第七章空间解析几何与向量代数
A
一、
1、平行于向量a = (6,7,-6) 的单位向量为.
2、设已知两点M1 (4, 2,1)和M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M 2 的模，方向余弦和方向角.
3、设m = 3i + 5j + 8k, n = 2i - 4j - 7k, p = 5i +j - 4k ，求向量a = 4m + 3n -p 在x 轴
上的投影，及在 y 轴上的分向量.
二、
1、设a = 3i -j - 2k, b =i + 2j -k ，求(1) a ?b及a ?b；(2)(-2a) ?3b及a ? 2b (3)a、b的
夹角的余弦.
2、知M1 (1,-1,2), M 2 (3,3,1), M 3 (3,1,3) ，求与M1M 2 , M 2 M 3 同时垂直的单位向量.
3、设a = (3,5,-2), b= (2,1,4) ，问λ与μ满足时，a +b ⊥z轴.
三、
1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为.
2、方程x 2+y 2+z 2- 2x + 4 y + 2z = 0 表示曲面.
3、1)将xOy 坐标面上的y 2= 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为
，曲面名称为.
2)将xOy 坐标面上的x 2+y 2= 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程
，曲面名称为.
3)将xOy 坐标面上的4x 2- 9 y 2= 36 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方
程为，曲面名称为. 4）在平面解析几何中y =x 2表示图形。在空间解析几何中
y =x 2表示图形.
5）画出下列方程所表示的曲面
(1) z 2= 4(x 2+y 2 )
(2) z = 4(x 2+y 2 )
四、
+ ?x 2 y 2 ? = 1
1、指出方程组? 4 9
?
? y = 3
在平面解析几何中表示 图形，在空间解
析几何中表示 图形.
2、求球面 x 2 + y 2 + z 2 = 9 与平面 x + z = 1的交线在 xOy 面上的投影方程.
3、求上半球0 ≤ z ≤
与圆柱体 x 2 + y 2 ≤ ax (a > 0) 的公共部分在
xOy 面及 xOz 面上的投影.
五、
1、求过点(3,0,-1)且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程.
2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量 a =(2,1,1)和 b =(1,-1,0)的平面方程.
3、求平行于 xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.
a 2 - x 2 - y 2
? x
4、求平行于 x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、
1、求过点(1,2,3)且平行于直线=
2y - 3
=
1
z -1
5
的直线方程.
2、求过点(0,2,4)且与两平面x + 2z = 1 , y - 3z = 2 平行的直线方程.
?x - 2 y + 4z - 7 = 0
3、求过点(2,0,-3)且与直线
?3x + 5 y- 2z +1 = 0
垂直的平面方程.
4、求过点(3,1,-2)且通过直线x - 4
=
5
y + 3
=
2
z
的平面方程.
1
?
?
?
?x + y + 3z = 0 5、求直线?x - y - z = 0
与平面 x - y - z + 1 = 0 的夹角.
6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系
?x + 2 y - z = 7 1) 直线?- 2x + y + z = 7 与直线 x - 1 =
2 y -
3 - 1 = z ;
- 1
2) 直线 x - 2 = 3 y + 2 = 1 z - 3 - 4
和平面 x+y+z=3.
?x + y - z + 1 = 0 7、求点(3,-1,2)到直线?2x - y + z - 4 = 0 的距离.
B
1、已知 a + b + c = 0 （ a , b , c 为非零矢量），试证: a ? b = b ? c = c ? a .
2、a ?b = 3, a ?b = {1,1,1}, 求∠(a, b) .
3、已知a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模| a +tb |最小？并证明此时b⊥(a +tb) .
4、求单位向量n ，使n⊥a 且n⊥x 轴，其中a = (3,6,8) .
5、求过z 轴，且与平面2x +y - 5z = 0 的夹角为的平面方程.
3
6、求过点M 1 (4,1,2) ，M 2 (-3,5,-1) ，且垂直于6x - 2 y + 3z + 7 = 0 的平面.
?x - 2 y +z -1= 0x y z
7、求过直线?
2x +y -z - 2 = 0 ，且与直线l2 ：
1
=
- 1
=
2
平行的平面.
?
? ? y = 1 8、求在平面: x + y + z = 1上，且与直线 L ：?
z = -1
垂直相交的直线方程.
9、设质量为100kg 的物体从空间点 M 1 (3,1,8) ，移动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为 m ）.
? y 2 + z 2 - 2x = 0
10、求曲线 ? ?
z = 3 在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲
线？
11、已知OA = i + 3k , OB = j + 3k ，求?OAB 的面积
? 12、.求直线?
2x - 4 y + z = 0 在平面4x - y + z = 1上的投影直线方程.
?3x - y - 2z - 9 = 0
C
1、设向量 a , b , c 有相同起点,且a + b +c = 0 ，其中+ + = 0 ，,,不全为零,
a + x
b - a ?
= 证明: a , b , c 终点共线.
x + 2
y - 1 2
2、求过点 M 0 (1,2,-1) ，且与直线 L ： 2 = - 1 = 相交成 角的直线方程. 1 3
3、过(-1,0,4) 且平行于平面3x - 4 y + z - 10 = 0 又与直线程.
x + 1 = 1 y - 3 = 1 z
相交的直线方 2 x - 1 y z x y z + 2
4、求两直线 L 1 ： 0 = - 1 = - 1 与直线 L 2 ： 6 = - 3 =
的最短距离. 0
5、柱面的准线是 xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为 1），母线平行于向量 g = {1,1,1} ，
求此柱面方程.
6、设向量 a,b 非零， b = 2,(a , b ) =
?x = 2 y
?
，求lim
.
3
x →0 x
7、求直线 L : ?z = - 1
( y - 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程. ?? 2
第七章 空间解析几何与向量代数
习 题 答 案
? 6 7 一、1、 ± ? , , ?11 11 A
- 6 ?
11 ?
1
2
1
2 3 2、 M 1 M 2 =2,
cos = - 2
, cos = , cos = ,= 2 2 ,= 3 , = 4 3 3、 a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、1、1） a ? b = 3 ?1 + (-1) ? 2 + (-2) ? (-1) = 3
i a ? b = 3 1 j k
- 1 - 2 = 5i + j + 7k
2 - 1
（2） (-2a ) ? 3b = -6(a ? b ) = -18 ， a ? 2b = 2(a ? b ) = 10i + 2 j + 14k
^
（3） cos(a , b ) =
a ? b
3
2 21
2、 M 1 M 2 = {2,4,-1}, M 2 M 3 = {0,-2,2}
a ? b
a a
2 17 - 4 2 17
6 ? ? i a = M 1 M 2 ? M 2 M 3 = 2 0 j k
4 - 1 = 6i - 4 j - 4k
- 2 2
±
= ±{ , - 4 , }
即为所求单位向量。 3、λ = 2μ
三、1、(x - 1)2 + ( y - 3)2 + (z + 2)2 = 14
2、以(1,-2,-1)为球心,半径为 的球面
3、1) y 2 + z 2 = 2x ,旋转抛物面
2)x 2 + y 2 + z 2 = 2x ,球面
3)
绕 x 轴： 4x 2 - 9 y 2 - 9z 2 = 36 旋转双叶双曲面
绕 y 轴： 4x 2 + 4z 2 - 9 y 2 = 36 旋转单叶双曲面
4、抛物线，抛物柱面
5、
四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平
面的交线。
?2x 2 - 2x + y 2 = 8 2、 ?
z = 0
? a 2 2 2 ? 2
2 2
3、在 xoy 面的投影为： ?(x - 2 ) + y ≤ a x + z ≤ a 在 x O z 面的投影为：
?
??
z = 0 ? y = 0
五、1、3x - 7 y + 5z - 4 = 0
2、1? (x - 1) + 1? ( y - 1) - 3(z + 1) = 0
6 2 17
1
3、 y + 5 = 0
4、9 y - z - 2 = 0
六、1、 x - 1 = y - 2 =
z - 3 2、 x
= y - 2 = z - 4
2 1 5
- 2 3 1
3、16x - 14 y - 11z - 65 = 0
4、8x - 9 y - 22z - 59 = 0
5、0
6、1）垂直 2）直线在平面上
7、
2
B
1、证明思路： a + b + c = 0 ，∴a ? (a + b + c ) = 0 即 a ? b + a ? b + a ? c = 0 ，又 a ? a = 0 ，
∴a ? b = -a ? c = c ? a 同理得 a ? b = b ? c
2、思路： a ? b = a b sin(a , b ) a ? b = a b cos(a , b ) 。答案： (a , b ) =
6 3、思路 | a + tb |2 = (a + tb ) ? (a + tb ) =| a |2 +t 2 | b |2 +2t (a ? b )
该式为关于t 的一个 2 次方程，求其最小值即可。答案： t = -
4、思路：取b = i ，则 n ⊥a , n ⊥b 。 答案： n = ± 1
(8 j - 6k )
10
a ? b
| b |2
5、思路：平面过 z 轴，不妨设平面方程为 Ax + By = 0 ，则 n = {A , B ,0} ，又（ A , B 不全为0 ）
答案：所求平面方程为 x + 3y = 0 或 x - y = 0
3
6、法一：，所求平面法向量 n ⊥M 1 M 2 ，且 n ⊥n 1 = {6,-2,3}
i
∴取 n = M 1 M 2 ? n 1 = - 7 6 j k
4 - 3 = {6,3,-10}
- 2 3
又平面过点 M 1 (4,1,2) ，则平面方程为6x + 3y - 10z - 7 = 0
解法 2. 在平面上任取一点 M (x , y , z ) ，则 MM 1
M 1 M 2 和 n
= {6,-2,3} 共面，由三向量共
面的充要条件得 x - 4 6
- 7 y - 1 - 2 4 z - 2 3 - 3
= 0 ，整理得所求平面方程
7、思路：用平面束。设过直线l 1 的平面束方程为 x - 2 y + z - 1 +
(2x + y - z - 2) = 0
3 2
1
? 0 答案：平面方程为11x + 3y - 4z - 11 = 0
8、思路：求交点(1,1,-1) ，过交点(1,1,-1) 且垂直于已知直线的平面为 x - 1 = 0 。
? x -
1 = 0 答案： ?
x + y + z = 1
9、思路：重力的方向可看作与向量 k 方向相反
答案：W = F ? M 1M 2 = 0 ? (-2) + 0.3 + (-100g ) ? (-6) = 600 ? g = 5880J
10、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
? y 2 - 2x + 9 = 0 ?
。原曲线是由旋转抛物面 y 2 + z 2 - 2x = 0 被 z = 3 平面所截的抛物线。 ?
z = 0
11、思路： S
= 1
| OA ? OB | ，答案： 19 OAB
2 2
?17x + 31y - 37z - 117 = 0
12、思路：利用平面束方程。答案?
?
C
4x - y + z = 1
1、证明：设OA = a ， OB = b ， OC = c ，根据三角形法则。则 AB = b - a ， AC = c - a ，
BC = c - b 。根据条件,,不全为0 ，不妨设 ≠ 0 ，则 AB = c - a = -
a + b
- a
=
a +
b -a
+
即 AC 与 AB 共线。∴点 A , B , C 在一条直线上。
2、解：在已知直线 L 上任取两点 P 1 (-2,1,0) ， P 2 (0,0,1) ，则向量
P 1 M 0 = {3,1,-1}, P 2 M 0 = {1,2,-2} ，则构造直线束方程 L * ：
x - 1 3+ 1
= y - 2 = + 2 + 1 ， - - 2 表示过点 M 且与已知直线共面的所有直线。根据已知条件：当 L *
与
L 成 角时，有 3
(3+ 1) ? 2 + (-1)(+ 2) + 1? (-- 2) = cos ，即4- 2 = 1 ，∴= 5
∴所求直线方程为 x - 1 = 3 2 8
y - 2 = z + 1 。
23 21 - 21
12
+ 22
+ 22
lim 2a ? b + x b 2 x →0 ( a + xb + a ) 2 a ) 0
0 0 0 0
3、解：设所求直线方程为
x + 1 = y = m n z - 4
p
所求直线与已知平面平行，则3m - 4n + p = 0 （1）
又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点(-1,3,0) ，则
m n M 0 M 1 = {0,3,-4} 在平面上。三向量共面，得 1 1 0 3 p
2 = 0 ，
- 4
即10m - 4n - 3 p = 0
（2）
x + 1
y
z - 4
由（1）（2），得 m : n : p = 16 :19 : 28
∴所求直线方程：
= = 16 19 28
4、解：已知两直线的方向向量为 S 1 = {0,-1,-1}, S 2 = {6,-3,0}，故垂直于两方向向量的向量 n 可取为 n = S 1 ? S 2 = -3i - 6 j + 6k ，又点(1,0,0) 在直线 L 1 上
∴过直线 L 1 且平行于 L 2 的平面为- 3(x - 1) - 6 y + 6z = 0 ，即 x + 2 y - 2z - 1 = 0 ，又点
(0,0,-2) 在直线 L 1 上，该点到平面 x + 2 y - 2z - 1 = 0 的距离
d =
3
= 1为所求两直线间的最短距离。
5、解：设柱面上任意一点 M (x , y , z ) ，过 M 作平行于向量 g 的母线且准线相交于
M 0 (x 0 , y 0 ,0) ，又 M 0 || g ，即 M 0 又 M 在圆上，∴ x 2 + y 2 = 1 =
g ，∴ x - x 0 = ， y - y 0 =
， z = 。
∴(x -
)2 + ( y - )2 = 1，即(x - z )2 + ( y - z )2 = 1
6、解：
lim
x →0 x
= lim
x →0
2
= lim ) x →0
(a + xb ) ? (a + xb ) - a ? a
2a ? b
= lim x →0 = = = 2 cos = 1
3 7、 解：对旋转曲面上任一点 P(x,y,z)，过 P 作平面垂直 y 轴，与 y 轴的交点为 B(0,y,0)，
与 L 的交点为 Q( x 0 , y 0 , z 0 )。因为 PB = BQ ，所以 x 2 + z 2 = x 2 + z 2
x ( a + xb + a ) a + xb - a
(a ? a + 2xa ? b + x 2 b 2 ) - a ? a x ( a + xb + a ) a + xb 2
- a
x ( a + xb + a
又因为 Q 在L 上，所以x0= 2 y, z0=-1
( y - 1) ，代入得2
x 2+z 2= 4 y 2+1
( y - 1)2 ,即4x 2- 17 y 2+ 4z 2+ 2 y - 1 = 0 。4