“解析几何初步”（第二课时）
-----圆与圆的方程
一、高考《考试大纲》的要求：
① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.
③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
二、基础知识填空：
1.确定圆的条件是：一个圆的________位置和________一旦给定，这圆就被确定下来了。
2.圆的标准方程：圆心为C （a,b ）,半径为r 的圆的标准方程是
_____________________________.
3.圆的一般方程：____________________________,其圆心坐标为_______,半径为
______________.
4.直线与圆的位置关系:设圆2
22r )b y ()a x (=-+-的圆心C （a,b ）到直线ｌ:Ax+By+C=0的距离为d.则当______时，直线与圆相离；当______时，直线与圆相切；当______时，直线与圆相交。
5.圆与圆的位置关系：设圆C 1：212121r )y y ()x x (=-+-和圆C 2：222222r )y y ()x x (=-+-的圆心距为d=|C 1C 2|.则当___________时，两圆相离；则当
___________时，两圆外切；则当___________时，两圆相交；则当___________时，两圆内切；则当___________时，两圆内含。
三、例题选讲：
例1． (2006重庆文)以点(2，－1)为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为( )
（A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22(2)(1)3x y ++-=
（C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）9)1()2(22=-++y x
例2．（2004全国卷Ⅲ文、理）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x
例3．（2004湖北文）两个圆0
124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
例4．（2006天津理）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，
且弦AB 的
长为a =____________．
四、基础训练：
1．（2006江苏）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是( )
（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0
2．（2006全国Ⅰ卷文）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线
夹角的余弦值为( )
A ．
12 B ．35 C ．0
3.（2004上海文、理）圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 .
4．（2005湖南文）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB
的垂直平分线方程是 .
五、巩固练习：
1.(2007安徽文)若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为
22,则a 的值为（ ）
(A)-2或2 (B)
2
321或 (C)2或0 (D)-2或0
2.（2007上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(2
2=-++y x Ｂ．2
1)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y x Ｄ．2)2()3(22=++-y x
3.(2004天津理)若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )
A.03=--y x
B.032=-+y x
C.01=-+y x
D.052=--y x
4．（2002春招北京理）圆2x 2+2y 2=1与直线xsin θ+y –1=0 (θ∈R, θ≠π/2+k π, k ∈Z)的位置关系是（ ）
（A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）不能确定
5、（2006湖北文）若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .
6.（2007天津文、理）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则
直线AB 的方程是 ．
7.（2002上海文、理）已知圆和圆外一点，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 。
8、（2006广东）设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为
11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =u u u r u u u r ,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求: (I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.
“解析几何初步”（第二课时）
-----圆与圆的方程（参考答案）
三、例题选讲：例1. C 例2. D 例3. B 例4. 0
四、基础训练：1.C 2 .B 3.5)3()2(22=++-y x 4. 3x-2y-3=0
五、巩固练习：1---4. CCAC 5. )34,0( 6. x+3y=0 7.
34 8.
“解析几何初步”（第二课时） -----圆与圆的方程 一、高考《考试大纲》的要求： ① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. ② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系. ③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 二、基础知识填空： 1.确定圆的条件是：一个圆的________位置和________一旦给定，这圆就被确定下来了。 2.圆的标准方程：圆心为C （a,b ）,半径为r 的圆的标准方程是 _____________________________. 3.圆的一般方程：____________________________,其圆心坐标为_______,半径为 ______________. 4.直线与圆的位置关系:设圆2 22r )b y ()a x (=-+-的圆心C （a,b ）到直线ｌ:Ax+By+C=0的距离为d.则当______时，直线与圆相离；当______时，直线与圆相切；当______时，直线与圆相交。 5.圆与圆的位置关系：设圆C 1：212121r )y y ()x x (=-+-和圆C 2：222222r )y y ()x x (=-+-的圆心距为d=|C 1C 2|.则当___________时，两圆相离；则当 ___________时，两圆外切；则当___________时，两圆相交；则当___________时，两圆内切；则当___________时，两圆内含。 三、例题选讲： 例1． (2006重庆文)以点(2，－1)为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为( ) （A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22(2)(1)3x y ++-= （C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）9)1()2(22=-++y x 例2．（2004全国卷Ⅲ文、理）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x 例3．（2004湖北文）两个圆0 124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 例4．（2006天津理）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点， 且弦AB 的 长为a =____________． 四、基础训练： 1．（2006江苏）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是( ) （A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0 2．（2006全国Ⅰ卷文）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线
高中数学第二章解析几何初步3空间直角坐标系3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标3.3空间两点间的距离公式课后课时精练北师大版必修 212250410 时间：25分钟 1．下列叙述中，正确的个数是( ) ①空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式；②空间直角坐标系中，在yOz平面内的点的坐标一定是(0，b，c)的形式；③空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定是(0,0，c)的形式；④空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式． A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C 解析空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标可写成(a,0,0)的形式，故①错；在yOz 平面内的点的坐标可写成(0，b，c)的形式，故②正确；在z轴上的点的坐标可写成(0,0，c)的形式，故③正确；在xOz平面内的点的坐标可写成(a,0，c)的形式，故④正确．因此选C. 2．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( ) A．(0,0，3) B．(0，2，3) C．(1,0，3) D．(1，2，0) 答案 D 解析由空间点的坐标的定义知Q的坐标为(1，2，0)． 3．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(－2，－3，－4)的位置关系是( ) A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称 C．关于坐标原点对称D．以上都不对 答案 C 解析点P和点Q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称． 4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( ) A．7 B．－7 C．－1 D．1
解析几何初步 两点间的距离 三维目标： 知识与技能： 使学生理解并掌握平面上任意两点间的距离公式与推导过程，通过实例来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性。 过程和方法： 通过两点间距离公式的推导，使学生初步了解解析法证明，教学中渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想，使学生掌握如何建立适当的坐标系来解决相应问题培养学生探索发现问题的能力，充分体会数形结合的优越性。 情感、态度和价值观： 通过节课的教学，使学生一步体会“数形结合”，“转化与化归”的数学思想方法；在探究的过程中，培养学生缜密思维和探索创新精神，树立联系的观点。 教学重点：两点间的距离公式. 教学难点：理解公式证明分成两种情况. 教学过程 一、复习准备 1.提问：我们学习了有向线段，现在有问题是：如果A 、B 是x 轴上两点，C 、D 是y 轴上两点，它们坐标分别是x A 、x B 、y C 、y D ，那么|AB|、|CD|又怎样求？(|AB|=|x B -x A |，|CD|=|y C -y D |) 2.讨论：如果A 、B 是坐标系上任意的两点，那么A 、B 的距离应该怎样求呢？ 二、讲授新课： 1. 教学两点间的距离公式： ① 讨论：求B(3，4)到原点的距离是多少？根据是什么?( 通过观察图形，发现一个Rt△，应用勾股定理可得到) ② 讨论：那么B 22(,)x y 到11(,)A x y 的距离又是怎样求呢？根据是什么？ 根据①的方法猜想，②也构造成Rt△ 给出两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则 ||AB = ③例1：已知点(1,2),A B -(1)求||AB 的值 (2)在x 轴上求一点P ，使||||PA PB =，并求||PA 的值 （讨论：点P 应该怎么设？怎样利用两点间的距离公式？） ④ 练习：已知两点(2,5),(3,7)A B ,求||AB 的值,并在y 轴上求一点p ，使|||PA PB = ⑤例2：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
圆与方程中的数学思想 圆与方程是高中数学解析几何的一个基础内容，在历年的高考中占有一席之地。本文就圆与方程中的数学思想在解题中的运用展开讨论，供同学们参考。 1．函数与方程思想 函数与方程思想在圆与方程中应用最广泛,求圆的方程，求直线与圆的交点，求圆与圆的交点等等都要运用到函数与方程的数学思想. 例1设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1．在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线1：x －2y=0的距离最小的圆的方程． 分析：本题给出了二个条件，我们需要把二个条件转化为代数式，然后联立方程。 解:设圆的圆心坐标为P （a ，b ），半径为r ，则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b|，|a|． 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧的圆心角为90°，于是圆P 截x 轴所得的弦长为r 2，故222b r =又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有 122+=a r 从而得1222=-a b ． 点P （a ，b ）到直线x －2y=0的距离为 5|2|b a d -= ． 所以，ab b a b a d 44|2|52222-+=-= 12)(24222222=-=+-+≥a b b a b a ， 当且仅当a=b 时上式取等号，此时152=d ，从而d 取得最小值． 由此有 ???=-=1222a b b a ． 解此方程组得 ???==11b a 或???-=-=11b a ． 由222b r =知22=r ，故所求圆的方程是 2)1()1(22=-+-y x ，或2)1()1(22=+++y x ． 点评:本题是一道较为复杂的综合题,既要用到函数的最值求法,又要解方程组.一般情况下同学们对于复杂的方程组缺乏信心,因些解方程组时一定要先找好突破口,以免花费太多时间. 2．对称思想 圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称的数学思想在圆中有着淋漓尽致的体现.解对称问题要把握对称的实质,结合几何图形来解题. 例2已知(,)P t t ，t ∈R ，点M 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4 x y -+=
圆与方程 唐毅 课题：圆与方程 课时安排： 2 课时 一、复习目标： 圆与方程 了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 用代数方法处理几何问题的思想 体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用. 二、复习重难点：圆的标准方程和一般方程 1、圆的方程： ⑴标准方程：()()22 2 r b y a x =-+- ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 2、两圆位置关系：21O O d = ⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=； ⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<. 五、课堂教学： 问题导学一：我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点？ 例1、基础训练：求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.
探究1：过坐标原点且与圆02 5 2422=+ +-+y x y x 相切的直线的方程为 解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为2 5 )1()2(22=++-y x ，∴ 圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101 122=++k k ，解得3-=k 或31 =k ，∴直 线方程为x y 3-=或x y 3 1 = . 探究2：已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴ 112 552 2 =++a ，解得8=a 或 18-=a . 练习巩固：求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程. 解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则? ?? ??=+=-=-+r b a b a r b a 5252)5(222， 解得?????===531r b a 或? ????===5 5155 r b a ，∴圆的方程为5)3()1(2 2=-+-y x 或 125)15()5(22=-+-y x . 问题导学二：直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质？ 例2、基础训练：求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长. 探究1：直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长222 2=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三 角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3 π = ∠AOB .
湘教2021课标版必修三第七章《圆的标准方程》教学设计 一、教材内容分析 圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。 二、教学目标 （1）探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。 （2）通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。 （3） 激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。 三、教学重点难点以及措施 教学重点:圆的标准方程理解及运用 教学难点:根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。 根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循认知过程，设计出包括:观察、思考、交流等内容的教学流程。并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。以此使学生获取知识，给学生合作交流的机会。学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。 四、教学设计 1回顾复习： 2检查学生导学案完成情况后，复习圆的定义，教师提出问题。引导学生思考：直线可以用一个方程表示,那么圆可以用一个方程表示吗，引出本节主旨。学生思考如何表示圆的方程。 3学生展示交流、合作探究，教师点拨讲解 教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。 探究一：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？圆心（点）A 的位置用坐标 a,b 表示，半径r 的大小等于圆上任意点M, 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？ 探究二：圆上任意点M, 与圆心A a,b 之间的距离能用什么公式表示？ 方程222)()(m b y a x =-+-一定表示圆吗？ 探究三：圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 探究四：怎样判断点 ()000,y x M 在圆 222)()(r b y a x =-+- 内呢？还是在圆外呢？ 设计意图：通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质 4学以致用，总结提升
湘教版高二数学平面解析几何初步 1. 引言 在高中数学中，平面解析几何是一门重要的数学学科。它是研究平面内点的坐标和几何图形间关系的数学理论，被广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。本文将介绍湘教版高二数学平面解析几何初步的内容，包括坐标系、直线与圆的方程、点、向量等基本概念和知识点。 2. 坐标系 在平面解析几何中，我们常常使用直角坐标系来描述平面内的点。直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y轴。每个点可以用一个有序数对表示，该有序数对被称为点的坐标。在湘教版高二数学中，我们使用的是直角坐标系。 3. 二维空间中的点 在平面解析几何中，点是最基本的概念之一。一个点可以由它在直角坐标系中的坐标来确定。点的坐标表示为P(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
4. 直线的方程 直线是平面解析几何中另一个重要的概念。在湘教版高二数学中，我们学习了三种表示直线的方程形式：一般式、点斜式和斜截式。 •一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。 •点斜式方程：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)是直线上的一点，k是直线的斜率。 •斜截式方程：y = kx + b，其中k是直线的斜率，b 是直线与y轴的交点。 在解析几何中，我们可以通过直线的方程来描述和研究直线的性质。 5. 圆的方程 圆是平面解析几何中另一个重要的几何图形。在湘教版高二数学中，我们学习了两种表示圆的方程形式：标准方程和一般方程。
•标准方程：(x−x)2+(x−x)2=x2，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。 •一般方程：x2+x2+xx+xx+x=0，其中D, E, F 是常数。 圆的方程可以帮助我们确定圆的位置、半径和其他性质。 6. 向量 向量是平面解析几何中的另一个基本概念。向量由大小和方向两部分组成，可以用一个有序数对来表示。在湘教版高二数学中，我们学习了向量的加法、减法、数量积和向量积等基本运算。 •向量的加法：将两个向量的对应分量相加。 •向量的减法：将两个向量的对应分量相减。 •向量的数量积：向量的数量积是一个标量，表示两个向量之间的夹角关系。 •向量的向量积：向量的向量积是一个向量，表示两个向量的垂直关系及大小。
高中数学平面解析几何知识点归纳 高中数学平面解析几何知识点有哪些你知道吗?近年的高中数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，一起来看看高中数学平面解析几何知识点，欢迎查阅! 高中数学平面解析几何知识点 平面解析几何初步： ①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。 ②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。 高中数学平面解析几何知识点 平面解析几何，又称解析几何(英语：Analytic geometry)、坐标几何(英语：Coordinate geometry)或卡氏几何(英语：Cartesian geometry)，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。 平面解析几何基本理论
几何问题的代数解法 【教学目标】 1．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题。 2．进一步掌握用解析法处理平面几何问题。 【教学重难点】 1．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题。 2．进一步掌握用解析法处理平面几何问题。 【教学过程】 一、自学导引 1．解决几何问题的基本方法——解析法 解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把问题转化成问题，通过建立加以分析研究解决问题的方法。 2．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”为： （1）建立适当的，用坐标和方程表示问题中的，将平面几何问题转化为； （2）通过代数运算，解决； （3）把代数运算结果。 二、合作探究 探究1：用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？ 教师学生共同总结归纳：用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系。 探究2：利用坐标法与一般方法解决几何问题有何不同？ 教师学生共同总结归纳：一般方法是在几何图形中，利用图形的几何性质直接推出结果，较简洁，但思路难想。坐标法是在几何图形所在平面直角坐标系中，将几何问题转化为代数问题，用代数方法解决，思路明显，但有时过程较繁。 三、教师讲解 （一）用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 1．从实际问题中提炼几何图形；
2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题； 3．通过代数运算，解决代数问题； 4．将结果“翻译”成几何结论并作答。 例1:（1）证明：圆的直径上的圆周角是直角； （2）已知A(x，y1)，B(x，y2)两点，满足条件PA垂直PB的所有点，P(x，y)组成一条曲线，求这条曲线的方程并指出曲线的形状。 解：根据计算得出图形： （二）用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系； 2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围； 3．最后要把代数结果转化成几何结论。 例2：到两个定点A，B的距离的比为定值入(A>0)的所有的点组成什么形状的曲线？解：根据计算得出图形为： 所以这个图像是圆。 四、课堂小结 1．采用数形结合思想求解某些二元代数式的最值是直线和圆的方程的一个重要应用，它是利用代数式的几何意义转化为斜率、截距、距离等来求解。 2．利用坐标法解决平面几何问题，将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题。适当建系时，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为原点，使其具有对称性，这样便于
直线的斜率 【教材分析】 直线的斜率是在研究图形的基础上,又一种新的研究图形性质方法——解析法,解析法是以坐标系为桥梁,把几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质方法是解析几何中最基本的研究方法,本节课体现了这种方法的具体特征,是实现向解析法过渡的最好案例,它为今后如何用解析法研究几何问题奠定了基础｡本节课在两点确定一条直线的基础上探讨了确定直线的另一种方法,即利用直线上一点和倾斜角能确定一条直线,并利用代数方法表示了确定直线几何要素——倾斜角和斜率,然后进一步利用倾斜角和斜率研究直线的位置状态以及直线间的关系｡ 1．本节课是在学生学习了函数,对一些基本初等函数的图象和性质已掌握的前提下,解析几何的第一节课,教师应向学生展示在平面直角坐标系下,数和形的关系,从而揭示解析几何的研究方法和解决的问题,为今后的学习奠定基础｡ 2．建议在过程中从学生熟悉的一次函数的图象着手,导出解析几何这门学科,从解析几何的研究方法和平面内确定一条直线的条件,启发学生探索和发现刻画直线倾斜程度的量｡ 3．本节课的重点是直线的斜率,由两点确定一条直线联想能否用两点的坐标来表示,结合学生熟悉的坡度的定义,揭示如何用两点的坐标表示,以及表示的合理性｡对直线斜率公式的应用,要注意公式成立的条件和公式的正用､逆用,特别要说明斜率不存在时,直线存在(让学生体验此时直线的位置,以加深印象),在逆用时强调斜率是一比值,由它能知道直线在坐标系中的位置(体现数和形的结合,让学生利用图象发现并归纳),若再有一点即知直线上另一点的坐标(启发学生利用斜率公式进行求解,提醒注意不唯一)｡ 【教学目标】 1．知识与技能 （1）理解直线的斜率的概念｡ （2）掌握过两点的直线的斜率公式｡ （3）理解直线斜率的存在条件｡ 2．过程与方法 通过分析“坡度”这一学生熟悉的概念,得到研究直线倾斜程度的量——斜率｡通过师生探讨,得出直线的斜率公式,并以此为基础理解直线斜率的存在性;学生通过实践,运用所学知识解
位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2的全部内容。
与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修 2 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题（每小题5分,共20分) 1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是( ) A．相交B．相切 C．相离D．不确定 解析: 圆C：x2＋（y－1）2＝5的圆心C为（0，1），半径为错误!. 由圆心（0,1）到直线2x－y＋3＝0的距离： d＝错误!＝错误!错误!＜错误!. ∴直线和圆相交． 答案：A 2．若圆心在x轴上、半径为错误!的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C 的方程是（） A．（x－5)2＋y2＝5 B．(x＋错误!）2＋y2＝5 C．（x－5）2＋y2＝5 D．（x＋5)2＋y2＝5 解析：设圆心为(x0，0)，则由题意知圆心到直线x＋2y＝0的距离为错误!，故有错误!＝错误!，∴|x0｜＝5.又圆心在y轴左侧，故x0＝－5.∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5，选D。 答案: D 3．若点P（2，－1）为圆C：（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( ) A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0 解析: 圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB,得k AB＝1，所以直线AB的方程为x－y－3＝0,故选D。 答案: D 4．已知圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A，B两点，圆心为P，若∠APB＝90°,则c 的值为( ） A．－3 B．3
直线的方程－两点式、截距式 ●教学目标 1. 掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围; 2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. ●教学重点 直线方程的两点式 ●教学难点 两点式推导过程的理解 ●教学方法 学导式 ●教学过程 1、创设情境 直线l 过两点A （1,2），B （3,5），求直线l 的方程。 回忆：直线方程的点斜式、斜截式 直线方程的点斜式： y ―y 1 =k( x ―x 1) 直线的斜截式：y = kx + b 解：∵直线l 过两点A （1,2），B （3,5） ∴直线l 的斜率k = (5―2)/(3―1) ∴直线l 的方程是y ―2 = [(5―2)/(3―1)](x ―1) 即：(y ―2)/ (5―2)= (x ―1)/ (3―1) 2、提出问题： 直线l 过两点A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），(x 1≠x 2)求直线l 的方程。),(21211 21121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--猜想： 推导:因为直线l 经过点A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），并且x 1≠x 2，所以它的斜率1212x x y y k --=.代入点斜式, 得)(112121x x x x y y y y ---= -. 3、解决问题 直线方程的两点式:),(21211 21121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 其中（),(),,2211y x y x 是直线两点的坐标. 说明:①这个方程由直线上两点确定; ②当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时,不能用两点式求出它的方程. 两点式的变形式：(x 2―x 1)(y ―y 1) = (y 2―y 1)(x ―x 1). 特殊情况，若直线l 过点（a,0），（0，b ），(ab ≠0)则直线l 的方程是什么？
第2章平面解析几何初步 2.1 直线的斜率 A级必备知识基础练 1.(2022山西运城高二月考)经过A(0,1+),B(3,1)两点的直线的倾斜角为() A. B. C. D. 2.(2022江西南昌第八中学高二月考)若直线经过两点A(5,-m),B(-m,2m-1)且倾斜角为,则m的值为() A.2 B.3 C.-1 D.- 3.已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若k AB=4,则点B的坐标为() A.(2,0)或(0,-4) B.(2,0)或(0,-8) C.(2,0) D.(0,-8) 4.(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A顺时针旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为() A.α+ B.α+ C.α- D.-α 5.(2022江苏如东高级中学高二月考)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为() A.-∞, B.0,∪,π C.0,
D.0,∪,π 6.(2022北京人大附中朝阳学校高二月考)直线l经过点(-1,0),倾斜角为,若将直线l绕点(-1,0) 逆时针旋转后,得到直线l',则直线l'的倾斜角为,斜率为. 7.若一条直线的斜率不存在,写出满足条件的一条直线的方程,若一个一次函数所对应 的直线的倾斜角为,写出满足题意的一个一次函数对应的直线方程. 8.已知A(1,2),B(2,1),C(0,m)三点. (1)若过A,C两点的直线的倾斜角为45°,求m的值. (2)A,B,C三点可能共线吗?若能,求出m的值;若不能,说明理由. B级关键能力提升练 9.(2022湖北武汉武钢三中高二月考)直线x sin α-y+2=0的倾斜角的取值范围是()
2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.6.1 直线与圆的位置关系 A级必备知识基础练 1.(2022江苏盐城伍佑中学高二月考)点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,|PA|=1,则点P的轨迹方程是() A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2 C.x2+y2=2x D.x2+y2=-2x 2.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是() A.k≤-2或k≥2 B.k≤-2 C.k≥2 D.k≤-2或k>2 3.(2022山东高二学情联考)过点P(1,-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切,则切线长为() A. D. 4.(多选题)(2022重庆育才中学高二月考)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是() M的圆心为(4,3) M的半径为5 M被x轴截得的弦长为6 M被y轴截得的弦长为6 5.圆x2+y2-2x-8y+13=0截直线ax+y-1=0所得的弦长为2,则a=() A.- B.-
C. 6.已知圆C与直线x-y=0及x-y=4都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程 为. 7.若点P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为. 8.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,直线l过点A(1,0). (1)求圆C的圆心坐标及半径; (2)若直线l与圆C相切,求直线l的方程; (3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时,求|AB|. B级关键能力提升练 9.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为() 10.已知直线l:x-y+m=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,O为坐标原点,且=0,则实数m为() C.±2 D.±2
新教材湘教版2019版数学选择性必修第一册 第2章知识点清单 目录 第2章平面解析几何初步 2. 1 直线的斜率 2. 2 直线的方程 2. 3 两条直线的位置关系 2. 4 点到直线的距离 2. 5 圆的方程 2. 6 直线与圆、圆与圆的位置关系 2. 7 用坐标方法解决几何问题
第2章平面解析几何初步 2. 1 直线的斜率 一、直线的倾斜角 1. 当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. 2. 直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. 注意：直线倾斜角的取值范围是[0，π). 二、直线的斜率 1. 若直线l的倾斜角为α， 时，直线l的斜率不存在； 则α=π 2 时，直线l的斜率k=tan α. α≠π 2 2. 已知直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 若x1=x2，则直线l的斜率不存在，若x1≠x2，则直线l的斜率k=y2−y1 . x2−x1注意：若已知两点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”. 三、倾斜角与斜率的关系及应用 1. 直线的倾斜角与斜率的变化关系 设直线的倾斜角为α. (1)当0°≤α<90°时，斜率非负，倾斜角越大，斜率越大； (2)当90°<α<180°时，斜率为负，倾斜角越大，斜率越大； )的图象如图所示. (3)k=tan α(0≤α<π，且α≠π 2 由斜率k的范围截取函数图象，进而得到倾斜角α的范围；反过来，由倾斜角α的范围截取函数图象，进而得到斜率k的范围.
四、直线斜率的应用 1. 若点A，B，C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即k AB=k AC(或k AB=k BC，或k AC=k BC)；反之，若k AB=k AC(或k AB=k BC，或k AC=k BC)，则直线AB与AC(或AB与BC，或AC与BC)的倾斜角相同，又过同一点A(或B，或C)，因此点A，B，C在同一条直线上. 2. 形如y−b x−a 的范围(最值)问题，可以利用y−b x−a 的几何意义[过定点(a，b)与动点(x，y)的直 线的斜率]，借助于图形，将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题，从而简化运算过程. 2. 2 直线的方程 一、直线的方程形式与适用条件
7．2.2 两条直线的位置关系 [学习目标] 1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．理解直线相交、平行、重合、垂直的意义，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合、垂直． 3．会由两条直线的法向量来判定两条直线相交、平行、重合、垂直． [预习导引] 1．利用法向量确定两直线的位置关系 (1)两条直线平行或重合⇔它们的法向量平行． (2)两条直线相交⇔它们的法向量不平行． (3)两条直线垂直⇔它们的法向量垂直． 2．两直线的夹角 两直线的夹角α的大小规定在0≤α≤π2的范围内，当法向量的夹角满足0≤θ≤π 2时，α ＝θ；当法向量的夹角θ>π 2 时，α＝π－θ． 3．定理2 设直线l 1，l 2的方程分别为 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 l 1与l 2重合⇔存在实数λ≠0，使⎩⎪⎨⎪ ⎧A 2＝λA 1，B 2＝λB 1，C 2＝λC 1； l 1与l 2平行⇔存在实数λ≠0，使⎩⎪⎨⎪ ⎧A 2＝λA 1，B 2＝λB 1，C 2≠λC 1； l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； l 1与l 2垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； l 1与l 2夹角θ的余弦
cos θ＝ |A 1A 2＋B 1B 2| A 21＋ B 21·A 22＋B 22 . 要点一 判断两直线是否相交 例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3. 解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝3， y ＝－1，因此直线 l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－ 1)． (2)方程组⎩ ⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋4＝0， 4x －12y ＋8＝0有无数组解，表明直线l 1和l 2重合． (3)方程组⎩ ⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0， 2x ＋y －3＝0，无解，表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 规律方法 方程组有一解，说明两直线相交；方程组没有解说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解说明两直线重合． 跟踪演练1 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标． (1)⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0， 2x ＋y ＋2＝0；(2)⎩ ⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0， y ＝13 x ＋12 . 解 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0， 得该方程组有唯一解 ⎩⎪⎨⎪ ⎧x ＝－10 3 ， y ＝143. 所以两直线相交，且交点坐标为(－103，14 3)． (2)解方程组 ⎩⎪⎨⎪ ⎧2x －6y ＋3＝0，y ＝13x ＋12 ， ① ② ②×6得2x －6y ＋3＝0， 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②有无数组解，所以两直线重合． 要点二 判断两条直线的位置关系
7.5 空间直角坐标系 1．解析几何的基本思想方法就是用代数方法解决几何问题，几何的最基本元素－－点和曲线分别用坐标和方程表示，将点和曲线的几何性质都用坐标和方程的代数性质来表示和处理．(习惯上我们称之为解析法) 2．一般地，在空间取定一个点作为原点O，过原点O作三条两两垂直的直线作为坐标轴，分别叫作x轴、y轴、z轴，在这三条轴上分别取定正方向，并选取一个长度单位作为三条坐标轴上共同使用的长度单位．这就建立了一个空间直角坐标系． 空间直角坐标系与平面直角坐标系有哪些相同之处？ 提示：(1)平面直角坐标系和空间直角坐标系的建立都要确定三要素，即原点、坐标轴的方向和单位长度． (2)无论是在哪一种坐标系下，确定一个点的坐标，都需要确定该点在坐标轴上的投影． (3)在两种坐标系下，坐标轴上的点以及平行于坐标轴上的点的坐标都满足一些特殊关系，如有些坐标为0等． 3．落在坐标轴和坐标平面上的点的特点 以正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A为坐标原点，以射线AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，且正方体棱长为a，则点C，B1，C1的坐标分别为__________．提示：(a，a,0)，(a,0，a)，(a，a，a) 4．空间两点间的距离 空间中的两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2. (1)已知空间中点A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5，y,3)，则|AB|＝__________；若|AC|＝6，则y＝__________. 提示：|AB|＝(4－7)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝14. |AC|＝(4－5)2＋(3－y)2＋(1－3)2＝5＋(y－3)2＝6， ∴(y－3)2＝1，即y＝4或2. (2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么联系？ 提示：空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式形式类似，只是根号内增加了一项(z1－z2)2，同时，平面内两点间的距离公式可视为空间两点距离公式的特殊情况，在空间两点间距离公式中令z1＝z2＝0，即得平面内两点间的距离公式． 一、代数方法解决几何问题(坐标法) 【例1】△ABD和△BCE是边AB、BC在直线AC上且位于直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|.
高中数学教案模板（精选3篇） 理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念。一起看看高中数学教案模板！欢迎查阅！下面是白话文的小编为您带来的高中数学教案模板（精选3篇），希望能够给予您一些参考与帮助。 高中数学教案模板篇一教学目标 （1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题。 （2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念。 （3）通过曲线方程概念的教学，培养学子数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点。 （4）通过求曲线方程的教学，培养学子的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学子理解解析几何的思想方法。 （5）进一步理解数形结合的思想方法。 教学建议 教材分析 （1）知识结构 曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质。曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序。前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程。至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究。因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题。 （2）重点、难点分析 ①本节内容教学的重点是使学子理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想。 ②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法。 教法建议 （1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系。曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系。注意强调曲线方程的完备性和纯粹性。 （2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学子领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和
1。3 两条直线的位置关系 ［学习目标] 1.能通过两条直线的斜率判定两直线平行或垂直． 2.能将直线的平行或垂直转化为代数问题. 【主干自填】 1．两直线平行与斜率的关系 (1）对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别是k1,k2，有l1∥l2⇔错误!k1＝k2。 （2)如果l1,l2的斜率都不存在,并且l1与l2不重合，那么它们都与 错误!x轴垂直,故l1错误!∥l2. 2．两直线垂直与斜率的关系 （1)如果直线l1，l2的斜率都存在,并且分别为k1,k2,那么l1⊥l2⇔k2＝－1。 错误!k1 （2）如果两直线l1，l2中的一条斜率不存在,另一个是零,那么l1与l2的位置关系是错误!l1⊥l2。 【即时小测】 1．思考下列问题 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么? 提示：两直线斜率存在且l1与l2不重合．
（2）若两条直线平行，斜率一定相等吗？ 提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在时，斜率相等，若两条直线垂直于x轴,它们平行但斜率不存在． （3)若两条直线垂直,它们斜率之积一定为－1吗？ 提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在时,斜率之积才为－1。若其中一条直线斜率为0,而另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率之积不是－1。 2．已知直线l1过A（2,3)和B（－2，6），直线l2过点C（6,6）和D(10,3）．则l1与l2的位置关系为（) A．l1⊥l2B．l1与l2重合 C．l1∥l2D．非以上答案 提示：C 由斜率公式k AB＝错误!＝－错误!， k CD＝错误!＝－错误!。 ∵k AB＝k CD，由已知可知,直线AB与CD不重合． ∴l1∥l2。 3．直线l1过A(－1，0）和B（1，2），l2与l1垂直且l2过点C(1,0)和D（a，1)，则a的值为（） A．2 B．1 C．0 D．－1