——
证明在z
L ?的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L η=-，求平均。） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为ηm ，即ψψηm L z
=
[]
x L i ηΘ=-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i η=-=z x x z x z L L L L L ,L ，
(
)(
)
(
)
011
1 =-=-=-=
∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L ηηη
ηη
同理有：0=y L 。
附带指出，虽然x l ?，y l ?在x l ?本征态中平均值是零，但乘积x l ?y
l ?的平均值不为零，能够证明：,2
1
2y x y x l l i m l l -==
η说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ，2?y l 的平均值见下题。
设粒子处于()?θ,lm Y 状态下，求()2
x L ?和()
2
y
L ?
解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程
()lm l l lm L 221η+=，lm m lm L z η=，lm m L lm z η=，
利用基本对易式 L i L L η=?，
可得算符关系 ()
()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-==ηη2
()
x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2
ηη
将上式在lm 态下求平均，
使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 2
2
y
x
L
L =
又()[]
222
2
2
1 ηΘm l l L L L z
y x -+=-=+
()[]
222
2
12
1
ηm l l L L y
x
-+=
=∴ 上题已证 0==y x L L 。
()()
()[]
222
2
2
2
2
12
1
ηm l l L L L L L L x x x x
x x -+=
=-=-=?∴
同理 ()
()[]
222
12
1
ηm l l L y
-+=
?。 （补白）若需要严格论证2
x l 与2
y l 的相等关系，可设
y x l i l l ???+≡+ y
x l i l l ???-≡- 于是有)??(21?-++=l l l x
)??(2
?+--=l l i
l y 求其符2?x l 的平方，用-+l l ??来表示：
)????????(4
1?2-
-+--++++++=l l l l l l l l l x )????????(4
1?2--+++--+--+=l l l l l l l l l y
再求它们在态im Y 中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是
))????????(4
1,(?2im
im x Y l l l l l l l l Y l --+--++++++= （1） ))????????(4
1,(?2im
im y Y l l l l l l l l Y l --+++--+--+= （2） 或都改写成积分形式如下，积分是对空间立体角取范围的： Ω+++=
??Ω
--+--+++*d Y l l l l l l l l Y l im im x )????????((41
2
（3） Ω--+=
??Ω
--+++--+*d Y l l l l l l l l Y l im im y )????????((412
（4） 按角动量理论：1,)1)((?++++-=m i im
Y m l m l Y l η
1,)1)((?--+-+=m i im Y m l m l Y l η （5）
和正交归一化条件：
m m i i im m i d Y Y ,,,'''''*
=Ω??δ （6）
将运算公式（5）使用于（3）式的各项，得结果如下：
0??2,=Ω?=Ω????+*
++*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数 0??2,=Ω?=Ω????-*--*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数
2)1)((??η+-+=Ω??-+*
m l m l d Y l l Y im
im 2)1)((??η++-=Ω??+-*
m l m l d Y l l Y
im
im
注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算，
再代进积分式中，如：
1,)1)((???-+-++-+=m l im Y m l m l l Y l l η
1,?)1)((-+?+-+=m l Y l m l m l η
m l Y m l m l m l m l ,1)1()][(1([)1)((?+-+--+-+=
ηη
将它们代入（3）就得到前一法（考虑y x l l ,对称）得到相同的结果。 ])1)(()1)([(41
222
ηη++-++-+=
m l m l m l m l l x 22])1([2
1
ηm l l -+= 又从（4）式看出，由于-
-++l l l l ??,??没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这在第四章中并没有准备知识，所以用本法解题不符合要求，只作为一种参考材料。
—— ——，，
设体系处于202111Y C Y C +=ψ状态（已归一化，即12
2
2
1=+C C ）
，求 （a ）z L 的可能测值及平均值; （b ）2
L 的可能测值及相应的几率； （c ）x L 的可能测值及相应的几率。
解：112
1122 Y Y L ηΘ=，2022026 Y Y L η=；
1111 Y Y L z η=，20200 Y Y L z η=。
（a ）由于ψ已归一化，故z L 的可能测值为η，0，相应的几率为21C ，22C 。平均值η2
1C L z =。 （b ）2
L 的可能测值为2
2η，2
6η，相应的几率为21C ，2
2C 。
（c ）若1C ，2C 不为0，则x L （及y L ）的可能测值为：η2，η，0，η-，η2-。
1）x L 在1=l 的空间，()z L L ,2
对角化的表象中的矩阵是????
? ??010*******η
求本征矢并令1=η，则????
?
??=????? ???????
??c b a c b a λ010********， 得，a b λ2=
，b c a λ2=+，c b λ2=。1,0±=λ。
ⅰ）取0=λ，得a c b -== ,0，本征矢为?
???? ??-a a 0，归一化后可得本征矢为???
??
??-10121。
ⅱ）取1=λ，得c a b 22==，本征矢为?
???? ??a a a 2，归一化后可得本征矢为???
?? ??12121。
ⅲ）取1-=λ，得c a b 22-=-=，归一化后可得本征矢为?????
??-12121。
在???
?
? ??=0011111C Y C 态下 ：
x L 取0的振幅为
()2001C 1012111C =?
???? ??-，x L 取0的几率为221C
； x L 取η的振幅为
(
)
2001C 1212
111C =????
? ??，相应的几率为4
21C
；
x L 取η-的振幅为()
2001C 1212111C =?
???
? ??-，相应的几率为421
C 。
总几率为2
1C
2）x L 在2=l 的空间，(
)
z L L ,2
对角化表象中的矩阵 利用
()()1211++-=
+m j m j m j j m
j x ()()121
1+-+=
-m j m j m j j m j x
11222 =∴x j ，2
3
0212=
x j ，2
3
1202=-x j ，12212=--x j 。
????????? ??=01
00
102
30002
302
30
002
30100010x L ，本征方程???????? ??=???
??
??
?
???????????
??e d c b a e d c b a λ01
00
102
30002
302
30002
3010001
a b λ=，b c a λ=+
23，
()c d b λ=+23
，d e c λ=+2
3，e d λ=，2,1,0±±=λ。 ⅰ）0=λ，0=b ，c a 23-=，0=d ，c e 23-=本征矢为???
??
???
? ??-10320183。在??
???
?
?? ??=001002202C Y C 态下，测得0=x L 的振幅为。几率为
4
2
2
C ；
ⅱ）1=λ，a b =，0=c ，b d -=，e d =，本征矢为???????? ??--1101121
。在202Y C 态下，测得η=x L 的振幅为
()01101121
001002=???????
? ??--C ，几率为0。
ⅲ）1-=λ，a b -=，0=c ，b d -=，d e -=，本征矢为???????
? ??--1101121
，在202Y C 态下，测得η-=x L 几率为0。
ⅳ）2=λ，a b 2=，a c 6=，a e d 22==，a c e ==
6
，本征矢为?????
??
?
??1262141，在202Y C 态下，测得η2=x L
的振幅为()
2246126214100100C C =?????
??
?
??。几率为2
283C ； ⅴ）2-=λ，a b 2-=，a c 6=，a d 2-=，a e =，本征矢为???????
?
??--1262141
，在202Y C 态下，测得η2-=x L 的
几率为
2
28
3C 。 2
22
2
418383 C C =??
?
??++∴。
在202111Y C Y C +=ψ态中，测x L （和y L ）的可能值及几率分别为：
222
12
22
12
12
28
34
1
4
1214
18
320
2C C C C C C +--ηη
η
η
求证在z
?l 的本征态下，角动量沿着与z 轴成θ的角度的方向上的分量的平均值是：θcos ηm 。
（解）角动量l ?
?沿着与z 成θ解的方向（此方向用单位矢S ?表示，它不是唯一的，因由方位角?给定），有一投影'?l
，它的解析式是： θ?θ?θcos sin sin cos sin k j i s ???
?++=
z
y x z y x l l l k j i l k l j l i s l l ?cos ?sin sin ?cos sin )
cos sin sin cos sin ()???('?θ?θ?θθ?θ?θ++=++?++=?=???????? （1）
计算在z l ?的本征态im Y 中角动量投影'?l
的平均值： ΩθΩ?θΩ?θΩ
d Y l Y d Y l Y d Y l Y l im z im
im y im im x im ???????+?+=***)?(sin )?sin (sin )?cos (sin ' （2） 式中?θθd d d sin =Ω 根据（29）题的结论，z
l ?本征态下0x =l ，0=y l 故前一式 第一，二两个积分无贡献，由于：im
im z Y m Y l η=?，因而θcos 'ηm l = （3）
设属于能级E 有三个简并态1ψ，2ψ和3ψ，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。 解：
()
11111,1
ψψψψ?=
=a
()1212'2,?ψ?ψ?-=，()
'2'
2
'2
2,1
???
?=
，
()()2321313'3,,?ψ??ψ?ψ?--=，()
'3'
3
'3
3,1
???
?=
。
321,,???是归一化的。
()()()()()[]0,,,,1
,112121'
2
'2
21=-=??ψ?ψ?????，
()()
()()()()()[]0,,,,,,1
,2132113131'
3
'3
31=--=??ψ???ψ?ψ???
??， ()()
()()()()()[]0,,,,,,1
,2232123132'
3
'3
32=--=
??ψ???ψ?ψ???
??。
∴它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。
设属于某能级Ｅ的三个简并态)(321
ψψψ彼此线性无关但不正交，试找出三个正交归一化的波函数，它们是否仍为简并
（解）用Schmidt 法
选
τψψ
ψ?τd ?=11
11*/
（１）则1ψ被归一化了。
选 11222)*('?τ?ψψ?τ
d ?-= （２）则
0)*()*(**'11122112=-=?
???τ??τ?ψτψ?τ??τ
d d d d 故1'3,??正交。
使 ?=τ??
??d '2'3'
22* 则12,??为正交归一组。
设
2231133'
3)*()*(?τ?ψ?τ?ψψ???--=d d （３）则
)*)(*(**1113131'
3????ψ-ψ=τ??τ?τ?τ??d d d d 0)*)(*(1223=ψψ-??τ??τd d )*)(*(**2113232'3????ψ-ψ=τ??τ?τ?τ??d d d d 0)*)(*(2223=ψ-??τ??τ?d d
故'
3?与21,??都能正交。
选 ?
=τ????d '
3'3'
3
3* 这样选的)(321???是正交归一化组。将H
?算符作用于（１）式： 11
1
1
1*/???τ
?τE d H H =ψψψ=?
同理H
?作用于（２）式： 1122'2?)*(???τ??H d H H ?ψ-ψ='2
1122})*({??τ?E d E =ψ-ψ=?
， 2
2???E H = 同理有3
3???E H =，因而)(321ψψψ仍有共同的能量本征值，简并不消失。
设任何一个厄密矩阵能被一个么正矩阵对角化，由此证明两个矩阵被同一个么正矩阵对角化的条件是它们彼此对易。
证明： 充分性：设0????]?,?[=-=A B B A B A
，又设S ?是一个足以使A ?对角化的么正算符，则 αβ
αααβδA S A S =-)???(1 ⑴ 再求]?,?[B A 的变换矩阵元 αβ
αβαβ)????()????()?]?,?[?(1
1
1
----=S A B S S B A S S B A S 由于0]?,?[=B A
此式左方不论βα,为何值都为零，右方可利用矩阵积的元素的展开法则： ∑=?γ
γβ
αγ)()()??(G F G F αβ
αβ)??????()??????(01111----?-?=S A S S B S S B S S A S γβγ
αγγβγ
αγ)???()???()???()???(1111∑∑----?-?=S A S S B S S B S S A S ⑵ 利用⑴式于⑵，则可以写成
0])???()???([11=-∑--ββ
γβαγγ
γβαγδδA S B S S B S A aa
不为零的项是：（因为矩阵元是数，可以对易）
0)???()???(11=---ββ
αβαβA S B S S B S A aa
即： 0)???)((1=--αβββS B S A A aa ⑶ 此式成立的条件是：βα≠时，0)???(1=-αβS B S βα=时，0)???(1≠-αβ
S B S 故αβ
)???(1-S B S 是对角矩阵的元素，)???(1-S B S 是对角矩阵，而S ?是能同时将B A ?,?对角化的么正变换算符。 对易关系0],[=B A 必要性的证明：
设S
?能同时将B A ?,?对角化，则有： aa A S S αβαβδ=-)?A ??(1 ⑷ aa
B S B S αβγαβδ=-)???(1 ⑸ 试对]?,?[B A
进行变换，有： αβ
αβαβ)????()????()?)?,?(?(111----=S A B S S B A S S B A S
αβ
αβ)??????()??????(1111----?-?=S A S S B S S B S S A S 写成展开式，再将⑷⑸代入：
γβ
γ
αγ
γ
γβαγαβ∑∑-----?-?=)???()???()???()???()?)?,?(?(11111S A S S B S S B S S A S S B A S 0)(=?-?=∑γ
γγγβαααγγγγβαααγδδδδA B B A
∑
后面γ不论取βα,或其它值，这个矩阵元永远是零，这说明矩阵1
?]?,?[?-S B A S
的一切元素是零，这必需是0]?,?[=B A
。
证明（1）若一个N 阶矩阵与所有N 级对角矩阵对易，则必为对角矩阵。
（2）若它与所有N 阶矩阵对易则必为常数矩阵。
（证明）若矩阵A
?与一切具有相同阶的对角矩阵B ?对易，则有： （1）A ( B =mn )（B A mn )，因B 是对角矩阵，所以它的不为0的元是nn mn B B 或形式，前一式为 mn mm nn mn A B B A = 移项 0)(=-nn mm mn B B A
但,0,,=≠≠mn nn mm A B B n m 得而即（A ）的非对角矩阵元为0,其对角矩阵可以不是零，因而（A ）也是对角矩
阵。
（2） 设A
?与一切同阶矩阵B ?对易，则A ?也应与一切对角矩阵B ?对易，按前一小题，A ?必然是对角矩阵，其对角元素是mm A 形式。
又另一方面A ?又与一切非对角矩阵C ?对易而0≠mn
C ，我们又有: mn
mn A C C A )??()??(= 即 nn mn mn mm A C C A = 移项得 0)(=-mn nn mm C A A
但A A A C nn mm mn 即而,,0=≠的各个对角矩阵元彼此相等，所以A
?又是常数矩阵（对角位置元素相等的特殊对角矩阵）。
——
厄密算符A
?与B ?，满足,0????1??22=+==A B B A B A 和求 （1） 在A
?表象中，A ?与B ?的矩阵形式，并求B ?的本征函数表示式。 （2） 在B
?表象中，B A ??与的矩阵形式，并求A ?的本征函数表示式。 （3） 从A
?表象到B ?表象的么正变换矩阵S ?。 （证明） （1）按题给的三个条件，设算符A 的本征矢量是>ψ本征值是λ，则有：
>ψ>=ψλA
? 重复运算得： >ψ=ψ22?λA
可见算符2?A
的本征值是2λ，并与A ?有共同本征矢>ψ。按题意I A ??2=，而12=λ。此外，又因为ΛΛ243??,??A A A A
==，所以A ?的本征值只会有两个，即1,1-==λλ。 在A
?表象中，用A ?的本征矢作基矢，而A ?的矩阵为对角的，对角矩阵元是本征值，因而： [A]=??
????
-1001 (1)
在A
?表象中B ?的矩阵不能直接设定，可假设它是：
[B]=??
?
?
??4231b b b b （2） 利用A ?0???=+A B B ，代入（1）（2）得到：
020021001100141
4231
4231
=??
?
???-=??????-??????+????????????-b b b b b b b b b b
由此得到,0,041==b b 而（2）式得到简化： [B]=??
?
?
??00
32b b （3） 再利用条件,??2I B
=有： ????
??00
32b b ??????0032b b =??
?
???=??????100100323
2b b b b ， 得 132=b b [B]= ???
?
????01
2
2b b （4） 此外因为B 是厄密算符，它还需满足条件：
[B]=[]+
B 即????
????01
022b b =??
?
???+**
0/102
2b b 得到12=b （5） 所以满足（4）（5）的最后的解是：
[B]=??
?
???-00
δ
δi i e e （6） 这里的δ是任何实数，代表一个不确定的相位因子。
最后求B ?在A ?表象中的本征矢和本征值，本征矢单列矩阵??
????21c c ：写下本征方程式（矩阵形式）有： ??????-00δδi i e e ??????21c c =λ??
????21c c 即 ???==-21
1
2c e c c e c i i λλδδ （7）
将（7）的两式等号左右方相乘，立刻得到本征值： 1,1,12
-+==λλ
将本征值代入（7）式，得
???==-2
11
2c e c c e c i i δδ
这两式不独立，因而取最简单的解，即取21,0c c ==而δ，加归一化条件2
1,1212
2
2
1=
==+c c c c 得
对于另一本征值1-=λ，代入（7）得到：
???-=-=-2
11
2c e c c e c i i δδ
也取21,0c c -==得δ，与前一情形相同，加归一化条件2
1,1212
2
21=
-==+c c c c 得所求的两个B 的本
征矢是：
??????1121 和 ??
????-1121； 与0=δ相应的B
?矩阵是： [??
?
?
??=0110]?B （8） 相位因子δ可取0以外的的值，但这时，[B]以及相应的本征矢随着更改，例如取2
π
δ=
时，
??
?
?
??-=00]?[i i B 本征矢
??????-i 121， ??
?
???i 121
（2）在B
?表象中，B ?是对角矩阵，而A ?则是反对角矩阵，A B ?,?的本征值也是,1±=λ本征矢和前一情形一样，只是B A
?,?互换角色而已。 （3）表象变换：寻求一个从A
?表达到B ?表象的变换 [s]=????
??4321s s s s .对算符A ?来说，在自身表象中矩阵是??
????1001 而在B ?表象中成为??
????-00δδi i e
e ，
按照表象变换理论假设算符L ?在A 表象中表示为L ?，在B ?表象中为L '?，变换算符为S
?，则L '?=+S ?L ?S ?，或L '?=1?-S L ?S ?。因此对算符A ?来说有：
B A S A
????+=' （9） 因为S 是么正算符，它的矩阵之间要受到限制：I S S =+
，即
ik
jk ij S S δ???=+ 即：
??
?
??????????4321*4*
2*
3*
1S S S S S S S S =???
??
?=????????++++100124223*
41*
24*
22*12
221S S S S S S S S S S S S
任何二阶的么正矩阵的元素之间要有这种限制，它等效于三个独立方程式：
????
???=+=+=+)
12(0
)11(1
)
10(1
4*33
*124222321S S S S S S S S
`式（10）的通解是θθαα
sin ,cos 21i i e S e
S ==
式（11）的通解是：??αα
sin ,cos 21i i e S e
S ==
将以上的解代入（12）又发现?π
θ?θ+==-2
,0)cos(即
因此得到二阶么正矩阵元素的通解：
[??
?
???-=θθ
θθ
βα
βαcos sin sin cos ]i i i i e e e e S （11）
将（11）式用于（9）式，得：
??????-??????-----1001cos sin sin cos θθθθββ
ααi i i i e e e e ??
?
?
??-θθ
θθ
β
αβαcos sin sin cos i i i i e e e e = ??
????-00δδi i e
e 将等号左方简化，并与右方对比各矩阵元：
=??????---θθθθ
βααβ2cos 2sin 2sin 2cos )
()(i i e
e ??
?
???-00
δ
δi i e
e （12） 它的合乎要求的普遍解答是
δαβπ
θ=-=
,4
（13）
第二个解仅仅是将未定的相位因子δβα,,之间定下一个关系，将（14）代入（11）到下述的变换矩阵，保留两个未定相因子：
??
?
???-=δδαi i i e e e S 112 式中的α值仍可以取任意值，要验证这矩阵是否符合变换的要求，可将它代入（9）式等号右方。
设K L M M L M L K
?,1????,???为?=-=的本征矢，即λλ??,?=K 为本征值，试证明??μM v L ?,?≡≡也是K 的本征矢，相应的本征值分别为.1,1+-λλ
（证明） M L K
???= （1） 左乘M ，利用对易式：
M M L M L M K M
?)1??(?????-== 将前式作用于?：
???M M M L K M
??????-= 即 ???λM M K M
????-= ?λ?M M K
?)1()?(?+= （2） 将（1）左乘L
?，利用对易式 )1??(??????+==L M L M L L K L
将前式作用于?：
???L L M L K L
?)?)(??()?(?+= 即 ???λL L K L
????+= 利用本征方程式得
?λ?L L K
?)1()?(?-= 证毕 附带指出：如果将本题中关于L
?，M ?的对易条件要改成反对易条件，,1????)?,?(=+=L M M L M L 其它条件不变，我们也能证明ν或μ仍是K
?的本征矢，但相应的本征值则是1-λ和λ-1。
［２６］证明以下诸式：
（１） B A B A
?det ?det )??det(?= （证明）设B A
?,?是阶数n 的矩阵，由它们形成的行列式记作A ?det 和B ?det 。设A ?的矩阵元记作ij a ，B
?的矩阵元记作ij b ，按行列式理论，A ?的行列式的值是：
∑??-=njn j j rl
a a a A
2211)
1(?det （１）
式中rl 是排列)(21n j j j ??中的逆序数（逆序数指这种排列相对于正常排列),3,2,1(n ??发生的编号逆转），（１）式可改写为下式：
∑??-=inn i i r
a a a A
2211)
1(?det （２）
但r 是),,(21n i i i ??的逆序数。
如果将（１）的每一指标加以变更，可得（１）（２）的结合形式：
∑??-=+injn j i j i rl
r a a a A 2211)1(?det （３）
同理另一行列式写作
∑??-=+ln 2211)
1(?det kn l k l k sl
s a a a B
（４）
但l
s s ,分别是排列)(1n k k ??和)(1n λλ??的逆序数，取二者乘积：
ln 1111,,)
1(?det ?det kn l k injn j i sl
s rl r j i j
i b b a a B A
?????-=?+++∑∑ （５）
若在求和式中选取n n k j k j =??=,11则 1)1()
1(,2=-=-=+s s
rl l
s r
（５）式成为 )()()()
1(?det ?det ln 22221111,,jn injn l j j i l j j i sl
r j i j
i b a b a b a B A
???-=?+∑∑ （６）
再计算)det(AB ，它是矩阵积ＡＢ的行列式的值，按矩阵乘法设]?[]??[C B A
=是]?[C 的矩阵元是： ∑=j
jl ij il b a C （７）
],[B A 的行列式的值是：
)()()()1(]det[ln 2
22221
1111∑∑∑∑???-=+jn
jn injn j l j j i ij
j l j j i sl r b a b a b a AB （８）
r
是排列)(21n i i i ??，l
s 是排列)(1n λλ??的逆序数，（８）与（６）的形式结构是相同的，这证明
B A B A
?det ?det )??det(?=
（２）证A S A S
?det )???det(1=- （证明）本题是一个么正变换后的算符S A S A
t ????1-=的矩阵的行列式，与原来算符A ?的矩阵的行列式之间的相等关系。本题利用前一题的结论加以推广；先将积的行列化成行列的积：
)?det()?det()det()??det(11S A S S A
S I ??==--
因为)?det(A
等都是数值而不是算符或矩阵，因而遵守对易律 )?det()?det()det(1A S
S I -= 再将行列式积化成积的行列，进注意单位矩阵的行列式恒等于1，有 )?det(1)?det()??det(1A A s s
I ?=?=-
（3）证)??()??(A B Tr B A
Tr = （证明）Tr 是Trace (或Spur)即“径迹”的符号，按定义它等于矩阵的对角线矩阵元的和数：
∑=i
i
i a A Tr )?( 但[B A
??]是矩阵[A ?][B ?]的积，[B A ??]的矩阵元是 ∑=j
jl ij il b a B A
]??[ 因而 )??()??(B A Tr b a b a B A Tr ji
ij
ij
ji ji ij ===∑∑
(4)证)???()???()???(A C B Tr B A C Tr C B A
Tr == [证明]三个矩阵的积（三个算符）的径迹具有一般表示式
∑=ik
ki
jk ij c b a C B A Tr )???( 矩阵（C B A
???）的对角线元素要求各个组成矩阵元最前一个指标（足码）与最后一个指标相同，其余的指标则需要衔接，满足这两条件的矩阵元都属于对角线矩阵元，但发现矩阵轮换时，以上二条件能满足：
)???()???(A C B Tr a c b C B A Tr ki
ij
ki jk ==∑ 式子得证。
)???()???(B A C Tr b a c C B A Tr ij
jk
ij ki ==∑ （5）证)?()???(1
A Tr S A
S
Tr =- [证明] ∑--=jk
ki jk ij s a s S A S Tr 11)???( ，将矩阵元组成因子轮换。
∑==--jk
ij
ki jk s s a S A S Tr 11)???( 有问题
（补白）
以上的（2）题表示矩阵A ?么正变换（表象变换属此）后，行列式值不变。（5）则表示么正变换不变更径
迹。径迹在对角表象中代表本征值总和，这两小题表示么正变换的两项性质。
设有矩阵S C B A ,,,等，证明
()()()B A AB det det det ?=，()A AS S det det 1=-，
()()BA Tr AB Tr =，()TrA AS S Tr =-1，()()()CAB Tr BCA Tr ABC Tr ==，
A det 表示矩阵A 相应的行列式得值，TrA 代表矩阵A 的对角元素之和。 证：（1）由定义()n n
ni i i i i n a a a i i P A ΛΛΛ211211det ∑=，
()()()()()??
?
??-= 01111111其他情形的奇置换是当的偶置换
是当n i i n i i i i P n n n ΛΛΛΛΛ
故上式可写成：()()n n n
i j i j i j i i n
n
a a a
j j P i i P A ΛΛΛΛ221
111
1
det ∑=
，
其中()n j j Λ1是()n Λ1的任意一个置换。
()()n n ni i i i i n
C C C
i i P AB C ΛΛΛ21
1211
det det ∑=
=∴
()∑∑=
n
n
n n n i i j j i j nj i j j i j j n
b a b a b a
i i P ΛΛΛΛ11222111
211
()∑∑???
???=n n n n n j j i i i j i j i j n nj j j b b b i i P a a a ΛΛΛΛΛ11221121121 ()()()∑∑??
?
???=
n n n n n j j i i i j i j i j n n nj j j n b b b j j P i i P a a a j j P ΛΛΛΛΛΛΛ1122112111211 B A det det ?=
（2）(
)
A S S S A S AS S
det det det det det det det 111
??=??=---
()
A A S S det det det 1=?=-
（3）()()BA Tr a b b a
AB Tr ik
ik ki ik
ki ik
∑∑===
（4）(
)()[
]()[]()TrA ASS Tr S AS Tr AS S Tr AS S Tr ====----111
1
（5）()()()CAB Tr b a c BCA Tr a c b c b
a ABC Tr jk ij ijk
ki ij ijk
ki jk ijk
ki jk
ij
=====∑∑∑
——
设λ是一个小量，算符A
?的逆1
?-A 存在，求证： ΛΛ++++=------------1111311121111??????????)??(A B A B A B A A B A B A A B A A B A
λλλλ （证明）如果将B A
?,?看作普通的数并设,1
B λ则上述式子是容易证明的，但事实上B A
?,?为算符，故不能直接用级数处理，一种简单的证法是将算符（)??B A
λ-左乘该式左方得I ，再右乘该式右方得： )??)(???????????????(111121112111B A A B A B A B A A B A B A A B A
A λλλλ-++++----------ΛΛ = ΛΛ+-+-+-------)??(?????)??(???)??(1112111
B A A A B A B A B A A B A B A
A λλλλ )??)(????(111
B A A B B A
n λλ-?---ΛΛ （n-1个B
?） = +-+--------ΛΛ)????????()????(?1111211B A B A B A B A B A B A I
λλ I B A A B A B A A B A
n n ???????????11111111=++-------+-ΛΛΛΛλλ. 得证。 （n 个B ） （n 个B ）
另一种更明白的书写方式是将待证一式等号右方写成算符幂级数。在遍乘以)??1(?1B A A
--λ所得展开式中，相邻的同幂项互相抵消：
{}
ΛΛΛ++++?+=-----n n A B A B A B A O
)??()??(??1??11111λλλ 右乘以:)??1(?1B A A
--λ {})?1(?)?()??(??1?)??1(??1111211B A A
A B A B A B A B A A O
n n --------?++++=-λλλλλΛΛΛΛ
=I A A B A A A B A A A B A I
n n ??)??(???)??(?)?(??111121=+?-?------ΛΛΛΛλλλ
证明ΛΛ++++=-)))?,?(?(?(!
31))?,?(?(!21)?,?(????A L L L A L L A L A
e A e L L (证明)第一法（二项式定理法）：首先对被证一式等号右方的通项导出一个表示式，其形式类似于二
项式定理的通项：
（L A A L A L
????)?,?-= L L A A L L A A L L L A L A L L A L L
?)????()????(??)??()??(?))?,?(?(---=-= =22?????2??L A L A L A L
+- 从这里看出这种展开式的运算是和二项式定理的展开相同的，它的通项是：
n r r n r n n L A L A L r r n n L A L n A L A L L L
?????!
)1()1(?????)))??(?(?(1ΛΛΛΛΛ++--+-=--。 这个通项展成的级数的每一项形式上是L
?的齐次幂，将通项除以n! ΛΛΛΛΛ+----=--r r n r n n L A L r r n L A L n A L n n A L L L ???!
)!(1)1(???!1)!1(1??!1!)))??(?(?(1 (1) 再将原式左方展开：
)?!
1)1(?1(?)?)!(1?1(??
?ΛΛΛΛΛΛ+-+-+-+++=--r r r n L L L r L A L
r n L
e A e =
∑?
?????--+----n r r n r n n L A L r r n L A L n A L n ΛΛΛΛ???!)!(1)1(???)!1(1??!11（2） 这个级数的通项是指n
L ?的齐次式，共有（n+1）项，对此展开式（1）（2）发现二者相同，因而公式得证。
第二法（泰勒级数法）：
我们先设L L e A e A
?
?
?)(?λλλ-≡然后对它求对λ的各阶导数，并注意算符L ?与L
e ?λ是对易的，L
?-与L
e ?λ-也对
易，于是有：
))(?,?(?)(?)(??)(???)(??
???λλλλ
λλλλλA L L A A L
L e A e e A e L d A d L L L L =-=-+=-- {}
L A A L d d d A d ?)(?)(??)(?2
2λλλλ
λ-= =L d A d d A d L ?)(?)(??λλλλ- =L A L A L L
?))(?,?())(?,?(?λλ- =)))(?,?(?(λA L L
可循此类推，假定n 阶导数是：
)))(?,?(?(?()(?ΛΛΛλλ
A L L L d x A d n
n = （含有n 个L
?，一个))(?λA （3） 将此式再求导一次：
)))(?,?(?(?()(?1
1ΛΛλλλ
λA L L L d d d A d n n =++
=)))(?
,?(?(?(ΛΛλλ
A L d d L L
=))))(?,?(?(?(?(ΛΛλA L L L L
（含有n+1个L
?，一个)(?λA ） （4） 但n=1适用，而根据数学归纳法，n=2,3,…都适用，故（3）是普遍规律。
A A
?)0(?=，当λ是一个任意参数时将)(?λA 在0=λ附近展成泰勒级数： ΛΛΛΛ++++=n n
n d A d n d A d d A d A A
λλλλλλλ)0(?!1)0(?!21)0(??)(?222 ))?,?(?(?(!
)),?(,?(!2)?,?(!1?)(?2ΛΛΛΛA L L L n A L L A L A A
n λλλλ++++= （4） 另一方面，在等式
L L e A
e A ?
??)(?λλλ-= 中令1=λ，得
L L e A
e A ???)1(?-= 再在（4）式中也令,1=λ得
ΛΛΛΛΛ))?,?(?(?(!
1),?(!11??)1(???A L L L n A L A
e A e A L L +++==- 命题得证。
Mcchanics Vo II. Chap VIII . —— —— —— —— —— ——
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
第二章 1.波函数/平面波： （1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。 （2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数 2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子. 3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。 由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。 （2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。 4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2 5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。 7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ?Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2 故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2 d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。 8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞ -∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。 11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程： 两个方程的特点：都是以一 个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。 →哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程: 13.几率流密度 单位时间内通过τ的封闭 表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。 14.质量守恒定律： 15.电荷守恒定律：
从经典力学到量子力学的思想体系探讨 一、量子力学的产生与发展 19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象 一个接一个地发现了。德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以 h为最小单位，一份一份交换的。这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且与辐射能量和频率无关由振幅确定的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。当时只有少数科学家认真研究这个问题。 著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。 1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定（按经典理论，原子中 电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核，与正电荷中和），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq＝nh，n称之为量子数。玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差△E＝hV确定，即频率法则。这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铅的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。这在物理学史 上是空前的。 由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。量子力学的几率解释等都做出了贡献。 1923年4月美国物理学家康普顿发表了X射线被电子散射所引起的频率变小现象，即 康普顿效应。按经典波动理论，静止物体对波的散射不会改变频率。而按爱因斯坦光量子说这是两个“粒子”碰撞的结果。光量子在碰撞时不仅将能量传递而且也将动量传递给了电子，使光量子说得到了实验的证明。 光不仅仅是电磁波，也是一种具有能量动量的粒子。1924年美籍奥地利物理学家泡利 发表了“不相容原理”：原子中不能有两个电子同时处于同一量子态。这一原理解释了原子中电子的壳层结构。这个原理对所有实体物质的基本粒子（通常称之为费米子，如质子、中
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
量子力学与能带理论 孟令进 专业： 应用物理 班级：1411101 学号：1141100117 摘要：曾谨言先生在《量子力学》一书中用量子力学解释了能带的形成，从定态薛定谔方程出发，将原子中原子实假定固定不动，并且在结构上呈现周期性排列，那么电子则可以看成在原子实以及其他电子的周期性的势场中运动，利用定态薛定谔方程可以解出其能级结构，从而得到能带理论。 一、定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 我们首先利用薛定谔方程解决一类简单的问题，一维定态问题，即能量一定的状态。我们设粒子质量为m ，沿着x 方向运动，势场的势能为V(x)，那么薛定谔方程可以写为 ),()(2),(222t x x V x m t x t i ψψ?? ????+??-=?? ，因为处于一定的能量E 状态，定态的波函数可以写为 /)(),(iEt e x t x -=ψψ，两式整理可得，)(x ψ满足的能量本征方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=?? ????+??- ，或称为一维定态薛定谔方程。求解这个方程时，我们需要带入边界条件，连接条件。 2.定态薛定谔方程与方势垒 在经典力学当中，当一个具有能量E 的粒子射向高度为V 的势垒时，如果E>V ，则粒子能够顺利的越过这个势垒，如果E
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 量子力学与经典力学的联系的实例分析 摘要：量子力学与经典力学研究的对象不同,范围不同,二者之间是不是不可逾越的？当然不是,在一定条件下,二者可以过渡.本文首先对量子力学和经典力学的关系进行了分析,其次通过具体的实例来说明量子力学过渡到经典力学的条件,最后分析出从运动学角度,经典力学向量子力学过渡可归结为从泊松括号向对易得过渡.
关键词：量子力学；经典力学；过渡 从高中到大学低年级,我们所涉及的物理学内容均为经典物理学范畴,经典物理学理论在宏观低速范围内已是相当完善,正如十九世纪末一些物理学家所描述的那样,做机械运动的物体,当运动速度小于真空中的光速时准确地遵从牛顿力学规律；分子热运动的规律有完备的热力学和统计力学理论；电磁运动有麦克斯韦方程加以描述；光的现象有光的波动理论,整个物理世界的重要规律都已发现,以后的工作只要重复前人的实验,提高实验精度,在测量数据后面多添加几个有效数字而已.正因如此为何在学完经典物理学以后还要继续学习近代物理学,如何引入近代物理学就显得格外重要. 毫无疑问近代物理学的产生是物理学上号称在物理学晴朗的天空上“两朵小小的乌云”造成的[1],正是这引发了物理学的一场大革命.这“两朵小小的乌云”即黑体辐射实验和迈克尔逊-莫雷实验.1900年为了解释黑体辐射实验,普朗克能量子的假设,导致了量子理论思想的萌芽,接着光电效应、康普顿效应以及原子结构等一系列问题上,经典物理都碰到了无法克服的困难,通过引入量子化思想,这些问题都迎刃而解,这就导致了描述微观世界的理论-量子力学的建立. 在经典物理十分成熟、完备的情况下引入静近代物理学,毫无疑问必须强调以下问题：（1）经典物理学的适用范围是宏观低速运动；（2）19世纪末20世纪初,物理学已经研究到微观现象和高速运动的新阶段；（3）新的研究范畴必须引入新的理论,这样,近代物理学的出现也就顺理成章了. 尽管强调经典物理学的适用范围是宏观低速运动,但碰到微观高速问题,人们依旧习惯于首先用已知非常熟悉的经典物理来解决物理学家如此,我们也不例外.无疑用经典物理学去解决高速微观问题最终必将以失败而告终.然而在近代物理学课程的研究中有意识地首先让经典物理学去碰壁,去得出结论,但结论是矛盾的和错误的,然后,引出近代物理学的有关理论,问题最后迎刃而解[2]. 经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系,其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.近代物理学则是在微观和高速领域物理实验的基础上建立起来的概念和理论体系,其基础是相对论和量子力学,必须指出,在相对论和量子力学建立以后的当代物理学研究中.虽然大量的是近代物理学问题,但也有不少属于经典物理学问题.因此不能说有了近代物理学就可抛弃经典物理学. 量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果.因此,量子力学的建立必然是以经典力学为基础,它们之间存在必然的联系,量子力学修改了物理学中关于物理世界的描述以及物理规律陈述的基本概念.量子力学关于微观世界的各种规律的研究给
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2
代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱
中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是
经典力学与量子力学中的一维谐振子 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=
十九世纪末期,物理学理论在当时看来已发展到相当完善的阶段.那时,一般的物理现象都可以从相应的理论中得到说明:物体的机械运动比光速小的多时,准确地遵循牛顿力学的规律;电磁现象的规律被总结为麦克斯韦方程;光的现象有光的波动理论,最后也归结为麦克斯韦方程;热的现象理论有完整的热力学以及玻耳兹曼,吉不斯等人建立的统计物理学.在这种情况下,当时有许多人认为物理现象的基本规律已完全被揭露,剩下的工作只是把这些基本规律应用到各种具体问题上,进行一些计算而已。 这种把当时物理学的理论认作”最终理论”的看法显然是错误的,因为:在绝对的总的宇宙发展过程中,各个具体过程的发展都是相对的,因而在”绝对真理的长河中,人们对于在各个一定发展阶段上的具体过程的认识具有相对的真理性.”生产力的巨大发展,对科学试验不断提出新的要求，促使科学试验从一个发展阶段进入到另一个新的发展阶段。就在物理学的经典理论取得上述重大成就的同时，人们发现了一些新的物理现象，例如黑体辐射，光电效应，原子的光谱线系以及固体在低温下的比热等，都是经典物理理论所无法解释的。这些现象揭露了经典物理学的局限性，突出了经典物理学与微观世界规律性的矛盾，从而为发现微观世界的规律打下基础。黑体辐射和光电效应等现象使人们发现了光的波粒二象性；玻尔为解释原子的光谱线系而提出了原子结构的量子论，由于这个理论只是在经典理论的基础上加进一些新的假设，因而未能反映微观世界的本质。因此更突出了认识微观粒子运动规律的迫切性。直到本世纪二十年代，人们在光的波粒二象性的启示下，开始认识到微观粒子的波粒二象性，才开辟了建立量子力学的途径。 量子力学诞生和发展的过程，是充满着矛盾和斗争的过程。一方面，新现象的发现暴露了微观过程内部的矛盾，推动人们突破经典物理理论的限制，提出新的思想，新的理论；另一方面，不少的人（其中也包括一些对突破经典物理学的限制有过贡献的人），他们的思想不能（或不完全能）随变化了的客观情况而前进，不愿承认经典物理理论的局限性，总是千方百计地企图把新发现的现象以及为说明这些现象而提出的新思想，新理论纳入经典物理理论的框架之内。虽然本书中不能详细叙述这个过程。尽管这些新现象在十九世纪末就陆续被发现，而量
经典力学与量子力学中的一维谐振子 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 2 经典力学中的一维谐振子 在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规
量子力学和经典力学的区别与联系 量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 三、目录 摘要............................................................ ............ ... ... ...... (1) 关键字.................................................................. ...... ... ... ...... (1) 正文..................................................................... ...... ... ... ...... (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论...... ............ ... ............ ...... ... (3) 经典力学基本内容及理论........................... ...... ......... ...... (3) 量子力学的基本内容及相关理论.................................... ...... (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系.................. ...... ... ...... (4)
量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系
目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6)
量子力学与经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学就是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革,一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识,另一方面使人们认识到物理理论不就是绝对的,而就是相对的,有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律,而量子力学则描述微观物质形态的运动规律,她们之间有质的区别,又有密切联系。本文试图通过解释、比较,找出它们之间的不同,进一步深入了解量子力学,更好的理解与掌握量子力学的概念与原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现,量子世界真正的基本特性:如果系统真的从状态A跳跃到B的话,那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候,我们所获得的结果就是有限的,而当我们没有观察的时候系统正在做什么,我们都不知道。量子理论可以说就是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就就是:在经典物理中,运动状态描述的特点为状态量都就是一些实验可以测量得的,即在理论上这些量就是描述运动状态的工具,实际上它们又就是实验直接可测量的量,并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中,微观粒子的运动状态由波函数描述,一切都就是不确定的。但就是当微观粒子积累到一定量就是,它们又显现出经典力学的规律。 关键字:量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 1、1 经典力学基本内容及理论 (3) 1、2 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 2、1 微观粒子与宏观粒子的运动状态的描述 (4) 2、2 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论:量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6) 量子力学与经典力学在的区别与联系 一、量子力学及经典力学基本内容及理论 1、1经典力学基本内容及理论 经典力学就是在宏观与低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念与理论体
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对
2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A
第四章 量子力学的表述形式 （本章对初学者来讲是难点） 表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。 为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比： 矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e ~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维 任意矢展开∑=i i i e A A 任意态展开 ∑=n n n a ψψ ),,(z y x e e e ),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(?θe e e r 取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换 由此可见，可以类似于矢量A ，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。 为此，我们将 ① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。 最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。 4.1希尔伯特空间 狄拉克符号 狄拉克符号“ ”~类比： ),,(z y x A A A 欧氏空间的矢量 A →坐标系中的分量 ),,(?θA A A r ………. )(r ψ →表象下的表示 )(p C ……….
引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。 一、 希尔伯特空间的矢量 定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般 是无限维的。 1、线性：①c b a =+；②a b λ=。 2、完备性：∑=n n n a a 。 3、内积空间： 引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 ∑ ==? +n n n a a a a * ; )(:。 定义内积：==* a b b a 复数，0≥a a 。 1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交； m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。 二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 （此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号） 1、态矢符合线性空间的要求：?λψψψψ=+=21。 2、任意态矢可用一组完备的基矢展开： nm m n n n n f f f a δψ==∑, 。 ∑∑ =→====n n n n m mn n n m n m n f a a a f f a f a ψδψ? 。 3、态可以求内积： ??==dx x x dx x x )(,)(??ψψ ~ 以}{x 为基， 其中 ??ψψx x x x ==)()(。 取ψ的左矢：?=dx x x )(*ψψ，有内积 ????='''='''=dx x x dx x d x x x x x d x x dx x x )()()()()()(***?ψ?ψ?ψ?ψ 上式已利用了连续谱的正交归一性)(x x x x '-='δ。 三、 希尔伯特空间的算符 算符 ψ?F F =: 1、算符对左矢的作用： F b 存在，其意义（定义）为 )()(a F b a F a F ==。