第八章 空间解析几何与向量代数答案
一、选择题
1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9
2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ）
A （-1,1,5）.
B （-1,-1,5）.
C （1,-1,5）.
D （-1,-1,6）.
3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ）
A -i -2j +5k
B -i -j +3k
C -i -j +5k
D -2i -j +5k
4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3
π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3
π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1
7. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ?r r 是：（ D ）
A -i -2j +5k
B -i -j +3k
C -i -j +5k
D 3i -3j +3k
8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）
A 2
B 364
C 3
2 D
3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ）
A 2x+3y=5=0
B x-y+1=0
C x+y+1=0
D 01=-+y x ．
10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；
A -+a b =a b ；
B =a b ；
C 0?a b =；
D ?a b =0．
11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b
12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）； A 5
3； B 5； C 3；
13、直线1
1z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 （B ） A 6π； B 3π； C 4π； D 2
π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 （A ）
（A ）??
? ??23,0,21； （B ）13,0,22??-- ???； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22??-- ???． 15、向量a 与b 的数量积?a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ?a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ．
16、非零向量,a b 满足0?=a b ，则有（ C ）．
A a ∥b ;
B =λa b (λ为实数)；
C ⊥a b ；
D 0+=a b ．
17、设a 与b 为非零向量，则0?=a b 是（A ）．
A a ∥b 的充要条件；
B a ⊥b 的充要条件;
C =a b 的充要条件；
D a ∥b 的必要但不充分的条件．
18、设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）．
A 7
B 7j
C –1；
D -9k
19、方程组2222491x y z x ?++=??=??
表示 （ B ）.
A 椭球面；
B 1=x 平面上的椭圆；
C 椭圆柱面；
D 空间曲线在1=x 平面上的投影.
20、方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.
A 坐标原点(0,0,0)；
B xoy 坐标面的原点)0,0(；
C z 轴；
D xoy 坐标面.
21、设空间直线的对称式方程为 012x
y z =
=则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；
C 过原点且垂直于z 轴；
D 过原点且平行于x 轴.
22、设空间三直线的方程分别为
123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t =?+-+=?++?===-+??+-=--??=+?
,则必有（ D ）. A 1L ∥2L ； B 1L ∥3L ； C 32L L ⊥； D 21L L ⊥.
23、直线
34273x y z ++==--与平面4223x y z --=的关系为 ( A )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；
C 垂直相交；
D 相交但不垂直．
24
、已知1,==a b 且(,)4
∧π=a b , 则 +a b = ( D )． A 1；
B 1+
C 2；
.
25、下列等式中正确的是( C )．
A +=i j k ；
B ?=i j k ；
C ?=?i i j j ；
D ?=?i i i i ．
26、曲面22x y z -=在xoz 平面上的截线方程为 (D)．
A 2
x z =； B 20y z x ?=-??=??； C 2200x y z ?-=??=??； D 20x z y ?=??=??． 二、计算题
1．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。 解：由题设知
((
1212,32,01,1,,M M =--=-u u u u u u r 则 21cos -=α，2
1cos =β，22cos -=γ， 于是，32πα=，3πβ=，4
3πγ=。 2．设853++=，742--=和45-+=，求向量-+=34在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量。 解：()()()
k j i k j i k j i a 4574238534-+---+++=k j i 15713++= 故在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为j 7。
3．在xoz 坐标面上求一与已知向量()2,3,4a =-r 垂直的向量。
解：设所求向量为()00,0,b x z =r ，由题意，
取10=z ，得20=x ，故()2,0,1b =r 与垂直。当然任一不为零的数λ与的乘积λ也垂直a 。
4．求以()3,2,1A ，()5,4,3B ，()7,2,1--C 为顶点的三角形的面积S 。
解：由向量积的定义，可知三角形的面积为S ?=21，因为()2,2,2AB =u u u r ，()2,4,4AC =--u u u r ，所以
()22
216,12,4244
i j k AB AC ?==----r r r u u u r u u u r ， 于是， ()().69242162
144222221222=-+-+=--=S 5．求与向量()2,0,1a =r ，()1,1,2b =-r 都垂直的单位向量。 解：由向量积的定义可各，若c b a =?，则c 同时垂直于a 和b ，且
232
11102
--=-=?=， 因此，与?=平行的单位向量有两个： ()()()k j i b a c c 2314
123123||||222--=-+-+--=?==ο和 6．求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影的方程。
解：由1=+z x ，得x z -=1，代入9222=++z y x ，消去z 得()912
22=-++x y x ，即
82222=+-y x x ，这就是通过球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线，并且母线平行
于z 轴的柱面方程，将它与0=z 联系，得：?
??==+-082222z y x x ，即为所求的投影方程。 7、求过()1,1,1-A ，()2,,2,2--B 和()2,1,1-C 三点的平面方程。 解一：点法式：{}3,3,3--=，{}3,2,0-=，取 {
}2,3,133
20333---=---=?=j
j i AC AB n ， 于是所求方程：023=--z y x 。
解法二：用一般式，设所求平面方程为
将已知三点的坐标分别代入方程得
解得
??
???=-=-=023D A C A B ，得平面方程：023=--z y x 。
8．求平面0522=++-z y x 与xoy 面的夹角余弦。
解：()2,2,1n =-r 为此平面的法向量，设此平面与xoy 的夹角为γ，则
9．分别按下列条件求平面方程
(1)平行于xoz 面且经过点()3,5,2-；
(2)通过z 轴和点()2,1,3-；
(3)平行于x 轴且经过两点()2,0,4-和()7,1,5。
解：(1)因为所求平面平行于xoz 面，故()0,1,0j =r 为其法向量，由点法式可得：
()()()0305120=-?++?+-?z y x ，
即所求平面的方程：05=+y 。
(2)因所求平面通过z 轴，其方程可设为(*)0=+By Ax ，已知点()2,1,3--在此平面上，因而有03=+-B A ，即A B 3=，代入（*）式得：
03=+Ay Ax ，即所求平面的方程为：03=+y x 。
(3)从共面式入手，设()z y x P ,,为所求平面上的任一点，点()2,0,4-和()7,1,5分别用A ，
B 表示，则，，共面，从而[]00
01911
24,,=+-=z y
x ，于是可得所求平面方程为：029=--z y 。
10．用对称式方程及参数式方程表示直线l ：???=++=+-4
21z y x z y x 。
解：因为直线l 的方向向量可设为()1211
12,1,3211
i j k s n n =?=-=-r r r r u r u u r ，在直线上巧取一点()2,0,3-A （令0=y ，解直线l 的方程组即可得3=x ，2-=z ），则直线的对称式方程为3
2123+==--z y x ，参数方程为：t x 23-=，t y =，t z 32+-=。
11．求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程。
解：因为两平面的法向量()11,0,2n =u r 与()20,1,3n =-u u r 不平行，所以两平面相交于一直线，
此直线的方向向量()121022,3,1013
i j k s n n =?==--r r r r u r u u r ，故所求直线方程为1
4322-=-=-z y x 。 12．确定直线 3
7423z y x =-+=-+和平面3224=--z y x 间的位置关系。 解：直线的方向向量()2,7,3,s =--r
平面的法向量()4,2,2,n =--r 从而⊥，由此可知直线平等于平面或直线在平面上。
再将直线上的点)0,4,3(--A 的坐标代入平面方程左边，得()()34024234≠-=?--?--?，即A 不在平面上，故直线平行于平面。
13．求过点()1,2,1而与直线???=-+-=+-+01012:1z y x z y x l ，???=+-=+-0
02:z y x z y x l 平行的平面方程。 解：因()11211,2,3111
i j k s =-=---r r r u r 为直线1l 的方向向量， ()221
10,1,1111
i j k s =-=---r r r u u r 直线2l 的方向向量。
取 ()121231,1,1011
i j k n s s =?=--=----r r r r u r u u r ，则通过点()1,2,1并以为法向量的平面方程0=+-z y x 即为所求的平面方程。
14、已知22,5,(,)3
∧π===a b a b ,问λ为何值时,向量17=λ+u a b 与3=-v a b 互相垂直． 解 由0?=u v 得(17)(3)0λ+?-=a b a b ，即 223(51)170λ+-λ?-=a a b b ， 将22,5,(,)3∧π===a b a b 代入得：212(51)10cos 42503
πλλ+-?-=， 解得 40λ=．
15、求两平行面362140x y z +-+=与36270x y z +--=之间的距离．
解 在平面362140x y z +-+=上取点(0,0,7)M ， 则点M 到平面36270x y z +--=的距离
即为所求：2137
d ===． 16、求过点(3,2,5)-且与两平面430x z --=和2510x y z ---=的交线平行的直线方程． 解 设s (),,m n p =为所求直线的一个方向向量，由题意知s 与两个平面的法向量()11,0,4=-n 和()22,1,5=-n 同时垂直，故有120,0,?=?=s n s n
即40250m p m n p -=??--=?
解得： 4,3m p n p ==，即得 s ()4,3,1= 故所求直线方程为 325431
x y z +--==．
17、一平面过点(1,0,1)A -且平行向量()2,1,1=a 和()1,1,0=-b ，试求这平面方程．
解 (从点法式入手) 由条件可取{}2111,1,3110
=?==--i j k
n a b ,
于是 1(1)1(0)3(1)0x y z ?-+?--?+=， 即 043=--+z y x 为所求平面方程．
《 空 间 解 析 几 何 》 试卷A 班级： 姓名： 学号： 分数： 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。 试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一．选择题（每小题3分，共10分） 1. 平面的法式方程是 （ ）. Ａ. 0=+++D Cz By Ax Ｂ. 1=++r z q y p x Ｃ. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 2 2 2 >=++=-++p p z y x γβαγβα其中 Ｄ. ()0,1cos cos cos 0 cos cos cos 2 22>=++=+++p p z y x γβαγβα其中 2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ. 021=?n n Ｂ. 021=?n n Ｃ. 21n n λ=. Ｄ. 以上都不对 3. 平面 0:11111=+++D z C y B x A π 与平面 0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直 的充要条件是 （ ）. Ａ. 2 12 12 1C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A A Ｃ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对. 4. 1 11 11 11: n z z m y y l x x l -= -= -与2 22 22 22: n z z m y y l x x l -= -= -是异面直线，则必有 （ ）. Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ. 0212121≠++n n m m l l Ｃ. 021212122 2 1 11 =---z z y y x x n m l n m l Ｄ. 02 1212122 2 1 11 ≠---z z y y x x n m l n m l . 5. 若向量γβα ,,线性无关，则在该向量组中必有 （ ） Ａ. 每个向量都可以用其它向量表示。 Ｂ. 有某个向量可以用其它向量表示。
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙
空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b
a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积
空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的
方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下，点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |，则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )
第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 21 3+=-=z y x 的距离是：（ ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ） 3 62 B ） 3 64 C ）3 2 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0
习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-
空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）?? ???==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为
第七章 向量代数与空间解析几何 （一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量, =.则a =b 同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量b a , b a ,同向。 （ ） 7．若={ z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为| |a a x a | |a z }。（ ） 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ） 二、填空题 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且||2||a b =，则由表示为= 。 6． ，与轴l 的夹角为 6 π，则a l prj = 7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。 以及它的对角线 交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。 8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =ο 60，β=ο 120。则γ= 9． 设a 的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，a 垂直于 坐标面。 三、选择题
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2 ． 已 知 梯 形 OABC 、 2 12 1 -21--2121-, ⊥ b + + - + < - +>-yoz 2AOB ∠42222)(b a b a ?=?a ?b a ???2 a b ??a ??b ωc a ρρ?0??≠a c b ??=b a ??=b a ?? ?22 2b b a a +?+??a b b a ???ρ?=?c b a ???、、a c b c b a ???????=?=,c b a ???、、b a ??,111,,γβα2 22,,γβαb a ∧ (2 12121cos cos cos cos cos cos γγββαα++) (b a ?∧3 π,8,5==b a ??b a ??-24,19,13=+==b a b a ??ρ?a b -v v 32)(π=∧b ?2 ,1==b a ??a b ?v v 72,26,3=?==b a b a ????b a ???}1,2,2{},4,3,4{=-=b a ??a }4,6,4{},2,3,2{--=-=b a ?? )(b ?∧b a ??,λb a P ???5+=λb a Q ???-=3MNP ∠π 4 3π2π 4π2a =0=?b a ??0??=a 0??=b c a b a c b a ???????-=-)(0??≠a c a b a ????=c b ??=}. 4,4,1{},2,3,{-==b x a ?? b a ??//}1,3,1{1},1,1,2{-=-= b a ?? b a ??、}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a ? ??、、d ?b a ??,. 14d c ?? ，求向量上的投影是312123 a a a b b b == 2222222 123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++=++?..a C B c A B ????= =c a c a S ABD ρ?????= ?l l πππ⊥πππθ2 π πππ5πd 2 2212C B A D D ++-5 1 232-==-z y x { 7 421 253=+--=-+z y x z y x 1 3241z y x =+=-300 { x y z x y z ++=--={ 1240 322=+--=+-+z y x z y x 2 33211+=+=-z y x 1 0101z y x =-=+{ 0440 4=--=--y x z x ?? ? ??==+=4321z t y t x { 7 27 2=-+=++-z y x z y x
第七章向量代数与空间解析几何 （一）空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1．点（ -1， -2， -3）是在第八卦限。（）2．任何向量都有确定的方向。（） 3．任二向量a,b，若a b .则 a = b 同向。() 4．若二向量a,b满足关系a b = a + b ,则 a,b 同向。（）5．若a b a c, 则b c() 6．向量a, b满足a = b ，则a, b同向。（）a b 7．若a ={ a x,a y, a z } ，则平行于向量 a 的单位向量为{a x，a y ， a z }。（） | a || a || a | 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。(） 二、填空题 1．点（ 2， 1， -3）关于坐标原点对称的点是 2．点（ 4， 3， -5）在坐标面上的投影点是 M （0， 3， -5） 3．点（ 5， -3， 2）关于的对称点是 M（ 5， -3， -2）。 4．设向量 a 与 b 有共同的始点，则与a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为 5．已知向量 a 与 b 方向相反，且 | b | 2 | a | ，则 b 由 a 表示为 b =。 6．设 a =4， a 与轴l的夹角为，则 prj l a= 6 7．已知平行四边形ABCD 的两个顶点 A （2， -3，-5）、 B（ -1， 3， 2）。以及它的对角线交点 E（ 4，-1，7），则顶点 C 的坐标为，则顶点 D 的坐标为。8．设向量 a 与坐标轴正向的夹角为、、，且已知=60，=120。则= 9．设 a 的方向角为、、，满足 cos=1时， a 垂直于坐标面。 三、选择题 1．点（ 4，-3， 5）到oy轴的距离为 （A）42( 3)252（ B）( 3)252 （C）42( 3)2（D）4252 2．已知梯形 OABC 、CB // OA且CB =1 OA 设 OA = a ， OC = b ，则 AB 2 =
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则B （A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2．平面x-2z=0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。 （A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题
1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程 解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程 解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程 解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB u u u r 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB u u u r 的模；（3）AB u u u r 的方向余弦；（4）AB u u u r 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-u u u r ，AB u u u r 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k r ；（2）AB =u u u r ；（3）AB u u u r （4）AB u u u r 382) i j k -++r r r . 2、设向量a r 和b r 夹角为60o ，且||5a =r ，||8b =r ，求||a b +r r ，||a b -r r . 解：||a b +==r r ||a b -= =r r =7. 3、已知向量{2,2,1}a =r ，{8,4,1}b =-r ，求 （1）平行于向量a r 的单位向量； （2）向量b r 的方向余弦. 解（1）3a = =r 平行于向量a r 的单位向量221{,,}333 ±； （2）9b ==r ，向量b r 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB u u u r =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）；
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及； 及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量. 3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程02422 2 2 =++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22 =绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为__ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 22 2 =+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的36942 2 =-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是___66 ___________. 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__ 3 147 ___________. 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_________________. 二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影 点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r ，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为
第七章：空间解析几何与向量微分 本章内容简介 在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。 7.1空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如下图所示） 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示)
坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征. 例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点， 则x=y=z=0，等。 二、空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式： 例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得： 由于，所以△ABC是一等腰三角形 7．2 方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。 方向角与方向余弦 设有空间两点，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有 向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个 坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中
空间解析几何与矢量代数小练习 一填空题 5 ’x9=45 分 1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________. 2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________ 3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面. 5、方程x2 y2 z 表示______________曲面. 6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 . 7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 . 二计算题11 ’x5=55 分 1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线x y 3 z 1 的直线方程 . 2 1 5 4、求过点 (2,0,-3) x 2 y 4z 7 0 且与直线 5 y 2z 1 垂直的平面方3x 0 5、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。 1
参考答案 一 填空题 1、 6 , 7 , 6 11 11 11 2、 M 1 M 2 =2, cos 1 ,cos 2 ,cos 1 , 2 , 3 , 2 2 2 3 4 3 3、 ( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14 4、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为 6 的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、 x 1 y 2 z 3 4 、 16x 14y 11z 65 0 2 1 5 5 S 1 OA OB 19 2 2 2