第3３炼 向量的模长问题——代数法
一、基础知识：
利用代数方法处理向量的模长问题,主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式 1、模长平方：通过2
2
cos0a a a a =?=可得：2
2
a a =，将模长问题转化为数量积问题,从而能够与条件中的已知向量(已知模长，夹角的基向量)找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方
2、坐标运算：若(),a x y =，则2a x =
+某些题目如果能把几何图形放入坐标系中,
则只要确定所求向量的坐标,即可求出（或表示)出模长
3、有关模长的不等问题:通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题
例1：在ABC 中，O 为BC 中点，若1,3,60AB AC A ==∠=,则OA = _＿_＿＿ 思路:题目条件有1,3,60AB AC A ==∠=，进而AB AC ?可求,且OA 可用,AB AC 表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题
解:O 为BC 中点 ∴可得：()
1
2
AO AB AC =+
()
()
2
2
2
2211
224
AO AO AB AC AB AB AC AC ??∴==+=+?+????
3
cos 2
AB AC AB AC A ?=?=
代入可求出：2
13
=
4
AO 13AO ∴=
答案 例2：若,,a b c 均为单位向量，且()()
0,0a b a c b
c ?=-?-≤，则a b c +-的最大值为（ ） A.
1-
B. 1
C.
D. 2
思路:题目中所给条件与模和数量积相关,几何特征较少,所以考虑将a b c +-平方，转化为数量积问题，再求最值。
解:()(
)
2
00a c b c a b b c a c c -?-≤??-?-?+≤ ①
0,1a b c ?== ∴①转化为101b c a c b c a c -?-?+≤??+?≥ ()
2
2
222
222a b c a b c
a b c a b a c b c ∴+-=+-=+++?-?-?
()
1112321b c a c =++-?+?≤-=
1a b c ∴+-≤
答案：Ｂ
例3:平面上的向量,MA MB 满足2
4MA MB +=，且0MA MB ?=，若
12
33
MC MA MB =+,则MC 的最小值为__＿_＿_____＿
思路：发现所给条件均与,MA MB 相关,且MC 可以用,MA MB 表示,所以考虑MC 进行模长平方，然后转化为,MA MB 的运算。从而求出最小值
解：()
2
2
2212144339
MC MA MB MA MA MB MB ??=+=+?+ ???
0MA MB ?= 2
4MA MB =-,代入可得:
()
2
2
2111631637
4449981691616MC MB MB MB ????=+-=-+≥?=?? ???????
min
4
MC
∴=
例4:已知平面向量,αβ满足23αβ-=，且αβ+与2αβ-的夹角为150，则
()
()3
2
t t R αββ+-∈的最小值是( ）
A ．
4 B. 3 Ｃ. 2
D.
思路：题目所给条件围绕着αβ+与2αβ-,所以考虑所求向量用这两个向量进行表示:()
()()
3112222t t αββαβαβ??
+-
=-++- ???
,从而模长平方变成数量积问题,可得:()
()
22
2
3131322224t t t αββαβ
αβ??
??+-=-++-++ ? ???
??,将12t αβ??
-+ ???
视为一个整体，则可配方求出最小值 解：(
)
()(
)
311
2222t
t αββαβαβ??
+-=-++- ???
()
()()
2
2
3112222t t αββαβαβ
??
∴+-=-++- ???
()
()
()()
2
2
11112222222t t αβαβαβαβ????????????
=-++-+?-?-+ ? ?????????????????????
()
2
1312cos150242t t αβαβαβ??????
=-+++--?+ ? ???????
?? 2
213132224t t αβαβ??
??=-+--++ ? ???
??
2
1333
241616t αβ????=-+-+≥ ?????
??
()
33
24
t αββ∴+-≥
答案:A
小炼有话说:本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体,而不是,αβ 例5:已知平面向量,OA OB 的夹角2,33ππθ??
∈????
,且3OA OB ==，若1233OP OA OB =+,
则OP 的取值范围是＿___＿___＿_
思路:由3OA OB ==和夹角范围即可得到OA OB ?的范围,从而可想到将OP 模长平方,再利用12
33
OP OA OB =+转变为关于,OA OB 的问题,从而得到关于夹角θ的函数，
求得范围。
解：2
2
221214
4339
99OP OA OB OA OA OB OB ??=+=+?+ ???
54cos θ=+
2,33ππθ??∈????
11cos ,22θ??
∴∈-????
[]2
3,7OP ∴∈ 3,7OP ??∴∈??
答案：3,7????
例6：已知()
2,6,2a b a b a ==?-=，R λ∈,则a b λ-的最小值是（ ）
A. 4
B. 23 C ． 2 D.
3
思路：由条件可得()
2
226a b a a b a ?-=??=+=,所以考虑将a b λ-模长平方,从而转化为数量积问题，代入,,a b a b ?的值可得到关于λ的二次函数，进而求出最小值 解：
()
222a b a a b a ?-=??-= 2
26a b a ∴?=+=
()
2
2
22
22236124a b a b
a a
b b λλλλλλ∴-=-=-?+=-+
()2
2
2361246133a b λλλλ-=-+=-+≥
min
3a b
λ∴-=
答案:Ｄ
例7：已知直角梯形ABCD 中，AD ∥,90,2,1BC ADC AD BC ∠===，P 为腰CD 上的动点，则23PA PB +的最小值为＿____＿_＿__ 思路：所求23PA PB +难以找到其几何特点，所以考虑利用代数手段,在直角梯形中依直角建系，点B 的纵坐标
与梯形的高相关,可设高为h ,()0,P y ，()()2,0,1,A B h ,则()()2,,1,PA y PB h y =-=-，所
以
()
237,35PA PB h y +=-,
22377
PA PB +=≥,即
min
237PA PB
+=
答案：7
例８:如图,在边长为1的正三角形ABC 中,,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足
,AE mAB AF n AC ==,其中(),0,1,1m n m n ∈+=,,M N 分别是,EF BC
的中点，则
MN 的最小值为（ )
A ．
4 B.
3 C ． 4
Ｄ．
53
思路：等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将MN
进行表示,从而模长平方后2
MN 可写成关于,m n 的表达式,再利用1m n +=即可消元。
解：()11122
MN ME EB BN FE m AB BC =++=
+-+ ()()()()
11111
1122222AE AF m AB BC mAB nAC m AB AC AB =-+-+=-+-+- ()()()
111
11222
m AB n AC nAB mAC =-+-=+ ()
()222211
44
MN nAB mAC n m mn ∴=+=++
1
m n +=
()()()2
2
2221111331114442416
MN m m m m m m m ??????∴=-++-=-+=-+≥?? ?????????
3
4
MN ∴≥
答案:C
例9:已知OA 与OB 的夹角为θ,=2OA ，=1OB ,且OP tOA =，1OQ t OB =-（）， PQ
在0t 时取到最小值。当01
05
t <<
时，θ的取值范围是( ）
A ．0,
3π?? ?
?? B. ,32ππ?? ??? C. 2,23ππ
??
???
D. 20,3
π??
???
思路：本题含两个变量0,t θ，且已知0t 范围求θ的范围,所以考虑建立θ和0t 的关系式,
()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，从而考虑模长平方,向,OA OB 靠拢,可
得:()()()2
2
2
154cos 24cos 1PQ t OB tOA t t θθ??=--==+-++??
,所以当2
PQ 达到
最小值时,012cos 54cos t θθ+=
+,由01
05t <<可得12cos 1054cos 5θθ+<<+解得1cos 02
θ-<<，即
22
3
π
π
θ<<
解：()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--
()()()2222
221121PQ t OB tOA t OB t t OA OB t OA ??∴=--=---?+??
()()2
2
141cos 4t t t t θ=---+
()()254cos 24cos 1t t θθ=+-++
012cos 54cos t θθ+∴=
+时，PQ 取得最小值 01
05t <<
12cos 1054cos 5
θθ+∴<<+ 54cos 0θ+>，所以不等式等价于：
()2cos 10
1cos 01212cos 54cos 5θθθθ+>??
?-<
+<+??
2,
23
ππ
θ??∴∈ ???
答案:C
例1０:已知ABC 中,,2AB AC AB AC ⊥-=，点M 是线段BC （含端点）上的一点,且()
1AM AB AC ?+=,则AM 的范围是_＿__＿＿____
思路：本题由垂直和模长条件可考虑建系,从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系，设
()()0,,,0B b C c ,则(),AD AB AC c b =+=,设(),M x y ，则由
()
1AM AB AC ?+=可得1cx by +=，已知条件22
24AB AC b c -=?+=，所求AM
模长平方后可得2
22AM x y =+，所以问题转化为已知22
14
cx by b c +=??+=?的最大值
。
考
虑
()()2
22222222222x
y b c x c b y x b c y ++=+++,()2
22222cx by c x b y bcxy +=++,寻找
两个式子的联系，有22
2
2
2x b c y bcxy +≥，所以()()()2
22
2
2x y
b
c cx by ++≥+，即
()2
2
2222
1
4
cx by AM
x y b c +=+≥
=
+，从而12AM ≥，而另一方面：由1cx by +=及
1x y c b +=（M 符合直线BC 的方程）可得:()221x y bxy cxy cx by x y c b c b ??
=++=+++ ???
,所以2
2
1x y +≤(0x y ==时取等号),所以综上可得：1
12
AM ≤≤ 答案:
1
12
AM ≤≤ 三、历年好题精选(模长综合）
1、点G 是ABC 的重心,若120,2A AB AC ∠=?=-,则AG 的最小值为_____＿_＿__
2、已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1,1,2c a c b c ?=?==
,则对任意的正实数
t ,1
c ta b t
++的最小值为＿＿__＿__＿＿
3、已知,a b 是单位向量,且0a b ?=，若c 满足1c a b --=,则c 的范围是_______
4、在ABC 中,1,6
AC BC C π
===
，如果不等式BA tBC AC -≤恒成立,则实数
t 的取值范围是___＿___＿__＿_＿
5、设直角ABC ?的三个顶点都在单位圆2
2
1x y +=上,点11(,)22
M ，则||MA MB MC ++的最大值是( )
A.
1 Ｂ.
2 Ｃ.
12
+
Ｄ.
22
+
6、已知向量,,a b c 满足4,22,
a b ==a 与b 的夹角为
4
π
,()()1c a c b -?-=-,则
c a -的最大值为（ ）
1
2 B. 12+ C ． 12
1 7、（20１6,上海五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2
2
:650C x y x +-+=,点
,A B 在圆上,且AB =则OA OB +的取值范围是__＿___＿__
8、（2０15,湖南）已知点,,A B C 在圆2
2
1x y +=上运动,且AB BC ⊥,若点P 的坐标为
()2,0,则PA PB PC
++的最大值为（ )
A. 6
B. 7
C. 8
D ． 9
9、已知,a b 为非零向量,()m a tb t R =+∈,若1,2a b ==，当且仅当1
4
t =时,m 取到最小值，则向量,a b 的夹角为_______
１0、（２0１6，重庆万州二中）已知单位向量,a b 满足0a b ?=,且25c a c b -+-=,则2c a +的取值范围是( ）
A. []1,3
B. ???? Ｃ. 5??? Ｄ.
5??
????
１1、(2０16,贵阳一中四月考）已知点G 是ABC 的重心，若120A ∠=，2AB AC ?=-,则AG 的最小值是（ ）
A. 3 B ． 2 C ． 23 D. 3
4
习题答案: 1、答案:
23
解析：cos 24AB AC AB AC A AB AC ?=?=-??=
G 为ABC 的重心,延长AG 交BC 于M ，则AM 是中线 (
)()
2211
3323
AG AM AB AC AB AC ∴=
=?+=+ (
)
2222221112114
=9999999
AG AB AC AB AC AB AC AB AC ∴=+++?=+-
22
28AB AC AB AC +≥=
2
844999AG ∴≥
-= 23
AG ∴≥
2、答案：解析：2
22222112
22c ta b c t a b tc a c b a b t t t
++=+++?+?+?，代入已知条件可得:
22
2211211222c ta b t t t t t t t t t ????
++=++++=+++ ? ?????
t R +∈ 1
2t t
∴+≥
[)22
11128,c ta b t t t t t ????
∴++=+++∈+∞ ? ?????
1
22c ta b t
∴++≥
3、答案：1?+?
解析：设()
m c a b =-+,因为,a b 是单位向量,且0a b ?=，所以a b +的向量，由已知可得1m =，所以数形结合可知：()
c m a b =++，从而c 的范围是
1?+?
４、答案:1,12??
????
解析：由余弦定理可得:2
2
2
2cos AB AC BC AC BC C AB =+-???=
()
2
2
BA tBC AC BA tBC
AC ∴-≤?-≤
2
22
2
2BA BA BC t BC t AC ?-??+≤
()
2
9BA BC BC CA BC BC CA BC ?=+?=+?=
2227181211218602310t t t t t t ∴-+≤?-+≤?-+≤
1
12
t ∴≤≤ 5、答案：C
解析:由题意,22MA MB MC MA MO MA MO +++≤+=，当且仅当M O A ，，共线
同向时，取等号，即MA MB MC ++取得最大值,11+=+, 6、答案:D
解析:设,,OA a OB b OC c ===;
以OA 所在直线为x 轴,O 为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵4,22,
a b ==a 与b 的夹角为
4
π
,
则()()4,0,2,2A B ,设(),C x y ∵()()1c a c b -?-=-