第一章 向量代数 习 题 1.1
1.要使下列各式成立，向量αβ,应满足什么条件？
(1) ||||+=-αβαβ; (2) ||||||+=+αβαβ;
(3) ||||||+=-αβαβ; (4) ||||||-=+αβαβ (5) ||||||-=-αβαβ; (6)
||||
αβ
αβ=
. 解：(1) ⊥αβ；(2) α与β同向；(3) α与β反向且≥αβ；
(4) α与β反向,(5) α与β同向且≥
αβ, (6)α与β同向且,≠≠00αβ
2.已知向量方程组235x y x y -=??
+=?α
β
，求解向量,x y .
解：解关于,x y 的方程组得 531313
121313αβαβ?=+????=-+??
x y
3.已知四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-
αγαβγ,对角线,AC BD 的中点分
别为,E F ,求EF
.
解：335EF αβγ=+-
.
4.已知平行四边形ABCD 的对角线为,AC BD ==
αβ，求,.
解：设,AB BC ==
x y 则
α
β+=??
-=?
x y y x 解方程组得 1()2
1()2
αβαβ?
=-????=+??x y .
5.证明：向量,,n l l m m n ---αββγγα共面.
证明：因为()()()0n l l m m n αββγγα-+-+-=，所以三向量共面.
习 题1.2
1．已知(3,5,4),(6,1,2),(0. 3.4)αβγ==-=--，求234++αβγ 解：()23412,1,2++=--αβγ.
2．已知点(3,5,7)A 和(0,1,1)B -，求向量AB 并求A 关于B 的对称点C 的坐标.
解：()()3,4,8,3,3,9AB C =------
.
3．判断下列向量中哪些是共线的：
1234(1,2,3),(1,2,3),(1,0,2),(3,6,9),αααα==-==--
()()5678123132,0,4,1,2,3,,,,,1,4442
2????
==---==-- ? ?????αααα
解：167,,ααα共线，2α与4α共线，3α与5α共线. 4．判断下列向量,,αβγ是否共面：
(1) (4,0,2),(6,9,8),(6,3,3)αβγ==-=-； (2) (1,2,3),(3,3,1),(1,7,5)αβγ=-==-； (3) (1,1,2),(2,4,5),(3,9,8)αβγ=-==. 解：(1)不共面；(2)、(3)共面.
5．△ABC 中，?=∠?=∠30,90B A ，AD 是BC 边上的高，求点D 对坐标系
{;,}
A A
B A
C 的坐标.
解：求点D 对坐标系{;,}A AB AC
的坐标，实际上是要求用AC AB ,来表示AD .
AC AB AD 4
3
41+=
. 6．在四面体OABC 中，M 是△ABC 的重心，F E ,分别是AC AB ,的中点，求
向量MF ME EF ,,在坐标系{;,,}
O OA OB OC 下的坐标.
解：??
? ??-=??? ??-=??? ??-=61,31,61,31,61,61,21,21,0MF ME EF 7．求向量(1,3,2)=-α的方向余弦. 解：14
2cos ,143cos ,141cos 321-===
θθθ. 8.已知线段AB 被点(2,0,2)C 和(5,2,0)D -三等分，试求这个线段两端点A 与B 的坐标.
解 (1,2,2),(8,4,2)---A B
习 题1.3
１．已知向量α与β互相垂直，向量γ与α及β的夹角都是060，且||2,||3==αβ，
计算：
(1) 2()+αβ； (2) ()()+-αβαβ； (3) (32)(3)--αββγ； (4) 2(2)+-αβγ 解：(1) 5; (2) -3; (3) 7
2
-
; (4) 11. 2．在右手直角坐标系下，计算下列各题：
(1) (3,0,6),(2,4,0)αβ=-=-，求?αβ及,<>αβ；
(2) (5,2,5),(2,1,2)αβ==-，求α在β上投影向量及投影向量长. 解：(1) 5
1arccos
,6； (2) ()4,2,4-，6；
3.利用向量的数量积导出三角形的中线公式：
222222
1
a c
b m a -+=
. 解：因为 ()
12
=+
a m
b
c . 所以 ()
()()
()
22222222222
22211122||||cos 444
112||||
22442||||=+=++?=++???+- ?=++?=+- ????
a m
b
c b c b c b c b c A
b c a b c b c b c a b c
故有 222222
1
a c
b m a -+=
. 4.用向量法证明三角形的重心分原三角形成等积的三个三角形. 证明：证1：如图所示，设M 为ABC ?之重心，则
()
()
(
)
1,
31,31.
3
AM AB AC BM BC BA CM CA CB =
+=
+=
+
S MBC
=∴? A
B
C
D
F
E
M
(第4题)
+?+=
；
同理，CA CA BC BC S S MAB
MCA +?+==∴??；
MCA MBC MAB S S S ???==∴.
证2：MCA MBC S S ??====
221. 仿此可证：MAB MCA S S ??=
MCA MBC MAB S S S ???==∴.
证3：()()
ABC MBC S BC BA BC BA S ??=?=+==
3
121313121. 仿此可证：ABC MAB MCA S S S ???=
=3
1
；
MCA MBC MAB S S S ???==∴.
5.已知向量123i j k =++a a a α，求α在各坐标轴上的投影. 答：分别为123,,a a a .
6.已知向量223i j k,i j k =++=++αβ，试把α分解成k β与⊥β之和.
解：
(1k αββ⊥=+=
+-
7.用向量法证明三角形各边的垂直平分线共点，且这点到各顶点的距离相等.
证明:设AB 的中垂线FG 与AC 的中垂线EG 相交于点G ，连接点G 与BC 的中点
D ，只需要证明||||||GB GA GC ==
和GD BC ⊥ 即可。
因为1
2()()0GA GB GA GB GF BA +-== ，所以22GA GB = ，所以||||GA GB = .同
理可得||||GA GC = ，故||||||.GA GB GC ==
又因为
221122
()()()0,GC GB GC GB GC GB +-=-= 即0GD BC = ,所以GD BC ⊥ . 8．用向量法证明空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等.
证明：设四边形ABCD 各边所成向量依次为,,,,AB a BC b CD c DA d ====
又因为
0a b c d +++= ?()d a b c =-++ ?22
()d a b c =++ ?
22222()()2d a b c b c a b AC BD -+-=++= 0=.
习题1.4
1.计算
(1) (1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)=-=-=-αβγ，求
?αβ，?αγ，()?+αβγ，()??αβγ，()??αβγ；
解：()()()()()1,2,1,5,4,3,0,1,0,2,0,2,2,1,2-------
(2) 直角坐标系内求以(1,1,2),(5,6,2),(1,3,1)---A B C 为顶点的△ABC 的面积及AC 边上的高.
解：5.12，5.
(3) 已知(2,3,1),(1,2,3)αβ=-=-，求与,αβ都垂直的单位向量. 解：
)1,5,7(3
51
(4) 已知||2,||5,3αβαβ==?=，求||αβ?与2[()()]αβαβ+?- 解：91，364
2.设,,αβγ为两两不共线的三向量，试证明等式?=?=?βγγααβ成立的充要条件为0++=αβγ.
3. 利用向量积证明三角形面积的海伦(Heron)公式：2()()()?=---p p a p b p c ，式中c b a ,,为三角形三条边的边长，()c b a p ++=
2
1
，?为三角形的面积.
解：在ABC ?中，设===,,c b a ===.那么ABC ?的面
积为=
?.所以()224
1
?=?，又()()
2222-=?，故 ()??? ?
?-=?222241.因为=++.从而-=+，()
22=+.
所以()
2222222121b a c b a c b a --=??? ?
?--=.
故
()
()()()()
b a
c b a c c b a c b a b a c b a +--+-+++==??
? ??---=?161
41412222222 ()()()a p b p c p p 222222216
1
---?=
化简得：()()()c p b p a p p ---=?2
.
习题1.5
1.已知四面体ABCD 的顶点坐标(0,0,0),(6,0,6),(4,3,0),(2,1,3)A B C D -，求它的体积,并求从顶点D 所引出的高的长度. 解：1；
34
61
2.在直角坐标系内判断向量,,αβγ是否共面，若不共面，求出以它们为三邻边构成的平行六面体体积.
(1) (3,4,5),(1,2,2),(9,14,16)===αβγ； (2) (3,0,1),(2,4,3),(1,2,2)=-=-=--αβγ 解：(1）共面；（2）不共面，2
3．如0?+?+?=αββγγα，证明：,,αβγ共面.
证明：对等式0?+?+?=αββγγα的两边与γ作数量积，可以得到(),,0=αβγ，故,,αβγ共面.
4．如,?=??=?αβγδαγβδ，证明：-αδ与-βγ共线. 解：因为
()()-?-=?-?-?-?=?-?+?-?=0
αδβγαβαγδβδγαβαγβδδγ所以-αδ与-βγ共线.
5. 在直角坐标系内已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)=-=-=-αβγ求
()??αβγ和()??αβγ.
解：)5,4,3(-；)1,2,1(--
6. 证明：()()()0??+??+??=αβγβγαγαβ 证明：αγββγαγβα)()()(?-??=?? βαγγαβαγβ)()()(?-?=?? γβααβγβαγ)()()(?-?=??
上述三式相加可得：()()()0??+??+??=αβγβγαγαβ.
7．证明：()()(,,)???=αβαδαβδα
证明：αδβααδαββδααδαβα),,()]([)]([)()(=??-??=???.
复习题一
1．已知3,3i k j k =+=+
OA OB ,求OAB ?的面积.
解：.|)1,3,3(|||2
19
212
1=--=?=
?OB OA S ABC
2．已知四面体的体积5=V ，它的三个顶点为()()()3,1,2,1,0,3,1,1,2--C B A ，又
知道它的第四个顶点D 在y 轴上，试求点D 的坐标和从顶点D 所引出的高的长h . 解：)14,0,1(-；53=h
3．试用向量法证明：平行四边形成为菱形的充分必要条件是对角线互相垂直. 证明：
如图：因为向量c a =，d b =，所以
.,a d BD b a AC -=+=
则⊥当且仅当0=? 当且仅当0))((=-+ 当且仅当||||=.
4．设{2,3,1}a =- ,{1,2,3}b =- ,{1,2,7}c =- ,已知向量d 垂直于a 和b 且10d c ?= ,求 d .
解：(7,5,1).
5．设向量α与1(3,0,2)M 、2(5,2,1)M 和3(0,1,3)M -所在的平面垂直,求α,并求以
1M 、2M 和3M 为顶点的三角形的面积.
解：(1,1,4)α=
6．试用向量法证明：内接于半圆,并以直径为一边的三角形为直角三角形.
证明：设内接于半径为r 的半圆的ABC ?的一边AC 是过圆O 的直径，另一顶点在半圆上为点B .则
()()AB CB AO OB CO OB =++ 2
2220AO AO OB OB AO OB r r =-+-+=-+=
所以AB CB ⊥
，即ABC ?是直角三角形.
7.设一四边形各边之长是d c b a 、、、，对角线互相垂直，求证：各边之长也是
d c b a 、、、的任意一个四边形的两条对角线
也必互相垂直.
证明：同习题1.3第8题.
8.梅耐劳斯(Menelaus)定理：在ABC ?的三边AB CA BC ,,或其延长线上分别取N M L ,, 三点，它们的分割比是：
NB
AN MA CM LC BL ===
νμλ,,，则N M L ,,三 点共线的充要条件是1-=λμν.
证明：任取点O ，
（1） 必要性：根据定比分点的向量分解
表示式，
111,,OC OA OB OC OA OB OL OM ON μλνλ
μ
ν
++++++=
=
=
若,,L M N 三点共线，则有
111(
)(
)(
)0OC OA OB OC OA OB l m n μλνλ
μ
ν
++++++++=
其中,,l m n 不全为零.此即
111111(
)()()0m n nv l l m
v OA OB OC μλμ
ν
λλμ+++++++
++++=
所以111111000m n nv l
v
l m μμνλλλμ
++++++?+=?+=??+=?，又因为方程组有非零解，故其系数行列式等于零 111111110
00
v v
μμ
νλ
λλ
μ
++++++=，展开解得1λμν=-.
（2）充分性：这个推理过程是可逆的，故若1λμν=-，则,,L M N 三点共线.
9.塞瓦(Cewa)定理：在ABC ?中的三边AB CA BC ,,或
C
(第8题图)
B
C
L
N
M
(第9题图)
A
C
(第8题图)
其延长线上分别取N M L ,,三点，其分割比依次是：,,BL CM AN LC MA NB
λμν=
==，于是CN BM AL ,,三线共点的充要条件是1=λμν.
证明：（1）必要性：设,,AL BM CN 共点于p ，以p 为始点，则
,,pL x pA pM y pB pN z pC === ，因为,,pA pB pC
三个向量共面，必有不全为零的常数,,l m n 存在，使得0l pA mpB npC ++=
.
所以0l
x
pA mpB npC ++=
，又因为,,B L C 三点共线，所以0l
x m n ++=，
即l m n
x +=
，l
m n pL pA += ，由此推知n m
BL LC
λ==
同理可得：
l n CM MA μ==，m
l
AN
NB
ν==
因此λμν=n m l
n m l
=1. （2）充分性：设1=λμν，且,AL BM 交于点p ，由（1）知m pB n pC l
m n m n pL pA +++==
故有n
l m pN pC +=
，由此得知,,p N C 三点共线，于是CN BM AL ,,共点于p .
10.试用向量法证明三阶行列式的阿达玛(Hadmard)定理：
证明：2
1
23222222222
1
231231231231
2
3
()()()≤++++++a a a b b b a a a b b b c c c c c c .
证明：令123123123(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b c c c c ===
2
1232222
22222222222
1231231231231
2
3
(,,)||()()()
a a a
b b b a b
c a b c a b c a a a b b b c c c c c c ≤=?≤≤++++++
第八章空间解析几何和 向量代数总结 向量的概念 向量的线性运算 空间直角坐标系（右手系）向量的坐标 坐标形式的向量的线性运算（8—1，19） 方向角与方向余弦（8—1，15） 向量的数量积、向量积、混合积 （8—2，1、3、6、10； 总习题八，1（3）、（4））
应用：判断向量正交、 平行（共线）、 计算平行四边形面 积、 一向量在另一向量的投影。 曲面 曲面的概念 (),,0F x y z =， ()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程 （P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）
旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程 (),00f x y z ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f x =； (),00f x y z ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0 f y =；
(),00f y z x ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f y =； (),00f y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0f z =； (),00f x z y ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为
(,0f x =； (),00f x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为() 0f z =。 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =???=?? 参数方程（P33，例3）
()()()x t y t z t αβγ=??=??=? 空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4） 平面及其方程 建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5） 点的平面的距离（8—5，9）
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2 222 =+y x 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141:1+=+=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3 π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)
5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42 =绕z 轴旋转一 周，所得旋转曲面方程是[B ] A. ) (42y x z += B. 2 2 2 4y x z +±= C. x z y 422 =+ D. x z y 422 ±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程 222 22 x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ?={0, 3, 4}, b ?={2, 1, -2},则 = b proj a ?ρ[ C ]
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
第六章.向量代数与空间解析几何 本章内容在本课程当中是单独的一个部分，应该说是属于几何的内容，之所以需要在微积分的课程里进行单独的讨论，是因为我们在后面学习多元函数的微积分时，必须和这些几何知识发生关系，所谓多元的函数，从几何意义方面来理解，就是定义域在平面乃至更高维度的空间区域上，这样如果要想得到对于多元函数的直观几何理解，就必须对于平面乃至更高维度的空间中的几何现象具有一定的知识。 向量。 向量可以说是几何的最为基本的概念。因为几何对象的两个基本要素：方向和长度，用一个向量就可以完全表达，从向量的概念出发，可以构造出整个的几何世界。 由于本课程的限制，我们不从一般的观念出发来展开向量的理论，而是基于直观的，运用向量来表示的几何当中的有向直线段，来说明我们需要涉及的有限的向量知识。 我们完全可以把一个向量理解为一根有向直线段，而不会出现任何理论上的错误。基于向量的这种直观图象，可以定义向量的基本属性。 首先，我们定义两个向量相等的意思，就是两个向量的大小与方向都相同，对于这里的具体的一种向量—有向直线段，就是必须长度相等，而方向相同，所谓方向相同，按照几何的意义，就是两根直线段相互平行，而且指向相同。 注意，这里初学者常常产生误解的地方，就是认为要求两个有向直线段方向一样，就一定是要求它们在同一个直线上，或者是相互重合，这是因为还不习惯在一般的空间当中考虑问题，特别是要养成在三维空间当中考虑几何对象的习惯，记住方向相同，是与这两个向量的空间位置无关的，只要它们所在的直线相互平行，而指向一致即可。 在两个向量之间定义加法与减法，就是我们在力学当中以及很熟悉的力的合成的平行四边形法则，当然这是一种直接的基于几何图象的定义方式，下面我们通过在空间引入坐标，来得到更一般的定义。 空间直角坐标系以及向量代数。 在空间当中引入坐标的目的，和物理学当中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法，首先一个坐标系必须能够提供方向的定义，使得任意的方向都能够由于坐标系而得到确定与唯一的描述；然后必须能够提供长度的单位，基于这个单位能够度量空间长度。 能够满足上面这两个基本要求的坐标系可以有很多的形式，我们经常使用的坐标系就是直角坐标系。 我们已经强调了一个向量的大小与方向是与它所处的空间位置没有关系的，换一个说法，就是一个向量在空间进行平移时，不影响它的大小与方向。那么在空间中，对任意一个向量的度量，都可以通过把这个向量平移到以坐标系的原点为起点的位置，再用它的终点的坐标来表征这个向量的大小与方向。显然，任意的一个向量，只要是通过平移而处于这种方式，就只会唯一的，而空间中的任意一点在一个这样的直角坐标系里的标度也是唯一的。因此这样决定的一个向量的坐标也就是唯一的。 本课程我们主要只考虑三维的情况，因此一个向量可以用一个唯一的坐标来表示，在直角坐标系里，也就是由三个实数组成的三元组：（a ，b ，c ）。 基于上面对于唯一性的分析，可以得到坐标表示的向量的相等的含义，就是坐标三元组的分别相等。 进一步，为了更为方便地度量一般的向量，我们引入单位向量的概念，就是在坐标轴方向上具有单位 长度的向量，在直角坐标系当中，习惯的写法，就是 ，，，分别表示在X ，Y ，Z 轴上的单位向量。 按照坐标三元组的写法，就是 =（1，0，0）； i r j r k r i r
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线312141: 1+=+=-z y x l 与???=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±= C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 1 3- B. 13 C. 23- D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ?={0, 3, 4}, b ?={2, 1, -2},则=b proj a ?ρ[ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222 ()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?=
空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙
空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b
a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积
习题7.4 1. 判断下列四点是否共面: (1) (1,0,1),(2,4,6),(3,1,2),(6,2,8)A B C D -; (2) (1,2,1),(2,2,3),(1,1,2),(4,5,6)A B C D --. 2. 设≠0a , (1) 若?=?a b a c , 则是否必有=b c ? (2) 若?=?a b a c , 则是否必有=b c ? (3) 若?=?a b a c ,且?=?a b a c , 则是否必有=b c ? 3. 指出下列平面对于坐标轴或坐标面的相对位置： (1) 3210x y -+=; (2) 250x +=； (3) 0x y -=； (4)0Ax Cz +=. 4. 求满足下列条件的平面方程： (1) 过点0(1,2,3)M -, 法向量为(2,1,5)=--n ; (2) 在x 轴,y 轴和z 轴上的截距分别为2,3,1-; (3) 过点(5,7,4)-且在x y z 、、轴上截距相等； (4) 过点(3,6,2)P -，且垂直于OP (O 为原点)； (5) 过点1(2,1,3)M -,2(5,1,4)M -和3(2,2,4)M -； (6) 过Ox 轴和点(4,3,1)--； (7) 平行于Oy 轴，且通过点(1,5,1)-和(3,2,2)-； (8) 平行于xOz 平面，且通过点(3,2,7)-； (9) 过点(1,3,2)-，且平行于平面520x y z +--=； (10) 过两点(8,3,1),(4,7,2)-，且垂直于平面35210x y z +--=； (11) 平行于平面2250x y z +++=而与三坐标面所构成的四面体的体积为１ 5. 指出下列直线的位置性态： (1) 123102 x y z -++==- (2) 113100 x y z +-+==; (3) 6,5,3x t y t z t =-==-; (4) 12,23,0x t y t z =-=-+=. 6. 求满足下列条件的直线的对称式方程，并将其中(1)~(4)化为参数方程和一般式方程： (1) 过点0(1,2,3)M , 方向向量为(2,1,1)=-s ; (2) 过点0(1,2,0)M -, 方向向量为3-s =i k ; (3) 过点(2,3,8)-，且平行于y 轴; (4) 过点(2,3,8)-，且平行于直线243325 x y z --+==-; (5) 过点(1,3,2)-，且垂直于平面520x y z +--=； (6) 过点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -； (7) 过点(1,3,2)-，且与z 轴垂直相交； (8) 过点(1,2,1)-，且平行于直线210210x y z x y z +--=??+-+=? (9) 垂直于三点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -和3(0,1,5)M 所在平面，且过点1M ； (10) 过点(3,4,4)-，且与坐标轴夹角分别为π3,π4,2π3 的直线方程.
第八章向量代数与空间解析几何 第一节向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点： 1. 空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。 3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全 重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 二、向量的线性运算 b c 1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有 时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a －4
2．a b c 即 a ( b) c 3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为 (1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a | (2) 0 时， a 0 (3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a | 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a 0a a 定理 1：设向量，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ ， a≠ 0 使b＝a 例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图 7－ 4 解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1 (a b) 2 由于 MC MA ，于是 MC 1 b) (a 2 1 (b a) 又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD 1 (b 2 由于 MB MD ，于是 MB a) 2 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维） 如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度 2 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别 为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。 图 图 7－1 右手规则演示 7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点 M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示
第一章 向量代数 习 题 1.1 1.要使下列各式成立，向量αβ,应满足什么条件？ (1) ||||+=-αβαβ; (2) ||||||+=+αβαβ; (3) ||||||+=-αβαβ; (4) ||||||-=+αβαβ (5) ||||||-=-αβαβ; (6) |||| αβ αβ= . 解：(1) ⊥αβ；(2) α与β同向；(3) α与β反向且≥αβ； (4) α与β反向,(5) α与β同向且≥ αβ, (6)α与β同向且,≠≠00αβ 2.已知向量方程组235x y x y -=?? +=?α β ，求解向量,x y . 解：解关于,x y 的方程组得 531313 121313αβαβ?=+????=-+?? x y 3.已知四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+- αγαβγ,对角线,AC BD 的中点分 别为,E F ,求EF . 解：335EF αβγ=+- . 4.已知平行四边形ABCD 的对角线为,AC BD == αβ，求,. 解：设,AB BC == x y 则 α β+=?? -=? x y y x 解方程组得 1()2 1()2 αβαβ? =-????=+??x y . 5.证明：向量,,n l l m m n ---αββγγα共面. 证明：因为()()()0n l l m m n αββγγα-+-+-=，所以三向量共面.
习 题1.2 1．已知(3,5,4),(6,1,2),(0. 3.4)αβγ==-=--，求234++αβγ 解：()23412,1,2++=--αβγ. 2．已知点(3,5,7)A 和(0,1,1)B -，求向量AB 并求A 关于B 的对称点C 的坐标. 解：()()3,4,8,3,3,9AB C =------ . 3．判断下列向量中哪些是共线的： 1234(1,2,3),(1,2,3),(1,0,2),(3,6,9),αααα==-==-- ()()5678123132,0,4,1,2,3,,,,,1,4442 2???? ==---==-- ? ?????αααα 解：167,,ααα共线，2α与4α共线，3α与5α共线. 4．判断下列向量,,αβγ是否共面： (1) (4,0,2),(6,9,8),(6,3,3)αβγ==-=-； (2) (1,2,3),(3,3,1),(1,7,5)αβγ=-==-； (3) (1,1,2),(2,4,5),(3,9,8)αβγ=-==. 解：(1)不共面；(2)、(3)共面. 5．△ABC 中，?=∠?=∠30,90B A ，AD 是BC 边上的高，求点D 对坐标系 {;,} A A B A C 的坐标. 解：求点D 对坐标系{;,}A AB AC 的坐标，实际上是要求用AC AB ,来表示AD . AC AB AD 4 3 41+= . 6．在四面体OABC 中，M 是△ABC 的重心，F E ,分别是AC AB ,的中点，求 向量MF ME EF ,,在坐标系{;,,} O OA OB OC 下的坐标. 解：?? ? ??-=??? ??-=??? ??-=61,31,61,31,61,61,21,21,0MF ME EF 7．求向量(1,3,2)=-α的方向余弦. 解：14 2cos ,143cos ,141cos 321-=== θθθ. 8.已知线段AB 被点(2,0,2)C 和(5,2,0)D -三等分，试求这个线段两端点A 与B 的坐标. 解 (1,2,2),(8,4,2)---A B
矢量的基本代数运算
《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量 1 e ，2 e ，3 e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用 ] ,,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1 e ，2 e ，3 e 称为σ 的基矢(或底矢)。 若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1 x ，2 x ，3 x 就是r 径矢在σ里的分量： 3 32 211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 3 32211e e e r x x x ++=，3 3221 1e e e s y y y ++= 则矢量 3 33222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-=
其中) 3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量 均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量3 3221 1e e e αa a a ++=的长为 23 2 2 21a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1 e 间的角] ,0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算 现有矢量3 3221 1e e e αa a a ++=和3 3221 1e e e βb b b ++=，则 1） 矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。 3 33222111)()()(e e e βαb a b a b a +++++=+ 2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。 3 3 3 2 2 2 1 1 1 )()()(e e e βαb a b a b a -+-+-=- 3） 纯量（或数量）乘矢量：若λ为纯量，则 3 32 21 1e e e αa a a λλλλ++= 4） 数积（点乘）：矢量α，β的数积是纯量 θcos 3 32 21 1βαβα=++=?b a b a b a
第7章 向量代数与空间解析几何 7.1 向量及其线性运算 7.1.1 基本要求 1. 理解向量的概念. 2. 掌握向量的线性运算. 3. 理解向量的几何表示. 7.1.2 答疑解惑 1. 向量与标量在表示方法上有什么区别？ 答 在手写体中，向量的上方有箭头，而标量没有；在印刷体中，若用单个字母表示向量，则用粗体字母表示该向量，或者不用粗体但是字母上方加箭头；若用两个字母表示向量，则上方加箭头，而标量不用粗体，也不加箭头. 例如a ，i ，v ，F ，a ，i ， v ，F ，12M M 等都可表示向量. 2. 向量的起点都在坐标原点吗？ 答 本书讨论的向量都是自由向量，它的起点不是固定的，不一定在坐标原点，可以根据需要移动. 3. 当A , B 为不同点时，AB 与BA 相等吗？ 答 不相等，因为向量AB 与BA 的大小相等，但方向相反，所以它们不相等. 本书讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 由于AB 与BA 的方向总是不同的，所以它们不相等. 4. 向量在轴上的投影是不是向量？ 答 向量在轴上的投影是一个数量，它可正可负可为零，而不是一个向量. 7.1.3 基本题型分析 题型 有关向量的运算问题 例1 化简3525-??-+-+ ??? b b a a b . 解 3525-??-+-+ ???b b a a b 5(13)112??=-+--+ ?? ?a b 522=--a b . 例2 已知非零向量a 和b ，求一个向量c ，使之平分向量a 和b 之间的夹角. 解 因为向量a 和b 为非零向量，所以其单位向量0a ，0b 存在，且0=a a a ，0=b b b . 以0a ，0b 为邻边所生成的平行四边形是一个菱形，这个菱形的对角线平分对角，于是可
第四节 空间直线及其方程 习题 7-4 1. 求过点(1,1,2)?且与平面20x y z +?=垂直的直线方程. 解 取已知平面的法向量(1,2,1)=?n 为所求直线的方向向量, 则直线的对称式方程为 112 .121 x y z ?+?==? 2. 求过点(1,3,2)??且平行两平面35202340x y z x y z ?++=+?+=及的直 线的方程. 解 因为两平面的法向量12(3,1,5)(1,2,3)=?=?n n 与不平行, 所以两平面相交 于一直线, 此直线的方向向量为 1231 5(7,14,7)7(1,2,1),1 2 3 =×=?=?=??i j k s n n 故可取所求直线的方向向量为(1,2,1)?, 由题设, 所求的直线方程为 132 .121 x y z ++?==? 3. 用点向式方程及参数方程表示直线 10 2340 x y z x y z +++=?? ?++=?. 解 先在直线上找一点. 令1x =, 解方程组2, 36,y z y z +=????=? 得0,2y z ==?, 故(1,0,2)?是直线上一点. 再求直线的方向向量s . 交于已知直线的两平面的法向量为: 12(1,1,1),(2,1,3)==?n n , 12,,⊥⊥s n s n ∵
121 11(4,1,3),213 ∴=×==???i j k s n n 故所给直线的点向式方程为 12 ,413x y z ?+==?? 参数方程为 14,,23.x t y t z t =+?? =???=??? 4. 求过点(2,0,3)?且与直线2470, 35210x y z x y z ?+?=?? +?+=? 垂直的平面方程. 解 要求所求平面垂直于直线, 所以直线的方向向量为所求平面的法向量, 取 1212 4(16,14,11),3 5 2 ==×=?=??i j k n s n n 由点法式可得 16(2)14(0)11(3)0,x y z ??+?++= 即161411650x y z ???=为所求的平面方程. 5. 求过点(3,1,2)?且通过直线 43521 x y z ?+==的平面的方程. 解 法1 所求平面过点0(3,1,2)M ?及1(4,3,0)M ?, 设其法向量为n , 则01,M M ⊥⊥ n n s , 其中(5,2,1)=s . 取01(1,4,2)(5,2,1)(8,9,22)M M =×=?×=?n s , 则平面方程为 8(3)9(1)22(2)0,x y z ??+?++= 即8922590x y z ???=. 法2 直线L 的交面式方程为25230, 230,x y y z ??=???+=? 过L 的平面束方程为 (23)(2523)0.y z x y λ?++??= 点(3,1,2)?在平面上, 因此(143)(6523)0λ+++??=, 解得4 11 λ=, 因此平面的方程为
空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平 行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算； 重点与难点 重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程： 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种: → a 、→ AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模. 向量→ a 、→ AB 的模分别记为||→ a 、||→ AB . 单位向量： 模等于1的向量叫做单位向量. 零向量： 模等于0的向量叫做零向量, 记作→0.规定：→ 0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行.记作a // b .规定： 零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . 当向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b . 向量的减法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的起点重合, 此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 → → → → → A O O B OB O A AB -=+=, 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 向量a 与实数λ的乘积记作λa , 规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反. (1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ； λ(a +b )=λa +λb . 例1 在平行四边形ABCD 中, 设?→ ?AB =a , ?→ ?AD =b .
第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：??? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 12 12 1z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→ a 与→ b 夹角为 3 π ，求||→ →+b a 。 解 2 2 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ → →→ →→ →→ → → → → → ++= ?+?+?= +?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222 = +???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+
空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算； 重点与难点 重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程： 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种:→a、 →AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为| |→a、| |→AB. 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量. 零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定：→0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定：零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 向量的减法: 设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 →→→→→ A O OB OB O A AB- = + =, 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反. (1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a； (2)分配律(λ+μ)a=λa+μa； λ(a+b)=λa+λb. 例1在平行四边形ABCD中,设 ?→ ? AB=a, ?→ ? AD=b.
向量及向量的基本运算 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量 的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段 的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。< 注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都 可以移到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合， 记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b BC a AB ==,，则 a +b =BC AB +=AC 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说 明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律；
3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -, 零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有 共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的 方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则
第4章 向量代数与空间解析几何练习题 习题4.1 一、选择题 1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) （A）直线；（B）线段；（C）圆；（D）球．2．下列叙述中不是两个向量与平行的充要条件的是( ) （A）与的内积等于零； （B）与的外积等于零； （C）对任意向量有混合积； （D）与的坐标对应成比例． 3．设向量的坐标为, 则下列叙述中错误的是( ) （A）向量的终点坐标为； （B）若为原点,且, 则点的坐标为； （C）向量的模长为；（D）向量与平行． 4．行列式的值为( ) （A） 0 ；（B） 1 ；（C） 18 ；（D）． 5．对任意向量与, 下列表达式中错误的是( ) （A）；（B）；（C）；（D）． 二、填空题 1．设在平行四边形ABCD中，边BC和CD的中点分别为M和N，且，，则=_______________，=__________________． 2．已知三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边上的中线长为______________________． 3．空间中一动点移动时与点和点的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________． 4．设力, 则将一个质点从移到所做的功为 ____________________________． 5．已知, , , 则_____________________; ____________________;的面积为_________________． 三、计算题与证明题 1．已知, , , 并且．计算．