一元二次方程根与系数的关系典型例题
一元二次方程根与系数的关系 【同步教育信息】 一. 本周教学容： 一元二次方程的根与系数的关系 ［学习目标］ 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）； 2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。 3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力； 4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。 5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。 二. 重点、难点： 1. 教学重点： 一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。 2. 教学难点： 正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。 【典型例题】 例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。 分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。 解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得： 解得： （方法二）由题意： 解得： 根据韦达定理设另一根为x，则
点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。 例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值： （1）；（2）；（3） 分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。 解：由已知，根据韦达定理 （1） （2） （3） 点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。 例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .
一元二次方程根与系数之间的关系
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.
一元二次方程的根与系数的关系教学设计
一元二次方程的根与系数的关系 一、目标认知 学习目标 1．掌握一元二次方程的根与系数的关系； 2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值； 3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根； 4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程． 重点 对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用． 难点 一元二次方程的根与系数的关系的运用． 二、知识要点梳理 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么. 注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0. 三、规律方法指导 一元二次方程根与系数的关系的用法： ①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根； ②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数； ③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值； ④已知方程的两根，求这个一元二次方程； ⑤已知两个数的和与积，求这两数； ⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值； ⑦讨论方程根的性质 四、经典例题透析 1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值. 1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值. 思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值. 解：法一：把x=2代入原方程，得 22-6×2+m2-2m+5=0 即m2-2m-3=0 解得m1=3，m2=-1 当m1=3，m2=-1时，原方程都化为 x2-6x+8=0 ∴x1=2，x2=4 ∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1. 法二：设方程的另一个根为x.
根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系习题 主编：闫老师 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1） 当0>?时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=?时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0
在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果 方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ， =k 。 解： 变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？ 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2 11 1x x + （4）221)(x x -
一元二次方程的根与系数的关系教学案(一)
一元二次方程的根与系数的关系教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． （二）能力训练点： 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． （三）德育渗透点： 1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系． 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系． 三、教学步骤 （一）明确目标 一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础． 本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系． 设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
初三数学根与系数关系练习题
一元二次方程根的判别式与根与系数的关作业题 一、选择 1、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程 （ ） A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根 C 、没有实根 D 、有实根 2、若方程02=++n mx x 中有一个根为零，另一个根非零，则n m ,的值为 ( ) （A ） 0,0==n m （B ） 0,0≠=n m （C ） 0,0=≠n m （D ） 0≠mn 3、若a x x ++3142为完全平方式，则a 的值为 （ ） A 61 B 121 C 361 D 144 1 4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为 （ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±1 5、两根均为负数的一元二次方程是 ( ) A.4x 2+21x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=0 6、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =??? ??2 2，则方程的两根 之比为 （ ）
A 、0∶1 B 、1∶1 C 、1∶2 D 、2∶3 7、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程：03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为 （ ） A 、－3 B 、5 C 、5或－3 D 、－5或3 二、填空： 8、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中， 无实根的方程是 。 9、关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。 10、如果关于x 的一元二次方程042=+-kx x 有两个相等的负根，则_____=k ； 11、以1313－和+的根为方程是______________。 12、若两数和为3，积为－4，则这两个数分别为_____________。 三、解答 13、1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+
最新根与系数的关系练习题87793资料
一元二次方程的根与系数的关系 姓名____________________ 号__________________ 01基fli训练 知识点1利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值 1. 若X I、X2是一元二次方程X2+10X+16的两个根，则X1+X2的值是（） A.-10 B.10 C.-16 D.16 2. 已知X1，X2是一元二次方程X2-4X+仁0的两个实数根，则X1X2等于（） A.-4 B.-1 C.1 D.4 3.若X1,X2是一兀二次方程2X .-7X+4=0的两根，则X什X2与X1 ? X2的值分别是 （） 7 c r 7 c77 c A.--,-2 B.-, 2C— ., 2 D. —, -2 2222 4.已知一?兀二次方程的两根分别是2和-3,则这个?兀二次方程是（） 2 2 2 2 A.x -6x+8=0 B.x +2x?3=0 C.x -x-6=0 D.x +x-6=0 5. 已知X1、X2是方程X2-3X-2=0的两个实根，则（X1-2）（X2-2）= ___ 2 1 1 6. 若一元二次方程X -X-1=0的两根分别为X1、X2，贝V = 知识点2利用根与系数的关系求方程中待定字母的值 7. 若关于X的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为X1=-2 , X2=4 ,则b+c的值是（） A.-10 B.10 C.-6 D.-1 8. 已知关于X的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1,那么它的另一个实数根是（） A.-2 B.0 C.1 D.2 2 ______________ 9. 已知关于X的方程X +X+n=0有两个实数根-2, m.求m, n的值. 10. 不解方程，求下列方程的两根和与两根积： 2 2 2
根与系数的关系练习题 (1)
一元二次方程根与系数的关系练习题 一．选择题（共14小题） 1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（） A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0 2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 3．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12 4．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3 5．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1 6．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2 7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（） A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2 8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（） A．365 B．245 C．210 D．175 9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0 的两个实数根，则m的值为（） A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8 10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
根与系数关系
一元二次方程根与系数 对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么 则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分 析，希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴解得； ∵方程（2）没有实数根，∴ 解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。 1
二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为，∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根． 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得当时，原方程均可化为：，解得： ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。 解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得： ， 2
一元二次方程根与系数之间的关系
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案 教学目标： 1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。 2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。 3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。 教学重点： 一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。 教学难点： 一元二次方程的根与系数的关系的推导。 数学思考与问题解决： 通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。 一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查） 【师生活动】： 教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。 学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。 【设计意图】： 本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。 【学案内容】： 1、方程：X 2+3X –4=0 （1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。 （2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。 （3）则X 1+X 2=_______， 方程中 （）二次项系数 一次项系数=- (4) X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数 常数项=
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案） 一．选择题（共22小题） 1．（2014?宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（） A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 2．（2014?昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1?x2等于（） A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4 3．（2014?玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（） A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在 4．（2014?南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（） A．10 B．9C．7D．5 5．（2014?贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1 6．（2014?烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（） A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．（2014?攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）
A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1 8．（2014?威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2 9．（2014?长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2B．1C．﹣1 D．0 10．（2014?黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 11．（2014?江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（） A．﹣6 B．6C．3D．﹣3 12．（2014?峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（） A．19 B．18 C．15 D．13 13．（2014?陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（） A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1 14．（2013?湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）A．﹣1 B．9C．23 D．27
根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系 教学目的 1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用． 2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力． 教学重点、难点 重点：韦达定理的推导和初步运用． 难点：定理的应用． 教学过程 一、复习提问 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？ 二、新课讲解 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x 1，x2，那么 例1已知方程5x2＋k x－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值． 讲解例1
例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和． 三、学生练习 1．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？ (1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5； (3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0． 2．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？ 3．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k 为何值？ 4、已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数． 提示：这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数． 四、课堂小结 1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理． 2．要掌握定理的四个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．三是已知方程求两根的各种代数式的值；四是已知两根的代数式的值，构造新方程； 五、布置作业： 1、本节不留书面作业。 2、探究性作业：课本55页探索。
根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系习题 朱发栋 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1） 当0>?时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=?时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0
变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？ 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2 11 1x x + （4）221)(x x - 变式训练： 1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值： （1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于2。
根与系数关系知识讲解及练习
0b0a，如果方程有两个实数韦达定理：对于一元二次方，10?? 1）定理成立的条件说明：（b??x?x的负号与b）注意公式重的符号的区别（221a根系关系的几大用处 ①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；? 例如：已知方程2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ x） -3 D. 3, 2， 3，-2 B. -2, 3 C. -2 A．②求代数式的值：在不解方 程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x和x的代数式21的值，如；? ③求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.? ④求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数. （后三种为主） （1）计算代数式的值 2x,x?2x?x2007?0的两个根，试求下列各式的值：是方程若例 211122?(x?5)(x?5)|x?x|xx?．(4) ； (2) ； (1) ； (3) 212112xx21x?x??2,xx??2007解：由题意，根据根与系数的关系得：21122222?2(?2007)?4018xx?(x??x)?(x?x2)?2 (1) 212112x?x11?2221????(2) xxxx?200720072211(x?5)(x?5)?xx?5(x?x)?25??2007?5(?2)?25??1972 (3) 212211 222?4(?2007)2)(??22008x)??(xx)x?4x????|xx|(x (4) 21122211说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： x?x112222212???4xx?xx?)?(xx2)?x??xx(x?xx)(，，， 212121212211xxxx2121．222，4?|x?x|)x(x??xx?xxxx22121112221112333等等．韦达定理体现了整体思想．)x?x)?3xxx?x(?(x?x21121212（2）构造新方程 为根的一元二次方程是。理论：以两个数 x+y=5 解方程组例??????????? xy=6??? 是方程z-5z+6＝0 ，解：显然，xy=3 =2,z由方程①解得 z21=3 =2,y∴原方程组的2的两根① 解为 x11=2 =3,y???????????????? x22显然，此法比代入法要简单得多。）定性判断字母系数的取值范围（3一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。例 为的两根，则c=2 a、bb解：设此三角形的三边长分别为a、、c，且由题意知2-4 k≤0，k≥4或×△＝k-4×22≥为所求。∴
一元二次方程根与系数关系(附答案)解析
一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为． 评卷人得分
三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值． 14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．
根与系数之间关系应用一
2013根与系数关系应用 一．填空题（共30小题） 1．（2012?泸州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则x12+x22+4x1x2的值为_________．2．（2012?鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根，且，则a= _________． 3．（2011?苏州）已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于_________． 4．（2011?德州）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=_________． 5．（2010?雅安）已知一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根为x1、x2，且x1x2（x1+x2）=3，则m的值是 _________． 6．（2010?芜湖）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=_________． 7．（2010?成都）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为_________． 8．（2009?天津）若分式的值为0，则x的值等于_________． 9．（2008?鄂州）已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根，则α3+14β+50=_________． 10．（2007?芜湖）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_________．11．（2007?宿迁）设x1，x2是方程x（x﹣1）+3（x﹣1）=0的两根，则|x1﹣x2|=_________．12．（2006?株洲）已知a、b是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是_________．13．（2006?日照）已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为_________．14．（2006?南充）如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个根，那么α2+2α﹣β的值是_________． 15．（2001?甘肃）如果二次三项式3x2﹣4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是_________． 16．（2001?东城区）若2x2﹣5x+﹣5=0，则2x2﹣5x﹣1的值为_________． 17．（2000?辽宁）已知α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则α2+αβ+2α的值为_________． 18．（1999?温州）若m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0的两实根，则代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值等于_________．
