数学分析：第12章数项级数

第十二章 数 项 级 数

目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法．

重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性.

第一节 级数的收敛性

一 级数的概念

在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如

+++++n 2

1

21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0；

若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念

定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1）

称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞

=1n n u ，或∑n u .

2 级数的部分和

n n

k k n u u u u S +++==∑= 211

称之为级数∑∞

=1

n n u 的第n 个部分和，简称部分和.

3 级数的收敛性

定义 2 若数项级数∑∞

=1

n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞

→lim ），则称数项级

数∑∞=1

n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞

=1

n n u 的和，记作

=S ∑∞

=1

n n u = +++++n u u u u 321.

若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞

=1

n n u 发散.

例1 试讨论等比级数（几何级数）

∑∞

=--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a

的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数

++++?+?+?)

1(1

431321211n n

的收敛性. 解：见P2.

二 收敛级数的性质 1 级数与数列的联系

由于级数∑∞

=1n n u 的敛散性是由它的部分和数列{}n S 来确定的，因而也可以认为数项级

数∑∞

=1

n n u 是数列{}n S 的另一表现形式.反之，对于任意的数列{}n a ，总可视其为数项级数

∑∞

=1

n n

u

+-++-+-+=-)()()(123121n n a a a a a a a

的部分和数列，此时数列{}n a 与级数 +-++-+-+-)()()(123121n n a a a a a a a 有相同的敛散性，因此，有 2 级数收敛的准则

定理1（级数收敛的Cauchy 准则） 级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正

整数N ，使得当N m >以及对任意的正整数p ，都有

ε<++++++p m m m u u u 21.

注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个00>ε，对任何正整数N ，总存在正整数

00),(p N m >，有

0210000ε≥++++++p m m m u u u . 3 级数收敛的必要条件

推论 （必要条件） 若级数（1）收敛，则

lim =∞

→n n u .

注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3. 例3 讨论调和级数 +++++n

1

31211 的敛散性.

解：显然，有 01

lim

lim ==∞→∞→n

u n n n ，但当令 m p =时，有

m m m m u u u u 2321+++++++ m m m m 21

312111+++++++= 2

121212121=++++≥

m m m m . 因此，取2

1

0=ε，对任何正整数N ，只要N m >和m p =就有

0210000ε≥++++++p m m m u u u ， 故调和级数发散.

例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 ∑2

1

n 收敛. 证明：由于

p

m m m u u u ++++++ 21=

2

22)(1

)2(1)1(1p m m m ++

++++ ))(11)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-+++++++<

m

p m m 1

11<+-=.

故对0>?ε，取]1

[ε

=N ，使当N m >及对任何正整数p ，都有

p m m m u u u ++++++ 21ε<

1

.

故级数 ∑

2

1

n 收敛. 4 收敛级数的性质

定理2 若级数∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

n n v 都有收敛，则对任意常数d c ,，级数)(1

n n n dv cu +∑∞

=也收敛，

且 )(1

n n n dv cu +∑∞=∑∑∞

=∞=+=1

1

n n n n v d u c .

即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立.

定理3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. （即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）.

若级数∑∞

=1n n u 收敛，设其和为S ，则级数 ++++21n n u u 也收敛，且其和为

n n S S R -=.并称为级数∑∞

=1

n n u 的第n 个余项

（简称余项），它代表用n S 代替S 时所产生的误差.

定理4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和. 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）.

如： +-++-+-)11()11()11( ++++=000收敛， 而级数 +-+-1111是发散的. 作业 P5 1，2，3，4，5，6，7.

第二节 正 项 级 数

一 正项级数收敛性的一般判别原则

若级数各项的符号都相同，则称为同号级数.而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数.因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性.

1 正项级数收敛的充要条件

定理5 正项级数∑∞

=1n n u 收敛?部分和数列{}n S 有界.

证明：由于对n ?，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有 ∑∞

=1n n u 收敛?{}n S 收敛?{}n S 有界.

2 比较原则

定理6（比较原则） 设∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使得对

N n >?都有

n n v u ≤，

则 （1）若级数∑∞

=1n n v 收敛，则级数∑∞

=1n n u 也收敛；

（2）若级数∑∞

=1

n n u 发散，则级数∑∞

=1

n n v 也发散.

证明：由定义及定理5即可得.

例1 考察∑

∞

=+-12

1

1

n n n 的收敛性. 解：由于当2≥n 时，有

2

22)

1(1

)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑∞

=-22

)

1(1n n 收敛，故∑∞

=+-1211

n n n 收敛. 3 比较判别法的极限形式

推论（比较判别法的极限形式） 设 ∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 是两个正项级数，若

l v u n

n

n =∞→lim

， 则 （1） 当+∞<

=1

n n u 、∑∞

=1

n n v 同时收敛或同时发散；

（2）当0=l 且级数∑∞=1

n n v 收敛时，级数∑∞

=1

n n u 也收敛；

（3）当+∞=l 且∑∞=1

n n v 发散时，级数∑∞

=1

n n u 也发散.

证明：由比较原则即可得. 例2 讨论级数 ∑-n

n

21

的收敛性. 解：利用级数∑

n 21的收敛性，由推论可知级数∑-n n 21收敛. 例3 由级数∑n 1的发散性，可知级数∑n

1

sin 是发散的.

二 比式判别法和根式判别法

1 比式判别法

定理7 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设∑n u 为正项级数，且存在某个正整数0N 及常数)1,0(∈q ：

（1） 若对0N n >?，有

q u u n

n ≤+1

，则级数∑n u 收敛 ； （2） 若对0N n >?，有

11

≥+n

n u u ，则级数∑n u 发散. 证明：（1）不妨设对一切n ，有

q u u n

n ≤+1

成立，于是，有

q u u ≤12

， ,23q u u ≤， ,1

q u u n n ≤-. 故

11

23

12--≤???n n n q u u u u u u ， 即 11-≤n n q u u ，由于，当)1,0(∈q 时，级数 ∑∞

=-1

1

n n q

收敛，由比较原则，可知级数∑n u 收敛.

（2） 因此时0lim ≠∞

→n n u ，故级数∑n u 发散.

2 比式判别法的极限形式

推论（比式判别法的极限形式）设∑n u 为正项级数，且 q u u n

n n =+∞→1

lim

，

则 （1）当1

（2） 当1>q （可为∞+）时，级数∑n u 发散；

（3） 当1=q 时，级数∑n u 可能收敛，也可能发散.如：∑n 1，∑21

n

.

证明：由比式判别法和极限定义即可得. 例4 讨论级数

+-+??-+??++????+??+)]

1(41[951)]

1(32[852951852515212n n 的收敛性.

例5 讨论级数)0(1>∑-x nx n 的收敛性. 3 根式判别法

定理8（柯西判别法，或称根式判别法） 设∑n u 为正项级数，且存在某个正整数0N 及正常数l ，

（1）若对0N n >?，有 1<≤l u n n ， 则级数∑n u 收敛； （2）若对0N n >?，有 1≥n n u ， 则级数∑n u 发散. 证明：由比较判别法即可得. 4 根式判别法的极限形式

推论（根式判别法的极限形式）设∑n u 为正项级数，且 l u n n n =∞

→lim ，

则 （1）当1

（2）当1>l （可为∞+）时，级数∑n u 发散；

（3）当1=q 时，级数∑n u 可能收敛，也可能发散.如：∑n 1，∑21n

.

例6 讨论级数 ∑-+n

n

2)1(2的敛散性.

解：由上推论即得. 说明：因 ?=+∞→q u u n

n n 1

lim

q u n n n =∞→lim 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，

也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效.但反之不能，如例6. 三 积分判别法

积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.

定理9 设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常积分?+∞

1

)(dx x f 同

时收敛或同时发散.

证明：由假设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则对任何正数A ，)(x f 在[1，A]上可积，

从而有 ?

--≤≤n

n n f dx x f n f 1)1()()(， ,3,2=n

依次相加，得 ∑?∑∑-====-≤≤11

1

2

2

)()1()()(m n m

m

n m

n n f n f dx x f n f

若反常积分收敛，则对m ?，有

?

?∑+∞

=+≤+≤=1

1

1

)()1()()1()(dx x f f dx x f f n f S m

m

n m .

于是，知 级数 ∑)(n f 收敛.

反之，若级数∑)(n f 收敛，则对任意正整数)1(>m ，有

∑∑?=≤=≤-=-S n f n f S dx x f m n m m

)()()(1

1

11

.

又因)(x f 为[),1+∞上非负减函数，故对任何1>A ，有 S S dx x f n A

<≤≤?1)(0, 1+≤≤n A n .

故知，反常积分?

+∞

1

)(dx x f 收敛.

同理可证它们同时发散. 例7 讨论下列级数

（1） ∑∞

=11

n p n ，（2）∑∞=2)(ln 1n p n n ， （3） ∑∞

=3)

ln )(ln (ln 1n p

n n n 的敛散性.

作业 P16 1，2，3，4，5，6，7，8，9．

第三节 一般项级数

一 交错级数

1 交错级数的定义

若级数的各项符号正负相间，即

+-++-+-n n u u u u u )1(4321 ),2,1,0( =>n u n （1）

则称（1）为交错级数.

2 交错级数收敛的判别

定理11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足下述两个条件： 1. 数列{}n u 单调递减； 2. 0lim =∞

→n n u

则级数(1)收敛.

证 ( 证明部分和数列{}n S 的两个子列{}m S 2和{}12-m S 收敛于同一极限.) 考察交错级数(1)的部分和数列{}n S 的偶子列{}m S 2和奇子列{}12-m S

)()(122232112--------=m m m u u u u u S ,

)()()(21243212m m m u u u u u u S -++-+-=- .

由条件1. 上述两式中各个括号内的数都是非负的,从而数列{}12-m S 是递减的,而数列{}m S 2是递增的.又由条件2.知道

002212→=-<-m m m u S S )(∞→m ,

从而{}],[122-m m S S 是一个区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数S ,使得 S S S m m m m ==∞

→-∞

→212lim lim .

所以数列{}n S 收敛,即交错级数(1) 收敛.

推论 若交错级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛的交错级数(1)的余和n R 的符号与余和的首项相同 ,并有1+≤n n u R .

例1 判别级数n x n

n n

∑∞

=-1

)1( )0(>x 的敛散性.

解 10≤

n n

∑∞

=-1

)1(收敛；

1>x 时, 通项0)1(→/-n x n n

, 所以n x n n n ∑∞

=-1

)1(发散.

二绝对收敛级数及其性质1 绝对收敛和条件收敛

若级数∑∞

=1

n

n

u各项绝对值所组成的级数∑∞

=1

n

n

u收敛,则称原级数∑∞

=1

n

n

u为绝对收

敛.

若级数∑∞

=1

n

n

u收敛,但各项绝对值所组成的级数∑∞

=1

n

n

u不收敛,则称原级数∑∞

=1

n

n

u

为条件收敛.

以级数∑∞

=-

1

1

)1

(

n n

n

为例, 先说明收敛?/绝对收敛.

2 绝对收敛与收敛的关系

定理12 绝对收敛的级数一定收敛.

证( 用柯西收敛准则 ).

一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛.

例2 判断级数∑∞

=1!

n

n

n

a

是绝对收敛还是条件收敛.

3 绝对收敛级数的性质

1. 绝对收敛级数可重排性

我们把正整数列{} ,,,2,1n 到它自身的一一映射f ：)(n k n →称为正整数列的

重排，相应的对于数列{}n u 按映射F ：)(n k n u u → 所得到的数列{})(n k u 称为原数列{}n u 的重排，相应于此，我们也称级数∑∞

=1

)(n n k u 是级数∑∞

=1

n n u 的重排.

定理13 设级数∑∞

=1

n n u 绝对收敛,且其和等于S ,则任意重排后所得到的级数

∑∞

=1

)

(n n k u

也绝对收敛亦有相同的和数.

2 级数的乘积

设有收敛级数∑∞=1

n n u A =与收敛级数∑∞=1

n n v B =,则它们的乘积∑∞=1

n n u ∑∞

=?1

n n v

按正方形排列顺序有：

∑∞=1

n n u ∑∞

=?1

n n

v

+++++++++=132333323112222111v u v u v u v u v u v u v u v u v u

按对角线排列顺序有：

∑∞=1

n n u ∑∞

=?1

n n

v

++++++++++=14233241132231122111v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u

定理14 若级数∑∞=1

n n u A =与级数∑∞

=1

n n v B =都绝对收敛,则按任意顺序排列所得到

的级数乘积∑∞=1

n n u ∑∞

=?1

n n v 也绝对收敛,且其和等于AB .

例3 等比级数

+++++=-n r r r r

2111

, 1

0??

?

??∑∞=n n r 按对角线顺序排列,则得到

+++++++++++=-)()()(1)

1(1

2222

n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212.

三 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

对于型如∑∞

=1

n n n b a 的级数的判敛，可用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.

1 阿贝尔判别法

引理 （分部求和公式，或称阿贝尔变换）设i ε和i v ),,2,1(n i =为两组实数.

记 ∑==k

i i k v 1

σ),,2,1(n k =. 则 n n n i i i i n

i i i v σεσεεε+-=∑∑-=-=11

11

)(.

推论 (阿贝尔引理) 设

(1) i ε),,2,1(n i =是单调数组；

(2) 对任一正整数k ()n k ≤≤1,有A k ≤σ，这里∑==k

i i k v 1

σ),,2,1(n k =,

则记{}k n

k εε≤≤=1max 时,有

A v n

k k k εε31

≤∑=.

定理15 (阿贝尔判别法 ) 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑∞

=1

n n b 收敛，

则级数 ∑∞

=1

n n n b a 收敛.

证 ( 用柯西收敛准则 , 利用阿贝尔引理估计尾项 )

由∑∞

=1

n n b 收敛,依柯西收敛准则，对任给0>ε，存在正数N ，使当N n >时, 对任一正

整数p ,都有

ε<∑++=p

n n k k

b

1

.

又由于数列{}n a 单调有界，所以存在0>M ，使M a n ≤，应用阿贝尔引理可得到

εM b

a p

n n k k

k

31

≤∑++=.

由柯西收敛准则知级数

∑∞

=1

n n n b a 收敛.

2 狄利克雷判别法

定理16 (狄利克雷判别法) 若数列{}n a 单调递减，且0lim =∞

→n n a ,又级数∑∞

=1

n n b 的部分和

数列有界，则级数

∑∞

=1

n n n b a 收敛.

注1. 取数列{}n a 单调递减，且0lim =∞

→n n a , ∑∞=1n n b ∑∞

=+-=1

1)1(n n ,由狄利克雷判别

法 , 得交错级数∑∞

=+-1

1)1(n n n a 收敛. 可见莱布尼茨判别法是狄利克雷判别法的特例.

2. 由狄利克雷判别法可导出阿贝尔判别法.事实上,由数列{}n a 单调有界,

可知{}n a 收敛,设a a n → ()∞→n . 考虑级数∑∑∞

=∞=+-1

1

)(n n n n n b a b a a , a a n -单调趋

于零,因∑∞=1

n n b 收敛,从而∑∞=1

n n b 的部分和有界,故级数∑∞=-1

)(n n n b a a 收敛,又级数∑∞

=1

n n b a

收敛,于是级数∑∑∞

=∞=+-1

1

)(n n n n n b a b a a 收敛.即级数

∑∞

=1

n n n b a 收敛.

例4 设数列{}n a 单调递减，且0lim =∞

→n n a .证明级数∑∞=1sin n n nx a 和∑∞

=1

cos n n nx a

对任何)2,0(π∈x 收敛.

证 ++??? ??-+=???

??+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n k

????????? ??

--??? ?

?++x n x n 21sin 21sin

x n ??? ??

+=21sin ，

)2,0(π∈x 时，02

sin

≠x

，故得到 2

sin

221sin cos 211

x x

n kx n k ??? ??

+=+∑=.

可见)

2,0(π

∈

x时, 级数∑∞

=1cos

k

kx的部分和有界.由狄利克雷判别法推得级数

∑∞=1cos

n

n

nx

a收敛 . 同理可得级数数∑∞

=1

sin

n

n

nx

a收敛 . 作业 P24 1，2，4， 5，8.

数学分析教案(华东师大版)第十三章函数列与函数项级数

第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 §1 一致收敛性 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 一． 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. ”定义. 逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“ 例1 对定义在 义验证其收敛域为 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .

⑴. . ⑵. . ⑶设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有 , , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 .

用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性 质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列 . , ( 介绍另一种形式.) 证( 利用式) ,……,有 易见逐点收敛. 设 , 对D成立, . 令 , ，D. 即 , ，. 推论1 在D上 D , 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 使, 则函数列 应用系2 判断函数列

《数学分析》10第三章-函数极限

《数学分析》10第三章-函数极限

第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两 部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极 限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。 我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即 :() n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =. 研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时， 函数()f n 变化趋势。 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变 量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数:

1,0;()0,0.x f x x ≠?=?=? 类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋 势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, L 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得 多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。 下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念 一、x →+∞时函数的极限 １． 引言 设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研 究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。 例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于 ０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2 π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势。

数学分析12.3一般项级数

第十二章 数项级数 2 一般项级数 一、交错级数 概念：若级数各项符号正负相间，即 u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数. 定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞ =+1n n 1n u (-1)满足： (1)数列{u n }单调递减；(2)∞ n lim +→u n =0，则该级数收敛. 证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知 0

条件收敛级数. 定理12.12：绝对收敛级数一定收敛. 证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！ 例1：证明：级数∑! n a n 收敛. 证：∵n 1n ∞n u u lim ++→=1n a lim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛. 性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞ =1n k(n)u 也是级数∑∞ =1 n n u 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞ =1 n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +…. 定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数. 证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和.

函数列与函数项级数

Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ） § 1 一致收敛性（ 6 时 ） 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n . ⑴ )(x f n =x x x x n n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1 21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =???≠∈=. ,,, ] 1 , 0 [ , 0, ,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. ⑷ )(x f n =2 22 2x n xe n -. )(x f n →0, R ∈x .

156 ⑸ )(x f n =?? ? ? ? ? ???≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41 11x x x x x n n n n n n n 有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意 ? ≡1 1)(dx x f n .） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 ∞ →n lim () ? ?∞ →≠1 1 0)(lim )(dx x f dx x f n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞ →n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限 函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,? N , 0?>?ε, , , N n m >?? ε<-n m f f . ( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .) 证 )? ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)

数学分析 数项级数

第十二章数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。 教学时数：18学时 § 1 级数的收敛性 一．概念： 1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 . 2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思 想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的 和、余和以及求和等概念 . 例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ;

时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 . ( 注意从 综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为 0开始 ). 例2讨论级数的敛散性. 解（利用拆项求和的方法） 例3讨论级数的敛散性. 解设, , = , . , . 例4 讨论级数的敛散性.

解, . 级数发散. 3.级数与数列的关系 : }, 收敛 {}收敛; 对应部分和数列{ }, 对应级数, 对该级数, 有=. 对每个数列{ }收敛级数收敛. 于是,数列{ 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中. 无穷积分可化为级数 ; 对每个级数, 定义函数 , 易见有 =.即级数可化为无穷积分. 综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{} 二. 收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则 . 和N, Th ( Cauchy准则 ) 收敛

第十二章数项级数31263

第十二章 数项级数 1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2．试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2．讨论下列级数的敛散性：

(1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3．证明定理10.2. 4．设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =， 其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛，证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑

第十三章函数列和函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数 目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论． 重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法. 第一节 一致收敛性 我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一 函数列及其一致收敛性 设 ,,,,21n f f f (1) 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.也可简记为： }{n f 或 n f , ,2,1=n . 设E x ∈0,将0x 代入 ,,,,21n f f f 得到数列 ),(,),(),(00201x f x f x f n (2) 若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点0x 收敛,0x 称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点0x 发散. 若函数列}{n f 在数集E D ?上每一点都收敛,则称}{n f 在数集D 上收敛.

这时对于D x ∈?,都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了D 上的一个函数,称它为函数列}{n f 的极限函数.记作f .于是有 )()(lim x f x f n n =∞ →, D x ∈,或 )()(x f x f n →)(∞→n ,D x ∈. 函数列极限的N -ε定义是： 对每一个固定的D x ∈,对0>?ε,0>?N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关）,使得当N n >时,总有 ε<-)()(x f x f n . 使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合,称为函数列}{n f 的收敛域. 例1 设n n x x f =)(, ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列,证明它的收敛域是]1,1(-,且有极限函数 ? ??=<=1,11 ,0)(x x x f (3) 证明：因为定义域为),(∞-∞,所以根据数列收敛的定义可以将),(∞-∞分为四部分 (i) 10<ε（不妨设1<ε）,当10<时,就有ε<-)()(x f x f n . (ii)0=x 和1=x 时,则对任何正整数n ,都有 ε<=-0)0()0(f f n ,ε<=-0)1()1(f f n . (iii) 当1>x 时,则有)(∞→+∞→n x n , (iv) 当1-=x 时,对应的数列为 ,1,1,1,1--,它显然是发散的. 这就证得{}n f 在]1,1(-上收敛,且有(3)式所表示的极限函数.所以函数列{}n x 在区

第十二讲函数列与函数项级数

第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一、函数列 （一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈?，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞ →,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n ∈∞→→, 2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈? ，及 0>?ε，()0,>=?εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛 若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>?>?N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→?, . 4 ．非一致收敛 00>?ε，对N n N >?>?0,0，及I x ∈?0，使得 ()()0000ε≥-x f x f n 例 12 . 1 证明()n n x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛． 证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞ →∞ →n x n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞ →n n f ，即极限函数 为()[)???=∈=1 ,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取031 0>=ε。对0>?N ，取 N N n >+=10，取()1,02101 0∈? ? ? ??=n x · 此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛?对 0,0>?>?N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，

数学分析之函数极限

第三章 函数极限 教学目的： 1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用； 4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点： 本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数：14学时 § 1 函数极限概念 （2学时） 教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。 教学要求：使学生逐步建立起函数极限的δε-定义的清晰概念。会应用函数极限的δε-定义证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：函数极限的概念。 教学难点：函数极限的δε-定义及其应用。 一、 复习：数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一） 时函数的极限：

以时和为例引入. 的直观意义. 介绍符号: 的意义, 定义 ( 和 . ) 几何意义介绍邻域 其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义． 例1 验证 例2 验证 例3 验证 证…… 时函数的极限： （二） 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路.

例4 验证 例5验证 例6 验证 证由= 为使需有 为使需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证 ( 类似有 （三）单侧极限: 1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域

然后介绍等的几何意义. 例9 验证 证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有: 例10 证明: 极限不存在. 例11 设函数 在点的某邻域内单调. 若存在, 则有 = §2 函数极限的性质（2学时） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学：

函数列与函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值

函数项级数一致收敛的判定开题报告

一、本课题研究现状及可行性分析 目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M 判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。 函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于()n u x 一致收敛性的判别法，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。 基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。

《数学分析》5第一章§3函数概念

授课章节：第一章 §３ 函数概念 教学目的：使学生深刻理解函数概念。 教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法； （２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复 合关系。 教学重点：函数的概念。 教学难点：初等函数复合关系的分析。 教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。 教学程序： 引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨 论。 一 函数的定义 １．定义１ 设,D M R ?，如果存在对应法则f ，使对x D ?∈，存在唯一的一个数y M ∈与之对应，则称f 是定义在数集Ｄ上的函数，记作:f D M →(|x y →). 函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f D 。即 {}()|(),f D y y f x x D ==∈。 ２．几点说明 （1）函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立Ｄ到Ｍ的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量，y 为因变量。 （2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。 例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函数()y f x =”或“函数f ”。 （4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。a 称为()f a 的原象。 （5）函数定义中，x D ?∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数（简称函数）。 （６）定义１中的定义是Cauchy 于1834年给出。不是完美的、现代意义上的函数定义。事实上，函数定义的产生也经历了一个从无到有，从具体到抽象。从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程。这个进程

数学分析：第章数项级数

数学分析：第章数项级数 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

第十二章 数 项 级 数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1）

称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞ =1n n u ，或∑n u . 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和. 3 级数的收敛性 定义2 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项 级数∑∞=1 n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321. 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a 的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n

中科院数学分析考研

读书破万卷下笔如有神 中科院研究生院硕士研究生入学考试 《数学分析》考试大纲 本《数学分析》考试大纲适用于中国科学院研究生院数学和系统科学等学科各专业硕士研究生入学考试。数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程，由分析基础、一元微分学和积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成。要求考生能准确理解基本概念，熟练掌握各种运算和基本的计算、论证技巧，具有综合运用所学知识分析和解决问题的能力。 一、考试基本要求 要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。 二、考试方法和考试时间 数学分析考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 三、考试内容和考试要求 （一）考试内容 1. 分析基础 (1) 实数概念、确界 (2)函数概念 (3) 序列极限与函数极限 (4) 无穷大与无穷小 (5)上极限与下极限 (6) 连续概念及基本性质，一致连续性 （7）收敛原理 2. 一元微分学 (1) 导数概念及几何意义 (2) 求导公式求导法则 (3) 高阶导数 (4) 微分 (5) 微分中值定理 (6) L'Hospital法则 (7) Taylor公式 (8) 应用导数研究函数 一元积分学3. 读书破万卷下笔如有神 (1) 不定积分法与可积函数类 (2) 定积分的概念、性质与计算 (3) 定积分的应用

(4) 广义积分 4. 级数 (1) 数项级数的敛散判别与性质 (2) 函数项级数与一致收敛性 (3) 幂级数 (4) Fourier级数 5. 多元微分学 (1) 欧氏空间 (2) 多元函数的极限 (3) 多元连续函数 (4) 偏导数与微分 (5) 隐函数定理 (6) Taylor公式 (7) 多元微分学的几何应用 (8) 多元函数的极值 6. 多元积分学 (1) 重积分的概念与性质 （2）重积分的计算 （3）二重、三重广义积分 （4）含参变量的正常积分和广义积分 （5）曲线积分与Green公式 （6）曲面积分 （7）Gauss公式、Stokes公式及线积分与路径无关 （8）场论初步 （二）考试要求 1．分析基础 (1)了解实数公理，理解上确界和下确界的意义。掌握绝对值不等式及平均值不等式。 (2)熟练掌握函数概念（如定义域、值域、反函数等）。 (3)掌握序列极限的意义、性质（特别，单调序列的极限存在性定理）和运算??N方法。法则，熟练掌握求序列极限的 (4)掌握函数极限的意义、性质和运算法则（自变量趋于有限数和趋于无限两???方法，了解广义极限和单侧极限种情形），熟练掌握求函数极限的的意义。 (5)熟练掌握求序列极限和函数极限的常用方法（如初等变形、变量代换、两边夹法则等），掌握由递推公式给出的序列求极限的基本技巧，以及应用Stolz公式求序列极限的方法。 (6)理解无穷大量和无穷小量的意义，了解同阶和高（低）阶无穷大（小）量的意义。 (7)了解上极限和下极限的意义和性质。 理解函数两类间断点的熟练掌握函数在一点及在一个区间上连续的概念，(8)． 读书破万卷下笔如有神 意义，掌握初等函数的连续性，理解区间套定理和介值定理。理解一致连续和不一致连续的概念。 (9)掌握序列收敛的充分必要条件及函数极限（当自变量趋于有限数及趋于无穷两种情形）存在的充分必要条件。 2．一元微分学 (1)掌握导数的概念和几何意义，了解单侧导数的意义，解依据定义求函 数在给定点的导数。

数学分析课程简介

导言数学分析课程简介 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值 函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算, 利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究 一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累 时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时 期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的 ), 后面的学习就会容易一些; 只要

在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析(第三版)，高等教育出版社，2001； [2] 陈纪修於崇华等编，《数学分析》（第二版）高等教育出版社，2001 [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析方法课开设.

数学分析第十讲函数项级数资料

第十讲 函数列与函数项级数 一、知识结构 1、函数列收敛性 （1）函数列收敛的概念和定义 定义1 设 ,,,,21n f f f 是定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，记作}{n f 或n f ， ,3,2,1=n . 定义 2 设E x ∈0, 以0x 代入函数列 ,,,,21n f f f 的数列 ()()() ,,,,00201x f x f x f n . 如果数列)}({0x f n 收敛, 我们称函数列}{n f 在点0x 收敛, 点0x 为函数列}{n f 的收敛点. 如果数列)}({0x f n 发散, 称函数列}{n f 在发散, 点0x 为函数列}{n f 的发散点.如果在数集E D ?上的每一点函数列 ,,,,21n f f f 都收敛, 则我们称函数列}{n f 在D 上收敛.记作)()(lim x f x f n n =∞ →,D x ∈,)(x f 称为函数列 }{n f 在D 上极限函数, 或称为函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f . 定义3(函数列)}({x f n 在D 上收敛于) (x f N -ε的定义) 对每一个固定的D x ∈0, 对0>?ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x f x f n ,我们称函数列()}{x f n 在D 上收敛与)(x f ，记作)()(lim x f x f n n =∞ →,D x ∈或) ()(x f x f n →（∞→n ）,D x ∈. 说明 ①对每一个固定的D x ∈0，都存在一个正整数N ，由于D 中一般有无限个0x ，所以就对应于无限个正整数N ，这无限个正整数N 中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关. （2）函数列收敛的判定方法 数列)}({0x f n 收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如，函数列

Aldmin《数学分析》3第一章 实数集与函数---§2数集和确界原理

秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。 授课章节：第一章 实数集与函数---§２数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。 教学要求：（１）掌握邻域的概念；（２）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加 以运用。 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。 引言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ １．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-. ３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤. ４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<. [引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。 本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。 一 区间与邻域 １．区间（用来表示变量的变化范围） 设,a b R ∈且a b <。

第十二章-无穷级数(整理解答)

第十二章 无穷级数 一. 常数级数的审敛，常数级数的性质 收敛： 12.3下列级数中收敛的是( )； A ． ( ) ∑∞=-+1 1n n n B ．∑ ∞ =+11 1n n C ．n n n n ∑∞ =?? ? ??+123 D ．∑∞ =??? ??+1211n n 1 2(1)n =≥≥+，所以( ) ∑∞ =-+11n n n 发散； ∑∞ =+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞ =??? ? ? +1211n n 发散，因此选C 。 12.7 下列级数中收敛的是( ) A. ∑ ∞ =+1 121n n B.∑∞ =+11 3n n n C.)1|(|1001<∑∞=q q n n D.∑∞=-1132n n n 解： 121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1 lim 313n n n →∞=+，∑∞ =+1 13n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n 发散；2 13n =<，∑∞ =-1132n n n 收敛，所以选D 。 12.11 下列级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞ =??? ? ? +1311n n 解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散； 2 12(1)12lim 122n n n n n +→∞+=<，∑∞=122 n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞ =+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。 12.15 下列正项级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1 ∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n