中等专业学校2023-2024-1教案
编号：
备课组别数学组
课程
名称
数学
所在
年级
二年级
主备
教师
授课教师授课
系部
授课
班级
授课
日期
课题 4.4.2 二面角
教学目标1.知道二面角及其平面角的定义
2.能解决求二面角大小的简单问题
重点二面角的概念及
难点二面角的平面角的求法
教法数形结合讲练结合
教学
设备
多媒体
教学
环节
教学活动内容及组织过程个案补充
教学内容一、情境导入
打开笔记本计算机时,显示屏的开合程度不同,键盘与屏幕所在平面的相对位置就不同,如图所示.怎样来描述这种不同呢？
二、探索新知
1.基本概念
半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.
教学内容二面角的命名：当二面角的棱为l，两个面分别为α、β时，二面角记为α-l-β.图(4)所示的二面角也可记为A-BD-C.
二面角的平面角：如图所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，分别在两个面内作垂直于校的射线OA、OB，射线OA、OB所成的最小正角称为这个二面角的平面角.
规定,当二面角的两个半平面重合时,二面角为零角；当二面角的两个半平面构成一个面时,二面角为平角.于是,二面角的取值范围是[0,π].当二面角的平面角为直角时,称为直二面角.
例3 已知二面角α-l-β是锐角，其面α内一点A到棱l 的距离为2，到面的距离为l，求这个二面角的大小.
解如图所示，过点A作AB⊥l，垂足为B；再作AC⊥β，垂足为C,连接. 由题意可知AB=2，AC=1.
因为AC⊥β，l⊆β，所以AC⊥l ,又因为AB⊥l,AB交AC 于点A，所以l⊥平面ABC.
又因为BC⊆平面ABC，所以l⊥BC，从而∠ABC是二面角α-l-β的一个平面角.
因为AB=2，AC=1，ΔACB是直角三角形，所以
6
ABC
π
∠=.
因此，二面角α-l-β的大小是
6
π
.
教学内容例4 求证:如果一个平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l，O为垂足且与两半平面的交
线分别为OA、OB，如图所示.
那么∠AOB是二面角α-l-β的
平面角.
证明因为γ∩α=OA，γ∩α=OB，
所以OA⊆γ，OB⊆γ.
又因为l⊥γ，所以l⊥OA，l⊥OB. 因此，∠AOB是二面角α-l-β的一个平面角.
例4中,垂直于棱l的平面,与二面角α-l-β的交线OA、OB构成了二面角的平面角∠AOB,这又为我们提供了一种寻找二面角的平面角的方法.
在两个相交平面形成的四个二面角中,至少有一个不大于
2
π
，这个二面角称为两个相交平面所成的角.
于是，两个相交平面所成角的范围是0
2
π
⎛⎤
⎥
⎝⎦
，，这样的角有两个.
例5 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面AB1C1D与平面ABCD 所成的角的大小.
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面均是正方形,所以AD⊥A A1，AD⊥AB.
又因为A A1与AB相交，所以AD⊥平面A A1B1B 因为AB1⊆平面AA1B1B，所以AD⊥AB1，从而∠B1AB是二面角B1-AD-B的一个平面角.
高中数学《二面角的概念》教案教学设计及说课稿模板 《二面角的概念》教学设计 一、教学目标 【知识与技能】 能正确概述“二面角”、“二面角的平面角”的概念，会做二面角的平面角。 【过程与方法】 利用类比的方法推理二面角的有关概念，提升知识迁移的能力。 【情感态度与价值观】 营造和谐、轻松的学习氛围，通过学生之间，师生之间的交流、合作和评价达成共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展。 二、教学重、难点 【重点】 “二面角”和“二面角的平面角”的概念。 【难点】 “二面角的平面角”概念的形成过程。
三、教学过程 (一)创设情境，导入新课 请学生观察生活中的一些模型，多媒体展示以下一系列动画如： 1.打开书本的过程; 2.发射人造地球卫星，要根据需要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度; 3.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，须使水坝坡面与水平面成适当的角度; 引导学生说出书本的两个面、水坝面与底面，卫星轨道面与地球赤道面均是呈一定的角度关系，引出课题。 (二)师生互动，探索新知 学生阅读教材，同桌互相讨论，教师引导学生对比平面角得出二面角的概念 平面角：平面角是从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形。 二面角定义：从一条直线出发的两个半面所组成的图形，叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。(动画演示)
(2)二面角的表示 (3)二面角的画法 (PPT演示) 教师提问：一般地说，量角器只能测量“平面角”(指两条相交直线所成的角.相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角)那么，如何去度量二面角的大小呢?我们以往是如何度量某些角的?教师引导学生将空间角化为平面角. 教师总结： (1)二面角的平面角的定义 定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. “二面角的平面角”的定义三个主要特征：点在棱上、线在面内、与棱垂直(动画演示)
高中数学二面角的教案 【篇一：“二面角”教学设计】 “二面角”教学设计 一、教学内容解析 “二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的 一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也 是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一 种自然的空间角。在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算， 只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的 第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面 角的计算。 “二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在 新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对 前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完 善整个关系体系的作用。故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络， 建立相关关系。 二、教学目标设置 在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置 关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为 出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中 线面平行、垂直的有关性质与判定。 又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这 个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。故而，在本节我 设计的目标要求如下： （1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。 （2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。
[精品]人教版中职数学教案-第九章--立体几何[18份教案] 9.1.1立体图形及其表示方法 【教学目标】1．初步感知身边的立体图形，会用斜二测画法画出平面图形以及简单几何体的直观图．2．掌握斜二测画法的画图规则，体会由具体到抽象的认知过程． 3．培养学生作图、识图、运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】 斜二测画法画直观图．【教学难点】斜二测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系，从画平面图形的直观图入手，引导学生总结出斜二测画法的具体步骤．通过针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握用斜二测画法画出立体图形的直观图． 9.1.2 平面的基本性质 【教学目标】 1．在观察、实验与思辨的基础上掌握平面的三个基本性质及推论．2．学会用集合语言描述空间中点、线、面之间的关系．3．培养学生在文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化的能力．【教学重点】 平面的三个基本性质．【教学难点】 理解平面的三个基本性质及其推论．【教学方法】 这节课主要采用实例法．结合学生身边的实物，体会平面的无限延展
性，并引导学生观察身边的物体以及现象，引导学生总结出平面的三个基本性质，逐个理解其内在的思想．同时教会学生能正确用图形语言与符号语言表示文字语言．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化．【教学过程】 9.2.1空间中的平行直线 【教学目标】 1. 掌握平行线的基本性质，了解空间四边形的定义． 2. 了解空间中图形平移的定义，理解空间中图形平移的性质． 3. 渗透数形结合思想，渗透由平面到空间的转换思想，培养学生观察分析、空间想象的能力． 【教学重点】 平行线的基本性质．【教学难点】 空间中图形平移的性质．【教学方法】 这节课主要采用实物演示法．教师通过实物或模型演示，帮助学生理解平行线的性质，以及空间四边形的概念，培养学生的空间想象能力．通过证明题，向学生渗透将立体问题转化为平面问题来解决的思想．【教学过程】 9.2.2 异面直线 【教学目标】 1. 理解异面直线的定义，会判定两条直线是否为异面直线，会求异面直线的夹角． 2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的
中等专业学校2023-2024-1教案 编号： 备课组别数学组 课程 名称 数学 所在 年级 二年级 主备 教师 授课教师授课 系部 授课 班级 授课 日期 课题 4.4.2 二面角 教学目标1.知道二面角及其平面角的定义 2.能解决求二面角大小的简单问题 重点二面角的概念及 难点二面角的平面角的求法 教法数形结合讲练结合 教学 设备 多媒体 教学 环节 教学活动内容及组织过程个案补充 教学内容一、情境导入 打开笔记本计算机时,显示屏的开合程度不同,键盘与屏幕所在平面的相对位置就不同,如图所示.怎样来描述这种不同呢？ 二、探索新知 1.基本概念 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.
教学内容二面角的命名：当二面角的棱为l，两个面分别为α、β时，二面角记为α-l-β.图(4)所示的二面角也可记为A-BD-C. 二面角的平面角：如图所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，分别在两个面内作垂直于校的射线OA、OB，射线OA、OB所成的最小正角称为这个二面角的平面角. 规定,当二面角的两个半平面重合时,二面角为零角；当二面角的两个半平面构成一个面时,二面角为平角.于是,二面角的取值范围是[0,π].当二面角的平面角为直角时,称为直二面角. 例3 已知二面角α-l-β是锐角，其面α内一点A到棱l 的距离为2，到面的距离为l，求这个二面角的大小. 解如图所示，过点A作AB⊥l，垂足为B；再作AC⊥β，垂足为C,连接. 由题意可知AB=2，AC=1. 因为AC⊥β，l⊆β，所以AC⊥l ,又因为AB⊥l,AB交AC 于点A，所以l⊥平面ABC. 又因为BC⊆平面ABC，所以l⊥BC，从而∠ABC是二面角α-l-β的一个平面角. 因为AB=2，AC=1，ΔACB是直角三角形，所以 6 ABC π ∠=. 因此，二面角α-l-β的大小是 6 π .
高教版中职基础模块下册数学教案 教案标题：《高教版中职基础模块下册数学教案》 教案目标： 1. 理解并掌握本教材中职基础模块下册数学的核心知识点和基本概念； 2. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力； 3. 培养学生的数学运算技巧和逻辑推理能力； 4. 提高学生对数学的兴趣和学习动力。 教学内容： 本教案将以高教版中职基础模块下册数学教材为基础，重点涵盖以下内容： 1. 函数与方程 2. 三角函数与解三角形 3. 数列与数学归纳法 4. 概率与统计 5. 矩阵与行列式 教学步骤： 第一步：导入与激发兴趣（5分钟） 通过引入一个生活中的实际问题，激发学生对数学的兴趣，同时引导学生思考解决问题的数学方法。 第二步：知识讲解与示范（20分钟） 根据教材内容，对每个知识点进行讲解，并结合具体的例题进行示范，帮助学生理解和掌握基本概念和解题方法。 第三步：合作探究与讨论（15分钟）
将学生分为小组，让他们合作解决一些应用题和练习题，引导学生通过合作探 究的方式，加深对知识点的理解和应用。 第四步：巩固与拓展（15分钟） 通过一些拓展题目和思考题，巩固学生对知识点的掌握，并引导学生进行更深 层次的思考和讨论，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。 第五步：小结与反馈（5分钟） 对本节课的重点内容进行小结，并进行学生的学习反馈，了解学生对本节课的 理解情况和困惑，及时进行解答和指导。 教学评估： 1. 在课堂上观察学生的学习情况，包括学生的参与度、理解程度和解题能力； 2. 布置一些作业或小测验，检验学生对知识点的掌握情况； 3. 定期进行个别辅导和答疑，了解学生的学习进展和困惑。 教学资源： 1. 高教版中职基础模块下册数学教材； 2. 多媒体课件，包括教学示范和实例讲解； 3. 练习题和应用题集。 教学反思： 根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略和方法，确保教学效果。同时，注重培养学生的实际应用能力和解决问题的能力，引导学生将数学知识应用到 实际生活中。
【课题】5．1 角的概念推广 【教学目标】 知识目标： ⑴了解角的概念推广的实际背景意义； ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念． 能力目标： （1）会判断角所在的象限； （2）会求指定范围内与已知角终边相同的角； （3）培养观察能力和计算技能． 情感目标： （1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神； （2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】 终边相同角的概念． 【教学难点】 终边相同角的表示和确定． 【教学设计】 （1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广； （2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角； （3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力； （4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法． 【教学备品】 教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
过程行为行为意图间问题1 游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？ 问题2 用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角． 归纳 通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．质疑 提问 说明 总结 思考 求解 讨论 交流 理解 引起 学生 的好 奇心 和求 知欲 生活 实例 有助 于学 生理 解角 的推 广的 意义 10 *动脑思考探索新知 概念 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针 （或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点． 规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角． （1）（2） 类型说明 仔细 分析 讲解 关键 点 引导 思考 理解 记忆 结合 图形 讲解 角的 图形 可以 加入 学生 的举 例 明确 角的
高教版中职教材—数学(基础模块)上册电子教案【完整 版】 【课题】1．1 集合的概念【教学目标】 知识目标： （1）理解集合；会用适的法表示集合集合的表示法集合表示90分钟 【教学过程】 教学 过程教师 行为学生 行为教学 意图时间*新阶段学习导入语 介绍中职阶段学习数学的必要性，数学的学习内容、学习方法、学习特点等等． 同学们就要开始新的人生阶段了，很高兴可以和大家一起度过这段美好的时光.希望同学们可以通过自己不懈的努力，在毕业后能够找到一个合适的工作，能够独立生存，能够成为为家庭、为企业、为社会做出自我贡献的能工巧匠.当然要达到这样的目的需要你脚踏实地的认真的学做人、学做事，那么现在请让我们从学习开始……
1．学习――旅程 学习是一段旅程，对知识的探求永无止境，而且这段旅程可以从任何时候开始！未来的成功在现在脚下！ 2．老师――导游 与大家一起开始这一段新的旅程、一起分享学习中的快乐、一起体会成长与进步的滋味. 3．目的――运用 我们应当能够理解数学，而且通过运用数学进行沟通和推理，在现实生活中应用数学来解决问题，养成一种数学上的自信心理.请不要害怕学数学，每个人都可以根据自己的能力和实际需要学好自己的数学． 4．准备――必需品 轻松愉快的心情、热情饱满的精神、全力以赴的态度、 踏实努力的行动、科学认真的方法、及时真诚的交流． 回答为什么要学数学？学什么样的数学？怎么学数学？ 介绍 说明 讲解 说明 倾听 了解 领会
引领 学生 了解 新阶 段的 数学 学习 特点 重点 是要 树立 学生 的数 学学 习信 心 8 *揭示课题 缤纷多彩的世界，众多繁杂的现象，需要我们去认识．将对象进行分类和归类，加强对其属性的认识，是解决复杂问题的重要手段之一．例如，按照使用功能分类存放物品，在取用时就十分方便．这就是我们将要研究学习的1.1集合．
中职教育数学《角的概念推广》教案 一、引言 在初中阶段，学生已经学习了角的基本概念，并能够准确地度量和描述角的大小。本节课旨在通过一系列的实例和练习，让学生进一步探索角的概念，并学会将其应用于实际问题中。 二、教学目标 1. 了解角的概念和基本术语。 2. 掌握角的度量方法和计算技巧。 3. 能够分析和解决与角相关的实际问题。 三、教学内容与步骤 步骤一：复习角的基本概念（15分钟） 1. 复习角的定义：由两条射线共同端点所组成的图形。 2. 复习角的基本术语：顶点、边、内角、外角等。 3. 指导学生用自己的话解释角的概念，并举例说明。 步骤二：角的度量与计算（30分钟） 1. 角的度量单位：度和弧度。介绍度和弧度的概念及相互转换的方法。 2. 指导学生通过测量器具准确地度量角的大小，并用度数表示。
3. 引导学生通过一些简单的计算题和练习，巩固度量角的方法和计算技巧。 步骤三：角的分类与特性（30分钟） 1. 介绍角的分类：锐角、钝角、直角、平角等。 2. 指导学生根据角的度数范围进行分类，并解释每种角的特点。 3. 引导学生观察图片和实例，鉴别角的分类并描述其特征。 步骤四：角的应用（30分钟） 1. 引导学生思考角的应用场景，如建筑设计、工程测量、地理导航等。 2. 指导学生分析和解决与角相关的实际问题，如计算建筑物倾斜角度、估算太阳升起的时间等。 3. 给学生一些角应用的练习题，培养他们的角度思维和解决问题的能力。 四、课堂小结与作业布置 1. 复习本堂课所学的角的概念、度量和分类。 2. 布置作业：要求学生设计一个与角度相关的实际问题，并用所学知识解答。 3. 强调学生合作学习的重要性，并鼓励他们积极参与课堂讨论。 五、教学反思
【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 【教学目标】 知识目标： （1）了解空间两条直线垂直的概念； （2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质． 能力目标： 培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】 直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质． 【教学难点】 判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直． 【教学设计】 在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条. 例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可. 在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解． 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣． B AC内找到一条直线AC与 例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面 1 平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
图9-43
*创设情境兴趣导入 【问题】 前面我们学过直线与平面垂直的概 念.根据定义判断直线与平面垂直，需要 判定直线与平面内的任意一条直线都垂 图9−44 直，这是比较困难的．那么，如何判定 直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的． 如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直．
高中数学教案《二面角》 一、教材分析 1、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。“二面角”是人教版《数学》第二册（下B）中9.7的内容。它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。因此，它起着承上启下的作用。通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。 2、教学目标: 知识目标：（1）正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。 （2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。 能力目标：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。 德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。 情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。 3、重点、难点： 重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念 难点：“二面角的平面角”概念的形成过程 二、教法分析 1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。 ２、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。
中等职业教育(中专)数学教案 五年制数学（理论）教案 目录 第三章一元二次函数（3.8）............................................................................................................................ - 2 - 第三章一元二次函数（3.8）............................................................................................................................ - 5 - 第三章一元二次函数（3.9、3.10）................................................................................................................. - 8 - 第三章一元二次函数（3.9、3.10）............................................................................................................... - 11 - 第四章指数函数与对数函数指数的推广和幂函数（4.1、4.2、4.3） ...................................................... - 13 - 第四章指数函数与对数函数（4.1、4,2、4.3） ............................................................................................ - 16 - 第四章指数函数与对数函数指数函数及其性质（4.4，4.5） ................................................................... - 18 - 第四章指数函数与对数函数指数函数及其性质（4.4、4,5） ................................................................... - 20 - 第四章指数函数与对数函数对数函数（4.6） ............................................................................................ - 22 - 第四章指数函数与对数函数对数函数（4.4、4,5） ................................................................................... - 25 - 第四章指数函数与对数函数对数函数的性质（4.7） ................................................................................ - 27 - 第四章指数函数与对数函数（4.6、4.7） ................................................................................................... - 30 - 第五章三角函数弧度制（5.1、5.2）........................................................................................................... - 32 - 第五章三角函数三角函数及其诱导公式（5.3，5.4） ............................................................................... - 35 - 第五章三角函数正弦函数性质（5.5）........................................................................................................ - 40 - 第五章三角函数三角函数图象（5.6） .......................................................................................................... - 43 - 第四章三角函数三角函数的性质和图像（5.5、5.6） ............................................................................... - 46 - 第五章三角函数两角和差公式（5.10） ........................................................................................................ - 48 - 第五章三角函数二倍角公式（5.11） .......................................................................................................... - 51 - 第五章三角函数章节复习............................................................................................................................. - 54 - 第五章三角函数章节复习............................................................................................................................. - 58 - 第六章数列数列的概念（6.1）.................................................................................................................... - 60 - 第六章数列等差数列（6.2）........................................................................................................................ - 62 - 第六章数列等差数列（6.3）........................................................................................................................ - 64 - 第六章数列等比数列（6.5）........................................................................................................................ - 67 - 第六章数列等比数列的前n项和公式（6.6） ............................................................................................ - 69 - 第六章数列章节复习..................................................................................................................................... - 71 - 第六章数列章节复习..................................................................................................................................... - 72 - 第三章、第四章总复习（1）......................................................................................................................... - 74 - 第五章、第六章总复习（2）......................................................................................................................... - 77 -
4.4.2 二面角（教案）（2课时）-【中职专用】高二数学同 步精品课堂（高教版2021·拓展模块一上册）教学目标： 1. 了解二面角的概念及相关术语； 2. 掌握二面角计算的方法； 3. 能够解决二面角的应用问题。 教学重难点： 1. 掌握二面角计算的方法； 2. 能够解决二面角的应用问题。 教学步骤： 一、导入（5分钟） 通过展示一个纸板直角，引导学生思考二面角的概念，并与三面角进行对比。 二、概念讲解（10分钟） 1. 二面角的定义：在空间中，两个面所成的角度叫做二面角。 2. 二面角的符号：用α表示。 3. 二面角的术语：被角、夹角、交角。 三、计算方法（30分钟） 1. 二面角的计算公式：cosα=（a·b）/||a||·||b||，其中 a、b分别为两个面的法向量。
2. 二面角计算的注意事项：应遵循“锐锐为钝，钝钝为锐”原则，即夹角小于90度的为锐角，大于90度的为钝角。同时，应注 意向量的方向问题。 四、应用练习（35分钟） 1. 给定两个平面，求其二面角； 2. 在空间中给定四点，问结成的两个面的二面角大小； 3. 通过已知平面角、棱角等求二面角。 五、总结（5分钟） 通过回答问题的方式巩固学生的学习成果，同时强调二面角的 概念及计算方法，以及应用问题的解决方式。 教学手段： 1. 录制课件，通过PPT进行讲解； 2. 采取讲授与讨论相结合的方式； 3. 布置作业巩固所学内容。 教学评价： 1. 课下布置题目，考核学生对二面角概念的理解理解，计算方 法的熟练运用及应用问题的解决能力； 2. 通过讨论和提问，评价学生对二面角相关知识点的掌握情况。
提高中职学生数学教学效率的有效策略——以二面角及其平 面角教学为例 摘要：在中职学校教学中，《数学》是高一学生的必修课程，也是学生必备的 基础性课程。我们在教学过程中，如何有效地激发学生数学学习的兴趣，提高学 习的效率，关键是从学生的实际出发，在学生的动手实践中有效地提高其对知识 的学习和体验，感受知识的接受过程，体验知识成长的快乐。本文以二面角及其 平面角教学为例，谈谈如何提高中职学生的数学教学效率。 关键词：中职数学兴趣实践 通过观察我们发现，学生在学习过程中对于贴近生活、贴近自己、贴近专业、贴近自己关心的事物的学习，积极性普遍较高；他们活泼好动，动手能力非常强，喜欢实践操作；对于理论性的知识的学习则会表现得比较懈怠，因此在教学实践中，我们应如何激发学生的学习有效性，关键是从以下策略着手（本文以《冰裂 窗中的精灵——二面角及其平面角》为例，谈谈提高中职学生数学教学效率的有 效策略）。 一、微课预习，初步接触学习内容 随着现代科学技术的不断发展，我们的教育媒体技术也在不断底进步。QQ、 微信、课前任务单、微视频等现代技术已经渗透到我们的生活和学习的方方面面，我们不仅能够通过这些技术设备休闲娱乐，通过将学习内容与之完美结合，能够 有效地激发学生的学习兴趣和热情。 通常，我们在一节课的讲授过程中，知识点讲过之后，学生如果没有对学习 内容的反复多次理解和认识是难以达到的。而使用微课视频，对学生进行知识点 的讲解和演绎的过程，学生在心理上自然就比较轻松，而微课视频的时间非常短小，学生的注意力容易集中，同时微视频中的内容讲解是对一个知识点的讲解， 学生不易产生懈怠心理，而当学生对知识点的某一个步骤或环节存在疑问的时候，可以通过反复地重复、退回等方法去听取、去理解，在反复听依然没有取得理想 效果的时候，学生可以自己记录下来，通过小组合作、课堂学习等环节进行更深 一步地理解和认识。因而这种预习方式，更加能够被学生去接受和使用。 二、实物展示，激发学生的兴趣 中职阶段的学生，对于理论性的知识有一定的抗拒，因此，如果我们在教学 过程中直接引入课题会引起学生对理论性知识的反感和厌恶，因而不利于教学过 程的有效进行，因此在教学过程中，我们利用学生喜闻乐见的精美实物展示进行 课题导入，既能够有效地激发学生的学习兴趣，又能够促进学生对知识的探索欲 和求知欲，使学生在具体的观察和学习实践中去发现、去探索知识的奥秘。 在《冰裂窗中的精灵——二面角及其平面角》的教学实践中，我们首先将冰 裂窗进行展示，学生初次接受这种新鲜事物，心中充满了新鲜感和好奇感，并在 兴趣的引导下，主动地将注意力凝聚到对学习对象的观察上来，接着展开对其的 具体介绍，“冰裂窗图案在早期是由尺规作图实现的，其构造规律是基本几何图形的四方形，同时又添加量短直线及花草纹装饰等。学生在对实物进行观察的过程中，形成了对冰裂窗的具体形象的认识，对中国古代建筑有了初步形象的认识。 具象化的观察实践，学生能够看得见、摸得着，形成了对学习对象的有效认识， 感受到中国古代建筑匠人的勤劳和智慧以及数学与我们的生活密切相关。因而在 接下来的学习实践中能够以积极主动的学习状态投入到新的学习过程中去。教师 在这个时候适时给出学生新的学习任务：作出中间的正六边形部分，使学生在兴
二面角教案 教学目标 1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题； 2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力． 教学重点和难点 本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程． 教学设计过程 教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？ 学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角． 教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ 学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角． 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角． 教师：请同学们观察下面的几个问题． （当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例子） 例子之一： 镜头一：淡蓝色的地球．（图片） 镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）
镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面． 让学生观察这两个平面相交成一定的角度． 例子之二： 镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相） 镜头二：人在爬山．（录相） 镜头三：攀岩运动．（录相） 镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形） （注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟） 教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义． 这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．
2019全国创新杯数学说课比赛 《平面与平面所成的角》 教学设计
设计理念 数学学习实质是学生对自身既有知识不断优化、完善的过程，而教学则应该发生在旧知存疑或学生认知冲突时.因此，本节课围绕着概念可否作为判定这一话题展开，让学生经历猜想、实验、探究等过程，最终得到二面角的平面角.在这一过程中，学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象及数学运算等核心素养得到进一步的提升. 教学过程 教学 环节 师生活动设计意图、素养 课前准备教师准备： 1.发布课前任务：小组收集并上传实训中有关平面与平面 所成角的问题。对学生的问题进行整合； 2.制作《二面角的定义》微课，设计课前检测题，对学生 课前学习情况进行分析汇总； 3.将学生分成4组并要求自带手机（模拟眼睛视线），每 组分到素描纸（做屏幕）、彩色小卡纸（做二面角模型）、 算术棒、尺子。 学生准备： 登陆学习通 1.上传所收集到的实训中有关平面与平面所成角的问题。 2.自学微课，并完成检测题。 【设计意图】 通过收集问题、自学检测，让 学生带着问题进课堂 【素养】 培养学生发现生活中数学 问题的能力. 【信息手段】 超星学习通 一、课前反馈引入新课（约5mi n）课前反馈： 1.问题反馈： 问题一：太阳能板与地面所成的角是多大？ 问题二：太阳能支架面与地面所成的角是多大？ 2.微课反馈： 【设计意图】 1.问题反馈，确立本节课的学 习内容； 2.微课检测题中，发现学生的 思维错误，借此讲清二面角的 本质是图形而不是角度。
二、动手探究形成概念 （约25mi n）实验一初识二面角大小 任务一：折出二面角并排序 在彩色小卡纸上各画出一条线，沿着这条线将卡纸对 折，打开形成二面角，请按你的理解给这些二面角模型排排 队，并说出这样排的理由。 问题1：这个大小你是怎么看出来的？此时眼睛的视线和二 面角的棱呈现什么位置关系？ 实验二呈现二面角大小 任务二：二面角的投射 用手电筒模拟眼睛视线，按以上的排列顺序，对模型一 一进行投影，使得屏幕上出现的图像是一个平面角，并将这 个用笔描在屏幕（A4）上 （教师辅助：借助希沃助手将学生作品展示在大屏幕上） 问题2：平面角的两边和顶点分别由二面角的哪部分投影而 来？ 【设计意图】 1.通过折纸排序活动，让学生 直观感受二面角的大小，并在 不自觉的情况下，用眼睛观察 到的平面角大小去形容二面 角的大小.为后续呈现二面角 的大小打下基础； 【素养】 借助模型的直观，培养学生的 空间想象能力. 【设计意图】 将二面角的平面角通过投影 的方式呈现出来，即面“变” 线、线“变”点，同时引出二 面角的平面角这个“称呼”， 为难点的突破打下基础。 【素养】 1.化抽象为具体，培养学生 降维的思维方式。 2.小组合作，培养合作精神。 【信息手段】 希沃助手
【课题】 1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式（一） 【教学目标】 知识目标： 理解两角和与差的余弦公式． 能力目标： 通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能． 【教学重点】 本节课的教学重点是两角和与差的余弦公式． 【教学难点】 难点是公式的推导和运用． 【教学设计】 介绍新知识前，先利用特殊角的三角函数值，认识到cos(6030)cos60cos30︒-︒≠︒-︒，进而提出如何计算cos()αβ-的问题．这个导入过程是非常重要的，所指出的错误正是学生学习中最容易发生的，在教学中不可忽视．利用向量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．正确理解向量数量积的两种方法是理解公式推导过程的关键．建议教师授课前，让学生复习向量的有关知识．这个公式是推导后面各公式的基础，教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1-例4都是两角和与差的余弦公式的应用， 教学中要强调公式的特点．例3中得到的结论πcos()sin 2αα-=，π sin()cos 2αα-=都是初 中学习过的公式，现在将角从锐角推广到任意角．根据《中等职业学校数学教学大纲》的要求，教材并没有将这组公式作为公式来进行强化，只作为两角和与差的余弦公式运用的教学例题出现，同时承上启下，为推导sin()αβ±的公式作准备．教材利用cos()αβ-的公式推导cos()αβ+的公式的步骤是：利用[]cos()cos ()αβαβ+=--，推出cos()αβ+． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
过 程 行为 行为 意图 间 问题 我们知道，13 cos60cos3022 ︒=︒=，， 显然 ()cos 6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-． 由此可知()cos cos cos αβαβ-≠-． 播放 课件 质疑 观看 课件 思考 引导 启发学生得出结果 10 *动脑思考 探索新知 在单位圆（如上图）中，设向量OA u u u r 、OB u u u r 与x 轴正半轴的 夹角分别为α和β，则点A 的坐标为（cos ,sin αα），点B 的坐标为（cos ,sin ββ）． 因此向量(cos ,sin )OA αα=u u u r ，向量 (cos ,sin )OB ββ=u u u r ，且1OA =u u u r ,1OB =u u u r ． 于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，又 cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r ， 所以 cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅． （1） 又 []cos()cos ()αβαβ+=-- cos cos()sin sin()αβαβ=⋅-+⋅- cos cos sin sin αβαβ=⋅-⋅． （2） 利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．由此得到两角和与差的余弦公式 cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （1.1） 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 启发引导学生发现解决问题的方法