第十二章 数项级数
1 级数问题的提出
1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解
2012,n n y a a x a x a x =+++
+
则必有0i a i n = ( =1,2,
,) . 2．试确定系数01,,
,,
,n a a a 使0n n n a x ∞
=∑满足勒让德方程
2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++=
2 数项级数的收敛性及其基本性质
1．求下列级数的和： (1)
1
1
;(54)(51)n n n ∞
=-+∑ (2)
2
11
;41
n n
∞
=-∑
(3) 1
1
1(1);2
n n n -∞
-=-∑ (4)
1
21
;2n n n ∞
=-∑
(5)
1sin ,n
n r
nx ∞
=∑||1;r < (6)
1
cos ,n
n r
nx ∞
=∑|| 1.r <
2．讨论下列级数的敛散性：
(1)
1;21n n =-∑
(2)
111(
);23n n
n ∞
=+∑ (3)
1cos ;21n n π
∞
=+∑
(4)
1
1
;(32)(31)n n n ∞
=-+∑
(5)
1
n ∞
=
3．证明定理10.2. 4．设级数
1
n
n u
∞
=∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数
1
,n
n U
∞
=∑即
1112,n n n n k k k U u u u ++++=++
+0,1,2,
n =，
其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<<
若1
n n U ∞
=∑收敛，证明原来的级数也收敛.
3 正项级数
1．判别下列级数的收敛性：
(1)
n ∞
=
(2)
21
11
;(21)2
n n n ∞
-=-∑
(3)
1n ∞
= (4)
1
sin ;2
n
n π
∞
=∑
(5)
11n
n a
=+∑ (1);a >
(6)
1n ∞
=
(7)
11
();21n
n n ∞=+∑
(8)
1
1
;[ln(1)]n
n n ∞
=+∑ (9) 1
2(1);2n
n
n ∞
=+-∑ (10)
12sin
;3
n n
n π
∞
=∑
(11) 1;!
n
n n n ∞
=∑
(12)
1ln ;2
n
n n n
∞
=∑ (13) 1!2;n
n n n n ∞
=∑
(14) 1!3;n
n n n n
∞
=∑
(15) 2
1
;1()n
n n n n
∞
=+∑ (16) 2
1(1)(1)
(1)
n
n
n x x x x ∞
=+++∑ (0);x ≥
(17)
3353573579;11414714710
??????++++??????
(18)
ln 11
;n
n n
∞
=∑
(19)
ln 1
1
;(ln )n
n n ∞
=∑
(20)
ln 1;2
n
n =∑
(21)
ln 1
1;3n n ∞
=∑
(22)
1n ∞
=
(23)
1
n ∞=
2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1)
11
[(1)];n p
n e n ∞
=-+∑
(2)
3
ln cos ;p n n π
∞
=∑
(3)
11
ln
;1
p n n n ∞
=--+∑
(4)
1
n ∞
=∑
3．已知两正项级数1
n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑发散，问
1
max(,)n
n
n u v ∞
=∑，1
min(,)n
n
n u v ∞
=∑两级数的
收敛性如何？
4．若正项级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，1n n a a +≤(1,2,)n =，求证lim 0n n na →∞
=.
5．设22221,,1,2,,
1,1,2,,n k
a n k k n a k k ?=≠=???
?==??
求证:(1)
1
n
n a
∞
=∑收敛;
(2) lim 0.n n na →∞
≠
6．讨论下列级数的收敛性:
(1)
2;(ln )
p
n n n =∑ (2)
2
1
;ln ln ln n n n n ∞
=??∑ (3)
121(ln )
ln ln n n n n
σ
∞
+=∑(0);σ>
(4)
2
1
.(ln )(ln ln )p q
n n n n ∞
=∑ 7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1)
1(21)!!!
p
n n n ∞
=-∑();p 是实数
(2)
1
(1)
(1)1
!n n n n β
ααα∞
=++-∑
(0,0).αβ>>
8．设0,n a >且1
lim
n n n
a l a +→∞=,
求证n l =.反之是否成立?
9．利用级数收敛的必要条件证明:
(1) 2
lim
0;(!)n
n n n →∞= (2) !
(2)!
lim
0n n n a →∞=(1).a >
10．设0n a ≥,且数列{}n na 有界,证明级数
21
n
n a
∞
=∑收敛.
11．设正项级数
1
n
n a
∞
=∑收敛,
证明
1
n ∞
=也收敛.
12．设lim n n a l →∞
=,求证:
(1) 当1l >时,
1
1
n
a n n +∞
=∑收敛; (2) 当1l <时,
1
1
n
a n n
∞
=∑发散.
问1l =时会有什么结论?
4 一般项级数
1．讨论下列级数的收敛性:
(1)
1(1)
;100
n
n n ∞
=-+∑
(2)
1ln sin ;2n n n n
π
∞
=∑
(3)
1
1112(1)
;n
n n
n
∞
=+
++-∑ (4)
n n ∞
=
(5)
1
sin(n π
∞
=∑
(6)
(1)
2
1
(1);3n n n n -∞
=-∑
(7) 1(1)n
p
n n
∞
=-∑(0);p > (8)
1
1sin ;23n
n n π∞
=∑ (9)
1cos 2(1);n
n n
n
∞
=-∑ (10) 21
sin (1)
;n
n n
n ∞
=-∑ (11)
1
(1)sin
n n x
n
∞
=-∑(0)x ≠; (12) 2
1(1);(
1)
n n n
n
∞
=-+∑
;1
1
n n +
-
++
-
+-+
(14) 1
1n
n n a =+∑(0);a > (15) 11sin();n n n n ∞
=+∑ (16) 2
1
sin sin .n n n n ∞
=∑ 2．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛:
(1) 1
(1);n n n x ∞
=-+∑ (2) 1
sin(2)
!n n x n ∞
= ;∑ (3)
1
sin n nx
n ∞
=∑(0);x π<< (4)
1
cos p
n nx
n ∞
=∑
(0);x π<< (5) 1
(1)1n
p n n n ∞
=-+
∑(0);p >
(6) 2
(1)[(1)]n
n p
n n ∞
=-+-∑(0);p > (7)
1
1(1);n p n n
n
∞
+=-∑
(8)
21
12sin (1)
;n n n n x
n
∞
-=-∑ (9)
1
(
),n
n n
x a ∞
=∑lim 0;n n a a →∞=>
(10)
1(1)
n
n n r ∞
=-∑(0);r >
(11)
1
!();n
n x n n ∞
=∑
(12) 1
ln(1);p n n =+∑
(13)
1
n n ∞
=
(14) 1
sin 4.sin 4
p n n n n ππ
∞
=+∑ 3．利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性:
(1) 2
012,||1,||n n n a a q a q a q q a A +++
++
<≤ (0,1,2,);n =
(2) 111111.23456
+
-++-+
4．求证:若级数
1
n
n a
∞
=∑(0)n a ≥收敛,则级数21
n n a ∞
=∑收敛.但反之不成立,请举出例子.
5．若级数1n n a ∞
=∑收敛,且lim 1n
n n
b a →∞=,问是否能断定1n n b ∞
=∑也收敛?研究例子
1
.n
n n n a b a n =
=+
6．证明:若级数
1
()n
n a
A ∞
=∑及1
()n n b B ∞
=∑都收敛,且
n n n a c b ≤≤(1,2,)n =
则级数
1
()n n c C ∞
=∑也收敛,若级数()A 与()B 都发散,问级数()C 的收敛性如何?
7．证明:若01n x n a n ∞
=∑收敛,则当0x x >时,1n x n a n ∞=∑也收敛. 若0
1
n
x n a n ∞
=∑发散,则当0x x <时,
1n
x
n a n
∞
=∑也发散. 8．求证:若数列{}n na 有极限,
11
()n
n n n a
a ∞
-=-∑收敛,则1n n a ∞
=∑也收敛.
9．求证:若
11
()n
n n a
a ∞
-=-∑绝对收敛,1
n n b ∞
=∑收敛,则1
n n n a b ∞
=∑收敛.
10．求证:若级数
21
n
n a
∞
=∑和
2
1
n
n b
∞
=∑都收敛,则级数
2
1
1
1
||,),n
n n n n n n n a a b a b n
∞∞∞
===+∑∑
∑（ 也收敛.
11．设正项数列{}n x 单调上升且有界,求证:
1
1
(1)n
n n x x ∞
=+-
∑ 收敛.
12．对数列{},{}n n a b ,定义11
,n
n k k
k k k S a b
b b +==
?=-∑,求证:
(1) 如果{}n S 有界,
1
||n
n b
∞
=?∑收敛,且0()n b n →→∞,则1
n n n a b ∞
=∑收敛,且有
1
1;n n
n n n n a b
S b ∞
∞
===-??∑∑
(2) 如果
1n
n a
∞
=∑与
1
||n
n b
∞
=?∑都收敛,则1
n n n a b ∞
=∑收敛.
13．设
1
n
n a
∞
=∑收敛,且lim 0n n na →∞
=,求证:
11
()n
n n n a
a ∞
+=-∑
收敛,并且
11
1
()n
n n n n n a
a a ∞
∞
+==-=∑∑
14．下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例: (1) 若0n a >,则112233a a a a a a -+-+-+收敛; (2) 若0n a →,则112233a a a a a a -+-+-+收敛;
(3) 若
1
n
n a
∞
=∑收敛,则
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛;
(4) 若
21n
n a
∞
=∑收敛,则
31
n
n a
∞
=∑绝对收敛;
(5) 若
1n
n a
∞
=∑发散,则n a 不趋于0;
(6) 若
1n
n a
∞
=∑收敛,1n b →，则
1
n n
n a b
∞
=∑收敛;
(7) 若
1||n
n a
∞
=∑收敛, 1n b →，则1
n n n a b ∞
=∑收敛;
(8) 若
1n
n a
∞
=∑收敛,则
21
n
n a
∞
=∑收敛;
(9) 若
1
n
n a
∞
=∑收敛,0n a >，则lim 0n n na →∞
=.
15．求下列极限(其中1p >) (1)11
1
lim(
);(1)(2)(2)p p p
n n n n →∞
++
+
++ (2)12
2111lim(
).n n n
n p p p ++→∞
+++
5 无穷级数与代数运算
1．不用柯西准则,求证:如果
1
||n
n a
∞
=∑,则1
n n a ∞
=∑也收敛.
2．设
1
n
n a
∞
=∑收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相同的和数.
3．求证:
由级数
1
1
n n -
∞
=
1+
-
+
+
-
+
发散.
4．证明:若
1
n
n a
∞
=∑条件收敛,则可把级数重排,使新级数部分和数列有一子数列趋向于
+∞,有一子数列趋向-∞.
5．已知11
1ln 2n n H c n r n
=+++=++,c 是欧拉常数,lim 0n n r →∞=,求证:
(1) 111111ln 242222
m m c r m +++=++;
(2) 若把级数111
1234
-+-+的各项重排,而使依次p 个正项的一组与依次q 个负
项的一组相交替,则新级数的和为1ln 2ln 2p q
+
. 6．求证:级数1
1
(1)n n n +∞
=-∑的平方(柯西乘积)是收敛的.
7．令0!
n x
n x e n ∞
==∑,求证x y
x y e
e e +
=?. 8．证明:若级数的项加括号后所成的级数收敛,并且在同一个括号内项的符号相同,那么去掉括号后,此级数亦收敛;并由此考察级数
1
(1)n n ∞
=-∑
的收敛性.
高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1
A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u ΛΛ+++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。
第十二章 数项级数 1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2．试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2．讨论下列级数的敛散性：
(1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3．证明定理10.2. 4．设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =， 其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛，证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑
数学分析：第章数项级数 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
第十二章 数 项 级 数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1）
称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞ =1n n u ，或∑n u . 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和. 3 级数的收敛性 定义2 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项 级数∑∞=1 n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321. 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a 的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n
第十二章 无穷级数 一. 常数级数的审敛，常数级数的性质 收敛： 12.3下列级数中收敛的是( )； A ． ( ) ∑∞=-+1 1n n n B ．∑ ∞ =+11 1n n C ．n n n n ∑∞ =?? ? ??+123 D ．∑∞ =??? ??+1211n n 1 2(1)n =≥≥+，所以( ) ∑∞ =-+11n n n 发散； ∑∞ =+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞ =??? ? ? +1211n n 发散，因此选C 。 12.7 下列级数中收敛的是( ) A. ∑ ∞ =+1 121n n B.∑∞ =+11 3n n n C.)1|(|1001<∑∞=q q n n D.∑∞=-1132n n n 解： 121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1 lim 313n n n →∞=+，∑∞ =+1 13n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n 发散；2 13n =<，∑∞ =-1132n n n 收敛，所以选D 。 12.11 下列级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞ =??? ? ? +1311n n 解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散； 2 12(1)12lim 122n n n n n +→∞+=<，∑∞=122 n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞ =+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。 12.15 下列正项级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1 ∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n
第十二章 无穷级数 (一) 1．解：∵( ) ∑ =∞→-+=+-+=n k n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数 发散。 2．解：∵() ∑∑==→??? ??+-=??? ??+-=+=n k n k n n k k k k S 1141 221212122121212221， (∞→n )，∴原级数收敛且和为 4 1。 3．解：∵41 215 11511513113113151315131 111+→-? ?? ?? -+-??? ??-= +=??? ??+=∑∑∑===n n n k k n k n k k k k n S 4 3= ，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。 4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001 lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n n n n ，∴由比值判别法知原级 数发散。 5．解：∵()11 11lim 1lim lim 11<=??? ??+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U e n e n n e n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 6．解：∵02 1 21lim lim ≠=+=∞ →∞ →n n U n n n ，∴原级数发散。 7．解：∵()()2332lim 1lim =++=∞→∞→n n n n n U n n n ，而∑∞ =11 n n 发散，∴由比较判别法知原级数发散。 8．解：∵13113lim 13lim lim <=+=?? ? ??+=∞→∞→∞→n n n n U n n n n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 9．解：∑ ∑∞ =-∞ ==1 1 1 2 ||n n n n n U ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原 级数绝对收敛。
第十一章练习题 一、 填空题 1．级数 )21)1(1(1 n n n n -+∑∞ =的和为（ ） ． 2．若∑∞ =1 n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞ =1 n n u 收敛的充要条件是（ ）． 3.级数∑∞ =1 22 sin 2n n n π 的敛散性为（ ）． 4.幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛区间为（ ）． 5.幂级数∑∞ =-1 22) 1(n n n n x 的收敛域为（ ）． 6.将函数 2 ) 1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）． 7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0 x f S f x +→=-=则=（ ） ． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）． 二、 单项选择题 1. 若级数∑∞ =1 n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）. A. 交换律成立； B.结合律成立； C.分配律成立； D.以上都不成立。 2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）． A. ∑ ∞ =+1121n n ； Ｂ．n n n )2 3()1(1 ∑∞ =-； Ｃ． 3 1 1) 1(n n n ∑ ∞ =-； Ｄ．n n n n 1) 1(1 --∑∞ =． 3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.
A. ∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n n ；Ｂ．∑∞ =-1 1) 1(n n n ；Ｃ．∑∞ =-1 2 1) 1(n n n ；Ｄ．∑∞ =+-1 ) 1(1)1(n n n n 4. 已知级数∑∑∞ =∞ =--==-1 1 1 21 5, 2) 1(n n n n n a a ，则级数∑∞ ==1 n n a （ ） A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 9 5．幂级数n x n n ∑ ∞ =1 的和函数是（ ）． Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2 )(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）. A. ∑ ∞ =0 2! n n n x Ｂ．∑ ∞ =?-0 2! )1(n n n n x Ｃ．∑ ∞ =0 ! n n n x Ｄ．∑ ∞ =?-0 ! )1(n n n n x 7. 若∑∞ =-1 )1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）. A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。 8.已知级数∑∞ =1 2n n a 收敛，常数λ>0,则级数∑∞ =+-1 2 ) 1(n n n n a λ （ ）. A. 发散 ； Ｂ．条件收敛； Ｃ．绝对收敛； Ｄ．收敛性与λ有关。 9.设),3,2,1(0 =≠n u n ，且1lim =∞ →n n u n ，则级数∑∞ =+++ -1 1 1 )11( ) 1(n n n n u u （ ）. A.发散。Ｂ．绝对收敛。Ｃ．条件收敛。Ｄ．收敛性根据所给条件不能判定。 三、计算题 1. 判定下列级数的收敛性。 (1) ∑ ∞ =+1 3 2 ) 1(3cos n n n n λ, (2) )sin ( 1 ∑ ∞ =-n n n π π ; (3) ∑ ∞ =--1 1 2) 1 3( n n n n 2．讨论下列级数的敛散性 （1）∑ ? ∞ =+1 1 2 1n n dx x x （2）∑∞ =+ -1 )]11ln(1[ n n n 3．求幂级数∑ ∞ =1 22 n n n x n 的收敛域。
第十二章 数 项 级 数 目的与要求:１。使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2． 掌握判别正项级数敛散性的各种方法,包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义，基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法;难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道:任意有限个实数n u u u ,,,21 相加,其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征。如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1． 其和无意义; 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为:0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同)。 问题:无限多个实数相加是否存在和; 如果存在,和等于什么。 1 级数的概念 定义１ 给定一个数列{}n u ,将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 (1)
称为数项级数或无穷级数(简称级数）,其中n u 称为级数(1）的通项． 级数(1）简记为：∑∞ =1n n u ,或∑n u 。 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和． 3 级数的收敛性 定义２ 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S (即S S n n =∞ →lim ),则称数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛 ,称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321． 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例１ 试讨论等比级数(几何级数) ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ,)0(≠a 的收敛性. 解：见P2． 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n
8.1数项级数的概念与基本性质 教学目的 理解级数的概念和基本性质 教学重点 级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数 教学难点 有穷项相加与无穷项相加的差异 教学过程 1.导入 以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课 2.1常数项级数的概念 定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞ == ++++1 21n n n a a a a （8.1.1） 的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数 ∑∞ =1 n n a 的通项（或一般项）． 如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数. 例如， 等差数列各项的和 +-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数． 等比数列各项的和 +++++-1 12 111n q a q a q a a 称为等比级数，也称为几何级数． 级数 1 1n n ∞ =∑ =111123n +++++ 称为调和级数． 级数（8.1.1）的前n 项和为： 121 n n k k k S a a a a ===+++∑ ，
称n S 为级数 ∑∞ =1 n n a 的前n 项部分和，简称部分和． 2.2常数项级数收敛与发散 定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞ →lim (常数) 则称极限S 为无穷级数 ∑∞ =1n n a 的和．记作 ++++==∑∞ =n n n a a a a S 211 此时称级数 ∑∞ =1 n n a 收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数 ∑∞ =1 n n a 发散，这时级数没有和． 显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差 ++=-=++21n n n n a a S S r 叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ． 例１ 讨论几何级数 +++++=∑∞ =-n n n aq aq aq a aq 21 1 的敛散性，其中0≠a ，q 是公比． 结论：几何级数 ∑∞ =-1 1 n n aq ，当1|| 1．写出下列级数的一般项： ⑴ 1357 2468 ++++ ； 【解】分析级数各项的表达规律： 分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21 2n n u n -= ，1,2,3,....n =。 ⑵ 1111112349827 ++++++ ； 【解法一】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1， 分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12 2 n +，偶数项为3 的乘幂，幂指数为项数的一半，即2 3n ， 于是有12 22, 21 3, 2n n n n k u n k +?=-?=??=? ，k J ∈，1,2,3,....n =。 也可为1 221(1)1(1)2322 n n n n n u +--+-=?+?，1,2,3,....n =。 【解法二】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个 级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成， 若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有 111 23 u = +， 21149u =+221123=+， 311827u =+ 3311 23 =+， ...... 于是得11 23 n n n u = +，1,2,3,....n =。 ⑶3456 22345 -+-+- 。 【解】分析数列各项的表达规律： 各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1 (1)n +-， 从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n 于是得1 1 (1) n n n u n ++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21 u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律， 从而得 11(1)n n n u n ++=-，1,2,3,....n =。 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴ 1 1 (21)(21)n n n ∞ =-+∑； 【解】级数前n 项和为 11(21)(21)n n i S i i ==-+∑1111()221 21n n i i ==--+∑1111 ()22121n n i i ==--+∑ 11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+ 11 (1)221 n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n →∞=-+12 =，知级数收敛，收敛于1 2。 ⑵ 1 1 1n n n ∞ =++∑ ； 【解】级数前n 项和为 1 1 1n n i S i i ==++∑ 2211(1)()n i i i i i =+-=+-∑1 (1)n i i i ==+-∑ (1)()(123)2n n =-+-+++- 11n =+-， 由于lim n n S →∞ lim(11)n n →∞ =+-=∞，知级数发散。 ⑶ 1 1 ln n n n ∞ =+∑； 【解】级数前n 项和为 11ln n n i i S i =+=∑1 [ln(1)ln ]n i i i ==+-∑ ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++- ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+， 第十二章 数项级数习题课 一 概念叙述 1． ∑∞ =1 n n u 收敛于S ?部分和数列{}n S 收敛于S ?S S n n =∞ →lim 2．n u ∑收敛的柯西准则?0,0,,,N m n N ?ε>?>?>有12m m n u u u +++++<ε． 3． n u ∑发散的柯西准则?0ε? N ?，0()m N ?>，0p ?，有 0210000ε≥++++++p m m m u u u 二 疑难解析与注意事项 1．有人说，既然一个级数是无限多个数“相加”的结果，而数的加法满足交换律和结合律，所以在一个级数中，可以任意交换项的次序，也可以任意加括号．这种说法对吗？ 答：不对．一个收敛级数，适当改变项的次序以后，可能得到一个发散级数；即使得到的仍收敛级数，其和也可能与原级数的不同．这就是无限项相加与有限项相加的质的不同． （条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数；条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数．） 当然，如果仅仅交换一个级数的有限项的次序，则级数的敛散性不变． （去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性；级数的敛散性与级数的有限个项无关，但当收敛时其和可能是要改变的．） 如果一个级数是正项级数或是绝对收敛的级数，则可以任意改变一个级数的项的次序，其收敛性不变，且和也不变． （绝对收敛的级数任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.） 类似地，一个收敛级数可以任意加括号，加括号后的级数与原来的级数有相同的收敛性与相同的和； （在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．） 但一个发散级数，经适当添加无限个括号后，可能变成一个收敛级数．有一种特殊情形，如果添加括号后，每个括号中的项都保持同一正，负号，则所得级数与原级数同收敛，且和（如有的话）也不变． 2.级数n u ∑，n v ∑，()n n u v +∑的敛散性有何联系？ 答：1）若n u ∑与n v ∑都收敛，则()n n u v +∑收敛，且()n n n n u v u v +=+∑∑∑； 2）若n u ∑与n v ∑中有一个收敛有一个发散，则()n n u v +∑发散； 3）若n u ∑与n v ∑都发散，则()n n u v +∑可能收敛可能发散． 例如，11,n n ?? - ???∑∑都发散，但110n n ??-= ???∑收敛， 11,n n ∑∑都发散，但112n n n ?? += ??? ∑∑发散． 第十一章无穷级数 教学内容目录： §1—§8 本章主要内容： 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。 幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、 e x cos sin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近 、x x 、 似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。 函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。 教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。 第十二章 数 项 级 数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞ =1n n u ，或∑n u . 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和. 3 级数的收敛性 定义 2 若数项级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项级 数∑∞=1 n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321. 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a 的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1 431321211n n 第十二章 习题一 数项级数 一．选择题 1．给定下列命题：① 若∑∞ =-+1 212)(n n n u u 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；② 若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =+1100 n n u 收敛；③ 若0lim ≠=∞ →a u n n ，则∑∞=1 n n u 发散；④ 若∑∞=+1 )(n n n v u 收敛，则∑∞ =1 n n u 、 ∑∞ =1 n n v 都收敛．其中正确的命题是（ B ） （A ）①和②； （B ）②和③； （C ）③和④； （D ）①和④． 2．设∑==n k k n a S 1 ，则数列}{n S 有界是级数∑∞ =1 n n a 收敛的（ B ） （A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充分且必要条件； （D ）既非充分又非必要条件． 3．若∑∞ =1 2 n n a 、∑∞ =1 2 n n b 收敛，则∑∞ =1 n n n b a （ C ） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）收敛性不定． 4．级数∑∞ =+-1 1 )1(n p n n （0>p ）敛散性为（ A ） （A ）当1p >时，绝对收敛；当1p ≤时，条件收敛； （B ）当1p <时，绝对收敛；当1p ≥时，条件收敛； （C ）当1p ≤时发散；当1p >时收敛； （D ）当0p >时，绝对收敛． 5．设有两个数列{}{}n n a b ，若lim 0n n a →+∞=，则（ C ） （A ）当1 n n b +∞ =∑收敛时，1 n n n a b +∞ =∑收敛； （B ）当1 n n b +∞ =∑发散时，1 n n n a b +∞ =∑发散； （C ）当1 n n b +∞=∑收敛时，22 1 n n n a b +∞=∑收敛； （D ）当1 n n b +∞=∑发散时，221 n n n a b +∞ =∑发散。 6．若级数0 n n a +∞ =∑收敛，则级数（ D ） （A ）0 n n a +∞=∑收敛；（B ）0 (1)n n n a +∞=-∑收敛；（C ）10 n n n a a +∞ +=∑收敛；（D ）1 2n n n a a +∞ +=+∑ 。7.1 常数项级数的概念和性质
第十二章数项级数知识题课
(完整版)级数的概念与性质
数学分析：第12章数项级数
第12章数项级数
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