第五章： 对称性及守恒定律
P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H
+=μ
。 （１） 证明
V r p p r dt
d ??-=?
μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2
（证明）（１）z y x p z p y p x
p r ??????++=?
，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：
]?,??[1)??(H p r i p r
dt d
?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p
p z p y p x H p r z y x +++=?μ
)],,()???(21
,??????[222z y x V p p p p z p y p x
z y x z y x +++++=μ
)],,(,[21
],??????[2
2
2
z y x V zp yp xp p p p p z p y p x
z y x z y x z y x +++++++=μ
（２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x
i p x ??
= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：
]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ
μμ++=?
)],,(,??????[z y x V p z p y p x
z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222
V p z V p y V p x
p p z p p y p p x z y x z z y
y x x +++++=
μμμ （３） 前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：
x x x x p x p p x p p x
?????]?,??[23
2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x
???????????22
23-+-= x x x x x p p x p p p x
?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= （４）
],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x
x x x x x x =-=-=
x
V x i ??=?? （５） 将（４）（５）代入（３），得：
}{)???(]?,??[222z
V z y V y x V x i p p p i H p r
z y x ??+??+??+++=? μ }?{2V r p
i ??+=
μ
代入（１），证得题给公式：
V r p
p r dt d ??-=? μ
2?)( （６） （２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ?的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r A
??? ?= 则0)??(*2
=??-=?=????V r p d p r p r dt d τ
μτψψ （７） 但动能平均值 μτψμψτ
22?*22p d p T =≡???
由前式 V r T ??=
2
1
P249 设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：
（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n
2,==
（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：
∑=ijk
k
j i ijk z y x C z y x V ),,( （１）
此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：
n k j i =++ （定数）
ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
根据前一题的结论：
V r
T ??=?2 （２） 现在试行计算本题条件下V r ??
的式子及其定态下平均值。 z
V z y V y x V x
V r ??+??+??=??
∑??
+??+??=k j i ijk z y x C z
z y y x x
)( ∑∑∑---++=111k j i ijk k j i ijk k j i ijk
z y x kC z z y x jC y z y x iC x
∑++=ijk
k
j i ijk
z y x C
k j i )
( ),,(z y x nV =
这个关系在数学分析中称Euler 的齐次式定理。再利用（２）即得：
V n T =2 （３）
本证明的条件只要V r ??
不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。现将其直接用于几种特例，并
另用（２）式加以验证。
（１）谐振子：)(2
232221z y x V ωωωμ
++=
直接看出2=n ，根据（３）式知道
V T 22=，即 V T =
也可以根据前一题的结论，即（２）式直接来验证前一结论
z
V
z y V y x V x
V r ??+??+??=?? z z y y x x 321μωμωμω?+?+?=
V z y x 2)(2
32221=++=ωωωμ
V V r 2=??
，由（３）式可知V T =
（２）库仑场 2
2
2
1z
y x V ++=
直接看出Ｖ是z y x ,,的1-=n 次齐次式，按（３）式有： V T -=2
但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：
z
V z y V y x V x V r ??+??+??=??
2
/32222/32222/3222)()()(z y x z
z z y x y y z y x x x ++-?+++-?+++-?
=
V z y x -=++-
=2
221 V V r -=??
代入（２）式，亦得到 V T -=2
（３）场2
2
2
2
)(),,(n n
z y x C Cr z y x V ++== 直接看出Ｖ是z y x ,,的n 次齐次式，故由（３）式得：
V n T =2
仍根据（２）式来验证：
z
V z y V y x V x V r ??+??+??=??
)2()(2)2()(21222212222y z y x n y x z y x n x n n ?++?+?++?=--)2()(2
12222z z y x n
z n
?++?+-
V n z y x n n
=++=2
2
22)(
由（２）得 V n T =2，结果相同。
本小题对于n 为正、负都相适，但对库仑场的奇点0=r 除外。
P260求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。
（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符)(?t A
应满足：
]?,?[1?H A i dt A d = （１） 又对于自由粒子，有μ
2??2p H =（p ? 不随时间t 变化）
令)(?)(?t x t A
=为海氏表象座标算符；代入（１）
]2?),(?[1)(?2μ
p
t x i dt t x d =
]?),(?[21
)(?2p t x
i
dt t x d μ= （２） 但 x p p x p t x
????]?),(?[222-= x p p p x p p x p p p x
????????????-+-= p i p x p p p x
?2]?,?[??]?,?[ =+= （３） 代入（２），得：
μ
μp
i p i dt t x d ?21?2)(?==
积分得 C t p t x
+=μ
?)(?
将初始条件0=t 时，)0(?)(?x t x =代入得)0(x C =，因而得到一维座标的海氏表象是： )0(??)(?x
t p t x
+=μ
P260求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。 解：用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：
2
?21?2
22x p H μωμ+= （１） 解法同于前题，有关坐标)(?t x
的运动方程式是：
]2
)(?2)(?),(?[1)(?222t x t p t x i dt t x d μωμ+= （２） 将等式右方化简，用前一题的化简方法：
μ
μωμμωμ)(?]?,?[2]?,?[21]2,?[1222222t p x x i p x i x p x i =+=+?
)(?1)(?t p
dt t x
d μ
= （３）
但这个结果却不能直接积分（与前题不同，p ?与t 有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：
]2
)(2)(?),(?[1)(?222t x t p
t p i dt t p d μωμ+= 化简右方
}????{2]2)(),([1222
22p x x p hi
t x t p hi -=μωμω =
}?????????{22
p x x x p x x x p
hi
--μω =
)(?]}?,?[??]?,?{[2222
t x x p x x x p
hi
μωμω-=- )(?)(?2t x
dt
t p
d μω-=⑷ 将⑶对时间求一阶导数,并与⑷式结合,得算符)(?t x
的微分方程式: 0)(?)(?2
2
=+t x dt
t x d ω ⑸ 这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率ω，它的解是：
t B t A t x
ωωsin ?cos ?)(?+= ⑹ A
?，B ?待定算符，将它求导，并利用⑶： )sin ?cos ?()(?t A t B t p
ωωμω-= ⑺ 将t=0代入：x(0)=A P （0）=μωB ，最后得解：
t p
t x t x
ωμω
ωsin )0(?1
cos )0(?)(?+= ⑻ )sin )0(cos )0()(t x t p t p ωμωω-= ⑼
在初时刻t=0，海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式中：
x
i p x x
??=
= )0(??)0(?
c.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:§1.1.p.47-48 Addison-Wesley
5.1设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明
[][]H H A A dt d ,,2
2
2
=-
证.若力学量A 不显含t ，则有
[]H A i dt dA ,1
=,令[]C H A =, 则
[][]H C H C i dt C d i dt A d ,1
,112
22 -===, [][]H H A A dt
d ,, 2
2
2
=-∴
5.1证明力学量A
?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2
2
2
H H A A dt
d -= （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A
? 不显含t ，有
]?
,?[1H A i dt A d
= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量
]?
,?[1H A i
的平均值，则有： ]?
],?,?[[1]?],?,?[1[12
22H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2
即得待证式。
5.2证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
（证明）设A
?是个不含t 的物理量，ψ是能量H ?的公立的本征态之一，求A ?在ψ态中的平均值，有：
???=τ
τψψd A
A ?*
将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）
???-≡=τ
τψψd A H H A i H A i dt A d )????(*1]?,?[1 （１） 今ψ代表H
?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H
=? （E 为本征值） （２） 又因为H
?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积分存在）
τψψτψψτ
d A
H
d A H ??????=)?(*)?()~
(?* （３）
（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）
（２）（３）代入（１）得：
τψψτψψd A H i
d H A i dt A d )?(*)?(1)?(?*1??????-= ??????-=
τψψτψψd A i
E d A i E ?**?* 因*E E =，而
0=dt
A
d 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt
dA 证：束缚定态为:：()
()
t iE n n n e
t -=ψψ,。
在束缚定态()t n
,ψ，有()()()t E t t
i t H n
n
n
n
,,,ψψψ=??
= 。
其复共轭为()()()t E e t
i t H n
n
t iE n
n
n ,,**
*
*
ψψψ=??
-=
。
??
? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()?????
??-????? ??-=dt d ,,dt d ,n ψψψψψψA A A dt d n n n n n ??
?
??-??? ??-=
n n n n H i A A H i dt A d ψψψψ 1,,1 ()()n n n n AH i HA i dt A d ψψψψ,1,1 -+=
[]()()n n HA AH i H A i ψψ--=,1
,1
[][]()
0,,1
=-=
A H H A i
。
5.3证明，对于一维波包有：
)(1
2px xp x dt d +=μ
（解）一维波包的态中，势能不存在故
μ
2??2
x p H = （自由波包） 依据力学量平均值时间导数公式：
]2?,?[1]?,?[12222μ
x p
x i H x
i x dt d == ]?,?[212
2x p x i
μ=
（２）
但 2
22222????]?,?[x p p x p x
x x x -= )????????()????????(x p p x p x p x p x p x p p x x
x x x x x x x x -+-= )????????()????????(x x p p x p x p x p x p x p p x
x x x x x x x x -+-+ x p x p x p p x p x p x p p x x
x x x x x x x x ?]?,?[???]?,?[]?,?[???]?,?[?+++= （３） 因 i p x
x =]?,?[ )????(2]?,?[22x p p x
i p x x x x += （４） 代入（２）式，得到待证的一式。
5.4 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：/][/?21?,2
j j
i j
i i i i i r r V p m H -+=∑∑< ⑴ 证明：总动量∑=i
i p p
??
为守恒。 ⑵
证明：待证一试是矢量算符，可以证明其x 分量的守恒关系，即为足够按力学量守恒条件这要求：
0]?,?[=H p
x ⑶ /)](/?21,?[]?,?[,2j j
i i i i i i ix x r r V p
m p H p -+=∑∑∑ =/)](/,?[]?21
,?[
,2j j
i i i ix i
i i i
ix r r V p p m p
-+∑∑∑∑ =])???(21
)???(21,???[2z 222z 1212121?+++?+++??+i iy ix i
y x i x x x p p p m p p p m p p p
i +]/)(//)(/ /)(/,???[322121?+-?-+-??+j i x x x r r V r r V r r V p p p
i ⑷
第一个对易式中，因为：0]?,?[2
x =j ix p p
， 0]?,?[2
x =jy i p p ，0]?,?[2
jz =p p ix 故整个 0]?21
,?[
2=∑∑i
i i
i
ix p m p
至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式
∑∑<---=-j
i j
i j i j i j i j j
i i z z y y x x V r r V ,,),,(/][/
=
)},,(),,({21
,j i j i j i j
i j i j i j i z z y y x x V z z y y x x V ---+---∑ 又⑷式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同粒子的坐标算符和动量算符永远能够对
易，⑷式又能简化成：
]),,(?,?[]?,?[∑∑---=j
j
i j i j i i
ix x z z y y x x V p H p =
∑∑---+---i
i
j i j i j j i j i j i j
ix
z z y y x x V z z y y x x V p
)}],,(?),,(?{2
1,?[ ⑹ 再运用对易式（第四章11题） i
i i i i ix x x V i x F x i x F p
??=??=)()](,[)](,?[ 代入上式得：
])],,(?
[21,?[)],,(?[21,?[[]?,?[∑∑∑∑---+---=i i i j i j i j j
ix
j i j i j i j ix x z z y y x x V p z z y y x x V p H p
=
022=??-??∑∑∑∑i
i j i x V i x V i 满足⑶式，故⑵式得征。
5.5多粒子系如所受外力矩为0，则总动量∑=i
l L ?? 为守恒。 证明：与前题类似，对粒子系，外力产生外力势能和外力矩，内力则产生内力势能)(j i r r V
-，但因为内力成对产生，所以含内力矩为0，因此若合外力矩为零，则总能量中只含内势能：
][?21?,2j j
i i i i
r r V p H
-+=∑μ ⑴
要考察合力矩是否守恒，可以计算]?,?
[H
L 的分量看其是否等于零。 ]][?21),([]?,?[,2∑∑∑-+-=i j j
i i i i i iy i iz i x r r V p
p z p y H L μ )]
)(,,(),,()[()])(???()???()[(21
222222iy i ix i j i j i j i i
j i j i j i j
iy i iz i iy i iz i iz iy ix iz iy ix i iy i iz i i
p z p y z z y y x x V z z y y x x V p z p y p z p y p p p p p p
p z p y ---------+-++-++-=∑∑∑
μ
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
4.29——6.1 4.29证明在z L ?的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z = [] x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ， ( )( ) ( ) 011 1 =-=-=-= ∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L 同理有：0=y L 。 附带指出，虽然x l ?，y l ?在x l ?本征态中平均值是零，但乘积x l ?y l ?的平均值不为零，能够证明：,2 1 2y x y x l l i m l l -== 说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ，2?y l 的平均值见下题。 4.30 设粒子处于()?θ,lm Y 状态下，求()2 x L ?和() 2 y L ? 解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程 ()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =， 利用基本对易式 L i L L =?， 可得算符关系 () ()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2 () x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2 将上式在lm 态下求平均， 使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 2 2 y x L L = 又()[] 222 2 2 1 m l l L L L z y x -+=-=+ ()[] 222 2 12 1 m l l L L y x -+= = ∴ 上题已证 0==y x L L 。 ()() ()[] 222 2 2 2 2 12 1 m l l L L L L L L x x x x x x -+= =-=-=?∴
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性
第五章： 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21 ,??????[222z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21 ],??????[2 2 2 z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++= μμμ （３） 前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下： x x x x p x p p x p p x ?????]?,??[23 2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ???????????22 23-+-= x x x x x p p x p p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= （４） ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x x x x x x x =-=-=
浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用
第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学， 二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数 )(r ?ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函 数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21*2 1ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数
（二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数
2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 ,
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
第四章态叠加原理及力学量的算符表示 4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4) 4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6） 4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？ （2）是否厄米算符？ 4-4 证明下列算符哪些是厄米算符： 4-5 （1）证明（2） 4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2） 4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。又问，算符的情况下，是什么样的算符？ 4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。进而求的本征值。 4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。 4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？ 4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。试证明之。 4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。 4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？ 4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？ （2）它的动量有没有确定值？ 4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。（a）试求C3的数值。（b）写出在t时的波函数。（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？
4-16 证明下列对易关系： ，4-17 证明下列对易关系：
第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
第四章 量子力学的表述形式 （本章对初学者来讲是难点） 表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。 为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比： 矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e ~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维 任意矢展开∑=i i i e A A 任意态展开 ∑=n n n a ψψ ),,(z y x e e e ),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(?θe e e r 取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换 由此可见，可以类似于矢量A ，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。 为此，我们将 ① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。 最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。 4.1希尔伯特空间 狄拉克符号 狄拉克符号“ ”~类比： ),,(z y x A A A 欧氏空间的矢量 A →坐标系中的分量 ),,(?θA A A r ………. )(r ψ →表象下的表示 )(p C ……….
引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。 一、 希尔伯特空间的矢量 定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般 是无限维的。 1、线性：①c b a =+；②a b λ=。 2、完备性：∑=n n n a a 。 3、内积空间： 引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 ∑ ==? +n n n a a a a * ; )(:。 定义内积：==* a b b a 复数，0≥a a 。 1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交； m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。 二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 （此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号） 1、态矢符合线性空间的要求：?λψψψψ=+=21。 2、任意态矢可用一组完备的基矢展开： nm m n n n n f f f a δψ==∑, 。 ∑∑ =→====n n n n m mn n n m n m n f a a a f f a f a ψδψ? 。 3、态可以求内积： ??==dx x x dx x x )(,)(??ψψ ~ 以}{x 为基， 其中 ??ψψx x x x ==)()(。 取ψ的左矢：?=dx x x )(*ψψ，有内积 ????='''='''=dx x x dx x d x x x x x d x x dx x x )()()()()()(***?ψ?ψ?ψ?ψ 上式已利用了连续谱的正交归一性)(x x x x '-='δ。 三、 希尔伯特空间的算符 算符 ψ?F F =: 1、算符对左矢的作用： F b 存在，其意义（定义）为 )()(a F b a F a F ==。
第四章：力学量用算符表示 [1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[] .2)(,2hipf q f p q = （证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q []qf p f qp fq p f qp f p q 2222 2 ,-=-= f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-= （2）)(])(,[pf fq ih p q pf q += （证明）同前一论题 )(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-= （3）ihfp p q f q 2])(,[2 = [证明]同前一题论据： fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2 hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-= （4）i f p i h q f p p 22 )](,[= [证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 i f i h q f p = )](,[ dq df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-= 物83-309蒋 ~80~
i f p i h f p p 22],[= = （5）p pf i h p q pf p i = ])(,[ （证明）论据同（4）： p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-= p pf i h i = （6）2 2 ])(,[p f i h p q f p i = （证明）论据同（4）： 2 2222)(],[p f i h p fp pf fp pfp fp p i = -=-= (2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式 为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。 以及 看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。 ~81~
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
第一章 绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温 度T 成反比，即 b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。 [解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为 ννπνρννd e c h d kT h 1 183 3 -= 由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =, λ λ νd c d 2 + = 因而有： λλπλλρλ d e hc d kT hc 1 1 8)(5 -= 令 λkT hc x = 所以有： 11 )(5 -=x e Ax λρ （44558c h T k A π=常数） 由 0 ) (=λλρd d 有 0)1(115)(254=??????---=λλλρd dx e e x e x A d d x x x 于是，得： 1 )51(=-x e x 该方程的根为 965.4=x 因此，可以给出， k hc xk hc T m 2014.0== λ 即 b T m =λ （常数） 其中 k hc b 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--????? = k m ??=-310898.2
[注] 根据 1183 3 -= kT h e c h νννπρ 可求能量密度最大值的频率： 令 kT h x ν= 11 3 -=x e Ax νρ （23338h c T k A π=） 0]11[3=-=ννρνd dx e Ax dx d d d x 因而可得 1 31=??? ?? -x e x 此方程的解 821.2=x h kT h kTx 821.2max == ν b T T b '=?'=-1 max max νν 其中 3423 1062559.610380546.1821 .2821.2--??=='h k b 1910878.5-???=s k 这里求得m ax ν与前面求得的m ax λ换算成的m ν的表示不一致。 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 [解] 德布罗意公式为 p h = λ 因为价电子能量很小，故可用非相对论公式 μ22 p E = 代入德布罗意公式得 λ= = 这里利用了电子能量 E eV =。将普朗克常数h ，电子质量μ和电子 电量电e 的数值代入后可得
第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω= 中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω= ==。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 得ω ωπm n m nh a 22== （3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4） 积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-?arcsin 222222 2 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, 粒子能量 1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用,,2,1,20 ==?n nh d p π ?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2?=。 解：平面转子的转角（角位移）记为?。 它的角动量. ??I p =（广义动量），?p 是运动惯量。按量子化条件