第六章 向量代数与空间解析几何
习 题 6—3
1、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =
()()()2
22321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=
z y x
化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.
2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.
解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则
(,,)M x y z C MA z ∈?= 亦即
z z y x =++-222)4( 0
)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(2
2
=+-y x .
3、 求下列各球面的方程：
（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2
2
2
=-+++-z y x
（2）由已知，半径73)2(6222=+-+=
R ，所以球面方程为49222=++z y x
（3）由已知，球面的球心坐标12
3
5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2
1
222=++++-=
R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x
（4）设所求的球面方程为：02222
2
2
=++++++l kz hy gx z y x
因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得????
???=-=-==2210k g h l
∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .
4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：222x y z +=(旋转抛物面) .
5、将zOx 坐标面上的双曲线122
22=-c
z a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转
曲面的方程．
解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122
2
22=-+c
z a y x . 6、指出下列曲面的名称，并作图：
（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）22
1x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）2
2
2
y x z +=；（6）22
441x y z -+=；（7）
22
1916
x y z ++=； （8）222149
x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2
223122z y x +=+.
解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；
（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面. 7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）1+=x y
；（2）42
2
=+y
x ；（3）12
2=-y x ；（4）22x y =.
解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；
（2）42
2=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）12
2
=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；
（4）y x
22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.
8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？
（1）1994222=++z y x ；（2）1
4
222
=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422
=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22
1
49
+=x z 绕x 轴旋转而成
（2）xOy 平面上的双曲线14
2
2
=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线
22
14-=y z 绕y 轴旋转而成
（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；
或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成
（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.
9、 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42
=+-=y x x z 及三
坐标平面所围成；
（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围.
解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；
（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；
（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.
习 题 6—4
1、画出下列曲线在第一卦限内的图形
（1）???==21y x ；（2）?????=---=0
422y x y x z ；（3）?????=+=+222222a z x a
y x
解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线； （2
）上半球面z 0x y -=的交线为1
4
圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.
2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线?????=-+=++0
16
2222222y z x z y x 的柱面方程.
解：消去x 坐标得1632
2
=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；
消去y 坐标得：16232
2
=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.
3、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.
解：???==+0122x z y ；???==++01222x z y x ； ?????=+=++1
1
22222z y z y x .
4、试求平面20x -=与椭球面222
116124
x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.
解：将椭圆方程22211612420x y z x ?++=???-=?化简为：22
193
2y z x ?+
=???=?
，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.
5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程 （1）2229
x y z y x ?++=?=?
；
（2）?
??==+++-04
)1()1(22z z y x
解：（1）原曲线方程即：?
??
??=+=199222z x x
y ，化为????
?????
=≤≤==t
z t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；
（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤???
?
???==+=z y x .
6、求螺旋线??
?
??===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
解：???==+0222z a y x ；?????==0sin x b z a y ；??
???==0
cos
y b z a x .
7、指出下列方程所表示的曲线
（1）22225
3?++=?=?x y z x （2）?
??==++13094222z z y x ；
（3）???-==+-32542
2
2
x z y x ； （4）???==+-+40842
2
y x z y ； （5）??
???=-=-0
214
922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.
8、 求曲线???==-+30222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.
解：原曲线即：???=-=39
22z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲
线为???=-=0
9
22z x y
9、 求曲线 ??
?
??=
=++21
1222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,432
2=+y x 在xOy 面上的投影为,0
432
2?????==+z y x 它是中心在
原点，半径为
2
3
的圆周. （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;2
3
||,
21≤
???
??==x y z
（3）同理在yOz 面上的投影也为线段..2
3
||,
21≤
???
??==y x z
10、 求抛物面x z y =+2
2
与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线
方程.
解： 交线方程为???=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,0
4522???==-++z x xy y x
（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ?+--=?=?，（3）消去x 得投影2220
y z y z x ?++-=?=?.
习 题 6—5
1、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .
2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.
解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得
d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .
3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为
()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .
4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.
解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴,
即A =0; 另一方面表明
它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3,
-1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.
5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程. 解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=?=n n n
所求平面方程为化简得: .0632=-++z y x
6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.
解： 设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，
{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ?=-=，所求平面方程为
0.x z -=
7、写出下列平面方程：
（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.
解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）, 、（3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.
习 题 6—6
1、求下列各直线的方程：
（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2） 过点()1,1,1且与直线
4
3
3221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成?
?
?
120,45,60的直线； （4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程.
（5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线
11111-+==-z y x 和0
1
111+=
--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线. 解：（1）所求的直线方程为：
015323-=-=++z y x 即：0
1
553-=
-=+z y x ，亦即0
1
113-=
-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为
4
1
3121-=
-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}
?
??
???-=?
?
?
21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，
故直线方程为： 13
2
511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s ??→
==所求直线方程
.4
4
0322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{
}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-?-，所以，直线方程为：2
2
111+=
=-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235
635
x y z -++==
--.
2、求直线1,234x y z x y z ++=-??-+=-?
的点向式方程与参数方程.
解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,0630
200
00??
?=--=++?z y z y 解2,000-==z y .所
求
点
的
坐
标
为
)
2,0,1(-,取直线的方向向量
{}{}3,1,21,1,1-?=s k j i k
j i 343
12111--=-=,所以直线的点向式方程为：
,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241??
?
??--=-=+=t
z t y t
x
3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.
（1）???=-+=+-0623022y x z y x 与???=-+=--+01420112z x z y x ；（2）??
???--=+==2
12t z t y t
x 与142475x y z --+==
-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：
4
343
223z y x =-=--
43227-=--=-z y x 234
234-==
-- ∴二直线平行.又点)0,4
3,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量??????=????
?
?--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}
19,22,50,45,2114,3,2--=?
??????-，
从
而
平
面
方
程
为
：
0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即 0919225=++-z y x .
（2）因为
121
475
-≠≠
-，所以两直线不平行，又因为05
7412
10
31=--=?，所以两直线相交，
二直线所决定的平面的法向量为{
}{}{}1,1,35,7,412,1--=-?-，∴二直线所决定的平面的方
程
为
：
330
x y z -++=.设两直线的夹角为
?
，
则
cos ?=
=
4、判别下列直线与平面的相关位置： （1）
37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）7
23z
y x =-=与8723=+-z y x ； （3）??
?=---=-+-0
120
5235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；
（4）??
?
??-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .
解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-?+-?-+?-，而017302)4(234≠=-?--?-?，
所以，直线与平面平行.
（2） 0717)2(233≠?+-?-?,所以，直线与平面相交，且因为7
7
2233=--=，∴直线与平面垂直.
（3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--?-， 0179354=?+?-?，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70?--?--=），所以，直线在平面上.
（4）直线的方向向量为{
}9,2,1-， 097)2(413≠?+-?-?∴直线与平面相交但不垂直.
复习题A
一 、判断正误:
1、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 c b b a ?-?=)(c a b -?=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，
k c =，有?=?=0a b b c ，但c a ≠．
2、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则
k j i b a =?=?，k j i j c b =+-?=?)]([，c b b a ?=?，但c a ≠．
3 、若0=?c a ，则=0a 或=0c ； ( ? )
解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．
4、 a b b a ?-=?． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．
二、选择题:
1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；
(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b ．
解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．
(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．
2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；
(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．
3 、在空间直角坐标系中，方程2
2
21y x z --=所表示的曲面是( B )；
(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2
2
21y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．
4、空间曲线???=-+=5
,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；
(A)722
=+y x ； (B)???==+5
7
22z y x ； (C)
??
?==+0722z y x ；(D)???=-+=0
2
22z y x z 解析 曲线???==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为???==+0
7
22z y x ．
5 、直线
1
1
121-+=
=-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π
4
-．
解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ?=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．
三、填空题:
1、若2=
b a ，π
()2
=
a,b ，则=?b a 2 ，=?b a 0 ； 解 =?b a b a sin()a,b π22=2，=?b a b a cos()a,b π
22
=0．
2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{6
6
-±
； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，
所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{6
6
-±
．
3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；
解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)
和(3，0，5)代入方程，有{
20,50,B C D C D -+=+= ? 7,51,
5B D C D ?=-???=-?
得 05157=+--D Dz Dy ，
即 057=-+z y ．
4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为
z y
x -==2
0； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量
s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为
z y
x -==2
0 ．
5、曲线???=+=1
,
222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为
??
?==+.
0,
1222z y x 解: 投影柱面为 122
2
=+y x ，故 ???==+0
,
1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影
曲线方程．
四、解答题:
1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ?； (b) ()()-?+2a b a b ； (c)
2
b a -；
解: (a) b a ?=2
1
1
12
1-k
j i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-?+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-?-=．
(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2
b a -10)19(2
=+=．
2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．
解:
(1)
}2,6,3{}5
7),2(4,21{21-=-----=P P ；
74926)3(222==++-=
；
(3)
2
1P P 在
z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为
362cos ,cos ,cos 777
α
βγ=-==；
(4)k j i k j i 7276737263)(2
1++-=++-==P P
． 3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.
解： 令{}11
10,2,21
1
1
=?=-=-i
j k
c a b
，01?==??
c c
c ，
故与a
、b 都垂直的单位向量为0?±=±??c .
4、向量d
垂直于向量]1,3,2[-=a
和]3,2,1[-=b
，且与]1,1,2[-=c
的数量积为6-，
求向量d
解： d 垂直于a 与b
，故d 平行于b a ?，存在数λ使
()
b a d
?=λ?-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=
因6-=?c d
，故6)7(1)7()1(72-=-?+-?-+?λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d .
5、求满足下列条件的平面方程：
(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为
π
3
． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为02
4100
321120
1210
=---------z y x ，即01345=+--z y x ．
解2： }1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为
k j i k
j i
n 452
1
311
1
3121--=--=?=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即
01345=+--z y x ．
解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．
因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,
320,
A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求
平面方程为
0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．
（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为
π1
cos
32
=≠=，所以0
≠
B），令C
B
C
'
=，则有0
=
'
+z
C
y，由题设得
2
2
2
2
2
21
2
)5
(
1
1
2
1
5
3
cos
+
+
'
+
+
?'
+
?
+
?
=
π
C
C
，
解得3
='C或1
3
C'=-，于是所求平面方程为0
3=
+z
y或0
3=
-z
y．
6、一平面过直线
?
?
?
=
+
-
=
+
+
4
,0
5
z
x
z
y
x
且与平面0
12
8
4=
+
-
-z
y
x垂直，求该平面方程；
解法1：直线
?
?
?
=
+
-
=
+
+
4
,0
5
z
x
z
y
x
在平面上，令x=0，得
5
4
-
=
y，z=4，则（0，-
5
4
，4）为平面上的点．
设所求平面的法向量为n=}
,
,
{C
B
A，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为
1
n={1，
5，1}，
2
n={1，0，-1}，则直线的方向向量s=
1
n?
2
n=
1
1
1
5
1
-
k
j
i
={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即
?n
s={-5，2，-5}?}
,
,
{C
B
A=C
B
A5
2
5-
+
-=0，
因为所求平面与平面0
12
8
4=
+
-
-z
y
x垂直，则}8
,4
,1{
}
,
,
{-
-
?
C
B
A=C
B
A8
4-
-=0，解方程组
{5250,
480,
A B C
A B C
-+=
--=
?
2,
5
,
2
A C
B C
=-
??
?=-
??
所求平面方程为0
)4
(
)
5
4
(
2
5
)0
(
2=
-
+
+
-
-
-z
C
y
C
x
C，即0
12
2
5
4=
+
-
+z
y
x．解法2：用平面束（略）
7、求既与两平面
1
:43
x z
π-=和
2
:251
x y z
π--=的交线平行，又过点(3,2,5)
-的
直线方程.
解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =?=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为
325431x y z +--==---，即325
431
x y z +--==
. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为
32543x y z p p p +--==，即325431
x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ?++?--?-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为
4230
25330
x z x y z -+=??
--+=?．
8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线1
1
231:+=
=-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；
解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为
p
z n y m x 1
21-=-=-，联立121
,①,②320,③
x y z m n p x y z m n p ---?
==??==?++=?
由①，令
λ=-=-=-p z n y m x 121，则有??
?
??+=+=+=,
1,2,
1p z n y m x λλλ代入方程②有{
12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为1
1
2211-=--=-z y x ．
9、 指出下列方程表示的图形名称：
(a) 142
22=++z y x ；(b) z y x 22
2
=+；(c) 22y x z +=
；
(d) 02
2
=-y x ；(e) 12
2=-y x ； (f) ???=+=2
2
2z y x z ．
解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面．
(d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．
10、求曲面2
2
z x y =+与2
2
2()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程
122=+y x ，
所以柱面与xOy 平面的交线???==+'0
1:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面
22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．