 原理，需要深刻的数学背景。好在我们只重应用，并不过多涉及AHP 的数学背景。 AHP 的主要不足在于： 1. AHP 只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。 规划论——采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。 AHP ——从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP 的结果显然靠不住，所以，AHP 中通常是群组判断方式。 尽管AHP 在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP 简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。 §1 AHP 预备知识（一） 1. 特征根与特征向量 设() n m ij a A ⨯=为n 阶方阵，若存在常数λ和非零n 维向量),,,(21n g g g g =， 使得 g g A λ= (1) 则称，λ是矩阵A 的特征根（或特征值），非零向量g 是矩阵A 关于（属于）特征根λ的特征向量。