第四章：力学量用算符表示
[1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[]
.2)(,2hipf q f p q =
（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q
[]qf p f qp fq p f qp
f p q 2222
2
,-=-=
f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-=
（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=
（证明）同前一论题
)(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-=
（3）ihfp p q f q 2])(,[2
=
[证明]同前一题论据：
fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2
hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-=
（4）i
f p i
h q f p p 22
)](,[=
[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式
i f i h q f p =
)](,[ dq
df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-=
物83-309蒋
~80~
i
f p i
h f p p 22],[=
= （5）p pf i
h p q pf p i
=
])(,[ （证明）论据同（4）：
p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-=
p pf i
h i
= （6）2
2
])(,[p f i
h p q f p i =
（证明）论据同（4）：
2
2222)(],[p f i
h p fp pf fp pfp fp p i =
-=-=
(2)证明以下诸式成立：
(1)
(证明)根据坐标分角动量对易式
为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。
以及
看到
由于轮换对称性，得到特征的公式。
~81~
(2)
（证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律
同理可证明其他轮换式，由此得普通式
取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形：
根据轮换对称性，证明待证式成立。 (3)
注意 与x 没有共同坐标。 (4)
注意
没有共同坐标，因此可以对易即
，故
)()(22
22z y x x z y l l p p l l A +-+=
z
z x x z z x x z z y y x x y y x x y y x x x x y x x y l l p p l l p p l l l l p p l l p p l l l p p l l p p l )()()()(2222-+-+-+-=-+-=z x z x z z y x y x y y l p l p l l l p l p l l ],[],[],[],[+++=
}{z y y z y z z y l p p l l p p l hi ++--= )}(){(y z z y y z z y p l p l l p l p hi ---= })(){(x x p l l p hi *-*=
(3) l
为粒子角动量。F 为另一力学量，证明：
)(],[p
F p r F r hi F l ??*+??*-=
其中r ??
表示空间坐标的梯度，p
??表示动量空间的梯度。 [证明]按照题意
z
k y j x i
r ??
+??+??=?? z
y x p k p j p i r ??+??+??
=??
又F 可看作坐标r ，动量p
的函数，它一般可以表示成
n i ni
ni p r C p r F F )(),( ∑==
),,,3,2,1,0(z y x i n ==
为使证明题给论据清楚，可以先导出两种交换关系，作为后文的准备，设)(r ψ为任意波函数
ψ??=ψ??-ψ??=ψx F
i h x F F x i h F p x })({],[
x
F
i h F p x ??=],[
)(],[ψ-ψ=ψ∑∑X p C P XC F X ni
n i ni ni
n i ni
在前式的最后一项中，当I=x 时，可利用莱勃尼兹公式：
ψ??+ψ=?ψ?+?ψ?=ψ??=ψ--n
x x
n x n n n n n n n
x
P P i h XP x n x X i h X x i h X P )()()()()(11
当ψ=ψψ=ψ=n
z n z n y n y XP X P XP X P z y i )(;)(:,
因此：
∑∑∑ψ??
-
ψ-ψ=ψni
n i
ni x
ni
n i ni ni
n i ni P XC
P i h P XC P XC F x ],[
ψ??=x
P F hi
x
P F
hi
F X ??=],[ 现在利用前二式来证明题给一式的x 分量的关系成立，该式左方：
x x x x Fl F l F l F l -==],[],[
3)()(y z y z zp yp F F zp yp ---= F FyP F yP z z +-=
y
y z z y y y z z z p F z F p Z p F y F p y p Fz zF Fp F p z P Fy yF FP F P y ],[],[],[],[)()()()(--+=-----+-=
86-87
利用（1）和（2）得
同理可得
综合3式得
[4]设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
重复运算n-1次以后，得
（乙法）数学归纳法，待证一式当n=1时，是明显成立的，假设当m=k时该式成立，而k 1，则应有
现在计算有:
利用前述的假设
但又按题目假设
用于前一式得待证一式。
关于第二个公式也可按相同的步骤证明，不另列述。
但若第一式证实，则亦可从第一式推第二式，注意
A，
=
B
，-
[A
]
B
[
]
88-89
将第一式对易式中两算符对易得
再将文字A，B对易得
（5）证明
（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，B]对易一点不能使用，即
从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得
取A=q，B=p，注意[q，p]=hi代入前一式后，有
(6)证明 是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式： 前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证 (A 等是实数)是厄密算符
（证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则
运用这个关系于下面的计算：
τ?τ
ψτ?τψd P A d P F n n
?)?(∑?≡????
???
????∑=>τ
τ?ψd P
A n n
n n ?0
???-?∑=τ?ψd P P
A n n )?(?1 ???-?∑=τ?ψd P P
A n n )?()?(1 ???-?∑=τ?ψd P P P A n n )?(?)(2 τ?ψd P P P P
A n n )?(?)??(3-?∑= ???-?∑=τ?ψd P P P
A n n )?(?)?(32 τ?ψd P P P
A n n )?(?)?(42-?∑= ???-?∑=τ?ψd P P P
A n n )?(?)?(42 ????=τ
τ?ψd P
F ])?([ )?(P
F 满足厄密算符的定义。
（8）证明2
?n m m n nm n m p x x p
A +∑-（nm A 实数）是厄密算符。
（证明）方法同前题，假定已经证明p
?,x ?都是厄密算符，即： τ?ψτ?ψd p d p
???????=?)?(? τ?ψτ?ψd x d x
???????=?)(? 又按题意得证算符是一维的。
dx x p p dx x p m
n m
n ?
?
-?=?)??(???1?ψ?ψ ~90~ 物83-309蒋
dx x p p
m n )??()?(1?ψ-?=? dx x p x dx x p
m n m n ?ψ?ψ1?)??(?)?(-?=?=?? dx p x
n m ?ψ?=?)??( 这证明m m x p
??不是厄密算符，但满足 dx p
x dx x p n m m n ???=??ψ?ψ)??()??( 同理可证明
dx x p dx p
x
m n n m
???=??ψ?ψ)??()??( 将前二式相加除2，得
dx x p p x
dx p x x p m n n m n m m n ???+=+??ψ?ψ)2
????(2???? 因此2
????n m m n p x x p
+是厄密算符。
因此∑-+n
m n m m n nm
p x x p
A 2
????也是。 又假定用0?0
?=*作为厄密算符0?的定义，并设=?*)??( B A )??(**?A B
则本题可用较简方式来证明如下： 因为 *=p p
?? *=x x ?? 所以有 n n p p
)?(?*= m m x x )?(?*= n m n m m n m n p x p x x p x p
??)?()?()}?()?{()??(==?=**** 同理有
m n m n n m n m x p x p p x p x
??)?()?()}?()?{()??(==?=**** 相加除2，得：
这证明右方一式是厄密算符。
（9）证明，
若
当
大时并不趋于0，则
不一定是厄密算符。
~91~
（证明）设, 是任选的两个函数，适用分步法计算下列积分
继续将后一积分作分步运算，共作n 次，其结果将是：
由此计算可知若大括号里总和为0，则算符符合厄密算符定义，但按题
意时，不趋于0，因此我们无法证明大括号里总和为0
[10]证明其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形
i=1,2,3......i 自由度
（证明）本题意思是要证明等号两边式子等效，但左方是算符式，可以使用自变量
间的对易关系进行变形，为了证明方便，可设定
的函数形式如下：
式中
是指两组已知的复数，若
不能用的形式表示，则下面的证法无效，
按此假设，可进行下述的变形运算：
I ≡
[A,B]=
最后一式中出现座标的幂、动量幂之间的对易式，这类对易式的简化并未有过，需做专门的计算；兹以[
]
l
m p q ,的简化为例：
[]
m l l m l m
q p p q p q
-≡,
试将此对易式的第一项加以连续变形，并且运用已证过的公式：
()[]q
f
hi q f p ??-=,
（4） ()
1-?=l m l m p p q p q
（5）
利用（4）式，令()m
q q f =则有以下诸式：
或： 1
-+=m m m h i m q pq p q
（6） 同理有 ()2
111----+=m m m q m hi pq p q
（7）
依次类推…………………………………… 将（6）式代入（5）有：
()
11--+=l m m l m p himq pq p q
112---+=l m l m p himq p pq
（8）
将最后一式第一项分解，重复应用（6）：
()
112---+=l m l m l m p himq p p q p p q
()112
1
----++=l m l m m
p himq p
himq pq p
112
122-----++=l m l m l m p himq p himpq p q p
运用式（7）于前式中的1
-m pq
:
()[]
121221------+=l m m l m l m p q m hi p q him p q p p q
11--+l m p himq
11222---+=l m l m p himq p q p ()2221---+l m p q m m h
（9）
与（8）式比较，增加2h 的高阶次。
312)(--+=l m m l m p himq pq p p q
()2221112-----++l m l m p q m m h p himq []
32133)1(------+=l m m l m p q m hi p q himp p q p ()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
3222133)1(------++=l m l m l m p pq m m h p himpq p q p
()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
()[
]
321331------+=l m m l m p q m hi p q him p q p
()()[
]
332221------+l m m p q m hi p q m m h
物83-309蒋
()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
11333---+=l m l m l m p himq p q p p q
()+-+--22213l m p q m m h
()()33321-----l m p q m m im h
（10）
按同样方法连续变形l 次，得到下式；式中假设l m >。
()()()!212
1
2
-?-+=--l l hi p lmq hi q p p q l m m
l l
m
()()()()m
l l hi p q m m l m !
11112
2γγγγ+--+-?---
++---γ
γγl m p q m )1( l m l l q l m m hi --+-?-)1()()1(1
或改写作：
+---=----2211)1(!
2)
1()()(],[l m l
l m l m p q m m l l hi p lmq hi p q 11)1()()1(--+--m l l q l m m hi （11）
将此式代到（3）式中，得下式：
2
1[{],[--∑∑=l m k mn kl
kl mn p hilmq q D C B A
+-+--+----11222
[])1()1(2
n k m n l m p hiknq q p p q m m l l h =+----}.....])1()1(2
1222
l n k p p q k k n n }
)]1()1()1()1([)({222211以上幂 +---+++--+-+-+-+∑∑l n k m l n k m kl mn
kl
mn
p q k k n n m m l l p q kn lm l D C
将这对易式遍乘以i ，则右方各项中，第一项将与i 无关，第二项以后含i 以上的幂，取
极限0→i 时将留下第一项
∑∑??-=-+-+→mn kl kl
mn l n k m D C p q kn lm i B A 110)(]?,?[lim （12） 其次再考察题给公式等号右方的泊松括号，（用正则座标和正则动量表示的式子），我们论证的情形中，自由度1=ε，因而p p i = q q i =按经典力学定义：
∑????-????=i
i
i i i q B
p A p B q A B A )(
},{
~95~
=
n m mn
mn p q C q q B p A p B q A ∑??
=????-????
n m mn l k kl p q C p
p q D p ∑∑??
-?? l k kl p q D q
∑??
=
)(1111l k n m l k n mn
kl m kl mn
p kq p nq p lq p mq D C
----?-?∑∑
∑∑-+-+-=mn
kl
l n k m kl mn p q kn lm D C 11)( （13）
两种计算的结果相同，因而题给的结果相同，因而题给的公式得到证实。
[11]设F(x ，p)是x k ，p k 的整函数，证明：
k
k x F
i F p ??=
],[ ⑴ k
k p F
i p F ??=
],[ ⑵ 整函数是指n i m k mn
ki
mn ki p x C
p x F ∑∑=
123
],[，mn
ki
C 是数值系数 [证明]本题照题给的表示式应当是三维的算符，其展开形式：
}
{],[33332332133132232
2221221311321121111n m mn n m mn n m mn n m mn mn
n
m mn n m mn n m mn n m mn n m mn p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x F ++++++++=∑
先证第一式∑∑∑-+-=-=
=ki
mn z n i n i z m
k n i z m k m k z mn ki ki mn z n
i m k n i m k z mn ki ki
mn
n
i m k mn ki x x p p p p x p p x x p C p p x p x p C
p x C p p x F p )}]
(){(}]
{]
,[]],[,[
∑+=
ki
mn
n i z m
k n i m k z mn ki p p x p x p C
]},[],{[ ⑴
最后一式曲括号内第一项为k z ≠时为0，因为座标不同，k z ≠时
m
z z
m
z z x x i x p ??=
],[
第二对易式],[n i z p p 任何情形是零，因而⑴改写成：
kz n l m
k k kl
mn
mn kl s p x x i c p x F p δ????=∑)()],(,[
n l m k mn kl z
p x c
x i ∑??=
),(p x F x i z
??=
(2) 第二式证明与前半题类似
],[)],(,[∑=kl
mn
n
l m k mn kl z z p x c x p x F x
}{z n
l m k n l z m k n l l m k n l m k z mn kl x p x p x x p x x p x x c -+-=∑
]},[],{[n l z m k n l m k z mn kl p x x p x x c +=∑ （3）
最后一式曲括号内0],[=m k z x x
lz n l l
n l z p p i
p x δ)(],[??
= 这公式的详细证明参看第3题，于是（3）式应写成
lz n l kl
mn
l m
k mn kl z p p i x c p x F x δ)()],(,[∑??=
∑??
=n l m k mn kl z
p x c
p i
),(p x F p i
l
??= 这样，第二式得到了证明，这两类式子形式相似，是因为p x ,是一对正则共轭量的缘故。
[12]设)(r f
是只赖于空间的力学算符，证明：
22)(2)]](,[),([f r f r f ?-=?
（1）
设ψ是依赖于座标的波函数)(r
ψψ=，先作以下计算
ψψψ222)()](,[?-?=?f f r r f
∑=??-??=12322
22})({i i i
x f f x ψψ
}2{222222i i i i i x f x f x x f x f ??-??+????+??=∑ψ
ψψψ
}2{22i i i
x x f x f ??
???+??=∑
???+?=f f 22 （2）
代入题给式（1），并运算于)(r
ψ：
ψψ})2()2({)]](,[),([22222
f x x f x f x x f x f f r f r f i i i i
i i i ?????+??-?????+??=?∑
=
)}(22{2
222ψψψψf x x f f x f x x f f x f f i i i
i i i i ??
???-??-?????+??∑ 消去第一，第三项 前式ψψψψ∑∑??-=?????-?????-?????=
2)(2}222{i
i i i i i
i i x f
x f x f x f x f x x f f
首末两式移去函数ψ，得到特征公式（1）
[13]利用测不准系估计谐振子的基态能量
[解]写下一维谐振子的经典的能量公式，或算符关系式：
2
222??2
222222x m m p x m m H E ωω+=+?-== (1)
取能量的平均值：
2222
21x m p m E ω+= 在一维谐振子的情形，座标的平均值0=x ，动量平均值0=p 计算座标和动量的“不确定度”（即均方根偏差）p x δδ,。
按一般公式 22222)()()(x x x x x x =-=-=δ
22222)()()(p p p p p p =-=-=δ （2） 因此能量平均值公式（1）可改用“不确定度”表示
222
)(2
)(21x m p m E δωδ+= （3） 但根据测不准关系式：
2
≥?x p δδ
作为估计，可以直接取其下限，即认为
2
??x p δδ x p δδ2
?
将此结果代入式（3），并且计算E 的极小值，就是所求的基态能量：
2
22)(8)(2)(x m x m x E δδωδ +
= =2
}12{222ωδωδω +-x m x m 用此取括号内值为零的条件，得 2
min ω
=E 这时ω
δm x 2
=
[14]利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电Ze ）。
（解）本题原是三维问题，但作为估计，计算不需严格正确，方法同前题。
r
Ze m p E 222??-= （1） 取能量的平均值，由于中心对称性，可以认为动量的平均值是零0=p
，（这个平均值本是个矢量，但它的分量都是零）因此22)(p p ?δ，此外，根据计算（第六章九题）知道在氢原子情形，2
3a r = 2
2
3a r =，因而a a
r ?=
23δ。此外a r 1)1(=，222)1(a
r =，
所以a
r
1
)1
(=
δ，因此为计算方便，可取 r
r δδ1
)1(=
对能量关系式取平均值
)
(2)()(22
222r Ze m p r Ze m p E δδ-
=-= （3）
利用测不准关系式，可以计算（3）的极值，但p 与r 之间并无已知的对易关系式，此可作 一维问题处理，认为2
≥
?r p δδ，并用 =?r p δδ （4）
则（3）式成为：)(2)()(2
2p Ze m p p E δδδ
-=
2
422422222}2){(21 me Z e m Z p mZe p m -+-=δδ =
2)(214
222me Z Zme p m --δ 当取 2
Zme p =δ时，E 有极小值
24
2m i n me Z E -=就是基态能量
[15]求证力学量x 与)(x p F 的测不准关系：
x
p F
F x ??≥
???2)()(22 （证明）根据（课本）测不准的普遍公式，若B A
?,?为任两个力学算符，B A ??,为它们的偏差，B A δδ,为不确定度，则：
2
2
2
]?,?[4
1)()(B A B A ≥???
或]?
,?[2
1,B A B A ≥
δδ （1） 本题中)(?,?x
P F B x A ==因此，有关的测不准关系写成： ])(,[2
1
)()(22x P F x F x ≥
??? （2） 在本章第（11）题的第二个公式已指出
x
x p F
i
p F x ??= )](,[ 代入（2），就得到待证的公式。 [16]求证在n l 的本征态下0==y x l l
（证明）角动量分量算符满足对易关系：
x
y z z y l i l l l l ????? =- 两边取平均值，设im Y 是z l 本征态波函数，用标乘积运算符号：
)?,()]????[(im x im im y x x y im Y l Y i Y l l l l Y =- )??]?[?,(im y x im x y im Y l l Y l l Y -
)???,(im y x im y im Y l l Y l m Y -= )??,()?,(im y x im im y im Y l l Y Y l Y m -= )?,?()?,(im y im x im y im Y l Y l Y l Y m -= )?,()?,(im
y im im y im Y l Y m Y l Y m -= 前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符x l ?的厄密性，这样证明0=x l
利用对易关系：y
z x x z l i l l l l ????? =- 可以类似的证明0=y l 。
附带指出，虽然x l ?，y l ?在x l ?本征态中平均值是零，但乘积x l ?y l ?的平均值不为零，能够证明：
,2
1
2y x y x l l i m l l -==
说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ，2?y l 的平均值见下题。 [17]设粒子处于),(?θim Y 状态，求2
x l ?，2
y l ?
（解）),(?θim Y 是算符y l l ?,?2的共同本征状态，在此态中，算符x
l ?，y l ?具有对称性，因而可假设2
2y x l l ?=?，又已知0=?=?y x l l
利用算符恒等式：2222????z
y x l l l l ++= 计算这个式子的各量在态im Y 中的平均值，用标积符号：
))???(,()?,(2222im z y x im im im Y l l l Y Y l Y ++=
))??2(,(22im
y x im Y l l Y += 因im Y 满足本征方程式im im x im im Y m Y l Y l l Y l =+=?)1(?22
第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅； ( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率； ( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射． [2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ） 经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， ( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0 介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命． [4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由． ( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射． [5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器 能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1 2 ；（3）hc
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
4.29——6.1 4.29证明在z L ?的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z = [] x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ， ( )( ) ( ) 011 1 =-=-=-= ∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L 同理有：0=y L 。 附带指出，虽然x l ?，y l ?在x l ?本征态中平均值是零，但乘积x l ?y l ?的平均值不为零，能够证明：,2 1 2y x y x l l i m l l -== 说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ，2?y l 的平均值见下题。 4.30 设粒子处于()?θ,lm Y 状态下，求()2 x L ?和() 2 y L ? 解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程 ()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =， 利用基本对易式 L i L L =?， 可得算符关系 () ()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2 () x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2 将上式在lm 态下求平均， 使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 2 2 y x L L = 又()[] 222 2 2 1 m l l L L L z y x -+=-=+ ()[] 222 2 12 1 m l l L L y x -+= = ∴ 上题已证 0==y x L L 。 ()() ()[] 222 2 2 2 2 12 1 m l l L L L L L L x x x x x x -+= =-=-=?∴
第五章： 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21 ,??????[222z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21 ],??????[2 2 2 z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++= μμμ （３） 前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下： x x x x p x p p x p p x ?????]?,??[23 2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ???????????22 23-+-= x x x x x p p x p p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= （４） ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x x x x x x x =-=-=
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场
???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-=η 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。
第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.
2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数
（二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数
2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 ,
第四章态叠加原理及力学量的算符表示 4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4) 4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6） 4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？ （2）是否厄米算符？ 4-4 证明下列算符哪些是厄米算符： 4-5 （1）证明（2） 4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2） 4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。又问，算符的情况下，是什么样的算符？ 4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。进而求的本征值。 4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。 4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？ 4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。试证明之。 4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。 4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？ 4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？ （2）它的动量有没有确定值？ 4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。（a）试求C3的数值。（b）写出在t时的波函数。（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？
4-16 证明下列对易关系： ，4-17 证明下列对易关系：
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2-∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2 λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 2 2νω+，E 2＝2 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22 E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2 ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’ ，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’ ＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ω 21± ，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0） ＝ω 21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 '11H =0，'22H =0，'12H ＝' 21H ＝ν 21 第四章 量子力学的表述形式 （本章对初学者来讲是难点） 表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。 为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比： 矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e ~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维 任意矢展开∑=i i i e A A 任意态展开 ∑=n n n a ψψ ),,(z y x e e e ),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(?θe e e r 取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换 由此可见，可以类似于矢量A ，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。 为此，我们将 ① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。 最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。 4.1希尔伯特空间 狄拉克符号 狄拉克符号“ ”~类比： ),,(z y x A A A 欧氏空间的矢量 A →坐标系中的分量 ),,(?θA A A r ………. )(r ψ →表象下的表示 )(p C ………. 引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。 一、 希尔伯特空间的矢量 定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般 是无限维的。 1、线性：①c b a =+；②a b λ=。 2、完备性：∑=n n n a a 。 3、内积空间： 引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 ∑ ==? +n n n a a a a * ; )(:。 定义内积：==* a b b a 复数，0≥a a 。 1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交； m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。 二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 （此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号） 1、态矢符合线性空间的要求：?λψψψψ=+=21。 2、任意态矢可用一组完备的基矢展开： nm m n n n n f f f a δψ==∑, 。 ∑∑ =→====n n n n m mn n n m n m n f a a a f f a f a ψδψ? 。 3、态可以求内积： ??==dx x x dx x x )(,)(??ψψ ~ 以}{x 为基， 其中 ??ψψx x x x ==)()(。 取ψ的左矢：?=dx x x )(*ψψ，有内积 ????='''='''=dx x x dx x d x x x x x d x x dx x x )()()()()()(***?ψ?ψ?ψ?ψ 上式已利用了连续谱的正交归一性)(x x x x '-='δ。 三、 希尔伯特空间的算符 算符 ψ?F F =: 1、算符对左矢的作用： F b 存在，其意义（定义）为 )()(a F b a F a F ==。 第四章：力学量用算符表示 [1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[] .2)(,2hipf q f p q = （证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q []qf p f qp fq p f qp f p q 2222 2 ,-=-= f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-= （2）)(])(,[pf fq ih p q pf q += （证明）同前一论题 )(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-= （3）ihfp p q f q 2])(,[2 = [证明]同前一题论据： fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2 hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-= （4）i f p i h q f p p 22 )](,[= [证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 i f i h q f p = )](,[ dq df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-= 物83-309蒋 ~80~ i f p i h f p p 22],[= = （5）p pf i h p q pf p i = ])(,[ （证明）论据同（4）： p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-= p pf i h i = （6）2 2 ])(,[p f i h p q f p i = （证明）论据同（4）： 2 2222)(],[p f i h p fp pf fp pfp fp p i = -=-= (2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式 为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。 以及 看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。 ~81~ 第一章 绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温 度T 成反比，即 b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。 [解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为 ννπνρννd e c h d kT h 1 183 3 -= 由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =, λ λ νd c d 2 + = 因而有： λλπλλρλ d e hc d kT hc 1 1 8)(5 -= 令 λkT hc x = 所以有： 11 )(5 -=x e Ax λρ （44558c h T k A π=常数） 由 0 ) (=λλρd d 有 0)1(115)(254=??????---=λλλρd dx e e x e x A d d x x x 于是，得： 1 )51(=-x e x 该方程的根为 965.4=x 因此，可以给出， k hc xk hc T m 2014.0== λ 即 b T m =λ （常数） 其中 k hc b 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--????? = k m ??=-310898.2 [注] 根据 1183 3 -= kT h e c h νννπρ 可求能量密度最大值的频率： 令 kT h x ν= 11 3 -=x e Ax νρ （23338h c T k A π=） 0]11[3=-=ννρνd dx e Ax dx d d d x 因而可得 1 31=??? ?? -x e x 此方程的解 821.2=x h kT h kTx 821.2max == ν b T T b '=?'=-1 max max νν 其中 3423 1062559.610380546.1821 .2821.2--??=='h k b 1910878.5-???=s k 这里求得m ax ν与前面求得的m ax λ换算成的m ν的表示不一致。 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 [解] 德布罗意公式为 p h = λ 因为价电子能量很小，故可用非相对论公式 μ22 p E = 代入德布罗意公式得 λ= = 这里利用了电子能量 E eV =。将普朗克常数h ，电子质量μ和电子 电量电e 的数值代入后可得 第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω= 中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω= ==。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 得ω ωπm n m nh a 22== （3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4） 积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-?arcsin 222222 2 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, 粒子能量 1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用,,2,1,20 ==?n nh d p π ?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2?=。 解：平面转子的转角（角位移）记为?。 它的角动量. ??I p =（广义动量），?p 是运动惯量。按量子化条件 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 λ h P =。 所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0?=<<），满足 e k m p E 22 =， 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1， eV c m e 621051.0?=。 最后，对 E m h e 2= λ 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 自然单位制： 在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c ，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k ）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV ）。例：1nm=5.07/keV ，1fm=5.07/GeV ， 电子质量m=0.51MeV . 核子（氢原子）质量M=938MeV ，温度5 18.610K eV -=?. 第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则 ()BA AB +21 和()BA AB i -21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=?? ? ???++++++ 21212121 ()BA AB +∴2 1 为厄米算符。 ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=?? ? ???-+++++ 21212121 ()BA AB i -∴21 也为厄米算符。 ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===+++ +， 且定义 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+ -++ +==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 -++=iF F F 4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ??=?? -= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ == ,),(n m n m mn p x C p x F 。 证： （1）先证[ ][] 11 , ,,--=-=n n m m p ni p x x mi x p 。 [][][][][ ] [][ ] []()() []()1 111 11 3 3 1 3 32312 2211 1 1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m x m i x i x i m x x p x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i x x p x p x x p 同理， x a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 e 2 nh 得a 2 ---- m 代入(2)，解出 设粒子限制在长、宽、高分别为 a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性 碰 撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 P x n x h/2a , n x ,n y ,n z 1,2,3, 粒子能量 第一章 1 设质量为m 的粒子在谐振子势 V(x) -m 2 量子力学的诞生 2x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 提示：利用 0 P dx nh, n 1,2, j2m[E V(x)] 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 其中a 由下式决定：E V (x) 1 -m 2 由此得 a j2E/m 2 口 p dx 2 j2m(E a ' 2 2 X . x ) 2m a _ __________ J a 2 x 2 dx a 2m a 2 nh E n n 1,2,3, (4) 积分公式： J a 2 u 2du arcs in^ c 2 a X, y, z 轴方向，把粒子沿 X, y, z 轴三个 方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于 X 方向，有 口 P x dx n x h n x 1,2,3, P x 2a n x h (2a :—来一回为一个周期) 同理可得, P y n y h/2b . P z n z h/2c , mh ， 因而平面转子的能量 1,2,3, 有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动 （解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 条件是： ,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值 ,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单位, E n x n y n 2m 2 2 2 2 、 P y P z ) 2m 2 n x ―2 a 2 n y b 2 2 n z c n x ,n y , n z 1,2,3, 设一个平面转子的转动惯量为I ， 求能量的可能取值。 2 提示：利用0 p d nh, n 1,2, ,p 是平面转子的角动量。转子的能量 P 2 /2I 。 解：平面转子的转角（角位移） 记为 它的角动量p I （广义动量） 是运动惯量。按量子化条件 p dx mh m 1,2,3, Bev 2 mv (1 ) 又利用量子化条件 P 电荷角动量 转角 2 口 pdq 0 mrvd 2 mrv nh ⑵ 即 mrv nh 由（1）（2）求得电荷动能 再求运动电荷 ⑶ =1 2 --mv 2 在磁场 Be n 2mc 中的 势能，按电磁学通电导体 在磁场中的势能 磁矩*场强 电流*线圈面积*场强 2 ev* r * B e r 一 , v 是电荷的旋转频率，v 六，代入前式得 运动电荷的磁势能--B^^ （符号是正的 2mc 点电荷的总能量-动能+磁势能-E-Be n 2mc (n 1,2,3 ) ，未找到答案 E m P 2 /2I m 2 2 /2I ， 洛伦兹与向心力平衡量子力学讲义第4章
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