第十二章 无穷级数
一. 常数级数的审敛,常数级数的性质
收敛:
12.3下列级数中收敛的是( ); A .
(
)
∑∞=-+1
1n n n B .∑
∞
=+11
1n n
C .n
n n n ∑∞
=??
?
??+123 D .∑∞
=??? ??+1211n n
1
2(1)n =≥≥+,所以(
)
∑∞
=-+11n n n 发散;
∑∞
=+111n n 发散,因为11n ∞=∑发散,所以∑∞
=??? ?
?
+1211n n 发散,因此选C 。 12.7 下列级数中收敛的是( ) A.
∑
∞
=+1
121n n B.∑∞
=+11
3n n n
C.)1|(|1001<∑∞=q q n n
D.∑∞=-1132n n n 解:
121n ≥+,∑∞=+1121n n 发散;1
lim 313n n n →∞=+,∑∞
=+1
13n n n 发散;||1q <时,100lim n n q →∞=∞,)1|(|1001<∑∞=q q
n n
发散;2
13n =<,∑∞
=-1132n n n 收敛,所以选D 。 12.11 下列级数中收敛的是( );
A .∑∞
=-1121n n B .∑∞=122n n n C .11ln(1)n n ∞=+∑ D .∑∞
=??? ?
?
+1311n n
解:1121lim 12n n n →∞-=,∑∞=-1121n n 发散;
2
12(1)12lim 122n n n
n n +→∞+=<,∑∞=122
n n n 收敛;1ln(1)lim 11n n n →∞+=,11ln(1)n n ∞
=+∑发散;11n ∞=∑发散,∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。 12.15 下列正项级数中收敛的是( );
A .∑∞
=-112n n n B .∑∞=12n n n C .)11ln(1
∑∞=+n n D .∑∞=+1)1(2n n n n
解:1lim 212n n n →∞=-,∑∞=-112n n n
发散;112n =<,∑∞=12n n n 收敛;)11ln(1
∑∞=+n n 发散;1
2(2)(1)
lim 212(1)
n n n n n n n +→∞++=>+;∑
∞=+1)
1(2n n n n 发散。所以选B 。 12.45 已知级数
1
n
n u
a ∞
==∑,则级数∑-∞
=+1
1)(n n n u u 的和s =
解:因为
1
n
n u
a ∞
==∑,所以11111
1
1
()()n n n n n n n u u u u a a u u ∞
∞
∞
++===-=-=--=∑∑∑,填1u 。
绝对收敛:
12.13 下列级数中满足绝对收敛的是( ); A .∑∞
=---1
1
12)
1(n n n n B .∑∞=-11sin )1(n n n C .∑∞=-1
3)1(n n n n D .∑∞=-+-11)1(2)
1(n n n n n 解:121n n n ∞
=-∑、11sin n n ∞=∑、12(1)n n n n ∞=+∑发散,13
n n n ∞=∑收敛,所以∑∞=-13)1(n n n n 绝对收敛,选
C 。
12.17 下列级数中绝对收敛的是( ) (A)
1n
n ∞
= (B)
n
n ∞
= (C) 1
1(1)ln(1)
n n n +∞
=-+∑ (D)
1
(1)n
n n ∞
=-∑ 解:
因为由正项级数审敛法,
1
n ∞
=、11n n ∞=∑、11ln(1)n n ∞=+∑
都发散,而1n ∞
=收
敛,所以1
n
n ∞
=绝对收敛,选B 。
12.21 下列级数中满足绝对收敛的是( );
A . 1(1)1n
n n n ∞
=-+∑ B .11(1)sin n n n ∞=-∑ C
.1(1)n n ∞=-∑ D .1
(1)2n n n n ∞
=-∑ 解:选D 。
12.19 下列级数中条件收敛的是( )
(A)
1
1(1)
n n ∞
+=-∑ (B) 211(1)
n
n n
∞
=-∑ (C) 1
(1)1n
n n
n ∞
=-+∑ (D)
1
1
(1)(1)
n
n n n ∞
=-+∑ 解:
作为交错级数
1
(1)
n n ∞
+=-∑收敛,但不绝对收敛,因此,选A 。 12.23 下列级数中满足条件收敛的是( );
A .∑∞
=--112)1(n n
n n B .∑∞=--1211)1(n n n C .∑∞=-13)1(n n n n D .∑∞
=-1
1)1(n n n 解:∑∞
=--112)1(n n
n n 不收敛,∑∞=--1
211)1(n n n 、∑∞
=-13)1(n n n n 绝对收敛,因此,选D 。
发散:
12.2 下列级数级数中发散的是( ).
(A) 11
(1cos )∞
=-∑n n (B)
11
2sin
3∞
=∑n n
n (C) 2
1(!)(2)!
∞
=∑n n n (D)
2
111n n
n
∞
=++∑ 解:观察易知
2
1
11n n
n ∞
=++∑发散,选取D 。 12.10 下列级数中发散的是( ).
(A) 11
(1cos )∞
=-∑n n (B)
11
2sin
3
∞
=∑n n n (C) 2
1
(!)(2)!∞
=∑n n n (D)
1
∞
=n 解:
观察易知
∞
=n 发散,选取D 。 12.5下列级数中发散的是( )
A.∑
∞
=+-1
)1()1(n n
n n B.)1|(|)1(1>-∑∞
=q q
n n n
C.∑∞=-1131n n
D.∑∞
=+1)1ln(n n
解:观察易知
∑∞
=+1
)1ln(n n 发散,选取D 。
性质: 12.1 若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛,则下列级数不收敛的是( ).
(A)
1
2∞
=∑n
n u
(B)
1
(2)∞=+∑n
n u (C) 1
2∞
=+∑n
n u
(D)
2
n
n u
∞
=∑
解:由收敛性质易知
1
(2)∞
=+∑n
n u 不收敛,所以选B 。
12.9 若级数1
n n u ∞
=∑收敛,则下列级数不收敛的是( ).
(A)
1
10∞
=∑n
n u
(B)
1
(10)∞=+∑n
n u (C) 1
10∞
=+∑n
n u
(D)
10
∞
=∑n
n u
解:由收敛性质易知
1
(10)∞
=+∑n
n u 不收敛,所以选B 。
12.20 若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛,则下列级数中发散的是( ).
(A)
1
10n
n u
∞
=∑ (B)
10
1n n u
∞
+=∑
(C) 1
10n
n u
∞
=+
∑ (D)
1
(10)n
n u ∞
=+∑
解:由收敛性质易知
1
(10)∞
=+∑n
n u 不收敛,所以选D 。
12.4 如果级数∑∞
=1n n
u
条件收敛,则
||1∑∞
=n n
u
( ).
A .必收敛
B. 必发散
C. 不一定收敛
D. 无法判断
解:由定义,
∑∞
=1
n n
u
条件收敛,则
||1
∑∞
=n n
u
必发散。所以选B 。
12.12 如果级数
∑∞
=1
n n
u
收敛,则极限n n u ∞
→lim ( ).
A .存在 B. 不存在 C. 等于零 D. 无法判断
解:由性质,
∑∞
=1
n n
u
收敛,则极限lim 0n n u →∞
=,所以选C 。
12.16 如果任意项级数
∑∞
=1n n
u
绝对收敛,则下列说法正确的是 ( ).
A .
∑∞
=1
n n
u
必发散 B.
∑∞
=1
n n
u
必收敛 C.
||1
∑∞
=n n
u
必发散 D.
||1
∑∞
=n n
u
不一定收敛
解:由概念,
∑∞
=1n n
u
绝对收敛,则
∑∞
=1
n n
u
必收敛,所以选B 。
12.18 若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛,则lim(1)n n u →∞
-= ( ).
(A) 2 (B) 0 (C) 1 ( D) 1- 解:由收敛性质,lim(1)1n n u →∞
-=-,所以选D 。
12.25 级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列{}n s 有界是该级数收敛的( );
(A) 充分非必要条件; (B) 必要非充分条件; (C) 充分必要条件; (D) 非充分非必要条件. 解:级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列{}n s 有界是该级数收敛的必要非充分条件,如;
1
(1)
n
n ∞
=-∑不收
敛,但部分和{}n s 有界。所以选B 。 12.29 若级数
1
(1)∞
=-∑n
n u 收敛,则lim →∞
=n
n u
解:由收敛必要条件:lim(1)0n n u →∞
-=,所以填lim 1n n u →∞
=。
12.36 若级数
1
∞
=∑n
n u
收敛,则2
lim(2013)→∞
-+=n n n u u
解:由收敛必要条件:lim 0n n u →∞
=,所以填2013。
12.42 lim 0n n u →∞
=是
1n
n u
∞
=∑收敛的 条件.
解:lim 0n n u →∞
=是
1
n
n u
∞
=∑收敛的必要条件,所以填“必要”。
绝对收敛、条件收敛还是发散:
12.50 下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散,并写出你的理由。
(1)1(1)21∞
=-+∑n
n n n (2)1
(1)2∞
=-∑n n n n (3)11(1)21n n n +∞=--∑
解:1lim 212n n n →∞=+,1(1)
21∞=-+∑n n n n 发散;12n n n ∞
=∑收敛,1(1)2∞=-∑n n n n 绝对收敛;11(1)21n n n +∞=--∑ 收敛,但11
21
n n ∞
=-∑发散,所以11(1)21n n n +∞
=--∑条件收敛。
12.55 下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散,并写出你的理由。
(1)12(1)31∞
=-+∑n
n n n (2)1(1)2∞=-∑n n n n (3)1
1(1)∞
=-∑n n n 解:12(1)31∞
=-+∑n
n n n 发散;1(1)2∞=-∑n n n n 绝对收敛;1
1(1)∞=-∑n n n 条件收敛。
二. 幂级数的收敛半径,收敛域,和函数
12.30 幂级数1n
n x n
∞
=∑的收敛半径为
解:1
1lim 11n n n
→∞+=,1n n x n
∞
=∑的收敛半径为1,填1。
12.37 幂级数
1
1
(1)
n
n n x n
∞
-=-∑的收敛半径为 解:1
1lim 11n n n
→∞+=,11
(1)
n n n x n ∞
-=-∑的收敛半径为1,填1。 12.40 幂级数12
n
n
n x n ∞
=?∑的收敛半径R = 解:11
1
(1)2lim 122
n n n n n +→∞+?=?,1
2n n n x n ∞
=?∑收敛半径2R =,所以填2。
12.22 幂级数1
(1)n
n
n x n ∞
=-∑的收敛域为( ).
A .[1,1]- B.(1,1]- C.[1,1)- D. (1,1)-
解:1
1lim 11n n n
→∞+=,1(1)
n n n x n ∞=-∑的收敛半径为1,又1x =-时,1
11(1)n n n n x n n ∞∞
==-=∑∑发散,1x =时,1
11
(1)
(1)n n
n n n x n n ∞
∞
==-=-∑∑收敛 ,所以收敛域为(1,1]-,故选B 。 12.26 幂级数∑∞
=1
n n
n x 的收敛域为( );
(A) )1,1(-; (B) )1,1[-; (C) ]1,1(-; (D) ]1,1[-.
解:1
1lim 11n n n
→∞+=,∑∞=1
n n n x 的收敛半径为1,1x =-,11(1)n n n n x n n ∞∞
==-=∑∑收敛,1x =时,111
n n n x n n ∞
∞
===∑∑发散,所以收敛域为)1,1[-,故选B 。 12.33 幂级数∑∞
=1
n n
n x 的收敛域为 。
解:收敛域为)1,1[-。
12.35 幂级数∑∞
=12n n
n
x 的收敛域为 。
解:收敛域为[1,1]-。
12.49 幂级数
∑
∞
=1
n n
n
x 的收敛域为 。 解:收敛域为)1,1[-。
12.51 求幂级数
11n n nx ∞
-=∑的收敛域,并求和函数。 解:1
lim
1n n n →∞+=,所以收敛半径为1,又1,1x =-,n →∞,11
n n nx ∞
-=∑发散,所以收敛
域为(1,1)-。令1
1
()n n s x nx
∞
-==∑,则
1
1
1
1
()11x
x
n n n n s x dx nx dx x x
∞
∞
-=====
--∑∑?
?,两边求导得2
1
()(1)s x x =
-,(1,1)x ∈-。
12.57 求幂级数∑∞
=+1
)1(n n x n n 的收敛域,并求和函数。
解:易求得∑∞
=+1
)1(n n
x n n 收敛域为(1,1)-。令1
()(1)n
n s x n n x
∞
==
+∑,两边积分得,并由12.51
的结果有
2
1
2
1
2
1
1
()(1)x
n n n n x s x dx nx
x
nx
x ∞
∞
+-=====-∑∑?
,两边求导,有 223
2()[],1 1.(1)(1)
x x
S x x x x '==-<<-- 12.58 求幂级数∑
∞
=++01
1
1n n x n 的收敛域,并求和函数。
解:易求得∑∞
=++01
11n n x n 收敛域为[1,1)-。令10
1()1n n s x x n ∞
+==+∑,两边求导,有0
1
()1n n s x x x ∞
='==
-∑,两边积分得01()ln(1),[1,1)1x s x dx x x x ==--∈--?。
12.52 求幂级数∑∞
=----1
1
2112)1(n n n n x 的收敛域,并求和函数。
解: 1
21lim 1121
n n n →∞+=-,∑∞=----112112)1(n n n n x 的收敛半径为1,又1,1x =-,∑∞
=----1
12112)1(n n n n x 收敛,所以,∑∞
=----1
1
2112)1(n n n n x 的收敛域为[-1,1]。令1211(1)()21n n n x s x n --∞
=-=-∑,两边求导得,
1
2(1)
1212
1
1
1
()(1)
(1)()1n n n n n n s x x
x x
∞
∞
----=='=-=-=
+∑∑,两边积分得 ()tan ,[1,1]s x arc x x =∈-
12.6 ∑∞
=-0
2!)1(n n
n n x 在∞<<∞-x 的和函数是=)(x f ( )
A. 2
x e
- B. 2x e C. 2
x e
-- D.2
x e -
解:2
200
(1)(1)!!n n n n x
x n n x x e
e n n ∞
∞
--==--=?=∑∑,所以选A 。
12.8 ∑∞
=-0
2)!2()1(n n
n n x 在∞<<∞-x 的和函数是=)(x f ( )
A.x e -
B.x e
C.x cos
D.x sin
解:∑∞
=-0
2)!2()1(n n
n n x 显然为偶函数,所以选C 。
12.24 幂级数
∑∞
=-1
1
n n nx
的和函数为( ).
A .2)1(1x --
B. 2
)
1(1x - C. 2)1(x x -- D. 2(1)x
x - 解:令1
1
()n n s x nx
∞
-==
∑,则
1
1
1
1
()11x
x
n n n n s x dx nx dx x x
∞
∞
-=====
--∑∑?
?,两边求导得2
1
()(1)
s x x =
-,所以选B 。 12.65求幂级数
∑∞
=-1)
1(n n
x n 的和函数。
解:令1()(1)
n
n s x n x ∞
==
-∑,则
12
1
1
1
()(1)(1)(1),|1|1(2)
n
n n n x s x n x x n x x x ∞
∞
-==-=-=--=
-<-∑∑ 即2
1
(),02(2)
x s x x x -=<<-。
三. 函数展开成幂级数
12.32 将x
x f 1
)(=
展开成1-x 的幂级数的展开式为 。 解:0
11
()(1)(1),021(1)n n n f x x x x x ∞
===
=--<<+-∑,所以填
(1)
(1),02n
n n x x ∞
=--<<∑
12.34 将2
1
)(+=
x x f 展开成x 的幂级数的展开式为 。 解:1001111(1)()(1)(),(2,2)2222212
n n n
n n n n x f x x x x x ∞∞
+==-=
==-=∈-++∑∑ 12.38 函数x
x f -=
21
)(展开成x 的幂级数的形式为 解:1001111(),(2,2)2222212
n n
n n n n x x f x x x x ∞∞
+======∈---∑∑
12.39 函数3
)(x e x f =展开成x 的幂级数的形式为
解:3003(),(,)!3!
n
x n n n n x x f x e x n n ∞∞
==?? ???===∈-∞+∞∑∑
12.56 将函数()f x =x
a 展成x 的幂级数,并给出其收敛域. 解:ln 00(ln )ln (),(,)!!n n x
x a
n
n n x a a f x a e
x x n n ∞
∞
======∈-∞+∞∑∑
12.60 将函数x
x f 1
)(=
展开成)3(-x 的幂级数,并给出其收敛域. 解:1
0111(3)()(1),(06)33313
n n n n x f x x x x ∞
+=-==
=-<<-+∑ 12.62 函数
x
x f +=
21
)(展开成1-x 的幂级数,并给出其收敛域. 解:1
0111(1)()(1),(0,6)123313
n n n n x f x x x x ∞
+=-===-∈-++∑ 12.66 将函数2
3)(2+-=x x x
x f 展开成x 的幂级数
解:
20001211
()321211221,(1,1)22
n n n
n n n n n n x f x x
x x x x x x x x x ∞∞
∞====
=-=-
-+-----=-=∈-∑∑∑
四. 傅里叶级数的收敛
12.14 函数)(x f 以π2为周期,它在),[ππ-上的表达式为??
?<≤<≤--=π
πx x x f 0,10,1)(,则
)(x f 的傅里叶级数在π-=x 处收敛于 ( ).
A .0 B. 1 C. 1- D. 2
解:
()()11
022
f f ππ-++--+==,所以选A 。
12.31 函数)(x f 以π2为周期,它在),[ππ-上的表达式为?
?
?<≤<≤-=ππx x x x f 0,00
,)(,则
)(x f 的傅里叶级数在π-=x 处收敛于
解:
()()00
022
f f ππ-++-+==,所以填0。
12.43 函数)(x f 以π2为周期,它在(,]ππ-上的表达式为()f x x π=+,则)(x f 的傅里叶级数在x π=处收敛于 解:
()()0222
f f πππ
π-++-+==,所以填π。
12.44 函数)(x f 以π2为周期,它在),[ππ-上的表达式为???<≤<≤--=π
πx x x f 0,20
,2)(,
则)(x f 的傅里叶级数在π=x 处收敛于 . 解:填0。
12.46 函数?????≤<+≤≤--=π
πx x x x f 0,10,
1)(2
,则)(x f 以π2为周期的傅里叶级数在点π
=x 处收敛于 ; 解:填
2
2
π。
五. 傅里叶系数与傅里叶展开
12.47 函数)()(2
πππ<<-+=x x x x f 的傅里叶级数展开式中的系数=3b
。 解:231
2()sin 33b x x xdx π
π
πππ
-
=
+=
?,所以填23
π。 12.53 设)(x f 是以2π为周期的周期函数,它在[-π,π)上的表示式为
?
??<<-<≤-=ππx x x f 0,10
,1)(
将)(x f 展开成傅里叶级数。
解:??
?
??????+--+???++-
=x k k x x x f )12sin(1213sin 31sin 4)(π ???±±≠+∞<<-∞,2,,0;(ππx x )
12.54 设)(x f 是以2π为周期的周期函数,它在[-π,π)上的表示式为
???<<<≤-=ππx x x f 0,10
,0)(
将)(x f 展开成傅里叶级数。
解:??
?
??????+--+???+++=
x k k x x x f )12sin(1213sin 31sin 221)(π ???±±≠+∞<<-∞,2,,0;(ππx x )
第十二章无穷级数A 同步测试卷
第十二章 无穷级数同步测试A 卷 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.下列级数中,收敛的是( ) 2100111111 () 22223++++++++L L L A n 2111111()23100222 ++++++++L L L n B 211111 ()(1)()()2222+++++++L L n C n 2111111 ()(1)()23222++++++++++L L L L n D n 2.设1 ∞ =∑n n u 为数项级数,下列结论中正确的是( ) 1 ()lim ,1+→∞= 4. 设常数0>k ,则级数1 21 (1)∞ -=+-∑n n k n n ( ). ()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关. 5. 周期为2π的函数()f x ,在一个周期上的表达式为 (0) ()2(2)πππππ≤≤?=? -≤≤?x f x x x ,设它的傅里叶级数的和函数是()S x ,则(2)π=S ( ). () ()()2()02 π ππA B C D 二、填空题(每小题4分,共20分) 6. 级数111 ( )23∞ =+∑n n n 的和为 . 7. 幂级数21 12(3) ∞ -=+-∑ n n n n n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数1 211 1 (1)2,5∞ ∞ --==-==∑∑n n n n n u u ,则级数1 ∞ ==∑n n u . 9.将1 ()2= -f x x 展开为x 的幂级数时,其收敛域为 . 10.将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时,0=a . 三、解答题(共65分) 11. (8分)判断下列运算过程是否正确,若不正确,指出错误所在. 因为1 1ln(1)(1) ∞ -=+=-∑n n n x x n ,因此取2=x 得11 2ln 3(1)∞ -==-∑n n n n . 12. (8 分)讨论级数2∞ =n . 13. (8分)求级数2012!∞ =+∑g n n n n x n 的和函数. 一: 选择题 1.lim 0n n u →∞ =是级数1 n n u ∞ =∑收敛的 【 B 】 (A)充分条件 (B )必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.若级数1 n n u ∞ =∑收敛于S ,则级数11 ()n n n u u ∞ +=+∑ 【 C 】 (A)收敛于2S (B )收敛于12S u + (C) 收敛于12S u - (D)发散 3.级数 111113 35 57 79 + + + +???? 【 B 】 (A)发散 (B )收敛且和为 12 (C) 收敛且和为2 (D) 收敛且和为1 4.设a 为非零常数,且级数1 n n a r ∞ =∑ 收敛,则 【 D 】 (A)1r < (B )1r ≤ (C) r a ≤ (D) 1r > 5.部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞ =∑收敛的 【 C 】 (A)充分条件 (B )必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件 6.下列结论正确的是 【 A 】 (A)若2 1 n n u ∞ =∑,21 n n v ∞ =∑都收敛,则21 ()n n n u v ∞ =+∑收敛 (B) 若1 n n n u v ∞ =∑收敛,则21 n n u ∞ =∑,2 1 n n v ∞ =∑都收敛 (C) 若正项级数1 n n u ∞ =∑发散,则1n u n ≥ (D) 若1 n n u ∞ =∑收敛,且n n u v ≥,则1 n n v ∞ =∑发散 7.判别交错级数1111112221 2 123 3 3 n n - + - ++ - +- - - 的敛散性时下列说法中正确的 是 【 D 】 (A)因lim 0n n u →∞ =,故收敛 (B)因lim 0n n u →∞ =,且1n n u u +>,故由莱布尼兹判别法知级数收敛 第十二章 习题 二 幂级数与傅里叶级数 一.选择题 1.若∑∞ =-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛,则此级数在2=x 处( B ) (A )条件收敛; (B )绝对收敛; (C )发散; (D )不能确定. 2.级数∑∞ =-1)1(n n n x n 的收敛区间为( A ) (A ))1,1(-; (B ))1,1[-; (C )]1,1(-; (D )]1,1[-. 3.若3lim 1 =+∞→n n n a a ,则∑∞=-0)1(n n n x a ( D ) (A )必在3||>x 时收敛; (B )必在3||≤x 时发散; (C )在3-=x 处敛散性不定; (D )收敛半径为3. 4.当0>p 时,∑∞ =-1)1(n n p n x n 在其收敛区间的右端点处( D ) (A )条件收敛; (B )绝对收敛; (C )发散; (D )当1≤p 时条件收敛,当1>p 时绝对收敛. 5.设???≤<+≤<--=π πx x x x f 0,10,1)(2, 则其傅氏级数在点π处收敛于( C ) (A )1-; (B )21π+; (C )22π; (D )2 2 π-. 二.填空题 1.若2lim 1=+∞→n n n a a ,则级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径为 22 . 2.已知幂级数0(2)n n n a x +∞=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数0(3)n n n a x +∞ =-∑的收敛域为________________(1,5] 三.计算题 1.求下列级数的收敛域及和函数: (1)1(1)n n n x ∞ =-∑. 解:1=R ,且1|1|=-x 时,即11±=-x 时,级数发散.∴收敛域为)2,0(. 1(1) n n n x ∞=-∑∑∞=---=11)1()1(n n n x n x 消[]∑∞='--=1 )1()1(n n x x 第十二章无穷级数 1下列无穷级数中发散的无穷级数是( ) A.∑ ∞ =+1 n 2 2 1n 3n B. ∑ ∞ =+-1 n n 1n )1( C. ∑ ∞ =--3 n 1 n n ln )1( D. ∑ ∞ =+1 n 1n n 32 2.设幂级数∑∞ --1 )3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 3.下列无穷级数中,收敛的无穷级数是( ) A .∑ ∞ =++15312n n n B .∑ ∞ =--+11)1(1n n n C .∑ ∞ =-15 1 n n D .∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 4.设正项级数∑∞ =1 n n u 收敛,则下列无穷级数中一定发散的是( ) A .∑∞=+1 100n n u B .∑∞=++1 1)(n n n u u C .∑∞ =1 )3(n n u D .∑∞ =+1 )1(n n u 5.下列无穷级数中,发散的无穷级数为( ) A.()∑ ∞ =+11 1 n n n B. ∑ ∞ =??? ??+13101n n C. ∑ ∞ =?? ? ??+12 110 1 n n n D. ∑ ∞ =+11 3 2n n n 6.无穷级数∑∞ =023n n n 的前三项和S 3=( ) A.-2 B. 419 C.8 27 D. 8 65 7.幂级数1! n n x n ∞ =∑的和函数为( ) A.1x e - B.x e C.1x e + D.2x e + 8.已知幂级数()n 1 1n n a x ∞ =+∑在x =-3处收敛,则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1 1 !n n ∞ =∑ 的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上表达式为1()1 f x -?=?? , , 0x x ππ -≤≤≤< 第十二章 数项级数 1 级数问题的提出 1.证明:若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2.试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1.求下列级数的和: (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2.讨论下列级数的敛散性: (1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3.证明定理10.2. 4.设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的,把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =, 其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛,证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1.判别下列级数的收敛性: (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑ 第十二章 级数 一、本章提要 1.基本概念 正项级数,交错级数,幂级数,泰勒级数,麦克劳林级数,傅里叶级数,收敛,发散,绝对收敛,条件收敛,部分和,级数和,和函数,收敛半径,收敛区间,收敛域. 2.基本公式 )1()(x f 在0x x =处的泰勒级数系数:)(00x f a =,! ) (0)(k x f a k k = ; (2)傅里叶系数: ππ ππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππ n n a f x nx x n b f x nx x n --= ===?? . 3.基本方法 比较判别法,比值判别法,交错级数判别定理,直接展开法,间接展开法. 4.定理 比较判别定理,比值判别定理,交错级数判别定理,求收敛半径定理,幂级数展开定理,傅里叶级数展开定理. 二、要点解析 问题1 有限个数相加与无穷个数相加有什么区别和联系?何谓无穷级数的和? 解析 有限个数相加与无穷个数相加是有本质区别的.为了叙述方便,称前者为有限加法,后者为无限累加.我们知道有限个数相加之和是一个确定的数值,而无穷个数相加只是一种写法,即沿用了有限加法的符号来表示无限累加.我们不可能用有限加法的方法来完成无限累加,尤其是无限累加未必是一个确定的数值.另外,有限加法中的结合律和交换律在无限累加中也不一定成立. 但是,无限累加与有限加法又是紧密联系的.我们在研究无限累加时,是以有限加法(部分和)为基础的,即从部分和出发,讨论其极限是否存在.若极限存在,则无限累加有和,也就是无穷级数有和(收敛),其和等于这个极限值;否则,无限累加无和,当然,无穷级数也无和(发散).由此看出,级数的收敛与发散,反映了无穷多个数累加的趋势.级数收敛就是无穷多个数累加可以得到一个确定的数值.一般情况下,这个和的数值不易求得,教科书上只就和是否存在,即级数是否收敛给出一些判别法则. 例1 我们考察著名的波尔查诺(Bolzano ,B .)级数的求和问题. 设 +-+-=1111x ,则有: 解一 0)11()11(=+-+-= x ; 解二 1)11()11(1=-----= x ; 解三 x x -=+-+--=1)1111(1 ,于是12 x = . 这些矛盾的结果,在历史上曾使人怀疑过数学的精确性不可靠.柯西指出:以上解法犯了墨守成规的错误,即把有限的结合律、交换律以及有限项总存在代数和的观念照搬到无限项的运算之中.柯西的研究,澄清了那个时代对无限运算的糊涂观念,引起了思想解放,其实级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n 是发散的.第十二章 无穷级数复习题
第12章幂级数与傅里叶级数
第十二章无穷级数
第十二章数项级数31263
高等数学 第十二章 级数
第十二章无穷级数(解题方法归纳)