第十二章 无穷级数(答案)

第十二章 无穷级数

(一)

1．解：∵(

)

∑

=∞→-+=+-+=n

k n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数

发散。

2．解：∵()

∑∑==→??? ??+-=??? ??+-=+=n

k n k n n k k k k S 1141

221212122121212221，

(∞→n )，∴原级数收敛且和为

4

1。 3．解：∵41

215

11511513113113151315131

111+→-?

?? ??

-+-??? ??-=

+=??? ??+=∑∑∑===n n n

k k n k n k k k k n S

4

3=

，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。

4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001

lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n n

n n ，∴由比值判别法知原级

数发散。

5．解：∵()11

11lim 1lim lim 11<=??? ??+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U e

n e n n e

n n

n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。

6．解：∵02

1

21lim

lim ≠=+=∞

→∞

→n n U n n n ，∴原级数发散。 7．解：∵()()2332lim 1lim

=++=∞→∞→n n n n n

U n n n ，而∑∞

=11

n n

发散，∴由比较判别法知原级数发散。

8．解：∵13113lim 13lim lim <=+=??

?

??+=∞→∞→∞→n n n n U n n n

n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。

9．解：∑

∑∞

=-∞

==1

1

1

2

||n n n n n U ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原

级数绝对收敛。

10．解：n n U n 1ln 1||>=，而∑∞=21n n 发散，故∑∞

=2

ln 1n n 发散。因此原级数非绝对收敛，又，显然

()n

n ln 1

1ln 1<

+， ,3,2=n ，且0ln 1lim =∞→n n ，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。

11．解：∵313lim 313lim lim 11=+?=+=∞→+∞→+∞→n n

n n a a n n n n n

n n ，∴31=R ，当31=x 时，级数为∑

∞

=11n n 发散，当31-=x 时，级数为()∑∞

=-1

1

1n n n 收敛。故原级数的收敛区

间为??

?

???-31,31。

12．解：∵()

0111

11111→??? ??++=+=++n

n n n n n n n n a a ，()∞→n ，∴∞=R ，收敛区间为()+∞∞-,。

13．解：∵()21

122lim lim 11=+=+∞→+∞→n n a a n n n n

n n ，∴2=R 。故当2|1|<-x ，即

31<<-x 时收敛，当1-x 时发散，当1-=x 时，级数为()

∑∞

=-11

1n n

n

，收敛；当3=x 时，级数为∑∞

=11

n n

，发散。故收敛区间为[)3,1-。

14．解：设()∑∞

=-=1

1n n nx x f ，1||

()∑∑??∑?

∞=∞=-∞=--=

==??

? ??=1101

0110

1n n n x n x

n n x x x x dx nx dx nx dx x f ∴()()2

111x x x x f -='

??

?

??-=，1||

∞

=++=1121

21

n n x n x f ，1||

()()

2

21121211211

21121x x x x n x n x f n n n

n n n -=='+='??? ??+='∑∑∑∞=∞

=+∞=+

()?

?-='x x

dx x x dx x f 0

02

2

1，

即()()dx x x f x f x ????

???-??? ?

?++-=-011111210， ∴()()x

x

x x x x f x f -++-=--++=11ln 21111ln 210，1||

(二)

16．解：∵()()∑∑==→??? ??+-=??? ??+-+=++=n

k n

k n n n n n n S 11121

43141314311

313143131,

()∞→n ，∴原级数收敛且和为

12

1

。 17．解：∵()()∑∑∞

=∞

=???

??+-+=++=11211

11211k k n k k k k k k S

???

??+-+-+--=?????

???? ??+--+-=∑∞

=21112112111211211111k k k k k k k k

41431=-

→，()∞→n ，∴原级数收敛且和为4

1。 18．解：∵()()12

112!21!12111<→???

??+=++=+++e n n n n n U U n

n n n n n n ，()∞→n ∴由比值判别法知原级数收敛。

19．解：∵1941321321323

2

3

2<→?

?

?

??-???? ??-=?

?

?

??-=+n

n

n n n n n n n n n U ，()∞→n ∴由根值判别法知原级数收敛。

20．解：∵()()()()()()01212!2!122

2121→++=+=++n n x x n n x U U n

n n

n ，()∞→n ，故对x ?，原级数收敛，所以收敛半径为∞，收敛区间为()+∞∞-,。

21．解：∑∑∞=-∞

==1121

222n n n n

nx x nx ，但

'

??? ??--='??? ??=∑∑∞=∞

=-11122

121

1

2x

x nx

n n n n ()

2

212x x

-=

，故有()()

2

22

2

21121

2112222x x x x

x nx x nx n n n n

-=

-=

=∑∑∞=-∞

=，()1||

第十二章 无穷级数A同步测试卷教学文案

第十二章无穷级数A 同步测试卷

第十二章 无穷级数同步测试A 卷 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．下列级数中，收敛的是（ ） 2100111111 () 22223++++++++L L L A n 2111111()23100222 ++++++++L L L n B 211111 ()(1)()()2222+++++++L L n C n 2111111 ()(1)()23222++++++++++L L L L n D n 2．设1 ∞ =∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（ ） 1 ()lim ,1+→∞=

4. 设常数0>k ，则级数1 21 (1)∞ -=+-∑n n k n n （ ）. ()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关. 5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0) ()2(2)πππππ≤≤?=? -≤≤?x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）. () ()()2()02 π ππA B C D 二、填空题(每小题4分，共20分) 6. 级数111 ( )23∞ =+∑n n n 的和为 . 7. 幂级数21 12(3) ∞ -=+-∑ n n n n n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数1 211 1 (1)2,5∞ ∞ --==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1 ∞ ==∑n n u . 9．将1 ()2= -f x x 展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a . 三、解答题(共65分) 11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为1 1ln(1)(1) ∞ -=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得11 2ln 3(1)∞ -==-∑n n n n . 12. （8 分）讨论级数2∞ =n . 13. （8分）求级数2012!∞ =+∑g n n n n x n 的和函数.

第十二章 无穷级数复习题

一: 选择题 1.lim 0n n u →∞ =是级数1 n n u ∞ =∑收敛的 【 B 】 (A)充分条件 （B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.若级数1 n n u ∞ =∑收敛于S ,则级数11 ()n n n u u ∞ +=+∑ 【 C 】 (A)收敛于2S （B ）收敛于12S u + (C) 收敛于12S u - (D)发散 3.级数 111113 35 57 79 + + + +???? 【 B 】 (A)发散 （B ）收敛且和为 12 (C) 收敛且和为2 (D) 收敛且和为1 4.设a 为非零常数,且级数1 n n a r ∞ =∑ 收敛,则 【 D 】 (A)1r < （B ）1r ≤ (C) r a ≤ (D) 1r > 5.部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞ =∑收敛的 【 C 】 (A)充分条件 （B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件 6.下列结论正确的是 【 A 】 (A)若2 1 n n u ∞ =∑,21 n n v ∞ =∑都收敛,则21 ()n n n u v ∞ =+∑收敛 (B) 若1 n n n u v ∞ =∑收敛,则21 n n u ∞ =∑,2 1 n n v ∞ =∑都收敛 (C) 若正项级数1 n n u ∞ =∑发散,则1n u n ≥ (D) 若1 n n u ∞ =∑收敛,且n n u v ≥,则1 n n v ∞ =∑发散 7.判别交错级数1111112221 2 123 3 3 n n - + - ++ - +- - - 的敛散性时下列说法中正确的 是 【 D 】 (A)因lim 0n n u →∞ =,故收敛 (B)因lim 0n n u →∞ =,且1n n u u +>,故由莱布尼兹判别法知级数收敛

第12章幂级数与傅里叶级数

第十二章 习题 二 幂级数与傅里叶级数 一．选择题 1．若∑∞ =-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ Ｂ ） （A ）条件收敛； （B ）绝对收敛； （C ）发散； （D ）不能确定． 2．级数∑∞ =-1)1(n n n x n 的收敛区间为（ Ａ ） （A ）)1,1(-； （B ）)1,1[-； （C ）]1,1(-； （D ）]1,1[-． 3．若3lim 1 =+∞→n n n a a ，则∑∞=-0)1(n n n x a （ D ） （A ）必在3||>x 时收敛； （B ）必在3||≤x 时发散； （C ）在3-=x 处敛散性不定； （D ）收敛半径为3． 4．当0>p 时，∑∞ =-1)1(n n p n x n 在其收敛区间的右端点处（ D ） （A ）条件收敛； （B ）绝对收敛； （C ）发散； （D ）当1≤p 时条件收敛，当1>p 时绝对收敛． 5．设???≤<+≤<--=π πx x x x f 0,10,1)(2， 则其傅氏级数在点π处收敛于（ Ｃ ） （A ）1-； （B ）21π+； （C ）22π； （D ）2 2 π-． 二．填空题 1．若2lim 1=+∞→n n n a a ，则级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径为 22 ． 2．已知幂级数0(2)n n n a x +∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数0(3)n n n a x +∞ =-∑的收敛域为________________(1,5] 三．计算题 1．求下列级数的收敛域及和函数： （1）1(1)n n n x ∞ =-∑． 解：1=R ，且1|1|=-x 时，即11±=-x 时，级数发散．∴收敛域为)2,0(． 1(1) n n n x ∞=-∑∑∞=---=11)1()1(n n n x n x 消[]∑∞='--=1 )1()1(n n x x

第十二章无穷级数

第十二章无穷级数 1下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ） A.∑ ∞ =+1 n 2 2 1n 3n B. ∑ ∞ =+-1 n n 1n )1( C. ∑ ∞ =--3 n 1 n n ln )1( D. ∑ ∞ =+1 n 1n n 32 2.设幂级数∑∞ --1 )3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ） A ．∑ ∞ =++15312n n n B ．∑ ∞ =--+11)1(1n n n C ．∑ ∞ =-15 1 n n D ．∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 4．设正项级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ） A ．∑∞=+1 100n n u B ．∑∞=++1 1)(n n n u u C ．∑∞ =1 )3(n n u D ．∑∞ =+1 )1(n n u 5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ） A.()∑ ∞ =+11 1 n n n B. ∑ ∞ =??? ??+13101n n C. ∑ ∞ =?? ? ??+12 110 1 n n n D. ∑ ∞ =+11 3 2n n n 6.无穷级数∑∞ =023n n n 的前三项和S 3=( ) A.-2 B. 419 C.8 27 D. 8 65 7.幂级数1! n n x n ∞ =∑的和函数为（ ） A.1x e - B.x e C.1x e + D.2x e + 8.已知幂级数()n 1 1n n a x ∞ =+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1 1 !n n ∞ =∑ 的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1 f x -?=?? , , 0x x ππ -≤≤≤＜

第十二章数项级数31263

第十二章 数项级数 1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2．试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2．讨论下列级数的敛散性：

(1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3．证明定理10.2. 4．设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =， 其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛，证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑

高等数学 第十二章 级数

第十二章 级数 一、本章提要 1．基本概念 正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域． 2．基本公式 )1()(x f 在0x x =处的泰勒级数系数：)(00x f a =，! ) (0)(k x f a k k = ； (2)傅里叶系数： ππ ππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππ n n a f x nx x n b f x nx x n --= ===?? ． 3．基本方法 比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法． 4．定理 比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理． 二、要点解析 问题1 有限个数相加与无穷个数相加有什么区别和联系？何谓无穷级数的和？ 解析 有限个数相加与无穷个数相加是有本质区别的．为了叙述方便，称前者为有限加法，后者为无限累加．我们知道有限个数相加之和是一个确定的数值，而无穷个数相加只是一种写法，即沿用了有限加法的符号来表示无限累加．我们不可能用有限加法的方法来完成无限累加，尤其是无限累加未必是一个确定的数值．另外，有限加法中的结合律和交换律在无限累加中也不一定成立． 但是，无限累加与有限加法又是紧密联系的．我们在研究无限累加时，是以有限加法(部分和)为基础的，即从部分和出发，讨论其极限是否存在．若极限存在，则无限累加有和，也就是无穷级数有和(收敛)，其和等于这个极限值；否则，无限累加无和，当然，无穷级数也无和(发散)．由此看出，级数的收敛与发散，反映了无穷多个数累加的趋势．级数收敛就是无穷多个数累加可以得到一个确定的数值．一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书上只就和是否存在，即级数是否收敛给出一些判别法则． 例1 我们考察著名的波尔查诺（Bolzano ，B ．）级数的求和问题． 设 +-+-=1111x ，则有： 解一 0)11()11(=+-+-= x ； 解二 1)11()11(1=-----= x ； 解三 x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12 x = ． 这些矛盾的结果，在历史上曾使人怀疑过数学的精确性不可靠．柯西指出：以上解法犯了墨守成规的错误，即把有限的结合律、交换律以及有限项总存在代数和的观念照搬到无限项的运算之中．柯西的研究，澄清了那个时代对无限运算的糊涂观念，引起了思想解放，其实级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n 是发散的．

第十二章无穷级数(解题方法归纳)

第十二章解题方法归纳 一、正项级数敛散性的判定方法 1. 一般项极限不趋于零则级数发散? 2. 比较审敛法 3. 比较审敛法的极限形式 4. 比值审敛法 5. 根值审敛法 1. 一般项极限不趋于零则级数发散 例1判定级数a n s = 1 ? 2s ? 3s ? 「n s *11 (s 0)的敛散性. n 4 『方法技巧』无论是正项级数还是任意项级数，判定其敛散性时一般第 步都是验证一般项的极限是否为零. 2. 比较审敛法 n a 2n 1 a 1 ln 3 n 的敛散性. 由于lim n s =邑学0，所以总n s 发散. n =1 00 a n 判定级数二诗 (a 0)的敛散性. 当a 1时, n a 2n 1 a n a 2n 1 a n a '2n a

1 ，则 n 4. 比值审敛法 解 lim n u n =lim 也 芋=—lim(1 —)n n 存 * f 2n 2 n 、任意项级数敛散性的判定 lim W = lim 山 n ?：V n r‘ U n 二 lim —二 lim x 3 — (3) J ：In n J ：ln x 二 lim 2 x 门：31 n x x 「：：二 lim —— = lim —=::， J 和6 由比较审敛法的极限形式得 1 发散. 例4判定级数 v n!e 的敛散性. n n U n 1 n 1 n (n 1)!e n 解 lim J =lim n 1 F u n F (n +1) 无法断言原级数是否收敛，但 e >1，从而u n 单调递增且5 = e,故m U n 0 n n ：! n 5.根值审敛法 例5判定级数 二(n 1)n 2n n n 2 的敛散性. (n 1)n 2 故由根值审敛法知二(n 1)n n n 2 nm 2 n 发散. 例6试研究级数曰 a 1 a n (a - 0)是绝对收敛、条件收敛还是发散. oO a 解先考虑级数nd 畀 的敛散性.

第十二章 数项级数习题课

第十二章 数项级数习题课 一 概念叙述 1． ∑∞ =1 n n u 收敛于S ?部分和数列{}n S 收敛于S ?S S n n =∞ →lim 2．n u ∑收敛的柯西准则?0,0,,,N m n N ?ε>?>?>有12m m n u u u +++++<ε ． 3． n u ∑发散的柯西准则?0ε? N ?，0()m N ?>，0p ?，有 0210000ε≥++++++p m m m u u u 二 疑难解析与注意事项 1．有人说，既然一个级数是无限多个数“相加”的结果，而数的加法满足交换律和结合律，所以在一个级数中，可以任意交换项的次序，也可以任意加括号．这种说法对吗？ 答：不对．一个收敛级数，适当改变项的次序以后，可能得到一个发散级数；即使得到的仍收敛级数，其和也可能与原级数的不同．这就是无限项相加与有限项相加的质的不同． （条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数；条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数．） 当然，如果仅仅交换一个级数的有限项的次序，则级数的敛散性不变． （去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性；级数的敛散性与级数的有限个项无关，但当收敛时其和可能是要改变的．） 如果一个级数是正项级数或是绝对收敛的级数，则可以任意改变一个级数的项的次序，其收敛性不变，且和也不变． （绝对收敛的级数任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.） 类似地，一个收敛级数可以任意加括号，加括号后的级数与原来的级数有相同的收敛性与相同的和； （在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．） 但一个发散级数，经适当添加无限个括号后，可能变成一个收敛级数．有一种特殊情形，如果添加括号后，每个括号中的项都保持同一正，负号，则所得级数与原级数同收敛，且和（如有的话）也不变． 2.级数n u ∑，n v ∑，()n n u v +∑的敛散性有何联系？ 答：1）若n u ∑与n v ∑都收敛，则()n n u v +∑收敛，且()n n n n u v u v +=+∑∑∑； 2）若n u ∑与n v ∑中有一个收敛有一个发散，则()n n u v +∑发散； 3）若n u ∑与n v ∑都发散，则()n n u v +∑可能收敛可能发散． 例如，11,n n ??- ???∑∑都发散，但110n n ?? -= ??? ∑收敛， 11,n n ∑∑都发散，但112n n n ?? += ??? ∑∑发散．

无穷级数单元测试题答案

第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、 收敛 3、5 4、π33--，ππ1248+-，???????±±=--±±==,... 3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。

（2）∑∞ =??? ? ?+11n n n n 解：lim lim()[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a Λ 解：另设级数1 () n v n a b =+ 1111111 (1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ L L 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4)ΛΛ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） Λ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++L （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得2462 1 ()11f x x x x x '=++++=-L （这是公比21q x =<的几何级数）

第十二章 无穷级数A同步测试卷

第十二章 无穷级数同步测试A 卷 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．下列级数中，收敛的是（ ） 2100111111 () 22223++++++++A n 2111111()23100222 ++++++++n B 211111 ()(1)()()2222+++++++n C n 2111111 ()(1)()23222++++++++++ n D n 2．设 1 ∞ =∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（ ） 1 ()lim ,1+→∞=k ，则级数 1 2 1 (1)∞ -=+-∑n n k n n （）.

()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关. 5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0) ()2(2) πππππ≤≤?=?-≤≤?x f x x x ， 设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）. ()()()2()02 π ππA B C D 二、填空题(每小题4分，共20分) 6.级数 111 ( )23∞ =+∑n n n 的和为. 7. 幂级数 21 12(3) ∞ -=+-∑n n n n n x 的收敛半径为. 8. 已知级数 1 211 1 (1) 2,5∞ ∞--==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1 ∞ ==∑n n u . 9．将1 ()2= -f x x 展开为x 的幂级数时，其收敛域为. 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a . 三、解答题(共65分) 11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为1 1 ln(1)(1) ∞ -=+= -∑n n n x x n ，因此取2=x 得11 2ln 3(1)∞ -==-∑n n n n . 12. （8 分）讨论级数 ∞ =n 的敛散性. 13. （8分）求级数2012! ∞ =+∑n n n n x n 的和函数. 14. （8分）将2125()65-= --x f x x x 展开为x 的幂级数. 15. （8分）求极限212lim()(1)→∞+++>n n n a a a a .

数学分析：第章数项级数

数学分析：第章数项级数 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

第十二章 数 项 级 数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1）

称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞ =1n n u ，或∑n u . 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和. 3 级数的收敛性 定义2 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项 级数∑∞=1 n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321. 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a 的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n

第十二章无穷级数练习题含答案

第十二章 无穷级数练习 1.判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11!21sin ;ln(1); ;( ) 32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++ -∑ ∑ ∑ ∑ 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 21 1 (1) []3n n n n ∞ -=-+∑； 2 1 c o s 3 n n n n ∞ =∑ ； 1 1 (1) n n ∞ -=-∑ 。 3. 求幂级数0 n n ∞ =∑ 的收敛区间。 4.证明级数1 !n n n n x n ∞ =∑ 当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n n n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞ →lim 。 5.在区间(1,1)-内求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数。 6.求级数∑ ∞ =-2 2 2 )1(1n n n 的和。 。

7.设11112,()2n n n a a a a +== + （1,2,n = ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40tan n n a xdx π = ? ， 1） 求21 1()n n n a a n ∞ +=+∑ 的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ ∞ =∑ 收敛。 9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =??? ? ??+111n n n a 是否收敛？并说明理 由。 10.已知2 22111358π+++= [参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x +-???。 。

第十二章-无穷级数(整理解答)

第十二章 无穷级数 一. 常数级数的审敛，常数级数的性质 收敛： 12.3下列级数中收敛的是( )； A ． ( ) ∑∞=-+1 1n n n B ．∑ ∞ =+11 1n n C ．n n n n ∑∞ =?? ? ??+123 D ．∑∞ =??? ??+1211n n 1 2(1)n =≥≥+，所以( ) ∑∞ =-+11n n n 发散； ∑∞ =+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞ =??? ? ? +1211n n 发散，因此选C 。 12.7 下列级数中收敛的是( ) A. ∑ ∞ =+1 121n n B.∑∞ =+11 3n n n C.)1|(|1001<∑∞=q q n n D.∑∞=-1132n n n 解： 121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1 lim 313n n n →∞=+，∑∞ =+1 13n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n 发散；2 13n =<，∑∞ =-1132n n n 收敛，所以选D 。 12.11 下列级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞ =??? ? ? +1311n n 解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散； 2 12(1)12lim 122n n n n n +→∞+=<，∑∞=122 n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞ =+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。 12.15 下列正项级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1 ∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n

高等数学第12章无穷级数测试卷

第十二章无穷级数测试卷 一、填空题： 1． 若数项级数 ∑∞ =1n n u 收敛，则n n u ∞ →lim = . 2． 若数项级数∑∞ =1n n u 的通项满足1.11 ||n u n ≤,则∑∞ =1 n n u 是 级数. 3． 若数项级数 ∑∞ =1n n q ,当 |q | 时收敛，当 |q | 时发散. 4. 若幂级数 n n n y a ∑∞ =0 的收敛区间为(-9,9)，则幂级数n n n x a 20 )3(-∑∞ =的收敛区间 为 . 5．级数 ∑∞ =---1 1 1 2 1)1(n n n 的部分和n S = ，此级数的和为 . 6．已知级数612 1 2π=∑∞ =n n ，则级数∑∞ =-12 )12(1n n 的和等于 . 7．幂级数∑∞ =--+11 2) 3(2n n n n nx 的收敛半径R= . 8．函数)3ln()(x x f +=在0=x 点展开的幂级数为 . 9．函数)()(2 πππππx x x x f -+=的傅里叶级数为 ()∑∞ =++1 sin cos 2n n n nx b nx a a ，则系数=3b . 10．周期为2的函数)(x f ，设它在一个周期[)1,1-上的表达式为||)(x x f =，且它的傅里叶级数的和函数为)(x S ，则=-)5(S . 二、单项选择题： 1．当条件（ ）成立时，级数 ∑∞ =+1 )(n n n v u 一定发散. A ． ∑∞ =1n n u 发散且 ∑∞ =1 n n v 收敛； B. ∑∞ =1n n u 发散； C. ∑∞ =1 n n v 发散； D. ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 都发散.

第十二章 无穷级数(答案)

第十二章 无穷级数 (一) 1．解：∵( ) ∑ =∞→-+=+-+=n k n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数 发散。 2．解：∵() ∑∑==→??? ??+-=??? ??+-=+=n k n k n n k k k k S 1141 221212122121212221， (∞→n )，∴原级数收敛且和为 4 1。 3．解：∵41 215 11511513113113151315131 111+→-? ?? ?? -+-??? ??-= +=??? ??+=∑∑∑===n n n k k n k n k k k k n S 4 3= ，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。 4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001 lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n n n n ，∴由比值判别法知原级 数发散。 5．解：∵()11 11lim 1lim lim 11<=??? ??+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U e n e n n e n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 6．解：∵02 1 21lim lim ≠=+=∞ →∞ →n n U n n n ，∴原级数发散。 7．解：∵()()2332lim 1lim =++=∞→∞→n n n n n U n n n ，而∑∞ =11 n n 发散，∴由比较判别法知原级数发散。 8．解：∵13113lim 13lim lim <=+=?? ? ??+=∞→∞→∞→n n n n U n n n n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 9．解：∑ ∑∞ =-∞ ==1 1 1 2 ||n n n n n U ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原 级数绝对收敛。

第十二章无穷级数自测题(含答案)

第十一章练习题 一、 填空题 1．级数 )21)1(1(1 n n n n -+∑∞ =的和为（ ） ． 2．若∑∞ =1 n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞ =1 n n u 收敛的充要条件是（ ）． 3.级数∑∞ =1 22 sin 2n n n π 的敛散性为（ ）． 4.幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛区间为（ ）． 5.幂级数∑∞ =-1 22) 1(n n n n x 的收敛域为（ ）． 6.将函数 2 ) 1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）． 7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0 x f S f x +→=-=则=（ ） ． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）． 二、 单项选择题 1. 若级数∑∞ =1 n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）. A. 交换律成立； B.结合律成立； C.分配律成立； D.以上都不成立。 2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）． A. ∑ ∞ =+1121n n ； Ｂ．n n n )2 3()1(1 ∑∞ =-； Ｃ． 3 1 1) 1(n n n ∑ ∞ =-； Ｄ．n n n n 1) 1(1 --∑∞ =． 3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.

A. ∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n n ；Ｂ．∑∞ =-1 1) 1(n n n ；Ｃ．∑∞ =-1 2 1) 1(n n n ；Ｄ．∑∞ =+-1 ) 1(1)1(n n n n 4. 已知级数∑∑∞ =∞ =--==-1 1 1 21 5, 2) 1(n n n n n a a ，则级数∑∞ ==1 n n a （ ） A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 9 5．幂级数n x n n ∑ ∞ =1 的和函数是（ ）． Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2 )(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）. A. ∑ ∞ =0 2! n n n x Ｂ．∑ ∞ =?-0 2! )1(n n n n x Ｃ．∑ ∞ =0 ! n n n x Ｄ．∑ ∞ =?-0 ! )1(n n n n x 7. 若∑∞ =-1 )1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）. A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。 8.已知级数∑∞ =1 2n n a 收敛，常数λ>0,则级数∑∞ =+-1 2 ) 1(n n n n a λ （ ）. A. 发散 ； Ｂ．条件收敛； Ｃ．绝对收敛； Ｄ．收敛性与λ有关。 9.设),3,2,1(0 =≠n u n ，且1lim =∞ →n n u n ，则级数∑∞ =+++ -1 1 1 )11( ) 1(n n n n u u （ ）. A.发散。Ｂ．绝对收敛。Ｃ．条件收敛。Ｄ．收敛性根据所给条件不能判定。 三、计算题 1. 判定下列级数的收敛性。 (1) ∑ ∞ =+1 3 2 ) 1(3cos n n n n λ, (2) )sin ( 1 ∑ ∞ =-n n n π π ; (3) ∑ ∞ =--1 1 2) 1 3( n n n n 2．讨论下列级数的敛散性 （1）∑ ? ∞ =+1 1 2 1n n dx x x （2）∑∞ =+ -1 )]11ln(1[ n n n 3．求幂级数∑ ∞ =1 22 n n n x n 的收敛域。

数学分析第12章数项级数

第十二章 数 项 级 数 目的与要求:１。使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2． 掌握判别正项级数敛散性的各种方法,包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义，基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法;难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道:任意有限个实数n u u u ,,,21 相加,其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征。如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1． 其和无意义; 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为:0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同)。 问题:无限多个实数相加是否存在和; 如果存在,和等于什么。 1 级数的概念 定义１ 给定一个数列{}n u ,将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 (1)

称为数项级数或无穷级数(简称级数）,其中n u 称为级数(1）的通项． 级数(1）简记为：∑∞ =1n n u ,或∑n u 。 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和． 3 级数的收敛性 定义２ 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S (即S S n n =∞ →lim ),则称数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛 ,称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321． 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例１ 试讨论等比级数(几何级数) ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ,)0(≠a 的收敛性. 解：见P2． 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n

第十二章 无穷级数A同步测试卷

第十二章 无穷级数同步测试A 卷 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．下列级数中，收敛的是（ ） 2100111111 () 22223++++++++A n 2111111()23100222 ++++++++n B 211111 ()(1)()()2222+++++++n C n 2111111 ()(1)()23222 ++++++++++ n D n 2．设 1 ∞ =∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（ ） 1 ()lim ,1+→∞=k ，则级数 1 2 1 (1)∞ -=+-∑n n k n n （ ）.

()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关. 5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0) ()2(2) πππππ≤≤?=?-≤≤?x f x x x ， 设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）. () ()()2()02 π ππA B C D 二、填空题(每小题4分，共20分) 6. 级数 1 11 ( )23∞ =+∑n n n 的和为 . 7. 幂级数 21 12(3) ∞ -=+-∑n n n n n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数 1 211 1 (1) 2,5∞ ∞--==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1 ∞ ==∑n n u . 9．将1 ()2= -f x x 展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a . 三、解答题(共65分) 11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为1 1 ln(1)(1) ∞ -=+= -∑n n n x x n ，因此取2=x 得11 2ln 3(1)∞ -==-∑n n n n . 12. （8 分）讨论级数 ∞ =n . 13. （8分）求级数2012! ∞ =+∑n n n n x n 的和函数. 14. （8分）将2125()65-= --x f x x x 展开为x 的幂级数. 15. （8分）求极限212lim()(1)→∞+++>n n n a a a a .

第12章章测题(级数)

第 12 章无穷级数练习题一、填空题 ∞∞ 1. 已知级数∑u 收敛，而级数∑ n n=1 n=1 ∞ u 发散，则称级数∑ u 为收敛。n n n=1 ∞2. 如果幂级数∑ n=0 a n x 在点 n 1 x =处收敛，那么它在点 2 1 x =?处的收敛性是。 3 x x x 2 3 n 3. 幂级数1+x +++++（?∞ 0,则级数 ∑ (?1) n n=1 k+ n 2 n 的收敛性为。 ∞ 1 5. 若级数∑ n n α +1 =1n nα+1收敛，则α的取值范围是。 ∑∑ ∞? 1 ( 1) ∞n 6. = n=0 n 0 n ! ! n=。 ∞ 7．已知级数∑ u 的前n 项部分和为 n n=1 3n s n =(n = 1,2,,n) ，则此级数的通项n +1 u =。n ∞n 2 8．级数∑ =0 n! n 的收敛和为。

二、判断题 ∞1．如果∑ n=1 a 收敛，则部分和 n S 有界。（） n ∞ 2．如果lim = 0 a 收敛。（） a ，则∑ →n n n ∞ n=1 3．设f (x) = 1? cos x ，那么( 1) (1) ∞ ?n?1 f 绝对收敛。（） ∑ n n=1 ∞ a 4．设> 0 a 收敛，那么lim +1 =ρ< 1 a ，如果∑ n 。（）n n n→∞ a n=1 n ∞∞ 5. 如果∑ a 的收敛区间是(?R, R) ，那么∑ n 3n+l n x a （l 是某自然数）的收敛区间是 n x n=0 n=0

(?3 R,3 R) 。（） ∞6．如果∑ n=0 ∞ a 的收敛半径是R，则∑ n xa 的收敛半径是R，则 ∑ n(n n x 的收敛半径也为 R。（） 1)a n ?? n 2 n=2 三、选择题 1．下列级数中，收敛的是。 1 1 1 A．++++ ； 1? 3 3? 5 (2n ?1)(2n +1) 1 1 1 B．1+++++ 1+ 2 1+ 4 1+ 2(n ?1) ； 1 1 1 1 C．+++++ 2 4 6 2n ； + 1 1 1 +1 1+ 1 D ．++++ 。 n 3 2 3 2 3 2 2 2 n 2．下列级数中，发散的是。 2 2 2 1 1 1 2 n A．1+++++；B．1+++++ ；