4.29——6.1
4.29证明在z
L ?的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z
=
[]
x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，
(
)(
)
(
)
011
1 =-=-=-=
∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L
同理有：0=y L 。
附带指出，虽然x l ?，y l ?在x l ?本征态中平均值是零，但乘积x l ?y
l ?的平均值不为零，能够证明：,2
1
2y x y x l l i m l l -==
说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ，2?y l 的平均值见下题。
4.30 设粒子处于()?θ,lm Y 状态下，求()2
x L ?和()
2
y
L ?
解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程
()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =，
利用基本对易式 L i L L =?，
可得算符关系 ()
()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2
()
x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2
将上式在lm 态下求平均，
使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 2
2
y
x
L
L =
又()[]
222
2
2
1 m l l L L L z
y x -+=-=+
()[]
222
2
12
1
m l l L L y
x
-+=
=
∴ 上题已证 0==y x L L 。
()()
()[]
222
2
2
2
2
12
1
m l l L L L L L L x x x x
x x -+=
=-=-=?∴
同理 ()
()[]
222
12
1
m l l L y
-+=
?。 （补白）若需要严格论证2
x l 与2
y l 的相等关系，可设
y
x l i l l ???+≡+ y x l i l l ???-≡- 于是有)??(21?-++=l l l x
)??(2
?+--=l l i
l y 求其符2?x l 的平方，用-+l l ??来表示：
)????????(4
1?2-
-+--++++++=l l l l l l l l l x )????????(4
1?2--+++--+--+=l l l l l l l l l y
再求它们在态im Y 中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是
))????????(4
1,(?2im
im x Y l l l l l l l l Y l --+--++++++= （1） ))????????(4
1,(?2im
im y Y l l l l l l l l Y l --+++--+--+= （2） 或都改写成积分形式如下，积分是对空间立体角取范围的： Ω+++=
??Ω
--+--+++*d Y l l l l l l l l Y l im im x )????????((41
2
（3） Ω--+=
??Ω
--+++--+*d Y l l l l l l l l Y l im im y )????????((412
（4） 按角动量理论：1,)1)((?++++-=m i im
Y m l m l Y l
1,)1)((?--+-+=m i im Y m l m l Y l （5）
和正交归一化条件：
m m i i im m i d Y Y ,,,'''''*
=Ω??δ （6）
将运算公式（5）使用于（3）式的各项，得结果如下：
0??2,=Ω?=Ω????+*
++*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数 0??2,=Ω?=Ω????-*--*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数
2)1)((?? +-+=Ω??-+*
m l m l d Y l l Y im
im 2)1)((?? ++-=Ω??+-*
m l m l d Y l l Y
im
im
注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算，
再代进积分式中，如：
1,)1)((???-+-++-+=m l im Y m l m l l Y l l
1,?)1)((-+?+-+=m l Y l m l m l
m l Y m l m l m l m l ,1)1()][(1([)1)((?+-+--+-+=
将它们代入（3）就得到前一法（考虑y x l l ,对称）得到相同的结果。 ])1)(()1)([(41
222
++-++-+=
m l m l m l m l l x 22])1([2
1
m l l -+= 又从（4）式看出，由于-
-++l l l l ??,??没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这在第四章中并没有准备知识，所以用本法解题不符合要求，只作为一种参考材料。
4.30——6.2
4.31——6.5，6.9，6.14
4.31设体系处于202111Y C Y C +=ψ状态（已归一化，即12
2
2
1=+C C ）
，求 （a ）z L 的可能测值及平均值; （b ）2
L 的可能测值及相应的几率； （c ）x L 的可能测值及相应的几率。
解：112
1122 Y Y L =，2022026 Y Y L =；
1111 Y Y L z =，20200 Y Y L z =。
（a ）由于ψ已归一化，故z L 的可能测值为 ，0，相应的几率为21C ，22C 。平均值 2
1C L z =。 （b ）2
L 的可能测值为2
2 ，2
6 ，相应的几率为21C ，2
2C 。
（c ）若1C ，2C 不为0，则x L （及y L ）的可能测值为： 2， ，0， -， 2-。
1）x L 在1=l 的空间，()z L L ,2
对角化的表象中的矩阵是??
??
? ??010*******
求本征矢并令1= ，则????
?
??=????? ???????
??c b a c b a λ010********， 得，a b λ2=
，b c a λ2=+，c b λ2=。1,0±=λ。
ⅰ）取0=λ，得a c b -== ,0，本征矢为?
???? ??-a a 0，归一化后可得本征矢为???
??
??-10121。
ⅱ）取1=λ，得c a b 22==，本征矢为?
???? ??a a a 2，归一化后可得本征矢为???
?? ??12121。
ⅲ）取1-=λ，得c a b 22-=-=，归一化后可得本征矢为?????
??-12121。
在???
?
? ??=0011111C Y C 态下 ：
x L 取0的振幅为
()2001C 1012111C =?
???? ??-，x L 取0的几率为221C
； x L 取 的振幅为
(
)
2001C 1212
111C =????
? ??，相应的几率为4
21C
；
x L 取 -的振幅为()
2001C 1212111C =?
???
? ??-，相应的几率为421
C 。
总几率为2
1C
2）x L 在2=l 的空间，(
)
z L L ,2
对角化表象中的矩阵 利用
()()1211++-=
+m j m j m j j
m j x ()()12
1
1+-+=
-m j m j m j j m j x
11222 =∴x j ，2
3
0212=
x j ，2
3
1202=-x j ，12212=--x j 。
????????? ??=01
00
102
30002
302
30
002
30100010x L ，本征方程???????? ??=???
??
??
?
???????????
??e d c b a e d c b a λ01
00
102
30002
302
30002
3010001
a b λ=，b c a λ=+
23，
()c d b λ=+23
，d e c λ=+2
3，e d λ=，2,1,0±±=λ。 ⅰ）0=λ，0=b ，c a 23-=，0=d ，c e 23-=本征矢为???
??
???
? ??-10320183。在??
???
?
?? ??=001002202C Y C 态下，测得0=x L 的振幅为。几率为
4
2
2
C ；
ⅱ）1=λ，a b =，0=c ，b d -=，e d =，本征矢为???????? ??--1101121
。在202Y C 态下，测得 =x L 的振幅为
()01101121
001002=???????
? ??--C ，几率为0。
ⅲ）1-=λ，a b -=，0=c ，b d -=，d e -=，本征矢为???????
? ??--1101121
，在202Y C 态下，测得 -=x L 几率为0。
ⅳ）2=λ，a b 2=，a c 6=，a e d 22==，a c e ==
6
，本征矢为?????
??
?
??1262141，在202Y C 态下，测得
2=x L 的振幅为()
2246126214100100C C =?????
??
?
??。几率为2
283C ； ⅴ）2-=λ，a b 2-=，a c 6=，a d 2-=，a e =，本征矢为???????
?
??--1262141
，在202Y C 态下，测得 2-=x L 的
几率为
2
28
3C 。 2
22
2
418383 C C =??
?
??++∴。
在202111Y C Y C +=ψ态中，测x L （和y L ）的可能值及几率分别为：
222
12
22
12
12
28
34
1
4
1214
18
320
2C C C C C C +--
4.32求证在z
?l 的本征态下，角动量沿着与z 轴成θ的角度的方向上的分量的平均值是：θcos m 。
（解）角动量l ?
沿着与z 成θ解的方向（此方向用单位矢S 表示，它不是唯一的，因由方位角?给定），有一投影'?l
，它的解析式是： θ?θ?θcos sin sin cos sin k j i s
++=
z
y x z y x l l l k j i l k l j l i s l l ?cos ?sin sin ?cos sin )
cos sin sin cos sin ()???('?θ?θ?θθ?θ?θ++=++?++=?= （1）
计算在z l ?的本征态im Y 中角动量投影'?l
的平均值： ΩθΩ?θΩ?θΩ
d Y l Y d Y l Y d Y l Y l im z im
im y im im x im ???????+?+=***)?(sin )?sin (sin )?cos (sin ' （2） 式中?θθd d d sin =Ω 根据（29）题的结论，z
l ?本征态下0x =l ，0=y l 故前一式 第一，二两个积分无贡献，由于：im
im z Y m Y l =?，因而θcos ' m l = （3）
4.33设属于能级E 有三个简并态1ψ，2ψ和3ψ，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。 解：
()
11111,1
ψψψψ?=
=a
()1212'2,?ψ?ψ?-=，()
'2'
2
'2
2,1
???
?=
，
()()2321313'3,,?ψ??ψ?ψ?--=，()
'3'
3
'3
3,1
???
?=
。
321,,???是归一化的。
()()()()()[]0,,,,1
,112121'
2
'2
21=-=??ψ?ψ?????，
()()
()()()()()[]0,,,,,,1
,2132113131'
3
'3
31=--=??ψ???ψ?ψ???
??， ()()
()()()()()[]0,,,,,,1
,2232123132'
3
'3
32=--=
??ψ???ψ?ψ???
??。
∴它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。
4.33设属于某能级Ｅ的三个简并态)(321
ψψψ彼此线性无关但不正交，试找出三个正交归一化的波函数，它们是否仍为简并？
（解）用Schmidt 法
选
τψψ
ψ?τd ?=11
11*/
（１）则1ψ被归一化了。
选 11222)*('?τ?ψψ?τ
d ?-= （２）则
0)*()*(**'11122112=-=?
???τ??τ?ψτψ?τ??τ
d d d d 故1'3,??正交。
使 ?=τ??
??d '2'3'
22* 则12,??为正交归一组。
设
2231133'
3)*()*(?τ?ψ?τ?ψψ???--=d d （３）则
)*)(*(**1113131'
3????ψ-ψ=τ??τ?τ?τ??d d d d 0)*)(*(1223=ψψ-??τ??τd d )*)(*(**2113232'3????ψ-ψ=τ??τ?τ?τ??d d d d 0)*)(*(2223=ψ-??τ??τ?d d
故'
3?与21,??都能正交。
选 ?
=τ????d '
3'3'
3
3* 这样选的)(321???是正交归一化组。将H
?算符作用于（１）式： 11
1
1
1*/???τ
?τE d H H =ψψψ=?
同理H
?作用于（２）式： 1122'2?)*(???τ??H d H H ?ψ-ψ='2
1122})*({??τ?E d E =ψ-ψ=?
， 2
2???E H = 同理有3
3???E H =，因而)(321ψψψ仍有共同的能量本征值，简并不消失。
4.34设任何一个厄密矩阵能被一个么正矩阵对角化，由此证明两个矩阵被同一个么正矩阵对角化的条件是它们彼此对易。
证明： 充分性：设0????]?,?[=-=A B B A B A
，又设S ?是一个足以使A ?对角化的么正算符，则 αβ
αααβδA S A S =-)???(1 ⑴ 再求]?,?[B A 的变换矩阵元 αβ
αβαβ)????()????()?]?,?[?(1
1
1
----=S A B S S B A S S B A S 由于0]?,?[=B A
此式左方不论βα,为何值都为零，右方可利用矩阵积的元素的展开法则： ∑=?γ
γβ
αγ)()()??(G F G F αβ
αβ)??????()??????(01111----?-?=S A S S B S S B S S A S γβγ
αγγβγ
αγ)???()???()???()???(1111∑∑----?-?=S A S S B S S B S S A S ⑵ 利用⑴式于⑵，则可以写成
0])???()???([11=-∑--ββ
γβαγγ
γβαγδδA S B S S B S A aa
不为零的项是：（因为矩阵元是数，可以对易）
0)???()???(11=---ββ
αβαβA S B S S B S A aa
即： 0)???)((1=--αβββS B S A A aa ⑶ 此式成立的条件是：βα≠时，0)???(1=-αβS B S βα=时，0)???(1≠-αβ
S B S 故αβ
)???(1-S B S 是对角矩阵的元素，)???(1-S B S 是对角矩阵，而S ?是能同时将B A ?,?对角化的么正变换算符。 对易关系0],[=B A 必要性的证明：
设S
?能同时将B A ?,?对角化，则有： aa A S S αβαβδ=-)?A ??(1 ⑷ aa
B S B S αβγαβδ=-)???(1 ⑸ 试对]?,?[B A
进行变换，有： αβ
αβαβ)????()????()?)?,?(?(111----=S A B S S B A S S B A S
αβ
αβ)??????()??????(1111----?-?=S A S S B S S B S S A S 写成展开式，再将⑷⑸代入：
γβ
γ
αγ
γ
γβαγαβ∑∑-----?-?=)???()???()???()???()?)?,?(?(11111S A S S B S S B S S A S S B A S 0)(=?-?=∑γ
γγγβαααγγγγβαααγδδδδA B B A
∑
后面γ不论取βα,或其它值，这个矩阵元永远是零，这说明矩阵1
?]?,?[?-S B A S
的一切元素是零，这必需是0]?,?[=B A
。
4.35证明（1）若一个N 阶矩阵与所有N 级对角矩阵对易，则必为对角矩阵。
（2）若它与所有N 阶矩阵对易则必为常数矩阵。
（证明）若矩阵A
?与一切具有相同阶的对角矩阵B ?对易，则有： （1）A ( B =mn )（B A mn )，因B 是对角矩阵，所以它的不为0的元是nn mn B B 或形式，前一式为 mn mm nn mn A B B A = 移项 0)(=-nn mm mn B B A
但,0,,=≠≠mn nn mm A B B n m 得而即（A ）的非对角矩阵元为0,其对角矩阵可以不是零，因而（A ）也是对角矩
阵。
（2） 设A
?与一切同阶矩阵B ?对易，则A ?也应与一切对角矩阵B ?对易，按前一小题，A ?必然是对角矩阵，其对角元素是mm A 形式。
又另一方面A ?又与一切非对角矩阵C ?对易而0≠mn
C ，我们又有: mn
mn A C C A )??()??(= 即 nn mn mn mm A C C A = 移项得 0)(=-mn nn mm C A A
但A A A C nn mm mn 即而,,0=≠的各个对角矩阵元彼此相等，所以A
?又是常数矩阵（对角位置元素相等的特殊对角矩阵）。
4.36——3.14
4.36厄密算符A
?与B ?，满足,0????1??22=+==A B B A B A 和求 （1） 在A
?表象中，A ?与B ?的矩阵形式，并求B ?的本征函数表示式。 （2） 在B
?表象中，B A ??与的矩阵形式，并求A ?的本征函数表示式。 （3） 从A
?表象到B ?表象的么正变换矩阵S ?。 （证明） （1）按题给的三个条件，设算符A 的本征矢量是>ψ本征值是λ，则有：
>ψ>=ψλA
? 重复运算得： >ψ=ψ22?λA
可见算符2?A
的本征值是2λ，并与A ?有共同本征矢>ψ。按题意I A ??2=，而12=λ。此外，又因为 243??,??A A A A
==，所以A ?的本征值只会有两个，即1,1-==λλ。 在A
?表象中，用A ?的本征矢作基矢，而A ?的矩阵为对角的，对角矩阵元是本征值，因而： [A]=??
????
-1001 (1)
在A
?表象中B ?的矩阵不能直接设定，可假设它是：
[B]=??
?
?
??4231b b b b （2） 利用A ?0???=+A B B ，代入（1）（2）得到：
020021001100141
4231
4231
=??
?
???-=??????-??????+????????????-b b b b b b b b b b
由此得到,0,041==b b 而（2）式得到简化： [B]=??
?
?
??00
32b b （3） 再利用条件,??2I B
=有： ????
??00
32b b ??????0032b b =??
?
???=??????100100323
2b b b b ， 得 132=b b [B]= ???
?
????01
2
2b b （4） 此外因为B 是厄密算符，它还需满足条件：
[B]=[]+
B 即????
????01
022b b =??
?
???+**
0/102
2b b 得到12=b （5） 所以满足（4）（5）的最后的解是：
[B]=??
?
???-00
δ
δi i e e （6） 这里的δ是任何实数，代表一个不确定的相位因子。
最后求B ?在A ?表象中的本征矢和本征值，本征矢单列矩阵??
????21c c ：写下本征方程式（矩阵形式）有： ??????-00δδi i e e ??????21c c =λ??
????21c c 即 ???==-21
1
2c e c c e c i i λλδδ （7）
将（7）的两式等号左右方相乘，立刻得到本征值： 1
,1,12
-+==λλ
将本征值代入（7）式，得
???==-2
11
2c e c c e c i i δδ
这两式不独立，因而取最简单的解，即取21,0c c ==而δ，加归一化条件2
1,1212
2
2
1=
==+c c c c 得
对于另一本征值1-=λ，代入（7）得到：
???-=-=-2
11
2c e c c e c i i δδ
也取21,0c c -==得δ，与前一情形相同，加归一化条件2
1,1212
2
21=
-==+c c c c 得所求的两个B 的本
征矢是：
???
???1121 和 ??
????-1121； 与0=δ相应的B
?矩阵是： [??
?
?
??=0110]?B （8） 相位因子δ可取0以外的的值，但这时，[B]以及相应的本征矢随着更改，例如取2
π
δ=
时，
??
?
?
??-=00]?[i i B 本征矢
??????-i 121， ??
?
???i 121
（2）在B
?表象中，B ?是对角矩阵，而A ?则是反对角矩阵，A B ?,?的本征值也是,1±=λ本征矢和前一情形一样，只是B A
?,?互换角色而已。 （3）表象变换：寻求一个从A
?表达到B ?表象的变换 [s]=????
??4321s s s s .对算符A ?来说，在自身表象中矩阵是??
????1001 而在B ?表象中成为??
????-00δδi i e
e ，
按照表象变换理论假设算符L ?在A 表象中表示为L ?，在B ?表象中为L '?，变换算符为S
?，则L '?=+S ?L ?S ?，或L '?=1?-S L ?S ?。因此对算符A ?来说有：
B A S A
????+=' （9） 因为S 是么正算符，它的矩阵之间要受到限制：I S S =+
，即
ik
jk ij S S δ???=+ 即：
??
?
??????????4321*4*
2*
3*
1S S S S S S S S =???
??
?=????????++++100124223*
41*
24*
22*12
221S S S S S S S S S S S S
任何二阶的么正矩阵的元素之间要有这种限制，它等效于三个独立方程式：
????
???=+=+=+)
12(0
)11(1
)
10(1
4*33
*124222321S S S S S S S S
`式（10）的通解是θθαα
sin ,cos 21i i e S e
S ==
式（11）的通解是：??αα
sin ,cos 21i i e S e
S ==
将以上的解代入（12）又发现?π
θ?θ+==-2
,0)cos(即
因此得到二阶么正矩阵元素的通解：
[??
?
???-=θθ
θθ
βα
βαcos sin sin cos ]i i i i e e e e S （11）
将（11）式用于（9）式，得：
??????-??????-----1001cos sin sin cos θθθθββ
ααi i i i e e e e ??
?
?
??-θθ
θθ
β
αβαcos sin sin cos i i i i e e e e = ??
????-00δδi i e
e 将等号左方简化，并与右方对比各矩阵元：
=??????---θθθθ
βααβ2cos 2sin 2sin 2cos )
()(i i e
e ??
?
???-00
δ
δi i e
e （12） 它的合乎要求的普遍解答是
δαβπ
θ=-=
,4
（13）
第二个解仅仅是将未定的相位因子δβα,,之间定下一个关系，将（14）代入（11）到下述的变换矩阵，保留两个未定相因子：
??
?
???-=δδαi i i e e e S 112 式中的α值仍可以取任意值，要验证这矩阵是否符合变换的要求，可将它代入（9）式等号右方。
4.37设K L M M L M L K
?,1????,???为?=-=的本征矢，即λλ??,?=K 为本征值，试证明??μM v L ?,?≡≡也是K 的本征矢，相应的本征值分别为.1,1+-λλ
（证明） M L K
???= （1） 左乘M ，利用对易式：
M M L M L M K M
?)1??(?????-== 将前式作用于?：
???M M M L K M
??????-= 即 ???λM M K M
????-= ?λ?M M K
?)1()?(?+= （2） 将（1）左乘L
?，利用对易式 )1??(??????+==L M L M L L K L
将前式作用于?：
???L L M L K L
?)?)(??()?(?+= 即 ???λL L K L
????+= 利用本征方程式得
?λ?L L K
?)1()?(?-= 证毕 附带指出：如果将本题中关于L
?，M ?的对易条件要改成反对易条件，,1????)?,?(=+=L M M L M L 其它条件不变，我们也能证明ν或μ仍是K
?的本征矢，但相应的本征值则是1-λ和λ-1。
［２６］证明以下诸式：
（１） B A B A
?det ?det )??det(?= （证明）设B A
?,?是阶数n 的矩阵，由它们形成的行列式记作A ?det 和B ?det 。设A ?的矩阵元记作ij a ，B
?的矩阵元记作ij b ，按行列式理论，A ?的行列式的值是：
∑??-=njn j j rl
a a a A
2211)
1(?det （１）
式中rl 是排列)(21n j j j ??中的逆序数（逆序数指这种排列相对于正常排列),3,2,1(n ??发生的编号逆转），（１）式可改写为下式：
∑??-=inn i i r
a a a A
2211)
1(?det （２）
但r 是),,(21n i i i ??的逆序数。
如果将（１）的每一指标加以变更，可得（１）（２）的结合形式：
∑??-=+injn j i j i rl
r a a a A 2211)1(?det （３）
同理另一行列式写作
∑??-=+ln 2211)
1(?det kn l k l k sl
s a a a B
（４）
但l
s s ,分别是排列)(1n k k ??和)(1n ??的逆序数，取二者乘积：
ln 1111,,)
1(?det ?det kn l k injn j i sl
s rl r j i j
i b b a a B A
?????-=?+++∑∑ （５）
若在求和式中选取n n k j k j =??=,11则 1)1()
1(,2=-=-=+s s
rl l
s r
（５）式成为 )()()()
1(?det ?det ln 22221111,,jn injn l j j i l j j i sl
r j i j
i b a b a b a B A
???-=?+∑∑ （６）
再计算)det(AB ，它是矩阵积ＡＢ的行列式的值，按矩阵乘法设]?[]??[C B A
=是]?[C 的矩阵元是： ∑=j
jl ij il b a C （７）
],[B A 的行列式的值是：
)()()()1(]det[ln 2
22221
1111∑∑∑∑???-=+jn
jn injn j l j j i ij
j l j j i sl r b a b a b a AB （８）
r
是排列)(21n i i i ??，l
s 是排列)(1n ??的逆序数，（８）与（６）的形式结构是相同的，这证明
B A B A
?det ?det )??det(?=
（２）证A S A S
?det )???det(1=- （证明）本题是一个么正变换后的算符S A S A
t ????1-=的矩阵的行列式，与原来算符A ?的矩阵的行列式之间的相等关系。本题利用前一题的结论加以推广；先将积的行列化成行列的积：
)?det()?det()det()??det(11S A S S A
S I ??==--
因为)?det(A
等都是数值而不是算符或矩阵，因而遵守对易律 )?det()?det()det(1A S
S I -= 再将行列式积化成积的行列，进注意单位矩阵的行列式恒等于1，有 )?det(1)?det()??det(1A A s s
I ?=?=-
（3）证)??()??(A B Tr B A
Tr = （证明）Tr 是Trace (或Spur)即“径迹”的符号，按定义它等于矩阵的对角线矩阵元的和数：
∑=i
i
i a A Tr )?( 但[B A
??]是矩阵[A ?][B ?]的积，[B A ??]的矩阵元是 ∑=j
jl ij il b a B A
]??[ 因而 )??()??(B A Tr b a b a B A Tr ji
ij
ij
ji ji ij ===∑∑
(4)证)???()???()???(A C B Tr B A C Tr C B A
Tr == [证明]三个矩阵的积（三个算符）的径迹具有一般表示式
∑=ik
ki
jk ij c b a C B A Tr )???( 矩阵（C B A
???）的对角线元素要求各个组成矩阵元最前一个指标（足码）与最后一个指标相同，其余的指标则需要衔接，满足这两条件的矩阵元都属于对角线矩阵元，但发现矩阵轮换时，以上二条件能满足：
)???()???(A C B Tr a c b C B A Tr ki
ij
ki jk ==∑ 式子得证。
)???()???(B A C Tr b a c C B A Tr ij
jk
ij ki ==∑ （5）证)?()???(1
A Tr S A
S
Tr =- [证明] ∑--=jk
ki jk ij s a s S A S Tr 11)???( ，将矩阵元组成因子轮换。
∑==--jk
ij
ki jk s s a S A S Tr 11)???( 有问题
（补白）
以上的（2）题表示矩阵A ?么正变换（表象变换属此）后，行列式值不变。（5）则表示么正变换不变更径
迹。径迹在对角表象中代表本征值总和，这两小题表示么正变换的两项性质。