中等专业学校2023-2024-1教案
编号：
备课组别数学组
课程
名称
数学
所在
年级
二年级
主备
教师
授课教师授课
系部
授课
班级
授课
日期
课题 4.3.2 直线与平面垂直
教学目标1.知道直线与平面垂直的定义、判定与性质定理
2.能根据定义或判定定理来证明直线与平面垂直
重点直线与平面垂直的判定定理
难点直线与平面垂直的性质定理
教法数形结合，实物演示，讲练结合
教学
设备
多媒体
教学
环节
教学活动内容及组织过程个案补充
教学内容一、情境导入
某型号无人机如图所示，其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴 AB 均垂直，垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为α，显然，无人机的每根螺旋桨都在平面α内.试问，平面α与旋轴AB之间有怎样的位置关系？
二、探索新知
1.直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线，这个平面称为这条直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足.直线l与平面α垂直记作l ⊥α.
教学内容2.直线与平面垂直的判定定理
直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.
如图所示，若m、n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥m，l⊥n，则l⊥α.
例4 四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体ABCD，如图所示.求证：BD⊥AC.
证明设BD的中点为O，连接AO、CO.
因为正四面体ABCD的四个面都是正三角形，所以AO⊥BD，CO ⊥BD.
又AO∩CO=O，且AO、CO⊆平面AOC，故BD⊥平面AOC.
根据直线与平面垂直的定义，由AC⊆平面AOC，可知BD⊥AC.
例 5 证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知: m∥n，m⊥α，如图所示.
求证: n⊥α.
教学内容证明在平面α内任取两条相交直线c和d，因为m ⊥α,c⊆α，d⊆α，所以m⊥c，m⊥d. 又m∥n，故n ⊥c，
n⊥d，根据直线与平面垂直的判定定理，由c与d 相交，n⊥α.
3.直线与平面垂直的性质定理
直线与平面垂直的性质定理如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
例6 如图所示，已知一条直线l和平面α平行，过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线AA'、BB'，垂足分别为A'、B'. 求证: AA'=BB'.
证明因为AA'⊥α，BB'⊥α，所以AA'∥BB'.
设经过直线AA'、BB'的平面为β，则β∩α=A'B'.
由l∥α，可知l∥A'B' ，因此四边形AA'B'B为平行四边形，所以AA'=BB'.
巩固练习
1.判断下列命题的真假.
(1)如果直线m垂直于平面α内的无数条直线，那么m⊥α；
(2)如果l⊥m，且m⊆α，n⊆α，那么l⊥α；
(3)如果l⊥α，m⊥α，那么l⊥m.
教学内容
2.已知如图，PO⊥α，垂直为O，P A∩α=A，m⊆α，且m⊥OA.求证: m⊥P A.
3.如果l⊥α，m//α，求证: l⊥m.
4.己知线段AB、CD位于平面α的同侧，AB⊥α，DC⊥α，垂足分别为B、C，AB=DC.求证: AD=BC.
5.某中职学校建设新校区时，修建了升旗台，用于开展爱国主义教育活动.技术人员在安装旗杆时，要保证旗杆与地面垂直.请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地面垂直.
课堂小结
板
书
设
计
教后札记
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案 Teaching plan of high school mathematics compulsory course 2 "vertical judgment of straight line and plane"
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案 前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角 度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的 作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准 的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和 计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文档下载后内容可 按需编辑修改及打印。 一、教学内容分析 《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.本节内容以“垂直”的判定为主线展开， “垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。 其中核心内容为——直线与平面垂直的定义和判定定理。本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学习“平面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定—
—性质为主线.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务. 二、教学目标的确定 1.课程目标 （1）对空间几何体整体观察，认识空间图形; （2）以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系; （3）能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定; （4）了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。 2.单元教学目标 本单元将在前一单元整体观察、认识几何体的基础上， 以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，能进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述集合对象的位置关系，初步体验公理化思想，养成逻
直线与平面垂直的判定（一） 教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2 课题：2.3.1直线与平面垂直的判定（一） 一、教学目标 1.知识与技能：借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。 2.过程与方法：通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。 3.情感态度与价值观：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，从 问题解决过程中认识事物发展，变化规律，多角度分析，思考问题，培养学生的创新精神。 二、教学重点、难点 1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。 三、课前准备 1.教师准备：教学课件 2.学生自备： 三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板 四、教学过程设计 1.直线与平面垂直定义的建构 （1）创设情境 ①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？ ②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？ ③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
（2）观察归纳 ①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ ②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。 ③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。 定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α. 直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。 用符号语言表示为： （3）辨析（完成下列练习）： ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。 ②若a ⊥α,b ?α，则a ⊥b 。 在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。 在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB 所在直线 与过点B 的直线都垂直。再展示动画2使学生明确旗杆AB 所在直线 与地面内任意一条不过点B 的直线B 1C 1也垂直，进而引导学生归纳出 直线与平面垂直的定义。 在辨析问题中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题： 2. 直线与平面垂直的判定定理的探究 （1）设置问题情境 提出问题：学校广场上树了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好办法？ A B C B 1 C 1 α α⊥?? ?? ⊥l m l m 内任一直线是平面b a b a ⊥?? ?? ?⊥αα
中等专业学校2023-2024-1教案 编号： 备课组别数学组 课程 名称 数学 所在 年级 二年级 主备 教师 授课教师授课 系部 授课 班级 授课 日期 课题 4.3.2 直线与平面垂直 教学目标1.知道直线与平面垂直的定义、判定与性质定理 2.能根据定义或判定定理来证明直线与平面垂直 重点直线与平面垂直的判定定理 难点直线与平面垂直的性质定理 教法数形结合，实物演示，讲练结合 教学 设备 多媒体 教学 环节 教学活动内容及组织过程个案补充 教学内容一、情境导入 某型号无人机如图所示，其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴 AB 均垂直，垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为α，显然，无人机的每根螺旋桨都在平面α内.试问，平面α与旋轴AB之间有怎样的位置关系？ 二、探索新知 1.直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线，这个平面称为这条直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足.直线l与平面α垂直记作l ⊥α.
教学内容2.直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直. 如图所示，若m、n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥m，l⊥n，则l⊥α. 例4 四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体ABCD，如图所示.求证：BD⊥AC. 证明设BD的中点为O，连接AO、CO. 因为正四面体ABCD的四个面都是正三角形，所以AO⊥BD，CO ⊥BD. 又AO∩CO=O，且AO、CO⊆平面AOC，故BD⊥平面AOC. 根据直线与平面垂直的定义，由AC⊆平面AOC，可知BD⊥AC. 例 5 证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 已知: m∥n，m⊥α，如图所示. 求证: n⊥α.
一、教材内容解析 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性．对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力．同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”． 二、教学目标解析 知识与技能：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理． 过程与方法：在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论． 情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，培养学生勤于思考、勤于动手的学习品质．教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理． 教学难点：直线与平面垂直的判定定理． 目标解析： 1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义． 2.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理．
3.能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直． 4.能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面． 三、教学问题诊断分析 学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力． 在直线与平面垂直的判定定理中，学生对为什么要且只要两条相交直线的理解有一定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍．同时，由于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进一步加强，在直线与平面垂直判定定理的运用中，不知如何选择已知平面内的两条相交直线证直线与平面线垂直，或选择与直线垂直的平面证明直线与直线垂直，导致证明过程中无从着手或发生错误． 教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用． 四、教学工具准备 为了有效实现教学目标，条件许可准备投影仪，多媒体课件，三角板，教鞭（表直线）．学生自备学具：三角形纸片、三角板、笔（表直线）、课本（表平面）． 五、教学过程设计 （一）观察归纳直线与平面垂直的定义 1直观感知 问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？
【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 【教学目标】 知识目标： （1）了解空间两条直线垂直的概念； （2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质． 能力目标： 培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】 直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质． 【教学难点】 判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直． 【教学设计】 在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条. 例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可. 在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解． 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣． B AC内找到一条直线AC与 例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面 1 平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
图9-43
*创设情境兴趣导入 【问题】 前面我们学过直线与平面垂直的概 念.根据定义判断直线与平面垂直，需要 判定直线与平面内的任意一条直线都垂 图9−44 直，这是比较困难的．那么，如何判定 直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的． 如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直．
4.3.2 直线与平面垂直（教案）（2课时）-【中职专用】高 二数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一上册）教学目标： 1.了解直线与平面垂直的定义和性质 2.掌握垂直直线与平面的判定方法 3.应用垂直直线与平面的性质解决一些相关问题 重点难点： 1.理解垂直直线与平面的概念及其性质 2.掌握垂直直线与平面的判定方法 教学内容： 1.垂直直线与平面的定义与性质 2.判定垂直直线与平面的方法 3.应用垂直直线与平面的性质解决相关问题 教学方法： 1.课前通过讲解或者课件演示引导学生启发与猜测 2.通过例题和思考来体验和理解垂直直线与平面的性质和判定方法 3.黑板板书，讲授相关知识点，并针对例题进行详细讲解 4.课后作业巩固所学知识 教学过程： 1.引入
（1）引导学生思考园周长与圆直径的关系，以及平移、翻转等几何变换的规律，从而引出“垂直”的概念 （2）利用PPT讲解“垂直”的定义：直线与平面垂直，当且仅当直线上的任意一点到平面的距离等于该直线在平面中的垂足到该平面的距离 （3）让学生通过图像示范理解垂线的角度以及对于不同角度的垂直关系的判断，如90度是最简单的垂直角度 2.讲授垂直直线与平面的性质 （1）利用PPT进行讲解，并通过示意图进行演示 （2）提供一些经典的垂直性质，供学生参考和记忆，如两个垂线的交点在平面上是平面的中心，垂直于平面的直线在平面上的投影是平面中心 3.判定垂直直线与平面的方法 （1）提供几种常见的方法，如从垂足、平行线与平面法向量等角度进行判定 （2）结合习题进行演示，让学生运用所学知识，掌握判定方法 4.应用垂直直线与平面的性质解决相关问题 （1）提供一些实际问题，如通过建模发现彼此垂直的直线和平面在机械设计、桥梁建设等方面的应用 （2）通过讨论与分析案例，引导学生运用所学知识解决实际问题 5.总结 （1）通过教师简短演讲，让学生将所学的知识点串在一起 （2）巩固学生所掌握的知识点，并总结学习心态以及学习方法 6.作业
直线与平面垂直的判定教案 一、教学目标 1. 知识目标：掌握直线与平面垂直的定义，能够判定直线与平面是否垂直。 2. 技能目标：能够应用垂直的概念解决实际问题。 3. 情感目标：培养学生严谨的思维习惯，提高学生对几何学科的兴趣和热爱。 二、教学重难点 1. 教学重点：掌握直线与平面垂直的定义和判定方法。 2. 教学难点：运用垂直概念解决实际问题。 三、教学过程 1. 导入新知识（5分钟） 通过引导问题，让学生回顾了解几何中的垂线和垂足，并引入本节课的新知识——直线与平面垂直。 2. 概念讲解（15分钟） （1）定义：“如果一条直线在平面内，且这条直线与这个平面上所有的点都相交成90度角，则称这条直线与这个平面相互垂直。”（2）示例：“AB是一个平面内的一条不在该平面内的直线，CD是该
平面内任意一点到AB上的垂线，则CD与AB垂直。” 3. 判定方法（20分钟） （1）方法一：判断直线是否在平面内，且直线上有一点到平面上的垂线。 （2）方法二：判断直线是否与平面内两条相交的直线垂直。 （3）示例：“如何判定一条直线是否与一个平面相互垂直？” 4. 实例演练（20分钟） 通过多组实例让学生掌握如何应用垂直概念解决实际问题。 5. 拓展应用（15分钟） 通过课堂小组讨论，让学生探究如何利用垂足、垂线等概念解决实际问题。 6. 总结归纳（5分钟） 回顾本节课所学知识点，总结归纳各种情况下的判定方法。 四、教学方式 1. 讲授法 2. 实践操作法 3. 课堂小组讨论法
五、教学评价 1. 课堂表现评价：包括对问题的理解和回答、对概念和方法的掌握程 度等。 2. 作业评价：布置相关作业，检查学生对知识点的掌握情况。 3. 考试评价：通过测试、考试等方式，检查学生对知识点的掌握情况。 六、教学后记 本节课主要让学生掌握直线与平面垂直的定义和判定方法，并能够应 用垂直概念解决实际问题。通过多组实例演练和课堂小组讨论，让学 生更好地理解和掌握了相关知识点。在教学评价方面，可以通过多种 方式进行评价，以全面检查学生对知识点的掌握情况。
直线与平面垂直的性质 学习目标：探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力; 掌握 性质定理的应用，提高逻辑推理能力。 重点、难点：直线与平面垂直的性质定理及其应用 知识储备（判断正误） （1）已知平面a,点A 和直线m 在a 内，过点A 作直线m 的垂线只能作一条。（） ⑵已知直线a 在平面a 内，直线m 不在a 内，若m 丄a,贝!j m 丄a 。 （） 二. 猜想、论证 1 •注意观察下图，在长方体ABCD —AECD 中，棱AA 】、BB 】、CC 】、DD 】与平面ABCD 是 .各侧棱之间是 。 4.思考：通过上题的证明你能得出什么结论? 三、归纳直线与平面垂直的性质定理 定理：（文字语言） （图形） （符号语言） 四、直线与平面垂直的性质的应用 （一）判断下列命题的正误。 1 •平行于同一直线的两条直线互相平行（） 2•垂直于同一直线的两条直线互相平行（） 3 •平行于同一平面的两条直线互相平行（） 2•如果有两条、三条或更多直线 垂直于一个平面，则这些 直线 之间会有怎样的位置关系? 3.如图，已知直线a, b 和平面a A B 站色 如果a 丄a ,
4•垂直于同一平面的两条直线互相平行() A1个 B2个 C3个 D4个 (三) 证明 1.如图,m,斤是两条相交直线，1、,厶是与加，〃都垂直的两条直线, 且直线/与厶，厶都相交. 求证：Z1=Z2 求证：a I II 五、通过本节学习，你有什么收获？ 1直线与平面垂直的性质定理： 2反证法的证明思路：反设一归谬一结论 3数学思想方法：转化法空间问题平面化 (二) 如果直线/丄平面 66 ⑴若直线加丄则加/仏 ⑶若直线加Ila,则加丄/. 其中正确的有几个 (2)若直线zn u a,贝I"丄 m. (4)若直线加丄/,则加Ila. C B 丄0, A, B 是垂足 0,且 a Cl /3 = I, C A 丄 a, a cz a . a 丄 A B r
《8.6.2直线与平面垂直》说课稿 大家好！ 今天我说课的课题是《直线与平面垂直（第一课时）》。下面我将从以下几个方面对本课题进行阐述： 一、说教材 《直线与平面垂直》是人教A版必修二教材第8章第6.2节的课题，属于空间与图形邻域的知识。在此之前，学生们已经学习了直线与平面位置关系，直线与直线垂直的定义与判定，这为过渡到本课题的学习起到了铺垫的作用。其中，直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备。因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容。线面垂直是空间垂直关系间转化的重心，它在整个教材中起着承上启下的作用。 本课中，重点是直线与平面垂直的判定定理，难点是理解线面垂直及其相关概念、 判定定理的猜想与归纳和定理的发现，关键点是理解任意的含义，无限到有限的转化以及两条直线相交垂直的判定。 二、说学情 本节课主要学习线面垂直的定义、判定定理及其初步运用。 学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象。同时，学生已经学习了空间点、直线、平面之间的位置关系、直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构，这为学习者学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。并且，在前面学习立体几何的基本内容后，已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。 三、说目标 《数学课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．。考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生在构建线面垂直定义的基础
β α m l a α a α 1.2.3 直线与平面垂直 教学目的： 1.理解直线与平面垂直的定义； 2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用； 3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 . 教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程 教学过程： 一、复习引入： 1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有： （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点） 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α. 2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. 推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经 过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.
二、研探新知 1.观察实例,发现新知 现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。 2.实例研探,定义新知 探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢? 变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观 察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化， 尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所 在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一 条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。 定义:如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫平面α的垂线，平面α叫直线l 的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫垂足。 说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线m α，都有a⊥m. 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质. 如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内的任意一条直线垂直。 3.直线和平面垂直的画法 画直线与平面垂直时，通过把直线画成与表示表面的平行四
《直线与平面垂直的判定》 说课稿 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章2.3.1的内容，本节课主要学习线面垂直的定义、判定定理及定理的初步运用。其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！（如图）学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。 2、教学目标 根据大纲要求，考虑到学生的接受能力和课容量，确定了本次课的教学目标： A、知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。 B、过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。 C、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 3、教学重点和难点 根据《课程标准》，线面垂直判定定理的严格证明在本节课中不做要求，这样降低了难度。因而，我将本节课的教学重点确立为： 重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 由于学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高，而线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到，因此我把操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用作为本节课的难点。 二、课前准备 1.教师准备：长方体模型、多媒体课件 2. 三、教学设计 本节的教学设计由以下几个环节构成
《直线与平面垂直的判定》教学设计 一．教材分析 直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况．它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备．因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容． 本节课主要研究了直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们初步应用，在此过程中蕴含着丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务． 二．学情分析 从学生已有的认知基础来看，学生已经学习了空间中的平行关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 从学生能力来看，学生学习的困难主要有以下两个： 1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的． 所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性． 2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认． 所以，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认． 三．目标分析 教学目标：
§2.3.1直线与平面垂直的判定 一、教案目标 1、知识与技能 （1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法； （3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法 （1）通过教案活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程； （2）探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教案重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教案设计 （一）创设情景，揭示课题 1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。 （二）研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。 如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平
面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。 L p α 图2-3-1 2、老师提出问题，让学生思考： （1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？ （2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？ A B D C 图2.3-2 （3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数 学思想。 （三）实际应用,巩固深化 （1）课本P69例1教案 （2）课本P69例2教案 （四）归纳小结，课后思考 小结：采用师生对话形式，完成下列问题： ①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定
8.6.2《直线与平面垂直》教案 一、教学目标 1.理解直线与平面垂直的定义。 2.理解直线与平面垂直的判定定理。 3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。 4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。 5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。 二、教学重难点 1.教学重点 直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。 2.教学难点 直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。 黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好! 请坐！ 三、教学准备 1.《直线与平面垂直》PPT 2.每人发一张三角形纸片 四、教学过程 黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容 上课，同学们好! 请坐！ 【提问】 有同学认识它吗?（手指着日晷） （学生：认识）（学生：不认识） 可能有同学不认识，它叫日晷。 【PPT演示】日晷 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，日晷通常由晷针指到和晷盘组成（手指着部位）。如果我们把晷针看成一条直线，晷面看成一个平面,这里就体现了直线与平面的一种非常特殊的位置关系。同学们知道是什么位置关吗? （学生：垂直） 对，直线与平面重直,这就是我们今天所要学习的内容——《直线与平面垂直》 【PPT演示图片】课题《8.6.2直线与平面垂直》 【板书】8.6.2直线与平面垂直 在我们的实际生活中,有许多场景都能给我们以直线与平面重直的直观形象。同学们你能举出几个例子吗?(让学生多举几个） 如：①把老师我看成一条直线,把讲台看成一个平面； ②教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系 【PPT演示图片】 ③旗杆所在直线与地面的位置关系 ④港珠澳大桥雄伟壮观，桥墩所在直线与海面所在平面的位置关系 ⑤美丽的上海东方明珠塔，如果把塔身看成一条直线，海面看成一个平面。这些都能给我们以直线与平面重直的形象。
2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第7章第5讲直线、平面垂直的判定与性质含解析第5讲直线、平面垂直的判定与性质 ［考纲解读]掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理,并能应用它们证明有关空间图形的垂直关系的简单命题．(重点、难点） [考向预测］从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预测2021年将会以以下两种方式进行考查:①以几何体为载体考查线面垂直的判定 和性质；②根据垂直关系的性质进行转化．试题以解答题第一问直接考查，难度不大,属中档题型。 1.直线与平面垂直 判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 一条直线与一个平 面内的两条错误!相 交直线都垂直，则 该直线与此平面垂 直 错误! ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面 的两条直线错误!平 行 错误! ⇒a∥b
判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理一个平面过另一 个平面的错误!一 条垂线,则这两个 平面垂直 错误! ⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直,则 一个平面内垂直 于错误!交线的直 线与另一个平面 垂直 错误! ⇒l⊥α （1)定义:一条斜线和它在平面上的错误!射影所成的错误!锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． （2)范围：错误!错误!. 4．二面角 （1）定义：从一条直线出发的错误!两个半平面所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作错误!垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2）范围：错误![0°，180°］． 5．必记结论 （1）若两条平行线中一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于
第五节直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言图形语言符号语言 判定定理一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直，则该直线与此 平面垂直 ⎭⎪ ⎬ ⎪⎫ a，b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b ⇒l⊥α 性质定理垂直于同一个平面的两条直线 平行⎭⎪ ⎬ ⎪⎫ a⊥α b⊥α ⇒a∥b 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直⎭⎪ ⎬ ⎪⎫ l⊂β l⊥α ⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面 内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直 ⎭⎪ ⎬ ⎪⎫ α⊥β l⊂β α∩β＝a l⊥a ⇒l ⊥α (1)线面角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这
条直线和这个平面所成的角，当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是直角． (2)二面角 以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． [小题体验] 1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β( ) A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 解析：选A ∵l⊥β，l⊂α， ∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确． 2．(2019·嘉兴质检)已知两个平面垂直，给出下列命题： ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面． 其中错误命题的序号是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③