第十二章 数项级数习题课 一 概念叙述 1．
∑∞
=1
n n
u
收敛于S ?部分和数列{}n S 收敛于S ?S S n n =∞
→lim
2．n
u ∑收敛的柯西准则?0,0,,,N m n N ?ε>?>?>有12m m n u u u +++++<ε ． 3．
n
u
∑发散的柯西准则?0ε? N ?，0()m N ?>，0p ?，有
0210000ε≥++++++p m m m u u u 二 疑难解析与注意事项
1．有人说，既然一个级数是无限多个数“相加”的结果，而数的加法满足交换律和结合律，所以在一个级数中，可以任意交换项的次序，也可以任意加括号．这种说法对吗？
答：不对．一个收敛级数，适当改变项的次序以后，可能得到一个发散级数；即使得到的仍收敛级数，其和也可能与原级数的不同．这就是无限项相加与有限项相加的质的不同．
（条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数；条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数．）
当然，如果仅仅交换一个级数的有限项的次序，则级数的敛散性不变．
（去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性；级数的敛散性与级数的有限个项无关，但当收敛时其和可能是要改变的．）
如果一个级数是正项级数或是绝对收敛的级数，则可以任意改变一个级数的项的次序，其收敛性不变，且和也不变．
（绝对收敛的级数任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.） 类似地，一个收敛级数可以任意加括号，加括号后的级数与原来的级数有相同的收敛性与相同的和；
（在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．） 但一个发散级数，经适当添加无限个括号后，可能变成一个收敛级数．有一种特殊情形，如果添加括号后，每个括号中的项都保持同一正，负号，则所得级数与原级数同收敛，且和（如有的话）也不变．
2.级数n u ∑，n v ∑，()n n u v +∑的敛散性有何联系？
答：1）若n u ∑与n v ∑都收敛，则()n n u v +∑收敛，且()n n n n u v u v +=+∑∑∑；
2）若n u ∑与n v ∑中有一个收敛有一个发散，则()n n u v +∑发散； 3）若n u ∑与n v ∑都发散，则()n n u v +∑可能收敛可能发散． 例如，11,n n ??- ???∑∑都发散，但110n n ??
-= ???
∑收敛，
11,n n ∑∑都发散，但112n n n ??
+= ???
∑∑发散．
3.设级数n u ∑，n v ∑都是发散级数，则()n n u v ∑发散吗？ 答：不一定，()n n u v ∑可能收敛，可能发散． 例如，11,n n ∑∑都发散，但2111n n n ??
?= ???
∑∑收敛．
,n n ∑∑都发散，()2
n n n
?=∑∑也发散．
4．若加括号后的级数收敛，加括号前的级数收敛吗？
答：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛，例如
+-++-+-)11()11()11(0000=++++=
收敛，而级数
+-+-1111
是发散的．但级数加括号后发散，则原级数一定发散. 5．级数
n
u
∑收敛，与0lim =∞
→n n u 有什么关系？
答：
n
u
∑收敛
0lim =∞
→n n u ，但lim 0n n n u u →∞
≠?∑发散．
6．若级数
n
u
∑对每个固定的p 满足条件()1lim 0n n p n u u ++→∞++= ，则级数
n
u
∑一定收
敛吗？
答：不一定，这里说法与柯西准则有本质的不同，这里是对固定的p ，可找到与任给正数ε有关的N （这里一般与p 还有关），使得当n N >，有12n n n p u u u ++++++<ε ，而
n
u
∑收敛的柯西准则?0,0,,0,N n N p ?ε>?>?>?>有12n n n p u u u ++++++<ε ．
例如，级数1
n ∑，对每个固定的p ，都有
111
1
1
1
l i m l i m l i m l i m 0
121
2
n n n
n
n n n p n n n p
→∞→∞→∞→∞??+++
=+++= ?++++++?
?
， 但级数
1
n ∑发散.
7．1)若n
b ∑和n
c
∑都收敛，且n n n b a c ≤≤，则n
a ∑收敛吗？ 2)若
n b ∑和n c
∑都发散，且n n n b a c ≤≤，则
n
a
∑发散吗？ 答：1) 若
n
b ∑和n
c
∑都收敛，且n n n b a c ≤≤，则
n
a
∑收敛.
由n n n b a c ≤≤得0n n n n a b c b ≤-≤-，而()n
n c
b -∑收敛，由比较原则得()n n a b -∑，
因此
n
a
∑收敛.（注意比较原则适用于正项级数，不能直接由
n
c
∑收敛得
n
a
∑收敛）
2）不一定，例如
1n
b n ??
=-
???
∑∑，1
n
c n =∑∑，0n
a =，
n
a
∑收敛，
假如还有条件0n b ≥，则n
a
∑发散，这由比较原则得到.
8．设
∑n u 为正项级数，且
1
1n n
u u +<，则级数∑n
u
收敛吗？
答：不一定，例如
∑n 1满足1
1
1111n n u n
n u n n
++==<+，但∑n 1
发散，因此一定要强调
1
1n n
u q u +≤<． 9．如何判断正项级数的敛散性？
答：1）先判断n u ∑的通项n u 的极限是否为0，若l i m 0n n u →∞
≠，则n u ∑发散，若l i m 0n n u →∞
=，
则需继续判断；
2）根据通项特点选取合适的方法判断正项级数的敛散性： 若通项很容易找等价无穷小量就用比较原则的极限形式；
若通项含有阶乘连乘n 次幂等因子时用比式判别法的极限形式； 若通项含有n 次幂因子时用根式判别法的极限形式； 若通项非负单调用积分判别法.
若上述方法失效用比较原则（例如含sin n 等容易放缩成已知收敛的级数）或级数收敛的定义（易求部分和）.
10．1)交错级数一定收敛吗？ 2) 若) ( , 0 , 0∞→→>n u u n n . 交错级数
∑∞
=+-1
1
)
1(n n n u 是否必收敛 ?
答：1)不一定，交错级数只有满足了莱布尼兹判别法的条件才收敛. 例如，
()1n n -∑为交错级数，但通项极限不为0，因此()1n
n -∑发散.
2) 不一定，考查交错级数 +-++-+-+
-2221
131********n
n . 这是交错级数 , 有) ( , 0 ∞→→n u n . 但该级数
∑∞
=??
?
??-121
1n n n
发散 . 11．n u ∑收敛与n u ∑收敛，n u ∑发散与n u ∑发散有什么关系？ 答：n u ∑收敛
n
u
∑收敛，n u ∑发散n
u
∑发散，但若用正项级数的比式判
别法或根式判别法判断n u ∑发散，则n u ∑一定发散.因为当用比式判别法判断n u ∑发散
时，条件
1111n n n n n
u u u u u u ++≥?≥≥≥?
0?n
u 0，于是n u ∑发散；当用根式判 别法判断n u ∑
11n n
u u ≥?≥
?0?n
u 0于是n u ∑发散.
12．1）n u ∑绝对收敛，n v ∑绝对收敛，则()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛？
2）n u ∑条件收敛，n v ∑绝对收敛，则()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛？ 3）n u ∑条件收敛，n v ∑条件收敛，则()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛？ 答：1）是绝对收敛，因为n u ∑绝对收敛（n u ∑收敛），n v ∑绝对收敛（n v ∑收敛），n n n n u v u v +≤+，且n n u v +∑收敛，因此n n u v +∑收敛，即()n n u v +∑绝对收敛.
2）是条件收敛，反证法，设()n n u v +∑绝对收敛，因为n u ∑绝对收敛，则n v ∑绝对收敛，矛盾.
3）收敛，但可能绝对收敛可能条件收敛.例n u ∑条件收敛，()2n n n u u u +=∑∑条件收敛；n u ∑条件收敛，()n u -∑条件收敛，但()0n n u u +-=????∑是绝对收敛的.
13．判断一般项级数n u ∑敛散性的步骤：
答：1)先判断通项的极限是否为0，若通项的极限不为0，则n u ∑发散，若通项极限为0，则需继续判断；
2）判断n u ∑的收敛性（用正项级数判别法判断）若n u ∑收敛，则n u ∑绝对收敛，若n u ∑发散，如果是用比式判别法或根式判别法判断n u ∑发散，则n u ∑发散，若不是用比式判别法且不是用根式判别法判断n u ∑发散，则需要继续判断；
3）若n u ∑是交错级数，用莱布尼兹判别法，如用莱布尼兹判别法判断交错级数n u ∑收敛，则n u ∑条件收敛，若n u ∑的通项可分解成两个数列的乘积，用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法，若判断n u ∑收敛，则n u ∑条件收敛.
14．对于一般项级数n u ∑，n v ∑，如果lim 0n
n n
u l v →∞=≠，能否推出n u ∑与n v ∑具有相
同的敛散性.
答：不能，例如
1n
-
11n n ??-+???
∑，前者收敛，后者发散，但却有
111n
n →∞
-=-.
注意：正项级数与一般级数的性质有很大的差异，对正项级数成立的结论对一般级数不一定成立.读者在学习时，一定要分清那些是关于正项级数的结论，那些是关于一般项级数的结论，注意不要把仅对正项级数成立的结论随意套用到一般级数上来.
15.因为1)1()1()1(lim
=-
+--∞
→n
n n
n n n )(∞→n 则∑∞=-1)1(n n n 和∑∞
=-+-1)
1()1(n n
n
n 同时敛散，对吗？
答：不对，比较判别法的极限形式只能用于正项级数，对变号级数不能使用. 第一个级 数是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，因此收敛.第二个级数虽然是交错级数，并且它的通项与第一个级数的通项是等价无穷小量，但并不满足通项绝对值单调的条件，因此不
能用莱布尼兹判别法.为了研究第二个级数的敛散性，把两个级数通项之差构成第三个级数：
2
n
n c ∞
=∑
，其中1
~n n n c n ==，由此可见第二个级数发散. 16.设
∑∞
=1
n n
u
为收敛的正项级数, 能否存在一个正数0>ε, 使得:
01lim
1>=+∞
→C n u n
n ε
? 答：不一定. 如∑∞=1
2ln 1n n n 收敛, 而+∞==∞→+∞→n n n n n n n 212ln lim 1ln 1
lim εε
. 17．若
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，判断下列语句是否正确，并说明理由.
1)若lim 0n n nu →∞
=，则级数
1
n
n u
∞
=∑收敛吗？
2)若存在非零常数λ，使得lim n n nu λ→∞
=，级数
1
n
n u
∞
=∑收敛性如何？
3)设级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，能否推出
21
n
n u
∞
=∑收敛，反之又如何？
答：1）不一定：例如级数
1
n n u ∞
=∑若为11
ln n n n
∞
=∑
，则满足所给条件，但是发散.
2）正确：由于lim n n nu λ→∞=可写成lim 1n n u n
λ→∞=，由比较法可知级数1n n u ∞=∑与11
n n
∞
=∑具
有同敛散性，即发散. 3）正确：由级数
1
n
n u
∞
=∑收敛可知0()n u n →→∞.故存在0n ，当0n n >时有1n u <，
从而0n n >之后恒有2
n n u u <，故由级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，知
21
n
n u
∞
=∑也收敛. 但反之不一定，例
如，取1n u n =，则2
1n n u ∞=∑发散，但是1
n n u ∞
=∑收敛.
注：要掌握常见级数，例如11p n n ∞
=∑、1
1
ln n n n ∞
=∑等级数的敛散性.
18. 设级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，能否推出
21
n
n u
∞
=∑收敛？
答： 不能，例如取(
)1n
n u =-(
)11n
n ∞=-∑11n n
∞
=∑发散. 三 重点习题
1．几个常用级数的收敛性 1）等比级数（几何级数）∑∞
=-1
1n n aq ：当1 a s -= 1；当1≥q 时，级数发散． 2）．-p 级数 ∑∞ =11 n p n ：当1>p 级数收敛；1p ≤级数发散． ∑∞ 1 n ln 1 ＝n n p ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散 3）．交错-p 级数∑∞ =--1 1 )1(n p n n ：当1>p 级数绝对收敛；10≤ 1 sin p n nx n ∞ =∑：当1>p 级数绝对收敛；10≤ （1）1;21 n n n ∞ =-∑ （2）12sin ;3n n n π∞ =∑ （3）1!3;n n n n n ∞ =∑ （4）12(1);1(3)n n n n ∞ =+-+∑ （5）ln 21 ;3n n ∞ =∑ （6）ln 21;n n n ∞ =∑ （7）ln 21;(ln )n n n ∞ =∑ （8）21 (ln ) n n n ∞ =∑． 解：（1）（拿到级数先判断级数的通项是否为0） 因为22lim 0323n n n →∞=≠+，则 121 n n n ∞ =-∑ 发散． （2）(通项易找等价无穷小量用比较原则的极限形式) 因为22sin 33n n n π π?? ??? ，而1 23n n π∞ =?? ???∑收敛（等比级数的公比213<）． （3）（含有阶乘用比式判别法） 因为()() 1 1 1!313 3 lim lim 1!311n n n n n n n n n e n n n ++→∞ →∞++==≥??+ ??? ，则1!3n n n n n ∞ =∑ 发散． （4）（含有n 次幂用根式判别法） 因为1 13n =<，则1 2(1)1(3)n n n n ∞ =+-+∑收敛． (5) 因为() ln ln3 ln ln3 ln ln3ln ln33 n n n n e e e n ==== 则ln ln322113n n n n ∞ ∞===∑∑，因为ln 31>，则ln ln32211 3n n n n ∞∞ ===∑∑收敛． （6）因为ln 2n >（2 n e >），则ln 211n n n <，因为221n n ∞=∑收敛，则ln 21 n n n ∞ =∑收敛． （7）() ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 2ln n n n n n n n n n e e e n n ====>（n 充分大） 则ln 211(ln )n n n <，因为221n n ∞=∑收敛，则ln 2 1 (ln )n n n ∞ =∑收敛． （8）因为ln 2n >（2 n e >），则11(ln )2n n n <，因为21 2 n n ∞ =∑收敛， 则 21 (ln ) n n n ∞ =∑收敛． 3．判断下列级数的敛散性．若收敛，指出绝对收敛或条件收敛． 1) 1 12(1)sin n n n ∞ -=-∑； 2）()1 ln 1n n n n ∞ =-∑； 3）n n n x n ∑∞ =1 )(!． 证 1）先对通项加绝对值，判断1 2 sin n n ∞ =∑（当n 充分大，有202n π<<，且级数与前面 有限项无关）的敛散性． 因为22sin n n ，而12n n ∞=∑发散，则1 2 sin n n ∞=∑发散． 再判断通项不加绝对值的敛散性． 因为 1 1 2(1)sin n n n ∞ -=-∑为交错级数，且2sin n 递减（2n 递减，当n 充分大，有202n π<<，sin u 递增，则复合之后2sin n 递减）且2lim sin 0n n →∞=，由莱布尼兹判别法知1 1 2(1)sin n n n ∞ -=-∑收敛， 综上 1 1 2 (1) sin n n n ∞ -=-∑条件收敛． 2）先对通项加绝对值，判断 1ln n n n ∞ =∑ 的敛散性． 因为()ln 1n n e n n >>，且11n n ∞=∑发散，则1 ln n n n ∞ =∑发散． 再判断通项不加绝对值的敛散性． 因为 () 1 ln 1n n n n ∞ =-∑为交错级数，令()ln x f x x =，则()()21ln 0x f x x e x -'= <>， 即ln n n 递减且ln lim 0n n n →∞=，由莱布尼兹判别法知() 1 ln 1n n n n ∞ =-∑收敛，综上() 1 ln 1n n n n ∞ =-∑条件收敛． 3）先对通项加绝对值，判断1 !()n n x n n ∞ =∑的敛散性， 因为()1 1!( )1lim lim 1!()1n n n n n x n x x n x e n n n +→∞ →∞++==??+ ??? ， 当x e <时1!()n n x n n ∞ =∑收敛，n n n x n ∑∞=1 )(!绝对收敛， 当x e >时1!()n n x n n ∞ =∑发散，因为是用比式判别法判断的，则n n n x n ∑∞=1 )(!发散， 当x e =时， ()1 1!( )111!()1n n n x n x n x n n n +++=≥??+ ??? ，则1 !()n n x n n ∞ =∑发散，因为是用比式判别法判断的，则n n n x n ∑∞ =1 )(!发散（因为11n n ??+ ???单调增加收敛于e ，则e 为11n n ?? + ???的上界）． 注：当x e =，()11!( )1lim lim 11!()1n n n n n x n x x n x e n n n +→∞ →∞++===??+ ??? ，此时不好用比式判别法的极限判断，则我们用比式判别法判断． 4. 证明:若数列}{n b 有∞=∞ →n n b lim , 则(1) 级数 ∑∞ =+-1 1 )(n n n b b 发散; (2) 当0≠n b 时, 1 111)11( b b b n n n =-∑∞ =+. 证明: (1) 级数 ∑∞ =+-1 1 )(n n n b b 的部分和1111)(b b b b S n n k k k n -=-=+=+∑, 而 ∞=-=+∞ →∞ →)(lim lim 11b b S n n n n , 故级数 ∑∞ =+-1 1 )(n n n b b 发散. (2) 级数∑∞ =+-11)11(n n n b b 的部分和1 1111 1)11(+=+- =-=∑n n k k k n b b b b S , 故 111 1)11(lim lim b b b S n n n n =-=+∞→∞→∑∞=+-=11)1 1(n n n b b . 5． 设),2,1(0 =≥n u n ，证明：如果级数∑∞ =1 n n u 收敛，则级数 ∑∞ =1 2n n u 与级数 ∑ ∞ =1 n n n u 都收敛． 证 1）先证 ∑∞ =1 2 n n u 收敛： 因级数∑∞ =1 n n u 收敛，则lim 0→∞ =n n u ，故当n 充分大时，1 判别法知级数 ∑∞ =1 2 n n u 收敛． 2）证 ∑ ∞ =1 n n n u 收敛：因 )1(212n n u n n u +≤，且∑∞=121 n n 和∑∞=1 n n u 均收敛，所以由比较判别法知级数 ∑ ∞ =1 n n n u 收敛． 6． 应用级数理论证明极限： （1） 0) 13(852! lim =-??∞→n n n ；（2）0!lim =∞→n n n n . 分析 如果级数∑∞ =1 n n u 收敛，则0lim =∞ →n n u ，这个结果称为级数收敛的必要条件．把 数列的通项看成某级数的通项，而对此级数的收敛性的判别又较容易，则由级数收敛的必要 条件，立即得出数列的极限． 证 （1）考虑级数∑∞ =1n n u ，) 13(852! -??= n n u n ， 由于 131 !)13(852)23)(13(852)!1(lim lim 1<=-???+-??+=∞→+∞→n n n n n u u n n n n ， 所以级数∑∞ =1 n n u 收敛，由级数收敛的必要条件知0) 13(852! lim lim =-??=∞→∞ →n n u n n n ． （2）考虑级数∑ ∞ =1!n n n n ，由于 ()()1 1! 111lim lim 1!11+→∞ →∞ ++== n n n n n n n n e n n 所以级数∑ ∞ =1!n n n n 收敛，由级数收敛的必要条件即知 0!lim =∞→n n n n ． 7．证明：若 ∑∞ =--1 1||n n n a a 收敛，则}{n a 收敛． 分析 这是一个抽象的数列和级数，且条件类型相当于知道相邻两项的估计，由此可得任意两项差的估计，故考虑用Cauchy 收敛准则． 证明：由于 ∑∞ =--1 1||n n n a a 收敛，则由Cauchy 收敛准则，对0e >，存在N ，当n N >时，对任意的正整数p ，成立 11||||n n n p n p a a a a e +++--++- 因而， 1 1||||||n p n n n n p n p a a a a a a e ++++--?++- 再次用数列收敛的Cauchy 收敛准则得：}{n a 收敛． 8．设 ∑∞ =1 n n a 收敛且0lim =+∞ →n n na ，证明： ∑∞ =+=-1 1)(n n n a a n ∑∞ =1 n n a ． 证明：记 ∑∞ =+-1 1)(n n n a a n 的部分和为n S ，则 11 1 11 )1(++=+=+-=-= ∑∑n n k k n n k k n a n a na a S 取极限即可得到结论． 注．从证明过程中发现，除去定量关系，上述结论的逆也成立，即在条件lim 0 n n nu →+∞ = 下若 11 ()n n n n u u ￥ +=-? 收敛，则∑∞=1 n n u 也收敛．同样，在11 ()n n n n u u ￥+=-?，1 n n u ∞ =∑都收敛的 条件下，{}n nu 也收敛． 9. 判断 ∑∞ =++++ -1 )]! 1 !21!111([n n e 敛散性． 解 利用函数泰勒展开 1111 011!2!!(1)! e e n n ξ ξ=+++++<<+ ， 故， 1110(1)1!2!!(1)! e e n n <-+ +++ +L ， 因而，该级数收敛． 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< 第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<， 高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1 A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u ΛΛ+++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。 第十二章 数项级数 1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2．试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2．讨论下列级数的敛散性： (1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3．证明定理10.2. 4．设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =， 其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛，证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑ 第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求 法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即 第十二章 数项级数习题课 一 概念叙述 1． ∑∞ =1 n n u 收敛于S ?部分和数列{}n S 收敛于S ?S S n n =∞ →lim 2．n u ∑收敛的柯西准则?0,0,,,N m n N ?ε>?>?>有12m m n u u u +++++<ε ． 3． n u ∑发散的柯西准则?0ε? N ?，0()m N ?>，0p ?，有 0210000ε≥++++++p m m m u u u 二 疑难解析与注意事项 1．有人说，既然一个级数是无限多个数“相加”的结果，而数的加法满足交换律和结合律，所以在一个级数中，可以任意交换项的次序，也可以任意加括号．这种说法对吗？ 答：不对．一个收敛级数，适当改变项的次序以后，可能得到一个发散级数；即使得到的仍收敛级数，其和也可能与原级数的不同．这就是无限项相加与有限项相加的质的不同． （条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数；条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数．） 当然，如果仅仅交换一个级数的有限项的次序，则级数的敛散性不变． （去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性；级数的敛散性与级数的有限个项无关，但当收敛时其和可能是要改变的．） 如果一个级数是正项级数或是绝对收敛的级数，则可以任意改变一个级数的项的次序，其收敛性不变，且和也不变． （绝对收敛的级数任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.） 类似地，一个收敛级数可以任意加括号，加括号后的级数与原来的级数有相同的收敛性与相同的和； （在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．） 但一个发散级数，经适当添加无限个括号后，可能变成一个收敛级数．有一种特殊情形，如果添加括号后，每个括号中的项都保持同一正，负号，则所得级数与原级数同收敛，且和（如有的话）也不变． 2.级数n u ∑，n v ∑，()n n u v +∑的敛散性有何联系？ 答：1）若n u ∑与n v ∑都收敛，则()n n u v +∑收敛，且()n n n n u v u v +=+∑∑∑； 2）若n u ∑与n v ∑中有一个收敛有一个发散，则()n n u v +∑发散； 3）若n u ∑与n v ∑都发散，则()n n u v +∑可能收敛可能发散． 例如，11,n n ??- ???∑∑都发散，但110n n ?? -= ??? ∑收敛， 11,n n ∑∑都发散，但112n n n ?? += ??? ∑∑发散． 第七章 无穷级数 本章有四个问题： 1． 数项级数敛散性； 2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数； 4． 将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法 一 基本概念 1. 级数收敛：令121 n n n k k s u u u u ==+++=∑ ，若lim n n s s →∞ =，则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛， 若不然，则称 1 n n u ∞ =∑发散； 2．绝对收敛：若1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为绝对收敛； 3. 条件收敛：若 1 n n u ∞ =∑发散，而 1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛； 二 基本结论 1．级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞ =。 2. 等比级数1 n n aq ∞ =∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。 3. p 级数 11 p n n ∞ =∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。 三 基本方法 1．正项级数敛散性的判别方法 （1）比较判别法： 一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑收敛；若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑ 发散。 极限形式：如果0n v ≠，且 lim n n n u l v →∞=， （I ）当0l <<∞时，则 1n n u ∞ =∑和 1 n n v ∞ =∑具有相同的敛散性。 （II ）当0l =时，则 1 n n v ∞ =∑收敛， 1 n n u ∞=∑也收敛。 （III ）当l =∞时，则 1 n n u ∞ =∑发散， 1 n n v ∞ =∑也发散。 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 数学分析：第章数项级数 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 第十二章 数 项 级 数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞ =1n n u ，或∑n u . 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和. 3 级数的收敛性 定义2 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项 级数∑∞=1 n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321. 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a 的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n 第十二章 数 项 级 数 教学目的：（1）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（2）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy 、D`Alembert 判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；（3）理解Leibniz 级数，熟练利用Leibniz 级数，Abel 、Dirichlet 判别法判别一般级数的敛散性。 教学重点：上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。 教学难点：判别法的应用。 主要教学方法：充分利用教材，采用启发式的课堂教学与讨论相结合的形式组织教学，注意讲授课时与习题课课时的分配，精讲多练，保证必要的习题量。同时，充分利用多媒体辅助教学，注重物理知识背景、几何意义的介绍和数学方法的应用，提高教学效果。 §1 级数的收敛性 1． 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1。 又如， +-++-+)1(1)1(1。 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项。 级数（1）简记为：∑∞ =1 n n u ，或 ∑n u 。 2． 级数的收敛性 第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε,有ε<-a x n . 注1 ε的双重性．一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度． 注 2 若n n x ∞ →lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是唯一 的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2． 子列的定义 在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注１ 对每一个k ,有k n k ≥． 注２ 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥.反之，若k h n n ≤，则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n ． 注４ ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ,使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?, ,有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 第八章数项级数习题课 一、主要内容 1、基本概念 数项级数及其部分和、正项级数、交错级数、正部级数、负部级数、级数的敛散性、绝对收敛、条件收敛 2、性质 收敛级数的运算性质、级数收敛的必要条件、各种收敛关系 3、判别法则 任意项级数的判别法则： 定义法定量和定性分析，既可以判断级数的收敛性、也可以判断级数的发散性，收敛的情形下，还可以求和； Cauchy收敛准则定性分析，可以判断级数的收敛和发散性； 必要条件――用于判断级数的发散性； 正项级数的各种判别法判别正项级数的敛散性； 交错级数的判别法判断交错级数的敛散性； Abel判别法和Dirichlet判别法判断通项可以视为两个因子乘积形式的任意项级数的收敛性。 4、判别原则 A）、抽象和半抽象级数的基本判别法 1）、比较判别法――定性判别法通常选择几何级数和调和级数为 比较对象，也用于两个相互关联的级数间的比较。 2）、Cauchy收敛准则――定性判别方法，常用于简单级数的判断，也可以判断发散性。 3）、定义法――定量和定性，用于简单级数的判别。 B）、简单的具体级数的判别法 1）、定义法特别时要求计算和或有和的关系式时，多用此法； 2）、Cauchy收敛准则 C）、一般的具体级数 1)、正项级数判别法 2）、交错级数判别法 3）、Abel判别法和 Dirichlet判别法 5、判断级数敛散性的一般程序 1）、检验通项是否收敛于0 2）、能否计算部分和 3）、是否可以与几何级数作比较 4）、能否用比较、根式或Raabe判别法 5）、能否用积分判别法 6）、考虑用Cauchy收敛准则 7）、更精细的判别法如Kumer 、Gauss判别法等、 注、对较为复杂的数项级数，在使用上述一般程序前，一定要充分利 同济第六高等数学教案 版无穷级数 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98- 第十一章无穷级数教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 第十二章 无穷级数 一. 常数级数的审敛，常数级数的性质 收敛： 12.3下列级数中收敛的是( )； A ． ( ) ∑∞=-+1 1n n n B ．∑ ∞ =+11 1n n C ．n n n n ∑∞ =?? ? ??+123 D ．∑∞ =??? ??+1211n n 1 2(1)n =≥≥+，所以( ) ∑∞ =-+11n n n 发散； ∑∞ =+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞ =??? ? ? +1211n n 发散，因此选C 。 12.7 下列级数中收敛的是( ) A. ∑ ∞ =+1 121n n B.∑∞ =+11 3n n n C.)1|(|1001<∑∞=q q n n D.∑∞=-1132n n n 解： 121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1 lim 313n n n →∞=+，∑∞ =+1 13n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n 发散；2 13n =<，∑∞ =-1132n n n 收敛，所以选D 。 12.11 下列级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞ =??? ? ? +1311n n 解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散； 2 12(1)12lim 122n n n n n +→∞+=<，∑∞=122 n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞ =+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。 12.15 下列正项级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1 ∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n 内容要点 一， 概念与性质 （一） 概念由数列 u 1,u 2, ,u n , 构成的式子 称为无穷级数，简称为级数 . u n 称为级数的一般项， s n 级数的部分和 二）性质 3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性 . 4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛 5（收敛的必要条件 ）, 若 u n 收敛，则 lim u n 0. n 1 n 注意：若 l n im u n 0.则 u n 必发散. 而若 u n 发散, n n n 1 n n 1 n lim u n 0. n （三） 两个常用级数 1, 等比级数 1, 若 u n 收敛，则 ku n 1 n 1 k u n . n1 2, 若 u n , v n 收敛，则 n1 n 1 u n v n1 u n1 v n . n1 n u i 称为 i1 如果 lim s n s , 则称级数 u n 收敛， s 称为该级数的 和 n1 . 此时记 u n n1 s . 否则称级数发散 则不一定 2, p 级数 二，正项级数敛散性判别法 （ 一 ） 比较判别法 设 u n , v n 均为正项级数，且 u n v n （n 1,2, ）, 则 n 1 n1 v n 收敛 u n 收敛； n1 n 1 u n 发散 v n 发散 n1 n 1 （ 二） 极限判别法 如果对 p 1, l n im n p u n l(0 l ), 则 n1u n 则收敛 . （ 三 ） 比值判别法 设 u n 为正项级数，若 n1 二， 交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设 1n 1u n （u n 0）为交错级数，如果满足： n1 1, u n u n 1（n 1,2, ）2, lim u n n 则此交错级数收敛 . 三， 任意项级数与绝对收敛 （一） 绝对收敛如果 u n 收敛，则称 u n 绝对收敛 . n 1 n 1 二） 条件收敛如果 u n 收敛，但 u n 发散,则称 u n 条件收 n 1 n 1 n 1 敛. （三） 定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛 . 函数项级数 一、主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭 如果 lim nu n l(0 l n ）,则 u n 发散； n1 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 第十二章 无穷级数 (一) 1．解：∵( ) ∑ =∞→-+=+-+=n k n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数 发散。 2．解：∵() ∑∑==→??? ??+-=??? ??+-=+=n k n k n n k k k k S 1141 221212122121212221， (∞→n )，∴原级数收敛且和为 4 1。 3．解：∵41 215 11511513113113151315131 111+→-? ?? ?? -+-??? ??-= +=??? ??+=∑∑∑===n n n k k n k n k k k k n S 4 3= ，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。 4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001 lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n n n n ，∴由比值判别法知原级 数发散。 5．解：∵()11 11lim 1lim lim 11<=??? ??+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U e n e n n e n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 6．解：∵02 1 21lim lim ≠=+=∞ →∞ →n n U n n n ，∴原级数发散。 7．解：∵()()2332lim 1lim =++=∞→∞→n n n n n U n n n ，而∑∞ =11 n n 发散，∴由比较判别法知原级数发散。 8．解：∵13113lim 13lim lim <=+=?? ? ??+=∞→∞→∞→n n n n U n n n n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 9．解：∑ ∑∞ =-∞ ==1 1 1 2 ||n n n n n U ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原 级数绝对收敛。 高数第七章无穷级 数知识点 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1 n n U 与 ∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 第十三章 函数项级数习题课 一 概念叙述 1．{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε??>??>?∈有ε<-)()(x f x f n ． 2．{}n f 在D 上不一致收敛于0000,,,f N n N x D ε??>??>?∈使得0 000()()n f x f x ε-≥． 3．{}n f 在数集D 上一致收敛?柯西准则 0,,,,N m n N x D ε?>??>?∈，有()()n m f x f x ε-<． ?柯西准则 0,,,,0N n N x D p ε?>??>?∈?>，有()()n p n f x f x ε+-<． 4．{}n f 在数集D 上不一致收敛?柯西准则 00000,,,,N m n N x D ε?>??>?∈使得0 000()()n m f x f x ε-≥． ?柯西准则 00000,,,,0N n N x D p ε?>??>?∈?>使得0 000()()n p n f x f x ε+-≥． 5． 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛于函数()S x ?部分和函数列{}()n S x 在数集D 上一致收敛于函 数()S x ． 二 疑难解析与注意事项 1．为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性？ 答：函数列理论中重要问题是(){} n f x 的性质（连续性，可积性，可导性）在极限过程中是否依旧保持？比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是所要讨论的一致收敛性问题．由于函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛性可以转化为相应部分和函 数列{}()n S x 的问题来讨论，因此研究函数项级数逐项求极限，逐项求导，逐项求积分时，要讨论函数项级数的一致收敛性． 2．判断函数列{}n f 在D 上一致收敛有哪些方法？ 答：1）定义：{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε??>??>?∈有ε<-)()(x f x f n ； 2）柯西准则：0,,,,N m n N x D ε?>??>?∈，有()()n m f x f x ε-<，用于抽象的函数列的一致收敛性的判断； 3）确界（最大值方法）：0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n D x n ； 4）估计方法（放大法）：|()()|0n n f x f x a -≤→；同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数
高数第七章无穷级数知识点
p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： 当1
无穷级数习题
教案1无穷级数概念与性质
第十二章数项级数31263
微积分第七章-无穷级数
第十二章 数项级数习题课
第七章 无穷级数
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p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足 条件l U U n n n =+∞→1 lim ： ①当1
数学分析：第章数项级数
数项级数教案
3第一讲__数列的极限典型例题
8数项级数习题课共32页文档
同济第六高等数学教案版无穷级数
第十二章-无穷级数(整理解答)
考研级数典型例题完美版讲析
高等数学教案ch 11 无穷级数
第十二章 无穷级数(答案)
高数 第七章 无穷级数 知识点知识讲解
p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件 l U U n n n =+∞→1 lim ： ①当1
第十三章---函数项级数习题课
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