第一章
量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=
中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===?? )(x V
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
a x ≤ （1）
其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω=
==。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
得ω
ωπm n m nh a 22== （3） 代入（2），解出
,3,2,1,==n n E n ω （4）
积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-?arcsin 222222
2 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有
即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=∴,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
粒子能量
1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。
提示：利用,,2,1,20 ==?n nh d p π
?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2?=。
解：平面转子的转角（角位移）记为?。
它的角动量.
??I p =（广义动量），?p 是运动惯量。按量子化条件
mh p =∴
?，
因而平面转子的能量 I m I p E m 2/2/222 ==?，
1.4有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单
位，洛伦兹与向心力平衡条件是:
r
mv c Bev 2
= (1) 又利用量子化条件,令=p 电荷角动量 =q 转角?
nh mrv mrvd pdq ===??π?π220
(2) 即 nh mrv = (3)
由(1)(2)求得电荷动能=mc
n Be mv 2212 = 再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=c B r ev c c *****2π==场强线圈面积电流场强磁矩,v 是电荷的旋转频率, r
v v π2=,代入前式得 运动电荷的磁势能=
mc
n Be 2 (符号是正的) 点电荷的总能量=动能+磁势能=E=mc n Be 2 ( 3,2,1=n ) 1.5，1.6未找到答案
1.7（1）试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：
如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理?=0pdl δ
认为mv p =则?=0pdl δ这将导得下述折射定律 这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2c Ev p =
仍就成立，E 是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E 仍不变，仍有?=0pdl δ，你怎样解决矛盾？