第十二章 数项级数习题课 一 概念叙述 1．
∑∞
=1
n n
u
收敛于S ?部分和数列{}n S 收敛于S ?S S n n =∞
→lim
2．n
u ∑收敛的柯西准则?0,0,,,N m n N ?ε>?>?>有12m m n u u u +++++<ε．
3．
n
u
∑发散的柯西准则?0ε? N ?，0()m N ?>，0p ?，有
0210000ε≥++++++p m m m u u u 二 疑难解析与注意事项
1．有人说，既然一个级数是无限多个数“相加”的结果，而数的加法满足交换律和结合律，所以在一个级数中，可以任意交换项的次序，也可以任意加括号．这种说法对吗？
答：不对．一个收敛级数，适当改变项的次序以后，可能得到一个发散级数；即使得到的仍收敛级数，其和也可能与原级数的不同．这就是无限项相加与有限项相加的质的不同．
（条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数；条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数．）
当然，如果仅仅交换一个级数的有限项的次序，则级数的敛散性不变．
（去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性；级数的敛散性与级数的有限个项无关，但当收敛时其和可能是要改变的．）
如果一个级数是正项级数或是绝对收敛的级数，则可以任意改变一个级数的项的次序，其收敛性不变，且和也不变．
（绝对收敛的级数任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.） 类似地，一个收敛级数可以任意加括号，加括号后的级数与原来的级数有相同的收敛性与相同的和；
（在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．） 但一个发散级数，经适当添加无限个括号后，可能变成一个收敛级数．有一种特殊情形，如果添加括号后，每个括号中的项都保持同一正，负号，则所得级数与原级数同收敛，且和（如有的话）也不变．
2.级数n u ∑，n v ∑，()n n u v +∑的敛散性有何联系？
答：1）若n u ∑与n v ∑都收敛，则()n n u v +∑收敛，且()n n n n u v u v +=+∑∑∑；
2）若n u ∑与n v ∑中有一个收敛有一个发散，则()n n u v +∑发散； 3）若n u ∑与n v ∑都发散，则()n n u v +∑可能收敛可能发散． 例如，11,n n ??
- ???∑∑都发散，但110n n ??-= ???∑收敛，
11,n n ∑∑都发散，但112n n n ??
+= ???
∑∑发散．
3.设级数n u ∑，n v ∑都是发散级数，则()n n u v ∑发散吗？ 答：不一定，()n n u v ∑可能收敛，可能发散． 例如，11,n n ∑∑都发散，但2111n n n ??
?= ???
∑∑收敛．
,n n ∑∑都发散，()2
n n n
?=∑∑也发散．
4．若加括号后的级数收敛，加括号前的级数收敛吗？
答：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛，例如
+-++-+-)11()11()11(0000=++++=
收敛，而级数
+-+-1111
是发散的．但级数加括号后发散，则原级数一定发散. 5．级数
n
u
∑收敛，与0lim =∞
→n n u 有什么关系？
答：
n
u
∑收敛
0lim =∞
→n n u ，但lim 0n n n u u →∞
≠?∑发散．
6．若级数
n
u
∑对每个固定的p 满足条件()1lim 0n n p n u u ++→∞
+
+=，则级数
n
u
∑一定收
敛吗？
答：不一定，这里说法与柯西准则有本质的不同，这里是对固定的p ，可找到与任给正数ε有关的N （这里一般与p 还有关），使得当n N >，有12n n n p u u u +++++
+<ε，而n
u
∑收敛的柯西准则?0,0,,0,N n N p ?ε>?>?>?>有12n n n p u u u +++++
+<ε．
例如，级数1
n ∑，对每个固定的p ，都有
11
111
1
lim lim lim lim
01212
n n
n n n n n p n n n p
→∞→∞→∞→∞??++
+
=+++= ?++++++?
?，
但级数
1
n ∑发散.
7．1)若n
b ∑和n
c
∑都收敛，且n n n b a c ≤≤，则n
a ∑收敛吗？ 2)若
n b ∑和n c
∑都发散，且n n n b a c ≤≤，则
n
a
∑发散吗？ 答：1) 若
n
b ∑和n
c
∑都收敛，且n n n b a c ≤≤，则
n
a
∑收敛.
由n n n b a c ≤≤得0n n n n a b c b ≤-≤-，而()n
n c
b -∑收敛，由比较原则得()n n a b -∑，
因此
n
a
∑收敛.（注意比较原则适用于正项级数，不能直接由
n
c
∑收敛得
n
a
∑收敛）
2）不一定，例如
1n
b n ??=-
???
∑∑，1
n c n =∑∑，0n
a =，
n
a
∑收敛，
假如还有条件0n b ≥，则n
a
∑发散，这由比较原则得到.
8．设
∑n u 为正项级数，且
1
1n n
u u +<，则级数∑n
u
收敛吗？
答：不一定，例如
∑n 1满足1
1
1111n n u n
n u n n
++==<+，但∑n 1
发散，因此一定要强调
1
1n n
u q u +≤<． 9．如何判断正项级数的敛散性？
答：1）先判断n u ∑的通项n u 的极限是否为0，若lim 0n n u →∞
≠，则n u ∑发散，若lim 0n n u →∞
=，
则需继续判断；
2）根据通项特点选取合适的方法判断正项级数的敛散性： 若通项很容易找等价无穷小量就用比较原则的极限形式；
若通项含有阶乘连乘n 次幂等因子时用比式判别法的极限形式； 若通项含有n 次幂因子时用根式判别法的极限形式； 若通项非负单调用积分判别法.
若上述方法失效用比较原则（例如含sin n 等容易放缩成已知收敛的级数）或级数收敛的定义（易求部分和）.
10．1)交错级数一定收敛吗？ 2) 若) ( , 0 , 0∞→→>n u u n n . 交错级数
∑∞
=+-1
1
)
1(n n n u 是否必收敛 ?
答：1)不一定，交错级数只有满足了莱布尼兹判别法的条件才收敛. 例如，
()1n n -∑为交错级数，但通项极限不为0，因此()1n
n -∑发散.
2) 不一定，考查交错级数 +-++-+-+
-2221
131********n
n . 这是交错级数 , 有) ( , 0 ∞→→n u n . 但该级数
∑∞
=??
?
??-121
1n n n
发散 . 11．n u ∑收敛与n u ∑收敛，n u ∑发散与n u ∑发散有什么关系？ 答：n u ∑收敛 n u ∑收敛，n u ∑发散
n
u
∑发散，但若用正项级数的比式判
别法或根式判别法判断n u ∑发散，则n u ∑一定发散.因为当用比式判别法判断n u ∑发散
时，条件
1111n n n n n
u u u u u u ++≥?≥≥≥?0?n
u 0，于是n u ∑发散；当用根式判 别法判断n u ∑发散时，条件11n n n n
u u u ≥?≥?0?n
u 0于是n u ∑发散.
12．1）n u ∑绝对收敛，n v ∑绝对收敛，则()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛？
2）n u ∑条件收敛，n v ∑绝对收敛，则()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛？ 3）n u ∑条件收敛，n v ∑条件收敛，则()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛？ 答：1）是绝对收敛，因为n u ∑绝对收敛（n u ∑收敛），n v ∑绝对收敛（n v ∑收敛），
n n n n u v u v +≤+，且n n u v +∑收敛，因此n n u v +∑收敛，即()n n u v +∑绝对收敛.
2）是条件收敛，反证法，设()n n u v +∑绝对收敛，因为n u ∑绝对收敛，则n v ∑绝对收敛，矛盾.
3）收敛，但可能绝对收敛可能条件收敛.例n u ∑条件收敛，()2n n n u u u +=∑∑条件收敛；n u ∑条件收敛，()n u -∑条件收敛，但()0n n u u +-=????∑是绝对收敛的.
13．判断一般项级数n u ∑敛散性的步骤：
答：1)先判断通项的极限是否为0，若通项的极限不为0，则n u ∑发散，若通项极限为0，则需继续判断；
2）判断n u ∑的收敛性（用正项级数判别法判断）若n u ∑收敛，则n u ∑绝对收敛，若n u ∑发散，如果是用比式判别法或根式判别法判断n u ∑发散，则n u ∑发散，若不是用比式判别法且不是用根式判别法判断n u ∑发散，则需要继续判断；
3）若n u ∑是交错级数，用莱布尼兹判别法，如用莱布尼兹判别法判断交错级数n u ∑收敛，则n u ∑条件收敛，若n u ∑的通项可分解成两个数列的乘积，用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法，若判断n u ∑收敛，则n u ∑条件收敛.
14．对于一般项级数n u ∑，n v ∑，如果lim 0n
n n
u l v →∞=≠，能否推出n u ∑与n v ∑具有相
同的敛散性.
答：不能，例如
1n
-
11n n ??
-+???
∑，前者收敛，后者发散，但却有
1lim
11n
n →∞
-=-.
注意：正项级数与一般级数的性质有很大的差异，对正项级数成立的结论对一般级数不一定成立.读者在学习时，一定要分清那些是关于正项级数的结论，那些是关于一般项级数的结论，注意不要把仅对正项级数成立的结论随意套用到一般级数上来.
15.因为1)1()1()1(lim
=-
+--∞
→n
n n
n n n (1)+-n )(∞→n 则∑∞=-1)1(n n n 和∑∞
=-+-1)
1()1(n n
n
n 同时敛散，对吗？
答：不对，比较判别法的极限形式只能用于正项级数，对变号级数不能使用. 第一个级 数是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，因此收敛.第二个级数虽然是交错级数，并且它的通项与第一个级数的通项是等价无穷小量，但并不满足通项绝对值单调的条件，
因此不能用莱布尼兹判别法.为了研究第二个级数的敛散性，把两个级数通项之差构成第三个级数：
2
n
n c ∞
=∑
，其中1
~n n n c n ==，由此可见第二个级数发散. 16.设
∑∞
=1
n n
u
为收敛的正项级数, 能否存在一个正数0>ε, 使得:
01lim
1>=+∞
→C n u n
n ε
? 答：不一定. 如∑∞=1
2ln 1n n n 收敛, 而+∞==∞→+∞→n n n n n n n 212ln lim 1ln 1
lim εε
. 17．若
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，判断下列语句是否正确，并说明理由.
1)若lim 0n n nu →∞
=，则级数
1
n
n u
∞
=∑收敛吗？
2)若存在非零常数λ，使得lim n n nu λ→∞
=，级数
1
n
n u
∞
=∑收敛性如何？
3)设级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，能否推出
21
n
n u
∞
=∑收敛，反之又如何？
答：1）不一定：例如级数
1
n n u ∞
=∑若为1
1
ln n n n ∞
=∑
，则满足所给条件，但是发散. 2）正确：由于lim n n nu λ→∞
=可写成lim 1n n u n
λ→∞=，由比较法可知级数1n n u ∞=∑与11
n n
∞=∑具
有同敛散性，即发散. 3）正确：由级数
1
n
n u
∞
=∑收敛可知0()n u n →→∞.故存在0n ，当0n n >时有1n u <，
从而0n n >之后恒有2
n n u u <，故由级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，知
21
n
n u
∞
=∑也收敛. 但反之不一定，例
如，取1n u n =，则2
1n n u ∞=∑发散，但是1
n n u ∞
=∑收敛.
注：要掌握常见级数，例如11p n n ∞
=∑、1
1
ln n n n ∞
=∑等级数的敛散性.
18. 设级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，能否推出
21
n
n u
∞
=∑收敛？
答： 不能，例如取(
)1n
n u =-，(
)11n
n ∞=-∑收敛，但11n n
∞
=∑发散. 三 重点习题
1．几个常用级数的收敛性 1）等比级数（几何级数）∑∞
=-1
1n n aq ：当1 a s -= 1；当1≥q 时，级数发散． 2）．-p 级数 ∑∞ =1 1 n p n ：当1>p 级数收敛；1p ≤级数发散． ∑∞ 1 n ln 1 ＝n n p ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散 3）．交错-p 级数∑∞ =--1 1 )1(n p n n ：当1>p 级数绝对收敛；10≤ 1 sin p n nx n ∞ =∑：当1>p 级数绝对收敛；10≤ （1）1;21n n n ∞ =-∑ （2）1 2sin ;3n n n π∞=∑ （3）1!3;n n n n n ∞ =∑ （4）1 2(1);1(3) n n n n ∞ =+-+∑ （5）ln 21;3n n ∞ =∑ （6）ln 21 ;n n n ∞ =∑ （7）ln 21;(ln )n n n ∞ =∑ （8）21 (ln ) n n n ∞ =∑． 解：（1）（拿到级数先判断级数的通项是否为0） 因为22lim 0323n n n →∞=≠+，则 1 21n n n ∞ =-∑ 发散． （2）(通项易找等价无穷小量用比较原则的极限形式) 因为22sin 33n n n π π?? ???，而1 23n n π∞ =?? ???∑收敛（等比级数的公比213<）． （3）（含有阶乘用比式判别法） 因为()() 1 1 1!313 3 lim lim 1!311n n n n n n n n n e n n n ++→∞ →∞++==≥??+ ??? ，则1!3n n n n n ∞ =∑ 发散． （4）（含有n 次幂用根式判别法） 因为1 13n =<，则1 2(1)1(3)n n n n ∞ =+-+∑收敛． (5) 因为() ln ln3 ln ln3 ln ln3ln ln33 n n n n e e e n ==== 则ln ln 322113n n n n ∞ ∞===∑∑，因为ln31>，则ln ln 32211 3n n n n ∞∞ ===∑∑收敛． （6）因为ln 2n >（2 n e >），则ln 211 n n n <，因为221n n ∞=∑收敛，则ln 21n n n ∞ =∑收敛． （7）() ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 2ln n n n n n n n n n e e e n n ====>（n 充分大） 则ln 211 (ln )n n n <，因为221n n ∞=∑收敛，则ln 2 1(ln )n n n ∞=∑收敛． （8）因为ln 2n >（2 n e >），则11 (ln )2n n n <，因为212 n n ∞ =∑收敛， 则 2 1 (ln )n n n ∞ =∑收敛． 3．判断下列级数的敛散性．若收敛，指出绝对收敛或条件收敛． 1) 1 12(1)sin n n n ∞ -=-∑； 2）()1 ln 1n n n n ∞ =-∑； 3）n n n x n ∑∞ =1 )(!． 证 1）先对通项加绝对值，判断1 2sin n n ∞ =∑（当n 充分大，有202 n π <<，且级数与前面有限项无关）的敛散性． 因为2 2 sin n n ，而12n n ∞=∑发散，则1 2sin n n ∞ =∑发散． 再判断通项不加绝对值的敛散性． 因为 1 1 2(1)sin n n n ∞ -=-∑为交错级数，且2sin n 递减（2n 递减，当n 充分大，有202n π<<，sin u 递增，则复合之后2sin n 递减）且2limsin 0n n →∞=，由莱布尼兹判别法知1 1 2(1)sin n n n ∞ -=-∑收敛， 综上 1 1 2 (1) sin n n n ∞ -=-∑条件收敛． 2）先对通项加绝对值，判断 1ln n n n ∞ =∑ 的敛散性． 因为()ln 1 n n e n n >>，且11n n ∞=∑发散，则1 ln n n n ∞ =∑ 发散． 再判断通项不加绝对值的敛散性． 因为 () 1 ln 1n n n n ∞ =-∑为交错级数，令()ln x f x x =，则()()21ln 0x f x x e x -'=<>， 即ln n n 递减且ln lim 0n n n →∞=，由莱布尼兹判别法知 () 1 ln 1n n n n ∞ =-∑收敛，综上() 1 ln 1n n n n ∞ =-∑条件收敛． 3）先对通项加绝对值，判断 1 !() n n x n n ∞ =∑的敛散性， 因为()1 1!( )1lim lim 1!()1n n n n n x n x x n x e n n n +→∞ →∞++==??+ ??? ， 当x e <时1!()n n x n n ∞ =∑收敛，n n n x n ∑∞ =1 )(!绝对收敛， 当x e >时1!()n n x n n ∞ =∑发散，因为是用比式判别法判断的，则n n n x n ∑∞ =1 )(!发散， 当x e =时， ()1 1!( )111!()1n n n x n x n x n n n +++=≥??+ ??? ，则1 !() n n x n n ∞ =∑发散，因为是用比式判别法判 断的，则n n n x n ∑∞ =1 )(!发散（因为11n n ??+ ???单调增加收敛于e ，则e 为11n n ?? + ???的上界）． 注：当x e =，()11!( )1lim lim 11!()1n n n n n x n x x n x e n n n +→∞ →∞++===??+ ??? ，此时不好用比式判别法的极限判断，则我们用比式判别法判断． 4. 证明:若数列}{n b 有∞=∞ →n n b lim , 则(1) 级数 ∑∞ =+-1 1 )(n n n b b 发散; (2) 当0≠n b 时, 1 1 11)11( b b b n n n =-∑∞ =+. 证明: (1) 级数 ∑∞ =+-1 1 )(n n n b b 的部分和111 1)(b b b b S n n k k k n -=-=+=+∑, 而 ∞=-=+∞ →∞ →)(lim lim 11b b S n n n n , 故级数 ∑∞ =+-1 1 )(n n n b b 发散. (2) 级数∑∞ =+-11)11(n n n b b 的部分和1 1111 1)11(+=+-=-=∑n n k k k n b b b b S , 故 111 1 )11(lim lim b b b S n n n n =- =+∞→∞→∑∞ =+-=11)11(n n n b b . 5． 设),2,1(0 =≥n u n ，证明：如果级数∑∞ =1 n n u 收敛，则级数 ∑∞ =1 2n n u 与级数 ∑ ∞ =1 n n n u 都收敛． 证 1）先证 ∑∞ =1 2 n n u 收敛： 因级数∑∞ =1 n n u 收敛，则lim 0→∞ =n n u ，故当n 充分大时，1 ，由比较 判别法知级数 ∑∞ =1 2 n n u 收敛． 2）证 ∑ ∞ =1 n n n u 收敛：因 )1(212n n u n n u +≤，且∑∞=121n n 和∑∞=1n n u 均收敛，所以由比较判别法知级数 ∑ ∞ =1 n n n u 收敛． 6． 应用级数理论证明极限： （1） 0)13(852!lim =-??∞→n n n ；（2）0!lim =∞→n n n n . 分析 如果级数∑∞ =1 n n u 收敛，则0lim =∞ →n n u ，这个结果称为级数收敛的必要条件．把 数列的通项看成某级数的通项，而对此级数的收敛性的判别又较容易，则由级数收敛的必要 条件，立即得出数列的极限． 证 （1）考虑级数∑∞ =1n n u ，) 13(852! -??= n n u n ， 由于 131 !)13(852)23)(13(852)!1(lim lim 1<=-???+-??+=∞→+∞→n n n n n u u n n n n ， 所以级数∑∞ =1 n n u 收敛，由级数收敛的必要条件知0) 13(852! lim lim =-??=∞→∞ →n n u n n n ． （2）考虑级数∑ ∞ =1 ! n n n n ，由于 ()()1 1! 111lim lim 1!11+→∞ →∞ ++== n n n n n n n n e n n 所以级数∑ ∞ =1 ! n n n n 收敛，由级数收敛的必要条件即知 0!lim =∞→n n n n ． 7．证明：若 ∑∞ =--1 1||n n n a a 收敛，则}{n a 收敛． 分析 这是一个抽象的数列和级数，且条件类型相当于知道相邻两项的估计，由此可得 任意两项差的估计，故考虑用Cauchy 收敛准则． 证明：由于 ∑∞ =--1 1||n n n a a 收敛，则由Cauchy 收敛准则，对 0，存在N ，当n N >时，对任意的正整数p ，成立 1 1 |||| n n n p n p a a a a ， 因而， 1 1 |||||| n p n n n n p n p a a a a a a ， 再次用数列收敛的Cauchy 收敛准则得：}{n a 收敛． 8．设 ∑∞ =1 n n a 收敛且0lim =+∞ →n n na ，证明： ∑∞ =+=-1 1)(n n n a a n ∑∞ =1 n n a ． 证明：记 ∑∞ =+-1 1)(n n n a a n 的部分和为n S ，则 111 11 )1(++=+=+-=-= ∑∑n n k k n n k k n a n a na a S 取极限即可得到结论． 注．从证明过程中发现，除去定量关系，上述结论的逆也成立，即在条件lim 0 n n nu →+∞ = 下若 11 ()n n n n u u 收敛，则∑∞ =1 n n u 也收敛．同样，在 11 ()n n n n u u ，1 n n u ∞ =∑都收敛的 条件下，{}n nu 也收敛． 9. 判断 ∑∞ =++++ -1 )]! 1 !21!111([n n e 敛散性． 解 利用函数泰勒展开 11 11 011!2! !(1)! e e n n ξξ=+++ ++<<+， 故， 1110 (1 )1!2!! (1)! e e n n ， 因而，该级数收敛． 第十二章：简单机械知识点： 一、杠杆： （一）、定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆。 说明：①杠杆可直可曲，形状任意。 （二）、五要素──组成杠杆示意图。 ①支点：杠杆绕着转动的点。用字母O表示。 ②动力：使杠杆转动的力。用字母F 1 表示。 ③阻力：阻碍杠杆转动的力。用字母F 2 表示。 ④动力臂：从支点到动力作用线的距离。用字母L 1 表示。⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距 离。用字母L 2 表示。 （三）、画力臂方法：一找支点、二画线、三连距离、四标签。 ⑴找支点O；⑵画力的作用线（虚线）；⑶画力臂（过支点垂直力的作用线作垂线）；⑷标力臂（四）、研究杠杆的平衡条件： （1）、杠杆平衡是指：杠杆静止。 （2）、实验前：应调节杠杆两端的螺母，使杠杆在水平位置平衡。这样做的目的是：可以方便的从杠杆上量出力臂。 结论：杠杆的平衡条件是：动力×动力臂＝阻力×阻力臂。写成公式F 1L 1 =F 2 L 2 也可写成：F 1 /F 2 =L 2 /L 1 。 注意：解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小，必须使动力臂最大， 五、应用： 名称结构特征特点应用举例 省力杠杆动力臂大于阻力省力、费距离 撬棒、铡刀、动滑轮、轮轴、羊角锤、 钢丝钳、手推车、花枝剪刀 费力杠杆动力臂小于阻力费力、省距离 缝纫机踏板、起重臂、人的前臂、理发剪刀、 钓鱼杆 等臂 杠杆 动力臂等于阻力不省力不费力天平，定滑轮 说明：应根据实际来选择杠杆，当需要较大的力才能解决问题时，应选择省力杠杆，当为了使 用方便，省距离时，应选费力杠杆。 六、滑轮：1．定滑轮： ①定义：中间的轴固定不动的滑轮。 ②实质：定滑轮的实质是：等臂杠杆。 ③特点：使用定滑轮不能省力但是能改变动力的方向。 ④对理想的定滑轮（不计轮轴间摩擦）F=G 。 绳子自由端移动距离S F （或速度v F ）=重物移动的距离S G （或速度v G ） 2．动滑轮： ①定义：和重物一起移动的滑轮。（可上下移动，也可左右移动） ②实质：动滑轮的实质是：动力臂为阻力臂2倍的省力杠杆。 ③特点：使用动滑轮能省一半的力，但不能改变动力的方向。 ④理想的动滑轮（不计轴间摩擦和动滑轮重力）则：F=21G 只忽略轮轴间的摩擦则，拉力F=2 1 （G 物 +G 动）绳子自由端移动距离S F （或v F ）=2倍的重物移动的距离S G （或v G ） 3．滑轮组 ①定义：定滑轮、动滑轮组合成滑轮组。 ②特点：使用滑轮组既能省力又能改变动力的方向。 ③理想的滑轮组（不计轮轴间的摩擦和动滑轮的重力）拉力F= n 1 G 。只忽略轮轴间的摩擦，则拉力F=n 1 （G 物+G 动）。绳子自由端移动距离S F （或v F ）=n 倍的重物移动的距离S G （或v G ）。 ④组装滑轮组方法：首先根据公式n=（G 物+G 动）/F 求出绳子的股数。然后根据“奇动偶定”的 原则。结合题目的具体要求组装滑轮。 七、机械效率： １、有用功： （1）定义：对人们有用的功。 公式：W 有用＝Gh （提升重物）=W 总－W 额=ηW 总 斜面：W 有用= Gh 2、额外功： （1）定义：并非我们需要但又不得不做的功 级数知识点总结 Prepared on 22 November 2020 第十二章无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑ = 3211 正项级数： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ? 两个收敛级数的和差仍收敛，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数 去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有 界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞=1 n n u 收敛；若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞ =1n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散. ? ，当：1 最新电功率知识点总结 一、电功率选择题 1．如图甲所示电路中，电源电压可调，灯L1、L2的额定电压均为6V，L1、L2的I﹣U图象如图乙所示，闭合开关S，逐步调大电源电压至电路允许的最大值，此时（） A. L1正常发光 B. 电源电压为12V C. 电路总电阻为30Ω D. 电路总功率为 2.4W 【答案】D 【解析】【解答】解：由图乙可知，两灯泡两端的电压为6V时，通过两灯泡的电流I1=0.6A、I2=0.3A， 由电路图可知，两灯泡串联，电流表测电路中的电流， 因串联电路中各处的电流相等， 所以，电路中允许通过的最大电流I=I2=0.3A，则L2正常发光，故A错误； 由图乙可知，L1两端的电压U1′=2V， 因串联电路中总电压等于各分电压之和， 所以，电源的电压： U=U1′+U2=2V+6V=8V，故B错误； 由I= 可得，电路总电阻： R= = ≈26.7Ω，故C错误； 电路的总功率： P=UI=8V×0.3A=2.4W，故D正确． 故选D． 【分析】由图乙可知两灯泡额定电流下的电流，根据串联电路的特点可知电路中的最大电流为两灯泡额定电流中较小的，即额定电流较小的灯泡能正常发光，根据图象读出两灯泡两端的电压，根据串联电路的电压特点求出电源的电压，根据欧姆定律求出电路中的总电阻，利用电阻的串联求出电路的总功率． 2．如图所示的电路中，电源电压保持不变，当开关S闭合时，灯L正常发光，如果将滑动变阻器的滑片P向右滑动，下列说法正确的是（） A. 电压表示数变小，灯L变亮 B. 电压表示数变小，灯L变暗 C. 电压表示数变大，灯L变亮 D. 电压表示数变大，灯L变暗 【答案】D 【解析】【解答】由电路图可知，灯泡L与滑动变阻器R串联，电压表测R两端的电压，电流表测电路中的电流，将滑动变阻器的滑片P向右滑动时，接入电路中的电阻变大，电 路中的总电阻变大，由可知，电路中的电流变小，由可知，灯泡两端的电压变小，因灯泡的亮暗取决于实际功率的大小，所以，由可知，灯泡的实际功率变小，灯泡L变暗，AC不符合题意；因串联电路中总电压等于各分电压之和，所以，滑动变阻器R两端的电压变大，即电压表的示数变大，B不符合题意、D符合题意。 故答案为：D。 【分析】结合电路图，理清电路的连接方式及电表的测量对象，结合滑动变阻器的滑片P 向右滑动时，接入电路中的电阻变化，利用欧姆定律及电功率的计算公式分析即可. 3．如图所示的电路，电源电压为3V且保持不变，定值电阻R1=1Ω，滑动变阻器R2阻值范围为0～4Ω．闭合开关S，在滑片从左向右移动的过程中，下列说法正确的是（） A. 滑动变阻器的最大功率为1.44W B. 滑动变阻器的最大功率为2W C. 滑动变阻器的最大功率为2.25W D. 电压表示数从0V增大到2.4V 【答案】C 【解析】【解答】由电路图可知，R1与R2串联，电压表测R1两端的电压，电流表测电路中的电流。（1）因串联电路中总电阻等于各分电阻之和，所以，电路中的电流：I＝ ，滑动变阻器消耗的电功率：P2＝I2R2＝（）2R2＝ ，所以，当R2＝R1＝1Ω时，滑动变阻器消耗的电功率最 大，则P2大＝＝2.25W，AB不符合题意、C符合题意；（2）当滑动变阻器接入电路中的电阻为零时，电路为R1的简单电路，电压表测电源两端的电压，示数为 12简单机械 杠杆 知识点一、杠杆 1、什么是杠杆？ 一根硬棒，在力的作用下能绕着固定点转动，这根硬棒就是杠杆。 说明：①“硬棒”不一定是直棒，只要在外力作用下不变形的物体都可以看成杠杆，杠杆可以是直的也可以是任意形状的。 ①一根硬棒能成为杠杆，应具备两个条件：一是要有力的作用；二是能绕固定点转动。两个条件缺一不可。例如：撬棒在没有使用时就不能成为杠杆。杠杆的形状可以是直的，也可以是弯的，但必须是硬的，固定点可以在杠杆的一端，也可以在杠杆的其他位置。 2、杠杆的五要素： 五要素物理含义 支点杠杆可以绕其转动的点，用“O”表示 动力是杠杆转动的力，用“F1”表示 阻力阻碍杠杆转动的力，用“F2”表示 动力臂从支点O到动力F1作用线的距离，用“l1”表示 阻力臂从支点O到阻力F2作用线的距离，用“l2”表示 ①杠杆的支点一定在杠杆上，可以在杠杆的一端，也可以在杠杆的其它位置。同一杠杆，使用方法不同，支点的位置也不可能不同。在杠杆转动时，支点是相对固定的。 ①动力和阻力是相对而言的，不论是动力还是阻力，杠杆都是受力物体，跟杠杆发生相互作用的物体都是施力物体。动力和阻力的作用效果正好相反。 ①动力作用点：动力在杠杆上的作用点。 ①阻力作用点：阻力在杠杆上的作用点。 ①力臂是支点到力的作用线的距离，不是支点到力 的作用点的距离。某个力作用在杠杆上，若作用点不变， l l l 力的方向改变，力臂一般要改变。 ①力臂有时在杠杆上，有时不在杠杆上，如果力的作用线恰好通过支点，则力臂为零。 ①力臂的表示与画法：过支点做力的作用线的垂线 ①力臂的三种表 示方式：选择哪种 方式，根 据个人习惯而定。 4、力臂的画法： 第一步：先确定支点，即杠杆绕着转动的固定点，用字母“O”表示。 第二步：确定动力和阻力。人的目的是将石头撬起，则人应向下用力，此力即为动力，用“F 1” 表示。这个力F 1的作用效果是使杠杆逆时针转动，阻力的作用效果恰好与动力的作用效果相反，在阻力的作用下杠杆应沿着顺时针方向转动，则阻力的作用效果杠杆应沿着顺时针方向转动，则阻力是石头施加给杠杆的方向向下的压力，用“F 2”表示。 第三步：画出动力臂和阻力臂。将力的作用线正向或反向延长，由支点向力的作用线作垂线，从支点到垂足的距离就是力臂，并标明动力臂与阻力臂的符号“l 1”“l 2”。 知识点二、杠杆的平衡条件 1、杠杆平衡：在力的作用下，如果杠杆处于静止状态或绕支点匀速转动时，我们就可以认为杠杆是平衡了。 2、实验探究：杠杆的平衡条件 实验器材：杠杆和支架、钩码、刻度尺、线。 实验步骤：①调节杠杆两端的螺母，使杠杆在不挂钩码时，保持水平并静止，达到平衡状态。在调节时，如果杠杆的左边下沉，则应将杠杆两端的平衡螺母向右调，如果杠杆的右边下沉，则应将杠杆两端的平衡螺母向左调，简称“左沉右调，右沉左调”。 ②如图所示，在杠杆两边挂上不同数量的钩码，调节钩码的位置，使杠杆重新在水平位置平衡。这时杠杆两边收到钩码的作用力的大小都等于钩码重力的大小。 第十二章 无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑= 3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； 若级数收敛,则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛. 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. 2、 交错级数： 莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。 条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。 其他级数：； 二、 函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、 和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导;和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项 积分.(R 不变,收敛域可能变化). 电功率知识点归纳Last revision on 21 December 2020 《电功率》知识点归纳 一、电功（电能） 1．定义：电流通过某段电路所做的功叫电功。用 W 表示 2．实质：电流做功的过程，实际就是电能转化为其他形式的能（消耗电能）的过程；电 流做多少功，就有多少电能转化为其他形式的能，就消耗了多少电能。 电流做功的形式：电流通过各种用电器使其转动、发热、发光、发声等都是电流做功的表现。 3．规定：电流在某段电路上所做的功，等于这段电路两端的电压，电路中的电流和通电 时间的乘积。 4．计算公式：W=UIt=Pt （适用于所有电路） 对于纯电阻电路可推导出：t R U Rt I W 2 2 ①串联电路中常用公式：W=I 2 Rt ②并联电路中常用公式：t R U W 2 ③无论用电器串联或并联。计算在一定时间所做的总功 常用公式W=W 1+W 2+…W n W=U 总I 总t=P 总t 5．单位：国际单位是焦耳（J ）常用单位：kw ·h （度）1千瓦时=1度=1kw ·h= ×106J 6．测量电功： ⑴电能表：是测量用户用电器在某一段时间内所做电功（某一段时间内消耗电能）的仪器。 ⑵电能表上“220V ”“5（10）A ”“3000R/kwh ”等字样，分别表示：电能表应接在220V 的电压下使用；电能表的额定电流是5A ；额定最大电流为10A ；每消耗一度电电能表转盘转3000转。 ⑶读数：A 、测量较大电功时用刻度盘读数。 ①最后一位有红色标记的数字表示小数点后一位。 ②电能表前后两次读数之差，就是这段时间内用电的度数。 如： 这个月用电________度合___________ J 。 B 、测量较小电功时，用表盘转数读数。如：某用电器单独工作电能表 （3000R/kwh ）在 10分钟内转36转则10分钟内电器消耗的电能是___________J 。 7、电池充电把 能转化为 能，放电时把 能转化为 能，电动机把 能转化为 能，灯泡工作把 能转化为 能和 能。 二、电功率 1．定义：电流在单位时间（1s ）内所做的功或电流在1s 内所消耗的电能。 2．物理意义：表示 电流做功快慢 的物理量或表示用电器 消耗电能快慢 的物理量。 灯泡的亮度取决于灯泡的 实际功率 大小。 3．电功率计算公式：P=UI=W/t （适用于所有电路） 对于纯电阻电路可推导出：P=I 2R=U 2/R ①串联电路中常用公式：P=I 2R ②并联电路中常用公式：P=U 2/R ③无论用电器串联或并联。计算总功率 常用公式P=P 1+P 2+…P n 月底读数是 《论语十二章》知识点整理 一、文学常识 1．《论语》是儒家的经典著作之一，由孔子的弟子及再传弟子编写而成。它以语录体和对话体为主，记录了孔子及其弟子言行，共20篇。 四书：《论语》《大学》、《中庸》、《孟子》五经：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》 2．孔子，名丘，字仲尼，春秋时期鲁国人，春秋末期的思想家、教育家，儒家思想的创始人。政治上主张“仁政”，“以德服人”，教育上主张“有教无类”“因材施教”，孔子被后世统治者尊为“圣人”，战国时期儒家代表人物，孟子与孔子并称“孔孟”，被联合国称为“世界十大文化名人”之一。 二、生字注音 论（lún）语不亦说（yuè）乎愠（yùn）三省（xǐng）传（chuán）不习乎 逾（yú）矩（jǔ）罔（w?ng ）殆（dài）哉（zāi）箪（dān）陋巷（xiàng） 堪（kān）肱（gōng）笃（dǔ）志 三、重点字词解释及翻译 第一章 原文：子曰：“学∕而时习之，不亦∕说乎？有朋∕自远方来，不亦∕乐乎？人不知∕而不愠，不亦∕君子乎？” 1．字词解释：时：按时说：通“悦”，愉快朋：志同道合的人 愠：生气，发怒君子：指道德上有修养的人 2．译文：孔子说：“学习了(知识)，然后按一定的时间温习它，不也是很高兴吗?有志同道合的人从远处(到这里)来，不也是很快乐吗?人家不了解我，我却不怨恨，不也是君子吗?” 3. 课文探究：第1句：讲学习方法第2句：讲学习的乐趣第3句：讲个人修养 第二章 原文：曾子曰：“吾日∕三省吾身：为人谋∕而不忠乎？与朋友交∕而不信乎？传∕不习乎？” 1.字词解释：日：每天三省：多次反省。省；自我检查、反省。三：泛指多忠：尽心竭力 信：真诚，诚实传：老师传授的知识 2.译文：曾子说：“我每天多次地反省自己：替别人办事是不是尽心竭力呢?跟朋友往来是不是诚实呢?老 师传授的知识是不是复习过呢?” 3.课文探究：本章强调治学的人重视道德修养 第三章 原文：子曰：“吾十有五∕而志于学，三十∕而立，四十∕而不惑，五十∕而知天命，六十∕而耳顺，七十∕而从心所欲，不逾矩。” 1.字词解释：有：通:“又”,用于零数和整数之间立：独立做事情惑：迷惑、疑惑 逾：越过、超过矩：规范、规范 2．译文：孔子说：“我十五岁的时候立志于做学问；三十岁能够独立做事,自立于世；四十岁能通达事理，不为外物所迷惑；五十岁的时候知道哪些是不能为人力所支配的事情；六十岁时能听得进不同意见；七十岁时能随心所欲，却不会逾越法度规矩。” 3．课文探究：本章是孔子自述他学习和提高修养的过程。 第四章 原文：子曰:“温故∕而知新,可∕以为师矣.” 1．字词解释：故：旧的知识知新：新的理解与体会可以：可以凭借。以：凭借为：做,成为 2.译文：孔子说：“温习学过的知识，从而得到新的体会与理解，可以凭借这成为老师。” 3.课文探究：本章谈学习方法。（强调“温故”，还要能“知新”,新旧知识相融合） 第五章 无穷级数 1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞ →∞ ==∑存在，称级数收敛。 2.若任意项级数1 n n u ∞=∑收敛，1 n n u ∞=∑发散，则称1 n n u ∞=∑条件收敛，若1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = 3.若有两个级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞=∑，1 1 ,n n n n u s v σ∞∞ ====∑∑ 则 ①1()n n n u v s σ∞ =±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==???? ?=? ? ????? ∑∑。 ②1 n n u ∞=∑收敛，1 n n v ∞=∑发散，则1 ()n n n u v ∞ =+∑发散。 ③若二者都发散，则1 ()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1 1 1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1 110k ∞ =-=∑收敛。 4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数： a) b) P 级数： c) 对数级数： 5.三个重要结论 6．常用收敛快慢 正整数 由慢到快 连续型由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 1. 11,lim 1,lim 0) 1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞ ?≠?? =??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时） 2. 1,1,1,n n l l l n l μ??=? 收发（当为某次方时）单独讨论 3. ① 代数式 1 1 1 1 n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞ ====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散 ② 极限式 lim n n n u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞ =∑都是正项级数。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞ ∞ ∞ ∞ ====∞∞ ==∞ ∞ ∞ ∞ =====→→ 18 电功率 第1节电能电功 一、电能 1、我们使用的电能是有其他形式的能转化而来的，电源是提供电能的装置。 2、用电器时消耗电能的装置，用电器消耗电能的过程，就是把电能转化为其他形式的能的过程，消耗了多少电能就得到了多少其他形式的能。 3、电能的单位 （1）国际单位：焦耳，简称焦，用符号J表示。 （2）常用单位：千瓦时，用符号kW·h表示，俗称度。 （3）换算关系：1kW·h=1×103W×3600s=3.6×106J。 二、电能的计量 1、电能的计量工具——电能表，也叫电度表，是计量用电器在一段时间内消耗电能多少的仪表。 2、电能表的读数 电能表计数器上显示着数字，计数器前后两次示数之差就是这段时间内用电的度数（消耗电能的多少），单位是kW·h（度）。注意电能表计数器中最后一位数字是小数（十分位）。 3、电能表上所标参数的含义 （1）“220V”——这个电能表应该在220V的电路中使用。 （2）“10（20）A”——这个电能表的标定电流为10A，额定最大电流为20A。电能表工作时的电流不能超过额定最大电流。 （3）“50Hz”——这个电能表在频率为50Hz的交流电路中使用。 （4）“3000revs/（kW·h）”——接在这个电能表上的用电器，每消耗1kW·h的电能，电能表上的转盘转过3000转。 4、1kW·h的作用：洗衣机工作约2.7h；电脑工作约5h；电车行驶0.85km；灌溉农田330m2。 三、电功 1、电功概念 （1）定义：当电能转化为其他形式的能时，我们说电流做了功，简称电功。电功用“W”表示。 （2）实质：电流做功的过程就是电能转化为其他形式能的过程。所以说用电器消耗了多少电能和电流做了多少功，两种说法是一样的。电流做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能，就消耗了多少电能。 2、电流做功多少的影响因素：跟电压的高低、电流的大小、通电时间的长短都有关。 第十二章简单机械知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN O 第十二章 简单机械 一、杠杆 （1）定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆。 说明：①杠杆可直可曲，形状任意。 ②有些情况下，可将杠杆实际转一下，来帮助确定支点。如：鱼杆、铁锹。 （2）五要素──组成杠杆示意图。 ①支点：杠杆绕着转动的点。用字母O 表示。 ②动力：使杠杆转动的力。用字母F 1表示。 ③阻力：阻碍杠杆转动的力。用字母F 2表示。 说明：动力、阻力都是杠杆的受力，所以作用点在杠杆上。 动力、阻力的方向不一定相反，但它们使杠杆的转动的方向相反。 ④动力臂：从支点到动力作用线的距离。用字母L 1表示。 ⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距离。用字母L 2表示。 （3）画力臂方法：一找支点、二画线、三连距离、四标签。 ⑴找支点O ；⑵画力的作用线（虚线）； ⑶画力臂（虚线，过支点垂直力的作用线作垂线）； ⑷标力臂（大括号）。 （4）研究杠杆的平衡条件： 杠杆平衡是指：杠杆静止或匀速转动。 实验前：应调节杠杆两端的螺母，使杠杆在水平位置平衡。 这样做的目的是：可以方便的从杠杆上量出力臂。 结论：杠杆的平衡条件（或杠杆原理）是： 动力×动力臂＝阻力×阻力臂。写成公式F 1L 1=F 2L 2也可写成：F 1/F 2=L 2/L 1。 解题指导：分析解决有关杠杆平衡条件问题，必须要画出杠杆示意图；弄清受 力与方向和力臂大小；然后根据具体的情况具体分析，确定如何使用平衡条件解决有关问题。（如：杠杆转动时施加的动力如何变化，沿什么方向施力最小等。） 解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小，必须使动力臂最大，要使动力臂最大需要做到：①在杠杆上找一点，使这点到支点的距离最远；②动力方向应该是过该点且和该连线垂直的方向。 【习题】1.下列测量工具没有利用杠杆原理的是（ ） A.弹簧测力计 B.杆秤 C. 台秤 D. 托盘天平 2.如图是小龙探究“杠杆平衡条件”的实验装置，用弹簧测力计在C 处竖直向上拉，杠杆保持平衡。若弹簧测力计逐渐向右倾斜，仍然使杠杆保持平衡，拉力F 的变化情况是（ ） A . 变小 B . 变大 C. 不变 D.无法确定 3.（1）人要顺时针翻转木箱，请画出用力最小时力臂的大小。 （2）如图人曲臂将重物端起, 前臂可以看作一个杠杆。在示意图上画出F 1和F 2的力臂。 4. 如图所示，要使杠杆处于平衡状态，在A 点分别作用的四个力中，最小的是（ ） A ．F 1 B ．F 2 C ．F 3 D ．F 4 5. 如图所示是某同学做俯卧撑时的示意图，他的质量为56kg 。身 体可视为杠杆，O 点为支点．A 点为重心。每次俯卧撑他肩膀向上撑起40cm ．（ g 10N/ kg ） (1) 该同学所受重力是多少 (2) 在图中画出该同学所受重力的示意图，并画出重力的力臂L 1 （3）若0B=，BC=，求地面对双手支持力的大小． （4）若他一分钟可完成30个俯卧撑，其功率多大 高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程 第十二章 数项级数 1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2．试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2．讨论下列级数的敛散性： (1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3．证明定理10.2. 4．设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =， 其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛，证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑ 电功率知识梳理： 1.电能(1)用电器消耗电能的过程就是电能转化为其他形式的能的过程；有多少电能转化为其他形式的能，就消耗了多少电能。 (2)电能的单位：国际单位是焦耳(J)；常用单位：度(kWh)；1 kWh=3．6×106J。 (3)测量电能的仪表：电能表。 2.电功率 (1)定义：用电器在1秒内消耗的电能． (2)物理意义：表示用电器消耗电能快慢的物理量。灯泡的亮度取决于灯泡的实际功率的大小。 (3)计算公式：P=UI=W/t(适用于所有电路) 对于纯电阻电路可推导出：P=I2R=U2/R ①串联电路中常用公式：P=I2R P1：P2：P3：…P n=R1：R2：R3：…：R n ②并联电路中常用公式：P=U2/R P1：P2=R2：R1 ③无论用电器串联或并联，计算总功率常用公式P=P1+P2+…P n (4)单位：国际单位瓦特(W)；常用单位：千瓦(kW) (5)额定功率和实际功率 ①额定电压：用电器正常工作时的电压. 额定功率：用电器在额定电压下的功率。P额==U额I额=U额2/R ②当U实=U额时，P实=P额(灯正常发光) 当U实 第 1 页 共 2 页 第十二章 无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数：ΛΛ+++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑=Λ3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. ? 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛, 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( Λ=≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. ? 2、 交错级数： 莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1Λ=≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。 条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。 其他级数：； 二、 函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、 和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导; 和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项 积分.( R 不变,收敛域可能变化). 电功率知识点总结经典 一、电功率选择题 1．具有防雾除露、化霜功能的汽车智能后视镜能保障行车安全，车主可通过旋钮开关实现功能切换。图是模拟加热原理图，其中测试电源的电压为10V，四段电热丝电阻均为10Ω，防雾、除露、化霜所需加热功率依次增大。下列说法正确的是（） A. 开关旋至“1”档，开启化霜功能 B. 开启防雾功能，电路总电阻为5Ω C. 化霜与防雾电路的总功率之差为15W D. 从防雾到除露，电路总电流变化1A 【答案】 C 【解析】【解答】由图知道，当开关旋至“1”档时，两条电阻丝串联接入电路，此时电路总电阻最大为2R=2×10Ω=20Ω，由知道，此时电功率最小，开启防雾功能，AB不符合 题意；此时电路中的电流是： =0.5A；此时电路的总功率是：P1=UI1=10V×0.5A=5W；当开关旋至“2”档时，一条电阻丝单独接入电路，电阻较大（大于并联时的总电阻），电路消耗的功率较小，此时为除露功能；此时电路中的电流是： =1A；从防雾到除露，电路总电流变化量是：I2-I1=1A-0.5A=0.5A，D不符合题意；当开关旋至“3”档时，两条电阻丝并联接入电路，总电阻最小，总功率最大，此时为 化霜功能，电路的总电阻是：，电路的总电流是： =2A；此时总功率是：P3=UI3=10V×2A=20W，化霜与防雾电路的总功率之差是：P3-P1=20W-5W=15W，C符合题意。 故答案为：C 【分析】结合电路图，理清开关处于不同状态时元件的连接方式，由知道对应的状态，再逐项进行计算即可. 2．如图所示的电路，电源电压为3V且保持不变，定值电阻R1=1Ω，滑动变阻器R2阻值范围为0～4Ω．闭合开关S，在滑片从左向右移动的过程中，下列说法正确的是（） 第十二章简单机械知 识点总结 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 O 第十二章 简单机械 一、杠杆 （1）定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆。 说明：①杠杆可直可曲，形状任意。 ②有些情况下，可将杠杆实际转一下，来帮助确定支点。如：鱼杆、铁锹。 （2）五要素──组成杠杆示意图。 ①支点：杠杆绕着转动的点。用字母O 表示。 ②动力：使杠杆转动的力。用字母F 1表示。 ③阻力：阻碍杠杆转动的力。用字母F 2表示。 说明：动力、阻力都是杠杆的受力，所以作用点在杠杆上。 动力、阻力的方向不一定相反，但它们使杠杆的转动的方向相反。 ④动力臂：从支点到动力作用线的距离。用字母L 1表示。 ⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距离。用字母L 2表示。 （3）画力臂方法：一找支点、二画线、三连距离、四标签。 ⑴找支点O ；⑵画力的作用线（虚线）； ⑶画力臂（虚线，过支点垂直力的作用线作垂线）； ⑷标力臂（大括号）。 （4）研究杠杆的平衡条件： 杠杆平衡是指：杠杆静止或匀速转动。 实验前：应调节杠杆两端的螺母，使杠杆在水平位置平衡。 这样做的目的是：可以方便的从杠杆上量出力臂。 结论：杠杆的平衡条件（或杠杆原理）是： 动力×动力臂＝阻力×阻力臂。写成公式F 1L 1=F 2L 2也可写成：F 1/F 2=L 2/L 1。 解题指导：分析解决有关杠杆平衡条件问题，必须要画出杠杆示意图；弄清受 力与方向和力臂大小；然后根据具体的情况具体分析，确定如何使用平衡条件解决有关问题。（如：杠杆转动时施加的动力如何变化，沿什么方向施力最小等。） 解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小，必须使动力臂最大，要使动力臂最大需要做到：①在杠杆上找一点，使这点到支点的距离最远；②动力方向应该是过该点且和该连线垂直的方向。 【习题】1.下列测量工具没有利用杠杆原理的是（ ） A.弹簧测力计 B.杆秤 C. 台秤 D. 托盘天平 2.如图是小龙探究“杠杆平衡条件”的实验装置，用弹簧测力计在C 处竖直向上拉，杠杆保持平衡。若弹簧测力计逐渐向右倾斜，仍然使杠杆保持平衡，拉力F 的变化情况是（ ） A . 变小 B . 变大 C. 不变 D.无法确定 3.（1）人要顺时针翻转木箱，请画出用力最小时力臂的大小。 （2）如图人曲臂将重物端起, 前臂可以看作一个杠杆。在示意图上画出F 1和F 2的力臂。 4. 如图所示，要使杠杆处于平衡状态，在A 点分别作用的四个力中，最小的是（ ） A ．F 1 B ．F 2 C ．F 3 D ．F 4 5. 如图所示是某同学做俯卧撑时的示意图，他的质量为56kg 。身体可视为杠杆，O 点为支点．A 点为重心。每次俯卧撑他肩膀向上撑起40cm ．（ g 10N/ kg ） (1) 该同学所受重力是多少？ (2) 在图中画出该同学所受重力的示意图，并画出重力的力臂L 1 级数知识点总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 第十二章无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑ = 3211 正项级数： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ? 两个收敛级数的和差仍收敛，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数 去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有 界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞=1 n n u 收敛；若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞ =1n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散. ? ，当：1初中物理第十二章知识点总结
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