层次分析法判断矩阵
层次分析法判断矩阵程序先确定判断矩阵；然后用以下程序就好了：%层次分析法的matlab程序%%%%diertimoxingyiclc,cleardisp(输入判断矩阵);% 在屏幕显示这句话A=input(A=);% 从屏幕接收判断矩阵[n,n]=size(A);% 计算A的维度，这里是方阵，这么写不太好x=ones(n,100);% x为n行100列全1的矩阵y=ones(n,100);% y同xm=zeros(1,100);% m为1行100列全0的向量m(1)=max(x(:,1));% x第一列中最大的值赋给m的第一个分量y(:,1)=x(:,1);% x的第一列赋予y 的第一列x(:,2)=A*y(:,1);% x的第二列为矩阵A*y(:,1)m(2)=max(x(:,2));% x 第二列中最大的值赋给m的第二个分量y(:,2)=x(:,2)/m(2);% x的第二列除以m(2)后赋给y的第二列p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));% 初始化p，i，k为m(2)-m(1)的绝对值while k>p% 当k>p是执行循环体i=i+1;% i 自加1x(:,i)=A*y(:,i-1);% x的第i列等于A*y的第i-1列m(i)=max(x(:,i));% m的第i个分量等于x第i列中最大的值y(:,i)=x(:,i)/m(i);% y的第i列等于x的第i列除以m的第i个分量k=abs(m(i)-m(i-1));% k等于m(i)-m(i-1)的绝对值enda=sum(y(:,i));% y的第i列的和赋予aw=y(:,i)/a;% y的第i 列除以at=m(i);% m的第i个分量赋给tdisp(权向量:);disp(w);% 显示权向量wdisp(最大特征值:);disp(t);% 显示最大特征值t %以下是一致性检验CI=(t-n)/(n-1);% t-维度再除以维度-1的值赋给CIRI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];% 计算的标准CR=CI/RI(n);% 计算一致性if CR摘要在定性问题的决策中，ＡＨＰ
是一种优秀的方法，其基础是对评价对象的两两比较，并用比较结果构造判断矩阵，而这些都依赖于决策者选用的偏好关系。
常采用的偏好关系有Ｓａａｔｙ的基于商的偏好关系以及模糊偏好关系，相应构造的判断矩阵分别为正互反判断矩阵和模糊互补判断矩阵。
本文首先对ＳａａｔｙＡＨＰ的几种常见标度进行了比较分析，然后对正互反判断矩阵及模糊互补判断矩阵的权重计算方法进行了归纳和总结；最后，本文提出了一种新的偏好关系，即基于差的偏好关系，从而将反对称矩阵引入层次分析法，接着对新型偏好关系下判断矩阵的构造、一致性的定义与性质以及权重的计算方法做了初步的研究，最后用算例说明了新方法的应用，并做了相应的比较分析，结果表明采用基于差的偏好关系构造反对称矩阵拓展了ＡＨＰ的应用范围，有一定的理论和应用价值。
关键词：层次分析法；标度：判断矩阵；一致性；权重向量ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｂａｓｉｓｏｆＡＨＰｉｓｊｕｄｇｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘ，ｇｅｎｅｒａｌｌｙｉｎｃｌｕｄｉｎｇＡＨＰｏｎｊｕｄｇｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘａｎｄｆｕｚｚｙｒｅｃｉｐｒｏｃａｌｍａｔｒｉｘ，ｗｈｉｃｈｒｅｌｙＳａａｔｙｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎａｎｄｆｕｚｚｙｓｅｖｅｒａｌｆａｍｉｌｉａｒｒａｔｉｏｓｃａｌｅｓｏｆｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｃｏ
ｍｐａｒｅｄＳａａｔｙＡＨＰｆｉｒｓｔｌｙ；ａｎｄｔｈｅｎ，ｃｏｍｍｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇｐｒｉｏｒｉｔｙｖｅｃｔｏｒｆｒｏｍｆｕｚｚｙｒｅｃｉｐｒｏｃａｌｍａｔｒｉｘｗｅｒｅｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒ３，ｔｈｅＡＨＰｊｕｄｇｍｅｎｔｍａｔｒｉｘｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄａａｎｄｎｅｗｋｉｎｄｏｆｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎ，ｉ．ｅ．ｄｉｓｔａｎｃｅｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎ；ｆｏｌｌｏｗｅｄｔｈｉｓ，ａｓｃａｌｅＷａＳｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｆｏｒｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｘ，ａｎｄｖｅｃｔｏｒｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙｏｆｔｈｅｍａｔｒｉｘＷａＳｄｅｆｉｎｅｄ，ｔｈｒｅｅｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇｐｒｉｏｒｉｔｙｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄ；Ａｔｔｈｅｅｎｄ，ｔｗｏｅｘａｍｐｌｅｓｗｅｒｅｕｓｅｄｔｏｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ也ｅｕｅｗｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄｔｈｅｙｓｈｏｗｅｄｔｈａｔｔｈｅｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｘＡＨＰｉＳｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｏａｎｄＶａｌｕａｂｌｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ａｎａｌｙｔｉｃｈｉｅｒａｒｃｈｙｐｒｏｃｅｓｓ；Ｒａｔｉｏｓｃａｌｅ；ＪｕｄｇｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘＣｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙＰｒｉｏｒｉｔｙｖｅｃｔｏｒｙ７６３５８Ｓ声明本学位论文是我在导师的指导下取得的
研究成果，尽我所知，在本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的材料。
与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明确的说明。
研究生签名：／『ｉ彩参ｃｌ砂。
厂年∥月夕。
日学位论文使用授权声明南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。
对于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。
研究生签名：｛彗丛少，厂年占月夕。
日南京理工大学硕二｜＝学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题第一章概论§ｌ层次分析法概述美国运筹学家Ｔ．Ｌ．Ｓａａｔｙ于７０年代提出ＡｎａｌｙｔｉｃＨｉｅｒａｒｃｈｙＰｒｏｃｅｓｓ（ＡＨＰ），它是对方案的多指标系统进行分析的一种层次化、结构化决策方法，它采用数学方法将哲学上的分解与综合思维过程进行了描述，从而建立决策过程的数学模型，具有适用性、简洁性、有效性和系统性等特点。
作为规划、决策和评价工具，ＡＨＰ自问世以来，已在世界各地
得到迅速普及和推广，取得了大量的研究成果。
ＡＨＰ的第一步工作是建立层次结构，本文只就单层ＡＨＰ中的部分问题进行讨论。
１．１层次分析法１．１．１构造判断矩阵层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表示出两个方案的相应重要性程度等级。
如对菜一准则，对其下的ｎ个方案进行两两对比，并按其重要性程度评定等级。
记ａ。
为第ｉ和第ｊ方案的重要性之比，表１．１列出Ｓａａｔｙ给出的９个重要性等级及其赋值。
ｘ．比焉极端重要９强烈重要７明显重要５稍微重要３同样重要１ｌ量化值表１．１９比例标度表按两两比较结果构成的矩阵Ａ２（臼ｌ『）。
。
。
，称作判断矩阵。
易见％＞ｏ，ａ，ｉ＝１且嘶＝１／ａｉ（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ），即Ａ为正互反矩阵。
１．１．２计算权重向量２Ａ５１为了从判断矩阵中提炼出有用的信息，达到对事物的规律性认识，为决策科学提供科学依据，就需
要计算判断矩阵的权重向量。
定义１・１判断矩阵Ａ＿（ａｉｊ）…，如对Ｖｉ，ｊ，ｋ＝１，２，…，ｎ，成立％２ａ＋ａⅫ，则称Ａ满足一致性，并称Ａ为一致性矩阵。
定理１．１一致性矩阵Ａ具有下列简单性质：（１）ｒａｎｋ（Ａ）２１，且存在唯一的非零特征值五。
。
＝ｎ，其规范化特征向量ｗ２（ｗｌ，Ｗ２，…，Ｗ行）１叫做权重向量，Ｋａ口２ｗ／Ｗｊ；南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题（２）Ａ的列向量之和经规范化后的向量，就是权重向量；（３）Ａ的任一列向量经规范化后的向量，就是权重向量；（４）对Ａ的全部列向量求每一分量的几何平均，再规范化后的向量，就是权重向量。
根据上述定理中的性质（２）和（４）即得到判断矩阵满足一致性的条件下求取权值的方法，分别称为和法和根法。
而当判断矩阵不满足一致性时，用和法和根法计算权重向量则很不精确。
特征向量法是ＡＨＰ的～种基本方法，Ｐｅｒｒｏｎ定理为特征向量法奠定了理论基础。
定理１．２（Ｐｅｒｒｏｎ）成立：记Ａ＝（口ｆ，）√Ｍ＞ｏ为正矩阵，Ｐ（Ａ）为其谱半径，则下列论断（１）Ａ的最大特征值旯
ｍ戡存在、唯一，且五。
。
＝Ｐ（Ａ）；（２）与兄。
。
对应的规范化特征向量ｗ＝（Ｗ１，Ｗ２，…，ｗＨ）７为正向量，即ｗ中每个元素似＞Ｏ。
因此，对于构造出的判断矩阵，就可以求出最大特征值所对应的特征向量，然后规范化作为权值。
１．１．３一致性检验‘２在实际应用过程中，由于专家在进行两两比较时的价值取向和定级技巧以及重要性等级赋值的非等比性，当判断矩阵的阶数ｎ＞２时，通常难于构造出满足一致性的矩阵来。
但判断矩阵偏离一致性条件又应有一个度，为此，必须对判断矩阵是否可接受进行鉴别，这就是一致性检验的内涵。
定理１・３设Ａ。
。
是正互反矩阵Ａ２（口ｌ，）…的最大特征值，则必有五…≥ｎ，其中，等式当且仅当Ａ为一致性矩阵时成立。
应用上面的定理，则可以根据兄。
。
。
２ｎ是否成立来检验矩阵的一致性，如果五。
，比ｎ大得越多，则Ａ的非一致性程度就越严重。
因此，定义一致性指标ｒＴ一以ｍｘ一／，７。
磊二ｉ一和平均随机一致性指标ＲＩ，见表１．２。
南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题ｌ矩阵阶数３４ｃＩ样本均值（ＲＩ）０．５１４９０．８９３１１．１１８５１．２４９４１．３４５０１．４２００矩阵阶数９ｌＯ１１１２１３ｃＩ样本均值（ＲＩ）１．４６１６１４８７４５６７１．５１５６１．５４０５１．５５８３ｆ８表１．２平均随机一致性指标标准值Ｓａａｔｙ建议取一致性指标（ｃＩ）对随机一致性指标值（ＲＩ）之比，作为一致性检验判别式，并称作一致性比率（简记为ｃＲ），即ｃＲ：旦砒如果ＣＲ＜Ｏ．１，则认为该判断矩阵通过一致性检验。
可见，ＡＨＰ方法不仅原理简单，而且具有扎实的理论基础，是定量与定性方法相结合的优秀的决策方法。
１．２层次分析法研究的意义㈣简单就是美。
由于ＡＨＰ给人们决策提供了简单的层次框架和方法，同时它又蕴涵着深刻的决策心理机制和决策效用机制，因而这一简单而又深奥的理论进行研究具有重要的意义。
（１）理论意义集数学方法、层次结构、试验心理学和比较权衡分析于一体的ＡｔｔＰ，无疑具有十分丰富的内涵，可以给我们提供广阔的研究空间，并使ＡＨＰ的研究可以集众学科之大成，同时也可以进一步促进众多学科的发展，尤其是，由于ＡＨＰ在决策科学中占
有重要的地位，对它的深入研究有益揭示决策的本质。
（２）心理学意义ＡＨＰ本身就是建立在试验心理学之上的，而它的作用却远远超出了试验心理学的范畴，随着人们对ＡＨＰ研究的进一步深入，人们在洞悉ＡＨＰ中心理机制的基础上，提出了更贴近人的决策心理的不确定ＡＨＰ方法等，可以相信，ＡＨＰ的研究与心理学的发展使相互促进的。
（３）应用意义客观事物的复杂性和多样性给我们的应用研究提供了极其广阔的领域，在丰富了相关领域研究成果的同时，也对ＡＨＰ的适用范围和条件有更深刻的认识和了解，可以为ＡＨＰ的进一步研究与应用提供指导。
３南京理工大学硕上学位论文层次分析法中判断矩阵的构造蠼题可以看出，ＡＨＰ在具有简单表现形式的同时，有着深刻的理论内容：简单的表现形式使得层次分析法有着广泛的应用领域，深刻的理论内容奠定了它在多准则决策领域中的地位：从而对层次分析法进行研究有着重要的理论价值和应用价值。
§２问题的引入及本文工作概要由于宽广的应用领域及巨大的应用价值，ＡＨＰ理论仍在继续发展着；二十多年对ＡＨＰ的研究和应用使得它己发展成一棵枝繁叶茂的大树，在应用ＡｔｔＰ时，不同的阶段有多种不同的方法。
然而，方法的多样性一方面给决策者提供了选择的方便和自由，另一方面也增加了决策者做出正确选择的困难；而且，近年来ＡＨＰ
成果丰富，但缺乏系统的最新总结，已有成果没有得到很好的推广，重复研究也时有出现；何况，尽管ＡＨＰ模型在理论上有着精巧的构思及严格的数学证明，但在实际运用过程中经常遇到诸如如何使标度选择、判断矩阵权重计算更合理等同题，这些同题无一定的模式可遵循，且直接影响着评价结果的可信度和准确性。
正因为如此，对ＡＨＰ进行综述研究，并在总结的同时提出新的理论显得尤为重要。
不仅如此，上面介绍的ＡＨＰ基于商偏好关系，构造正互反判断矩阵，在此之后研究人员提出了模糊偏好关系，并构造模糊互补判断矩阵，这将在第二章的权重计算中介绍；那么除已有的两种偏好关系之外有没有其它的偏好关系可用于构造判断矩阵？正是基于这样的思想，本文首次提出了基于差的偏好关系。
本文的主要工作有：（１）概括了ＡＨＰ的主要研究方向，理清了ＡＩＩＰ发展的脉络，对后续研究有启发意义；（２）对ＳａａｔｙＡＨＰ的几种常见标度进行了比较分析，并指出了应用的范围；（３）就正互反判断矩阵和模糊互补判断矩阵的计算权重的方法做了总结；（４）提出一种新的偏好关系，即基于差的偏好关系，将反对称矩阵引入ＡＨＰ方法，用以构造判断矩阵，并就矩阵的构造、一致性的定义和性质以及权重的计算方法进行了初步研究，最后用算例说明了方法的应用，并做了比较分析。
南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题第
二章ＡＨＰ的标度系统及权重向量的计算§１层次分析法研究迸展简述美国运筹学家Ｔ．Ｌ．Ｓａａｔｙ于７０年代提出ＡＨＰ方法，它是对方案多个指标系统进行分析的一种层次化、结构化决策方法，它采用数学方法将哲学上的分解与综合思维过程进行了描述，从而建立决策过程的数学模型。
层次分析法的提出，为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的方法，它有着适用性、简洁性、有效性和系统性等特点，因而在提出后的二十多年的时间内得到了广泛的应用和发展；而与此同时，研究人员和工程人员在研究及应用ＡＨＰ的过程中，又发现了ＡＨＰ方法的诸多不尽人意之处，但也正是因为这些缺点和不足促成了许多新的研究热点。
这些问题主要表现在：（１）标度问题构造判断矩阵是应用层次分析法的基础性工作，ＡＨＰ为了表示两事物相对权重的对比，用标度来量化判断语言，因而选择标度是构造判断矩阵的前提，是决策正确性的基础：一般情况采用１～９标度，这主要来源于心理学试验以及Ｍｉｌｌｅｒ６１的工作。
但实践证明，１～９标度是较粗略的。
对于具体的决策问题，决策者往往难以准确给出两个对象的重要性程度之比，特别是难以适应决策层次中单层含有较多对象的决策问题，也不符合人们在两两对象比较中常采取的三七开、－－）ｔ．开等方式，这说明Ｓａａｔｙ提出的评价标度系统与人们头脑中的实际
标度系统并不一致，从而可能导致排序上的错误结论。
因而标度问题一直是学者研究的焦点之一，如何改进已有的标度或提出新的标度是国内学者常走的两条线路；１９８８年左军川针对用Ｓａａｔｙ的１～９标度法构造判断矩阵时的困难，提出了Ｏ～２标度法；徐泽水日’９１在Ｏ～２三标度法的基础上又提出了一１～ｌ三标度法和一２～２五标度法；为了改善１～９标度法的精度，舒康等ｍ１提出了指数标度法，汪浩等｜ｌ提出了９／９～９／１和１０／１０～１８／２分数标度法，侯岳衡ｍ１等在舒康等的指数标度法基础上提出了９９～９９指数标度法等，这些将在第二节给出讨论和比较。
（２）权重的计算问题权重计算是ＡＨＰ的重要步骤之一，在构造了判断矩阵之后，如何通过判断矩阵求取权值以达到评价的目的呢？Ｓａａｔｙ通过求取最大特征值对应的特征向量而得到权值，但是，实践证明，这个方法虽然简单，却也有其不足，因而求取权值是ＡＨＰ方法研究的又一热点。
南京理工大学硕Ｊ二学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题（３）判断矩阵元素的改进ＡＨＰ在受到广泛欢迎的同时，也受到了许多批评，其中之一就是：在构造判断矩阵时指派ｌ～９间整数及其倒数的标度时没有考虑人的判断的Ｆｕｚｚｙ性。
有人指出，ＡＨＰ在方案两两比较重要性的赋值时只考虑了人的判断的两种可能的极端情况：以隶属度ｌ选择某个标度值，同时又以
隶属度１否定其它标度值。
这一批评不无道理，因为这对更客观地表现人的思维判断以及事物本身的复杂性来说，不能说是没有缺陷的。
因此，当用精确数字构造的判断矩阵不能满足要求、不能准确反映决策者的偏好关系的时候，如何准确反应这种偏好关系就成了ＡＨＰ的主要问题。
一九八三年荷兰学者ＶａｎＬｏａｒｈｏｖｅｎ提出了用三角模糊数表示Ｆｕｚｚｙ比较判断的方法１，它假定用三角Ｆｕｚｚｙ数来表示方案两两重要性的比较判断，这给运算带来了不少方便，并从此成为了ＡＨＰ方法研究的一个新的分支，许多国内外学者对模糊环境下的判断矩阵的构造、权重的计算、一致性检验等多方面进行了研究和讨论。
［１４－２０ｌ图２．１层次分柝法简表传统的ＡＨＰ用一个确定的数表示判断，当问题比较复杂、敏感、信息不全、决策方案不足以全面反映决策环境，或者专家对方案的了解不够全面、确切时，人的判断就具有多种可能，无法指出一个确定的数值表达两两比较中的重要程度，一般称为南京理工火学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题判断具有不确定性。
用模糊数表示方案两两重要性的比较判断是解决这一问题的有效途径，不仅如此，有的研究人员将区间数１２１－２４１、可拓集Ⅲ１引入ＡＨＰ，都是对层次分析法的有效拓展。
在以上列出的几个问题之外，还有一致性闯题、保序性问题、群体决策问题以及残缺判断矩阵等问题，这些都是以商偏好关系为基础，也就是说，它们的基础是正互反判断矩阵；在ＡＨＰ的发展过程中，研究人员又提出了模糊偏好关系，即构造模糊互补判断矩阵；那么，除已有的两种偏好关系之外，是否还有其它的偏好关系？是否可以考虑两两之间的重要性程度之差呢？如果可以，是否可以由此构造判断矩阵、求取权值以达到决策的目的呢？这将在后文得到解答。
总体来说，理论的发展源于需要的驱动，由于其独具的优点及广阔的应用领域，层次分析法得到了深入的研究，正不断趋于完善。
§２ＮＩＰ的标度系统ＳａａｔｙＡＨＰ的基础工作是构造判断矩阵，而在进行两两比较时该如何量化决策者的感觉，即如何更准确地反映评价对象间的重要性之比？这是构造判断矩阵的关键。
在创立ＮＩＰ之初，Ｓａａｔｙ用实验验证１～９分制得到的结果与光照度定律一致，而又由于１９５６年Ｍｉｌｌｅｒ［６１认为人们在处理事物时，同时处理的对象不能超过９个，从而ＡＨＰ采用了ｉ～９标度。
但正如上文所说，实践证明１＂－－９标度是较粗略的。
对于具体的决策问题，决策者往往难以准确给出两个对象的重要性程度之比，特别是含有较多对象的时候，也不符合人们在两两对象比较中常采取的三七开、二八开等方式，这说明Ｓａａｔｙ提出的评价标度系统与人们头脑中的实际标度系统并不一致，而且在应用时也
存在困难，从而可能导致排序上的错误结论。
因而，标度问题一直是学者研究的焦点之一，到目前为止，人们已提出了近十种标度，如Ｏ～２标度法、一ｌ～１三标度法、一２～２五标度法、９／９～９／１和１０／１０～１８／２分数标度法、指数标度法等。
对标度问题的研究，国内外学者所做的工作基本上是沿着以下两条路线：一种方法是通过给出新标度，力图使决策者能更容易地填写比较矩阵，然后用某种变换将比较矩阵变换成Ｓａａｔｙ的１～９标度法下的判断矩阵，如三标度法和五标度法；另一种方法是利用给出的新标度直接构造判断矩阵，以期改善判断矩阵的一致性，如各种指数标度法和分数标度法。
然而，对于同一个决策问题，运用不同的标度法构造判断矩阵，有时会产生不同的方案排序，从而影响了决策的可信度。
那么，应用ＡＨＰ时，面对如此众多的标度法，该如何选择呢？许多研究人员对此进行了深入的探讨，他们一方面不断提出新的标７南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题度，一方面对各种标度进行综合比较，以期为应用ＡＨＰ提供方便。
２．１已有的比较较早的比较有骆正清２６１在１９９３年对左军的三标度法和Ｓａａｔｙ的１～９标度法的比较，结论是：在单一准则下，三标度法和Ｓａａｔｙ的１～９标度法～样，能够保序，但其精度不如后者；汪浩［１１１对１～９标度及９／９～９／１和１
０／１０～１８／２分数标度法的比较，其结论是：当语言一致时，９／９～９／ｌ标度的～致性最好，１０／ｌＯ～１８／２标度次之，１～９标度的性能最差：此外，骆正清㈣、徐泽水１２８１等分别对常见的四种标度１～９标度、９／９～９／ｉ标度、１０／ｉ０～１８／２标度和指数标度进行了比较。
他们所采用比较的方法略有不同，骆正清提出了用傈序性、一致性、标度均匀性、标度可记忆性、标度可感知性、标度权重拟合性等标准，综合比较层次分析法中的不同标度，并得出结论：对单一准则下的排序，各种标度法都具有保序性，建议使用１～９标度，对精度要求较高的多准则下的排序问题，建议使用指数标度；而徐泽水则从一致性指标、最大偏差值、均方差等方面进行比较，他认为：０／１０～１８／２标度的性能最好，最适宜于精确的权值计算且能得到较为合理的结果；另外，ＭａｌｃｏｌｍＢｅｙｏｎ［１从权重分布的角度对几种常见标度进行了比较分析。
通过对不同学者所作的比较研究可以发现，一般认为１～９标度的内在逻辑关系存在明显的不合理性，因而试图用各种方法加以改进；但是，不同的学者对标度评价所得出的结论有很大区别，甚至是对立的。
如汪浩在［１１］中认为９／９～９／１标度的一致性最好，而徐泽水认为０／ｔ０～１８／２标度的性能最好。
为什么不同的学者对同一问题得出了不同的结论？骆正清等在
［２７］中认为，除了评价标准不同之外，更主要的是不同学者在比较时所采用方法还有待商榷，如在［２７］、ｆ２８］中都以ｃＩ看作一个评价指标，显然不甚恰当，因为用不同标度构造的判断矩阵有不同的随机一致性指标，对此，本文代之以ＣＲ指标。
本节将对一些常见标度进行比较。
２．２几种常见标度的比较以前人的工作为基础，本节将对１～９标度（Ｓ１）、９／９～９／ｉ标度（Ｓ２）、１０／１０～ｋ标度（ｓ３）以及９ｉ～９…一、）进行比较，它们的通式分别为、了ｉ—ｉ、云专、、杀毒、９忙。
８，ｋ＝ｌ，２，…，９。
根据［２７］的观点，考察标度的优劣，必须着眼于标度本身，研究其特性，用典型的判断矩阵（由某一标度的所有标度值构成），而不是用一个特定的判断矩阵（只有几个标度值构成）去比较分析。
因而，本文沿着［２７］、［２８］的思路，从标度的保序性、判断一致性、最大偏差值、均方差、标度均匀性等方面进行综合分析。
南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题首先给出这几种标度的描述，见表２．１。
区别Ｓ１Ｓ２Ｓ３Ｓ４同样重要１１．０００１．０００１．０００微小重要２１．１２５１．２２２１３１６稍微重要３１．２８６１．５００１．７３２更为重要４１．５００１．８５７２．２８０明显重要５ｉ．８００２．３３３３．０００十分重要６２．２５
０３．０００３．９４８强烈重要７３．０００４．０００５１９６８４．５００５．６６７６．８３９极端重要９９．０００９．０００９．０００表２．１几种标度的描述如同［２７］一样，设有一组被比较对象为彳。
、彳。
、彳，、４。
、彳，、４。
、彳，、爿。
、么，，不失一般性，假定在某准则Ｃ下，下标大的对象比下标小的对象都重要。
为了问题研究，进一步假定：Ａ与其本身（彳，）及爿：、４。
、４。
、４，、彳。
、么，、彳。
、彳，之间的关系恰好构成Ａｔ／Ｐ法中的九个等级，即：同样重要、微小重要、稍为重要、更为重要、明显重要、十分重要、强列重要、更强列重要、极端重要，相应地，４：与其本身（Ａ：）及彳，、Ａ。
、爿，、４。
、么，、４。
、＿／Ｉ，之间的关系恰好构成ＡＨＰ法中的同样重要、微小重
要、稍为重要、更为重要、明显重要、十分重要、强列重要、更强列重要，如此依次类推。
根据以上关系，可得到这九个被比较对象在四种标度下的判断矩阵，以１～９标度为例，如Ａ所示，其它标度下的矩阵可同样构造。
ｍ№●２３ｍ他，２们Ⅲ协ＭＡ＝４３５４Ｍ∽●２６５３７６４％¨眈。
：８７卅抛。
，，５ｏｍ忱，：，ｌ更强烈重要南京理工大学硕士学位论文层次分析ｊ去中判断矩阵的鳆鲞塑婴可以看出，Ａ是一个非常典型的判断矩阵，其特点是：对角线下的第一列就是ｌ～９标度的九个标度值，对角线下的第二列比第一列少一个数９，依此类推。
并且上三角的元素全小于ｌ，下三角的元素全大于１：为更好地进行比较，下面给出了四种标度下此类矩阵（即上三角的元素全不大于１，下三角的元素全不小于ｌ的９阶矩阵）的随机一致性指标，见表２．２。
标度随机一致性指标表２．２Ｓｌ０．５２９７Ｓ２０．３０４８Ｓ３０．３５７３Ｓ４Ｏ．４２１２四种标度下九阶矩阵的随机一致性指标２．２．１保序性所谓保序性，是指根据某一标度（建立判断矩阵，求其最大特征对应的特征向量，并以该特征向量的各分量作为被比较对象的权重）得到的被比较对象的排序结果，能真实地反映被比较对象之间的原来的次序关系。
根据以上定义，下面研究以上四种标度的保序性。
而为了研究保序性，就有必要计算Ａ一，Ａ，这九个比较对象在不同标度下得到的判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，结果如表２．３。
ｗ１ｓｌｓ２ｓ３ｓ４Ｗ２Ｗ３ｗｄＷ５ｗ６Ｗ—Ｗｇ｝屹０．０１８３Ｏ．０４６５０．０３６６０．０２９１０．０２４７０．０５８８０．０４７５０．０３８４０．０３５００．０７１４０．０６０２Ｏ．０５０５０．０５０７Ｏ．０８４５０．０７５３０．０６６４０．０７３９０．０９８９０．０９３５０．０８７４０．１０７５Ｏ．１１５４０．１１６００．１１５１Ｏ．１５５５Ｏ．１３６２０．ｉ４４９０．１５１４０．２２２３０．１６６００．１８４０Ｏ．１９９３０．３１２ｔＯ．２２２１０．２４１９０．２６２３表２．３不同标度下得到的权重由表２．３可知，被比较的９个对象在不同的标度下所得到的权重是不同的，但四种标度下的排序却是一致的，按照上面的定义，即各种标度都具有保序性。
而同时根据［２７］，从面得到如下结论：结论１对单一准则下的排序问题，所有标度法都具有保序性。
但是，正如［２７］中所说，进一步考察多准则下的排序问题可以发现，不同标度得到的综合权重不仅不同，而且排序结果往往也是不同的。
因此，从某种意义上来说，对于多准则下的排序问题，各种标度
AHP 一、层次分析法概述。层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP)是美国运筹学家T. L. Saaty教授于70年代初期提出的，AHP是对定性问题进行定量分析的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。它的特点是把复杂问题中的各种因素通过划分为相互联系的有序层次，使之条理化，根据对一定客观现实的主观判断结构(主要是两两比较)把专家意见和分析者的客观判断结果直接而有效地结合起来，将一层次元素两两比较的重要性进行定量描述。而后，利用数学方法计算反映每一层次元素的相对重要性次序的权值，通过所有层次之间的总排序计算所有元素的相对权重并进行排序。该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。 二、层次分析法的用途举例。例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那一款式是，往往不是直接进行比较，因为存在许多不可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。 三、层次分析法的步骤。 （1）通过对系统的深刻认识，确定该系统的总目标，弄清规划决策所涉及的范围、所要采取的措施方案和政策、实现目标的准则、策略和各种约束条件等，广泛地收集信息。 （2）建立一个多层次的递阶结构，按目标的不同、实现功能的差异，将系统分为几个等级层次。 （3）确定以上递阶结构中相邻层次元素间相关程度。通过构造两比较判断矩阵及矩阵运算的数学方法，确定对于上一层次的某个元素而言，本层次中与其相关元素的重要性排序--相对权值。 （4）计算各层元素对系统目标的合成权重，进行总排序，以确定递阶结构图中最底层各个元素的总目标中的重要程度。 （5）根据分析计算结果，考虑相应的决策。 四、应用层次分析法的注意事项。如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低ahp法的结果质量，甚至导致ahp法决策失败。为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。 五、层次分析法应用实例。1、建立国民素质评价系统的递阶层次结构；2、构造两两比较判断矩阵；根据层次分析模型示意图所示，每位问卷评分者就可以依据个人对评价指标的主观评价，进行综合分析，对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。（1）几何平均法（根法）计算判断矩阵a各行各个元素mi的乘积；计算mi的n次方根；对向量进行归一化处理；该向量即为所求权重向量。（2）规范列平均法（和法）计算判断矩阵a各行各个元素mi的和；将a的各行元素的和进行归一化；该向量即为所求权重向量。（3）计算矩阵a的最大特征值λmax 对于任意的i=1,2,…,n, 式中为向量aw的第i个元素一致性检验构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某
模糊层次分析法 模糊层次分析法是一种多变量决策分析方法，旨在帮助决策者在 复杂的决策问题中做出合理的选择。与传统的层次分析法相比，模糊 层次分析法能够处理不确定性、模糊性和主观性的问题，因此在实际 应用中具有很高的灵活性和适应性。 模糊层次分析法的核心思想是将问题拆解为不同的层次结构，分 别从不同角度对问题的因素进行评价和排序。具体来说，模糊层次分 析法包括以下几个步骤：定义目标层、准则层和方案层，建立层次结 构模型；构建模糊层次判断矩阵，利用专家经验和模糊数学的方法对 层次结构中的评价指标进行两两比较，得到判断矩阵；计算模糊一致 性指标，判断判断矩阵的一致性程度；通过模糊层次权重计算方法将 判断矩阵转化为权重向量，评估和排序方案。 首先，模糊层次分析法要明确问题的目标。目标层是决策问题的 最高层，是整个层次结构的根节点。目标层定义了决策问题的目标和 愿景，可以是一个具体的指标，也可以是一项重要的战略目标。例如，对于一个公司来说，提高市场份额、提升产品质量和降低成本可能是 目标层的几个重要目标。 其次，确定准则层。准则层是指对于实现目标所需要的关键因素 或评价标准。准则层的每个因素都与目标层直接相关，通过对准则的 评估和排序可以帮助决策者识别出最为关键的因素。在确定准则层时，应该考虑因素之间的相互关联性和重要性。 最后，定义方案层。方案层是指为实现目标而采取的具体措施或 方案。一般情况下，方案层是决策问题的最低层。在定义方案层时， 应该考虑到各个方案之间的可行性、资源需求和可能的风险。 在模糊层次分析法中，决策者需要对准则层和方案层中的因素进 行两两比较，构建模糊判断矩阵。模糊判断矩阵是用来描述不确定和 模糊的评价值的，可以通过专家判断、模糊数学方法和模糊逻辑推理 进行计算和推断。模糊判断矩阵的元素通常采用模糊数表示，模糊数
模糊层次分析法2篇 第一篇：模糊层次分析法 一、引言 模糊层次分析法，简称FAHP，是层次分析法在模糊环境 下的扩充和发展。模糊理论很好地解决了现实生活中存在的不确定、模糊、复杂等问题，并且得到了广泛应用。FAHP是以 模糊理论为基础，在层次分析法基础上综合利用模糊数学、线性规划、模糊决策等方法，用来处理多指标决策问题。 二、基本思想 FAHP主要目标是解决评价问题的模糊度、不确定性和复 杂性。FAHP使用模糊数学中的模糊语言来描述问题，并将决 策变成了一个模糊多指标决策问题，以此来解决问题的不确定性和复杂性。FAHP包含四个基本步骤：构造判断矩阵、计算 权重向量、计算最终权重向量以及评价。 三、具体操作步骤 1. 构造判断矩阵 构造判断矩阵是FAHP的第一步，也是最基础的一步。判 断矩阵的元素是模糊数，反映了专家对各个因素之间的模糊关系。专家可以根据自己的经验和知识，对问题相关因素之间的模糊关系进行描述。判断矩阵中的每一个元素都是一个形如（a, b, c, d）的模糊数，其中a、b、c、d分别表示模糊数 的四个参数，分别代表“相对绝对不比”的程度、“相对不比”程度、“相对比较”程度和“相对绝对比”程度。 2. 计算权重向量
在FAHP中，权重向量是指评价因素对最终权重的贡献程度，也是评价因素重要性的量化指标。计算权重向量的方法主要有双曲线法、中心平均法、最小方差法等。在具体运用中，可以根据问题的实际情况选择相应的计算方法。 3. 计算最终权重向量 FAHP的核心就是通过计算最终权重向量，来确定各因素 在决策中的重要性和优先级。计算最终权重向量的方法主要有直接转换法和线性规划法。这两种方法都需要转化成标准正态分布，然后通过一系列计算步骤得到最终权重向量。最终权重向量表示各因素在决策中所占的权重，权重越大表示该因素对决策的贡献越大。 4. 评价 评价是FAHP的最后一步，通过计算所得到的最终权重向量，可以得出结论，并对结论进行评价。当权重越大的因素被采用时，决策的效果会更好。当需要与其他决策进行比较时，可以计算各种决策的得分，以此来证明所做出的决策是最优的。 四、应用领域 FAHP是一个适用性很强的多指标决策方法，广泛应用于 社会、经济、管理等领域。FAHP已被广泛应用于各种复杂的 问题，如投资决策、市场调查、工程设计和环境评价等，从而得到了更好的效果。 五、结论 FAHP是一种综合运用了模糊数学、线性规划、模糊决策 等方法的多指标决策方法。FAHP可以解决多数问题中存在的 不确定、模糊、复杂等问题，并且得到了广泛应用。FAHP不 仅是多指标决策领域的一个重要理论，而且还为人们解决实际问题提供了理论和方法基础。
模糊层次分析法理论基础 FAHP及计算过程层次分析法(AHP)是20世纪70年代美国运筹学家T.L. Saaty教授提出的一种定性与定量相结合的系统分析方法,该方法对于量化评价指标,选择最优方案提供了依据,并得到了广泛的应用。然而, AHP存在如下方面的缺陷:检验判断矩阵是否一致非常困难,且检验判断矩阵是否具有一致性的标准CR < 0. 1缺乏科学依据;判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异。为此,本文结合模糊数学理论,首先介绍了模糊层次分析法(Fuzzy - AHP) FAHP ,然后用FAHP对公共场所安全性指标权重进行了处理。 1. 1 模糊一致矩阵及有关概念[4 ,5 ] 1. 1. 1 定义1. 1 设矩阵R = ( rij) n×n ,若满足: 0 ≤( rij) ≤1 , ( i = 1 ,2 , ……n , j = 1 ,2 , ……n)，则称R 为模糊矩阵 1. 1. 2 定义1. 2 若模糊矩阵R = ( rij) n×n ,若满足: Πi , j , k 有rij= rik - rij + 0. 5 ,则称模糊矩阵R 为模糊一致矩阵。 1. 1. 3 定理1. 1 设模糊矩阵R = ( rij) n×n是模糊一致矩阵,则有 (1) Πi ( i = 1 ,2 , …n) ,则rij = 0. 5 ; (2) Πi , j ( i = 1 ,2 , …n , j = 1 ,2 , …n) ,有rij + rji= 1 ; (3) R 的第i 行和第i 列元素之和为n ; (4)从R 中划掉任一行及其对应列所得的矩阵仍然是模糊一致矩阵; (5) R 满足中分传递性,即当λ≥0. 5 时,若rij≥λ, rjk ≥λ,则rij ≥λ;当λ≤0. 5 时,若rij ≤λ, rjk ≤λ,则rij ≤λ。(证明见文献1) 。 1. 1. 4 定理1. 2 模糊矩阵R = ( rij) n×n是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定行和其余各行对应元素之差是一个常数。 1. 1. 5 定理1. 3 如果对模糊互补矩阵F = ( f ij) n×n按行求和,记为ri = 6nk = 1f ik ( i = 1 ,2 , …, n) ,并施之如下数学变换:rij =ri - rj2 m + 0. 5 (1)，则由此建立的矩阵是模糊一致的。 1. 2 模糊一致判断矩阵的建立 模糊一致判断矩阵的建立R 表是针对上一层某元素,本层次与之有关元素之间相对重要性的比较,假定上一层次元素T 同下一层次元素a1 , a2 ,…, an 有关系,则模糊一致判断矩阵可表示为:
层次分析法的计算方法 一、和积法 为简化计算，可采用近似方法——和积法计算，它使得我们可以使用小型计算器在保证足够精确度的条件下运用AHP。其具体计算步骤如下： （1）将判断矩阵每一列正规化。 ， i，j =1，2，…，n （7.3.2） ij = （2）每一列经规划后的判断矩阵按行相加。 I = ， j = 1，2，…，n （7.3.3） （3）对向量 = T（1）正规化。 W = ， i =1，2，…，n （7.3.4） 所得到的 W = T即为所求特征向量。 （4）计算判断距阵最大特征根。 = （7.3.5） 式中，（AW）i为向量AW的第i 个分量。 二、方根法 为简化计算，AHP也采用另一种近似方法——方根法计算，其步骤为：
（1）B的元素按行相乘。 u ij = （2）所得的乘积分别开n次方。 u i = (3)将方根向量正规化，即得特征向量W的第i个分量。 W i = （4）计算判断矩阵最大特征根 。 = 式中，（AW）i为向量AW的第i 个分量。 例7.1用和积计算下述判断矩阵的最大特征根及对应的特征向量。判断矩阵列于表7-4。 表7—4
解（1）按上述和积的计算步骤，得到按正规化后的判断矩阵 为 （2）按上述步骤，按行相加，得 = = 0.111+0.130+0.077 = 0.318 1 2 =0.556+0.652+0.692=1.900 3 =0.333+0.217+0.231=0.781 （3）将向量W=[0.318，1.900，0.781]T正规化，得 = 0.318+1.900+0.781=2.999 = = = 0.106 W 1 == 0.634 W 2 = =0.260 W 3 则所求特征向量W=[0.106，0.634，0.260]T （4）计算判断矩阵的最大特征根 AW =
层次分析法判断矩阵 层次分析法判断矩阵程序先确定判断矩阵；然后用以下程序就好了：%层次分析法的matlab程序%%%%diertimoxingyiclc,cleardisp(输入判断矩阵);% 在屏幕显示这句话A=input(A=);% 从屏幕接收判断矩阵[n,n]=size(A);% 计算A的维度，这里是方阵，这么写不太好x=ones(n,100);% x为n行100列全1的矩阵y=ones(n,100);% y同xm=zeros(1,100);% m为1行100列全0的向量m(1)=max(x(:,1));% x第一列中最大的值赋给m的第一个分量y(:,1)=x(:,1);% x的第一列赋予y 的第一列x(:,2)=A*y(:,1);% x的第二列为矩阵A*y(:,1)m(2)=max(x(:,2));% x 第二列中最大的值赋给m的第二个分量y(:,2)=x(:,2)/m(2);% x的第二列除以m(2)后赋给y的第二列p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));% 初始化p，i，k为m(2)-m(1)的绝对值while k>p% 当k>p是执行循环体i=i+1;% i 自加1x(:,i)=A*y(:,i-1);% x的第i列等于A*y的第i-1列m(i)=max(x(:,i));% m的第i个分量等于x第i列中最大的值y(:,i)=x(:,i)/m(i);% y的第i列等于x的第i列除以m的第i个分量k=abs(m(i)-m(i-1));% k等于m(i)-m(i-1)的绝对值enda=sum(y(:,i));% y的第i列的和赋予aw=y(:,i)/a;% y的第i 列除以at=m(i);% m的第i个分量赋给tdisp(权向量:);disp(w);% 显示权向量wdisp(最大特征值:);disp(t);% 显示最大特征值t %以下是一致性检验CI=(t-n)/(n-1);% t-维度再除以维度-1的值赋给CIRI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];% 计算的标准CR=CI/RI(n);% 计算一致性if CR摘要在定性问题的决策中，ＡＨＰ
1层次分析法 首先建立了层次结构模型后，其上下层之间元素的隶属关系就被确定了。最后需要对每一个层级的所有指标进行两两对比，确定其相对的重要性。而层次分析通常采用Saaty 标度法来给判断矩阵的元素赋值。如表1-1所示： 表1-1 1~9标度及其含义 1.1层次分析法计算步骤 依据表1-1我们可以得到要素层与各方案层的两两判断矩阵()ij n n A a ′=，其 次通过下列步骤进行权重的计算以及一致性检验。 （1）我们利用方根法求评价因素的权重向量近似值，其计算公式如下： 11,(1,2,...,)n n i ij j w a i n =?? == ??? ∏ （2）对上述利用方根法求解的权重向量按照下列公式做归一化处理，得到最终的权重为： '1 ,(1,2,...,)i i n i k w w i n w == =∑ （3）计算判断矩阵的最大特征值m ax λ。
()max 1 =n i i i Aw nw λ=∑ （4）一致性检验，由一致性指标： max 1 n CI n λ-= - RI CI CR = 其中，一致性指标CI 越大，这就意味着矩阵的偏离一致性就越大。反之一致性指标CI 越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。并且当矩阵的阶数n 越大时，其最大特征值max λ也就会越大，这就可能会导致CI 变得更大，也就意味着矩阵的偏离一致性就越大。反之，阶数n 越小，最大特征值max λ就会越小，其一致性指标CI 也就越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。这样的模型并不具有科学性。因此，矩阵的判断过程便釆用了随机一致性指标，即RI 。RI 的大小与判断矩阵的阶数n 有关，具体数据如下表1-2所示： 表1-2 RI 随机一致性指标 若CR<0.1则说明一次性检验通过，则其对应的特征向量可作为权向量。 1.2指标权重的确定 依据前面介绍的层次分析法，对所建立的指标体系中准则层和指标层权重进行计算。 1.2.1准则层指标权重确定 收集专家对评价目标下的准则层指标的基础性的数据，汇总如下表1-3所示，该数据也就是准则层七个指标的判断矩阵。 表1-3 准则层指标判断矩阵
层次分析法原理及计算过程详解 写在前面： 层次分析法是一个很早的决策算法了，它能够处理多目标多准则的决策问题，思维方式却很简单。由于其系统性等优点，后续很多算法都有借鉴，所以这里写一写。 网上关于该方法的讲解很多也很详细，所以本篇都是在前辈的基础上进行整理加工。文章尽量详细，然后加上一些我自己的理解，希望后面看到的人能够读起来更轻松，更容易接受。 注意：文中说的判断矩阵，又称成对比较阵 目录： 1.层次分析法概论
1.2什么是决策 1.3 决策分析法原理 2.层次分析法的基本步骤 2.1 层次分析法步骤 2.2 建立层次结构模型 2.3 构造判断矩阵 2.4 计算单层权向量并做一致性检验 2.5 计算组合权向量(层次总排序)并做一致性检验 2.6 层次分析法基本步骤归纳 3. 层次分析法的优缺点 3.1 层次分析法的优点
4.注意事项 5.可应用的领域 6. 完整例子分析 6.1 旅游问题 6.2 干部选择问题 1.层次分析法概论 1.1 什么是层次分析法 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代初期由美国匹兹堡大学运筹学家托马斯·塞蒂（T.L. Saaty）在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”的课题时提出。它是一种应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。 是对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。 是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。 由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
层次分析法的具体步骤 (1)建立层次结构模型如上所述，家纺纺织产业实施循环经济评价指标体系可被分为四层，最上层为最高层(目标层)，即纺织企业循环经济各个方面的综合 水平；第二层为准则层，即相互独立、分别隶属于总系统层的子系统；第三层为 指数层，是对准则层的进一步细分和阐述；最底层为指标层，该层隶属于准则 层，是对纺织企、Ek循环经济各个方面具体的评价指标。在层次分析法巾多采用三层分析，即目标层、准则层和指标层。 (2)构造比较判断矩阵根据层次结构模型，通过对某层次中各元素的相对 重要性做出比较判断，即对于上一层次某一推则而言，在其下一层次中所有与之 相关的元素中依次两两比较，从而得出逐层进行判断评分，进而构成两两判断矩阵，如表6—2所示。 如A1，A2，…，久，在考虑相对上一层准则H：前提下构造判断矩阵H‘— A。具体的做法是：先将矩阵左侧的指标A1依次与矩阵上边一排所列的指标Al—A。相对于目标Hf做两两比较，比较结果按AHP法设计的范围标度(表6—3)对它的重要性给予量化，并相应填入矩阵第一行；接着依次用左列指标A2，A3，…，A4重复进行上述比较，以完成矩阵的第二行至第n行。对于每个准则 层以及每个准则下的指标群，进行同样过程，这样也就形成了多级比较判断 矩阵。 AHP采用这种标度方法，不仅能克服一些指标和指标子系统无标度情况下 无法测量、统计等困难，而且这种标度法有特定的科学依据，这主要表现为：第一。实验心理学有关研究表明，人们对不同程度刺激的感觉区别，最佳 的区别个数为7土2，若取其最大的极限，恰好是9个。也就是说，人们对某 个事物的属性同时进行比较，要使其前后的判断基本保持一致，最多只能对9 个不向事物向时进行比较判断。按照人们惯用的相邻标度差为1的离散标度值 确定法，对1—9种事物进行比较判别时，其比例标度恰好为[1，9]间的 整数。
层次分析法实验报告 层次分析法实验报告 一、引言 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种多准则决策方法， 由美国运筹学家托马斯·L·塞蒂（Thomas L. Saaty）于1970年提出。该方法通过对决策问题进行层次结构分解，建立判断矩阵，计算权重，最终得出决策结果。本实验旨在通过使用层次分析法解决一个实际问题，验证该方法在决策问题中 的应用效果。 二、实验目的 1. 了解层次分析法的基本原理和步骤； 2. 掌握构建层次结构和判断矩阵的方法； 3. 熟悉计算权重和一致性检验的过程； 4. 验证层次分析法在决策问题中的实际应用效果。 三、实验过程 1. 确定决策问题：选择一个实际的决策问题，例如购买一台新电脑； 2. 构建层次结构：将决策问题分解为准则层、子准则层和方案层，形成层次结构； 3. 制作判断矩阵：对每个层次的元素进行两两比较，根据重要性进行评分，构 建判断矩阵； 4. 计算权重：通过特征向量法计算每个层次的权重； 5. 一致性检验：计算一致性指标，判断判断矩阵是否合理； 6. 决策结果：根据权重计算得出最终的决策结果。
四、实验结果 在购买新电脑的决策问题中，我们构建了准则层、子准则层和方案层的层次结构。准则层包括性能、价格和品牌三个元素；子准则层包括CPU、内存、硬盘、显卡和屏幕五个元素；方案层包括若干个不同品牌和型号的电脑。 通过对每个层次的元素进行两两比较，我们制作了判断矩阵。以性能为例，我 们对CPU、内存、硬盘、显卡和屏幕进行了两两比较，根据其重要性进行评分。同样地，我们对价格和品牌也进行了两两比较，得到了相应的判断矩阵。 接下来，我们通过特征向量法计算了每个层次的权重。将判断矩阵的列向量归 一化后，求得特征向量，并计算了每个元素的权重。通过一致性检验，我们发 现判断矩阵的一致性指标在合理范围内，说明判断矩阵的构建是可靠的。 最终，根据权重计算得出了最佳决策结果。通过综合考虑性能、价格和品牌等 因素，我们选择了一款性能较好、价格适中、品牌信誉较高的电脑作为最佳方案。 五、实验总结 本实验通过使用层次分析法解决一个实际的决策问题，验证了该方法在决策问 题中的应用效果。层次分析法通过对决策问题进行层次结构分解，建立判断矩阵，计算权重，最终得出决策结果。该方法能够综合考虑多个因素的重要性， 帮助决策者做出合理的决策。 然而，层次分析法也存在一些局限性，例如对判断矩阵的一致性要求较高，需 要进行一致性检验。此外，判断矩阵的构建也需要决策者具备一定的主观判断 能力。因此，在实际应用中，我们需要充分考虑这些因素，结合其他决策方法 进行综合分析。
层次分析法练习参考答案
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page3 层次分析法练习 练习一、市政工程项目建设决策 问题提出 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，试运用层次分析法建模解决。 1、建立递阶层次结构 在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。 为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。但问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。 假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这两个方案于所有准则都相关。 将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A 、B 、C 、D 。。。代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4。。。代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。 目标层A 准则层B 准则层C 合理建设市政工程，经济效 社会效 环境效 直接经 济效益 (C1) 间接带动效益(C2) 方便日常出行(C3) 方便假日出行(C4) 减少环境污染(C5) 改善城市面貌(C6)
层次分析法 一、层次分析法概述 层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于20世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多方案或多目标的决策方法，它是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。 层次分析法特别适用于无结构问题的建模。自1982年被介绍到我国以来，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境保护、冲突求解及决策预报等领域得到了广泛的重视和应用。 二、层次分析法的基本思想 基本思想层次分析法的采用先分解后综合的系统思想，整理、综合人们的主观判断，将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）、中间层（准则层）、最高层（总目标）。把实际问题转化为分析同层因素间相对重要程度的权重值或相对优劣次序的问题，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。 三、确定权重值的基本原理 人们在进行社会、经济以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。我们先看一个例子： 假设有n个物体A!, A2JH, A n,那么怎样才能知道每个物体A占这n个物体总重量的比重（权重）呢？设n个物体A!, A2, , A n重量分别为W!,W2, ,W n。现将这些物体的重量两两进行比较如下：
层次分析法整个计算过程包括以下五个部分。 (1) 建立递阶层次结构 应用AHP解决实际问题，首先明确目标；接下来分析影响目标决策的各个因素，并将它们之间的关系条理化、层次化；最后，用线将各个层次、各个因素间的关系连接起来就构成了递阶层次结构。[25] 通常，递阶层次结构包括以下三个基本层次： 1. 目标层：通过分析，明确目标是什么，将其作为最高层的元素，必须是唯一的， 如：选择最合适的供应商 2. 准则层：即中间层，元素包含所有可能影响目标实现的准则，且会随着问题的 复杂程度增多。这时，需要详细分析各准则元素间的相互关系(是同级关系还是隶属关系)。如果是隶属关系，则需要构建子准则层甚至更下一层准则。 3. 措施层：即方案层。分析解决问题的方案有哪些，并将其作为最底层因素。 (2) 构造判断矩阵并赋值 1. 构造判断矩阵：将每一个具有向下隶属关系的元素作为判断矩阵的第一个元素 (位于左上角)，隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。2. 填写判断矩阵：最常用的方法是咨询专家，将两个元素两两比较，按照重要性 程度表赋值(见下表) 。 表 3 重要性标度含义表 设填写后的判断矩阵为A=(a ij)n×n，判断矩阵具有如下三个性质：1. a ii=1 2. a ji =1/a ij 3. a ij>0 (3) 层次单排序与检验 1. 层次单排序 利用数学方法将专家填写后的判断矩阵进行层次排序。层次单排序是将每一个因素对于其准则的重要性进行排序，实际就是计算权向量。计算权向量有特征
根法、和法等，以下详细介绍特征根法的计算方法。 A. 计算判断矩阵每一行元素的乘积 n M i a ij (3.2) j1 式中： M i 第i 行各元素的乘积 a ij 第i 个元素与第j 个元素的关系比值
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层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。 在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游地的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。这些因素是相互制约、相互影响的。我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。 [编辑本段] 层次分析法定义 所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法，称为层次分析法。 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 [编辑本段] 层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。 2、构造成对比较阵 从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
层次分析法确定权重 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种常用 的多准则决策方法，用于确定权重。该方法通过对多个准则之间的重要性 进行比较和评估，从而确定每个准则的权重。下面将详细介绍层次分析法 的原理和具体步骤。 一、层次分析法的原理 层次分析法是由美国运筹学家托马斯·L·萨亚斯（Thomas L. Saaty）于1970年提出的一种决策方法。其基本原理是构造一种层次结构，将复 杂的决策问题分解为若干个层次，然后通过对准则和备选方案之间的两两 比较，确定各层次的权重，最后利用这些权重进行综合评估和决策。 二、层次分析法的步骤 1.问题定义：首先明确需要做出决策的问题，明确决策的目标和目的。 2.建立层次结构：将决策问题分解成多个准则和备选方案，形成一个 层次结构。可以采用树状图或者有向图的形式来表示。 3.两两比较：对每个层次中的准则和备选方案进行两两比较，构建一 个两两比较矩阵。比较的方式可以采用“较重要”、“同等重要”、“稍 微重要”等语言描述，也可以采用数值尺度进行比较。 4.构建判断矩阵：根据两两比较的结果，构建一个判断矩阵。判断矩 阵是一个对角线元素全为1的正互反矩阵，通过正互反矩阵的归一化可以 得到权重向量。 5.计算权重向量：利用判断矩阵的特征值和特征向量进行计算，得到 权重向量。通常采用特征值法或最大特征向量法进行计算。
6.一致性检验：检验判断矩阵的一致性，判断矩阵的一致性指标为一 致性比例CR。一般情况下，CR小于0.1认为是可接受的，否则需要重新 修改两两比较矩阵。 7.综合评估和决策：利用各层次的权重向量进行综合评估和决策，计 算各备选方案的得分，得分高的方案被认为是最佳选择。 三、总结 层次分析法是一种常用的多准则决策方法，通过对准则和备选方案之 间的两两比较，确定每个准则的权重，从而达到确定权重的目的。通过定 义问题、建立层次结构、两两比较、构建判断矩阵、计算权重向量、一致 性检验以及综合评估和决策等步骤，可以系统地确定决策问题的权重。在 实际应用中，层次分析法适用于需要考虑多个准则和备选方案的决策问题，具有较好的直观性和可操作性。
fun cti on [w,CR]=mycom(A,m,RI) [x,lumda]二eig(A); r二abs(sum(lumda)); n二fin d(r==max(r)); max_lumda_A=lumda( n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行一致性检验。 其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 RI值 当CRV0.1时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。 下面是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。 一•层次分析法的含义 层次分析法(The analytic hierarchy process简称AHP,在20世纪70年代中期由美国运筹学家(「L.Saaty正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济和、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 二.层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是
一样的。 层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 层次分析法的步骤 建立系统的递阶层次结构； 构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵） 针对某一个标准，计算各备选元素的权重； 计算当前一层元素关于总目标的排序权重。 进行一致性检验。 小结：层次分析法的思路与步骤如图 层次分析法的思路与步骤 三.模糊综合评价法的思路和步骤 模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素 制约的事物或对象做出一个总体的评价。它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。 构建评价指标体系
二、AHP 求解 层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是一种定量与定性相结合的多目标决策分析法，将决策者的经验给予量化，这在对目标（因素）结构复杂且缺乏必要数据的情况下较为实用。 （一）、建立递阶层次结构 目标层：最优生鲜农产品流通模式。 准则层：方案的影响因素有：1c 自然属性、2c 经济价值、3c 基础设施、5c 政府政策。 方案层：设三个方案分别为：1A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、2A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、3A 农业合作社一第三方物流企业一超市一消费者(本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区)。 。 图3—1 递阶层次结构 （二）、构造判断(成对比较)矩阵 所谓判断矩阵昰以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。为了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1～9的标度，见表3—1. 目标层： 准则层： 方案层：
表3—1 标度值 为了构造判断矩阵，作者对6个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为：
（三）、层次单排序及其一致性检验 层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。 对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。 W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。 a，则λ比n 大的越多，A 的不一致性越严重。用最大特征值对由于λ连续的依赖于 ij 应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ―n数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
数学建模方法之层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 §1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型； （ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类： （i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。 （ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。 在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。 目标层O 选择旅游地 准则层C 景色 费用 居住 饮食 旅途 措施层P 1P 2P 3P