【典型题】中考数学试题含答案
一、选择题
1．在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( ) A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差
2．已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x 表示时间，y 表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A ．体育场离林茂家2.5km
B ．体育场离文具店1km
C ．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50min m
D ．林茂从文具店回家的平均速度是60min m
3．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③BH=HF ；④BC ﹣CF=2HE ；⑤AB=HF ，其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
4．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=?，分别以点A 和点C 为圆心，以大于
1
2
AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接
CD .若34B ∠=?，则BDC ∠的度数是（ ）
A．68?B．112?C．124?D．146?
5．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
6．菱形不具备的性质是（）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
7．点 P（m + 3，m + 1）在x轴上，则P点坐标为（）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣4）C．（4，0）D．（2，0）
8．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．
D．
9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，
OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩
形OABC面积的1
4
，那么点B′的坐标是（）
A．（－2，3）B．（2，－3）C．（3，－2）或（－2，3）D．（－2，3）或（2，－3）
10．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若7，
CD=1，则BE的长是()
A．5B．6C．7D．8
11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为
（）
A．40B．30C．28D．20
12．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）
A．120150
8
x x
=
-
B
．
120150
8
x x
=
+
C．
120150
8
x x
=
-
D．
120150
8
x x
=
+
二、填空题
13．不等式组
324
1
11
2
x x
x
x
≤-
?
?
?-
-<+
??
的整数解是x=．
14．若a，b互为相反数，则22
a b ab
+=________.
15．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：
（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD＝60°；
（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC的长度为70米；
（3）量出测倾器的高度AB＝1.5米．
根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为_____米．（精确到0.1米，3≈1.73）．
16．已知（a-4）（a-2）=3，则（a-4）2+（a-2）2的值为__________．
17．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其
直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．
18．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率______．
19．如图所示，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角EAB ∠的角平分线相交于点P ，且60ABP ∠=?，则APB ∠=_____度．
20．计算：
21
(1)211
x x x x ÷-+++＝________．
三、解答题
21．如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
22．如图1，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E （BE ＞EC ），且3D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若∠BAC=60°，7，求图中阴影部分的面积； （3）若
4
3
AB AC =，DF+BF=8，如图2，求BF 的长．
23．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ． (1)求证：直线CD 是⊙O 的切线． (2)求证：CD BE AD DE ?=?．
24．某旅行团32人在景区A 游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．
（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人?
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B 游玩．景区B 的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．
①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元?
②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少． 25．解方程：
3x x +﹣1
x
=1．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【详解】
11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故选B ． 【点睛】
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
从图中可得信息：体育场离文具店1000m ，所用时间是（45﹣30）分钟，可算出速度． 【详解】
解：从图中可知：体育场离文具店的距离是：2.5 1.511000km m -==， 所用时间是()453015-=分钟， ∴体育场出发到文具店的平均速度1000200
min 153
m ==/ 故选：C ． 【点睛】
本题运用函数图象解决问题，看懂图象是解决问题的关键．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE=∠DAE=45°， ∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴AB ，
∵AB ， ∴AE=AD ， 又∠ABE=∠AHD=90° ∴△ABE ≌△AHD （AAS ）， ∴BE=DH ， ∴AB=BE=AH=HD ，
∴∠ADE=∠AED=
1
2
（180°﹣45°）=67.5°， ∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB=1
2
（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠OHD=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，
∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选C．
【点睛】
考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可知DE是AC的垂直平分线，CD=DA．即可得到∠DCE=∠A，而∠A和∠B互余可求出∠A，由三角形外角性质即可求出∠CDA的度数.
【详解】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCE=∠A，
∵∠ACB=90°，∠B=34°，
∴∠A=56°，
∴∠CDA=∠DCE+∠A=112°，
故选B．
本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形有关角的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
5．D
解析：D
【解析】
如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，
∵∠AEB=∠D+∠DBE，
∴∠AEB>∠D，
∴∠C>∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin∠C>sin∠D，故①正确；
cos∠C tan∠C>tan∠D，故③正确； 故选D． 6．B 解析：B 【解析】 【分析】根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案. 【详解】菱形的四条边相等， 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形， 菱形对角线垂直但不一定相等， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 7．D 解析：D 【解析】 【分析】 根据点在x轴上的特征,纵坐标为0,可得m+1=0,解得:m=-1,然后再代入m+3,可求出横坐标.【详解】 解:因为点P（m + 3，m + 1）在x轴上, 所以m+1=0,解得:m=-1, 所以m+3=2, 所以P点坐标为（2，0）. 【点睛】 本题主要考查点在坐标轴上的特征,解决本题的关键是要熟练掌握点在坐标轴上的特征. 8．A 解析：A 【解析】 试题解析：∵x+1≥2， ∴x ≥1． 故选A ． 考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集． 9．D 解析：D 【解析】 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一 条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换。因此， ∵矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC 。 ∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的 1 4，∴位似比为：12 。 ∵点B 的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）。故选D 。 10．B 解析：B 【解析】 【分析】 根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】 解：∵半径OC 垂直于弦AB ， ∴AD=DB= 1 2 在Rt △AOD 中，OA 2=(OC-CD)2+AD 2,即OA 2=(OA-1)2 )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选B 【点睛】 本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 11．D 【解析】 【分析】 根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求出菱形ABCD的周长． 【详解】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，AC⊥BD， ∴AB＝＝5， ∴菱形的周长为4×5＝20． 故选D． 【点睛】 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等和对角线互相垂直且平分的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键． 12．D 解析：D 【解析】 【分析】 首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程. 【详解】 解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴120150 8 x x = + ， 故选D. 【点睛】 本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键. 二、填空题 13．﹣4【解析】【分析】先求出不等式组的解集再得出不等式组的整数解即可【详解】解：∵解不等式①得：x≤﹣4解不等式②得：x＞﹣5∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4∴不等式组的整数解为x=﹣4故答案为﹣4【 解析：﹣4． 【解析】 【分析】 先求出不等式组的解集，再得出不等式组的整数解即可． 【详解】 解：3241 112 x x x x ≤-?? ?--<+??①②, ∵解不等式①得：x≤﹣4， 解不等式②得：x ＞﹣5， ∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4， ∴不等式组的整数解为x=﹣4， 故答案为﹣4． 【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的性质求出不等式组的解集是解此题的关键． 14．0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ）而a+b=0任何数乘以0结果都为0【详解】解：∵=ab（a+b ）而a+b=0∴原式=0故答案为0【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算注意掌握任何数 解析：0 【解析】 【分析】 先提公因式得ab （a+b ），而a+b=0，任何数乘以0结果都为0． 【详解】 解：∵22a b ab += ab （a+b ），而a+b=0， ∴原式=0. 故答案为0， 【点睛】 本题考查了因式分解和有理数的乘法运算，注意掌握任何数乘以零结果都为零． 15．1【解析】试题分析：在Rt△CBD 中知道了斜边求60°角的对边可以用正弦值进行解答试题解析：在Rt△CBD 中DC=BC?sin60°=70×≈6055（米）∵AB=15∴CE=6055+15≈621 解析：1． 【解析】 试题分析：在Rt △CBD 中，知道了斜边，求60°角的对边，可以用正弦值进行解答． 试题解析：在Rt △CBD 中， DC=BC?sin60°=70×2 ≈60．55（米）． ∵AB=1．5， ∴CE=60．55+1．5≈62．1（米）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 16．10【解析】【分析】试题分析：把（a ﹣4）和（a ﹣2）看成一个整体利用完全平方公式求解【详解】（a ﹣4）2+（a ﹣2）2=（a ﹣4）2+（a ﹣2）2-2（a ﹣4）（a﹣2）+2（a﹣4）（a﹣2）= 解析：10 【解析】 【分析】 试题分析：把（a﹣4）和（a﹣2）看成一个整体，利用完全平方公式求解． 【详解】 （a﹣4）2+（a﹣2）2=（a﹣4）2+（a﹣2）2-2（a﹣4）（a﹣2）+2（a﹣4）（a﹣2） =[（a﹣4）-（a﹣2）]2+2（a﹣4）（a﹣2） =（-2）2+2×3 =10 故答案为10 【点睛】 本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2求解，整体思想的运用使运算更加简便．17．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出 CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM 解析：5 【解析】 【分析】 连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=1 2 AC=5，再根据∠ A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案． 【详解】 解：如图，连接CC1， ∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M， ∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1， ∴CM=A1M=C1M=1 2 AC=5， ∴∠A1=∠A1CM=30°， ∴∠CMC1=60°， ∴△CMC1为等边三角形，∴CC1=CM=5， ∴CC1长为5． 故答案为5． 考点：等边三角形的判定与性质． 18．【解析】【分析】【详解】画树状图如图：∵共有16种等可能结果两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为 解析： 516． 【解析】 【分析】 【详解】 画树状图如图： ∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果， ∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为 516 . 19．66【解析】【分析】首先根据正五边形的性质得到度然后根据角平分线的定义得到度再利用三角形内角和定理得到的度数【详解】解：∵五边形为正五边形∴度∵是的角平分线∴度∵∴故答案为：66【点睛】本题考查了多 解析：66 【解析】 【分析】 首先根据正五边形的性质得到108EAB ∠=度，然后根据角平分线的定义得到 54PAB ∠=度，再利用三角形内角和定理得到APB ∠的度数． 【详解】 解：∵五边形ABCDE 为正五边形， ∴108EAB ∠=度， ∵AP 是EAB ∠的角平分线， ∴54PAB ∠=度， ∵60ABP ∠=?， ∴180605466APB ∠=?-?-?=?． 故答案为：66． 【点睛】 本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理． 20．【解析】【分析】先对括号内分式的通分并将括号外的分式的分母利用完全平方公式变形得到÷；接下来利用分式的除法法则将除法运算转变为乘法运算然后约分即可得到化简后的结果【详解】原式=÷=·=故答案为【点睛 解析： 11 x + 【解析】 【分析】 先对括号内分式的通分，并将括号外的分式的分母利用完全平方公式变形得到 () 2 1x x +÷ 11 1 x x +-+；接下来利用分式的除法法则将除法运算转变为乘法运算，然后约分即可得到化简后的结果. 【详解】 原式= () 2 1x x +÷ 11 1 x x +-+ =() 2 1x x +· 1 x x + = 11 x +. 故答案为11 x +. 【点睛】 本题考查了公式的混合运算，解题的关键是熟练的掌握分式的混合运算法则. 三、解答题 21．（1）证明见解析；（2）6πcm 2． 【解析】 【分析】 连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（1）求出∠COB 的度数，求出∠A 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA 的度数，根据切线的判定推出即可； （2）证明△CDM ≌△OBM ，从而得到S 阴影=S 扇形BOC ． 【详解】 如图，连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ． （1）根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°， ∵AC∥BD， ∴∠A=∠OBD=30°， ∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，∵OC为半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）由（1）知，AC为⊙O的切线， ∴OC⊥AC． ∵AC∥BD， ∴OC⊥BD． 由垂径定理可知，MD=MB=1 2 BD=33． 在Rt△OBM中， ∠COB=60°，OB= 33 cos303 MB ? = =6． 在△CDM与△OBM中 30 90 CDM OBM MD MB CMD OMB ? ? ?∠=∠= ? = ? ?∠=∠= ? ， ∴△CDM≌△OBM（ASA）， ∴S△CDM=S△OBM ∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC= 2 606 360 π? =6π（cm2）． 考点：1．切线的判定；2.扇形面积的计算． 22．（1）证明见解析（2）3﹣2π；（3）3 【解析】 【分析】 （1）连结OD，如图1，由已知得到∠BAD=∠CAD，得到 ?? BD CD =，再由垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是可得结论； （2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=3BDF=∠DBP=30°，在Rt△DBP中得到3，PB=3，在Rt△DEP中利用勾股定理可算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，得到 CE=1，由△BDE∽△ACE，得到AE的长，再证明△ABE∽△AFD，可得DF=12，最后利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）进行计算； （3）连结CD，如图2，由 4 3 AB AC =可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由?? BD CD =得到 CD=BD=△BFD∽△CDA，得到xy=4，再由△FDB∽△FAD，得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程即可得到BF=3． 【详解】 （1）连结OD，如图1，∵AD平分∠BAC交⊙O于D， ∴∠BAD=∠CAD，∴?? BD CD =，∴OD⊥BC， ∵BC∥EF，∴OD⊥DF， ∴DF为⊙O的切线； （2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1， ∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°， ∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°， OB=BD=∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°， 在Rt△DBP中，PD=1 2 ， 在Rt△DEP中，∵ ， ，∴ =2， ∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1， 易证得△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1 ，∴ ，∵BE∥ DF，∴△ABE∽△AFD，∴BE AE DF AD = ，即 5 DF =，解得DF=12， 在Rt△BDH中，BH=1 2 S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD） = 2 2 160 23604 π? ?+? =2π； （3）连结CD，如图2，由 4 3 AB AC =可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵?? BD CD =，∴ CD=BD= ∵∠F=∠ABC=∠ADC， ∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA， ∴ BD BF AC CD = =xy=4， ∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD， ∴△FDB ∽△FAD ，∴ DF BF AF DF =，即848y y y x y -=+-， 整理得16﹣4y=xy ，∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF 的长为3． 考点：1．圆的综合题；2．相似三角形的判定与性质；3．切线的判定与性质；4．综合题；5．压轴题． 23．(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）连接OD ，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO ，求得∠CAD=∠ADO ，根据平行线的性质得到CD ⊥OD ，于是得到结论； （2）连接BD ，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：证明：(1)连接OD ， ∵AD 平分BAC ∠， ∴CAD BAD ∠=∠， ∵OA OD =， ∴BAD ADO =∠∠， ∴CAD ADO ∠=∠， ∴AC OD ∥， ∵CD AC ⊥， ∴CD OD ⊥， ∴直线CD 是⊙O 的切线； (2)连接BD ， ∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴90ABE BDE ?∠=∠=， ∵CD AC ⊥， ∴90C BDE ?∠=∠=， ∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠， ∴ACD BDE ??∽， ∴ CD AD DE BE =， ∴CD BE AD DE ?=?． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24．（1）该旅行团中成人17人，少年5人；（2）①1320元，②最多可以安排成人和少年共12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中当成人10人，少年2人时购票费用最少. 【解析】 【分析】 （1）设该旅行团中成人x 人，少年y 人，根据儿童10人，成人比少年多12人列出方程组求解即可； （2）①根据一名成人可以免费携带一名儿童以及少年8折，儿童6折直接列式计算即可； ②分情况讨论，分别求出在a 的不同取值范围内b 的最大值，得到符合题意的方案，并计算出所需费用，比较即可. 【详解】 解：（1）设该旅行团中成人x 人，少年y 人，根据题意，得 103212x y x y ++=??=+?，解得17 5 x y =?? =?. 答：该旅行团中成人17人，少年5人. （2）∵①成人8人可免费带8名儿童， ∴所需门票的总费用为：()10081000.851000.6108=1320?+??+??-（元）. ②设可以安排成人a 人、少年b 人带队，则11715a b ，剟 剟. 当1017a 剟 时， （ⅰ）当10a =时，10010801200b ?+…，∴5 2b …， ∴2b =最大值，此时12a b +=，费用为1160元. （ⅱ）当11a =时，10011801200b ?+…，∴54 b … ， ∴1b =最大值，此时12a b +=，费用为1180元. （ⅲ）当12a … 时，1001200a …，即成人门票至少需要1200元，不合题意，舍去. 当110a <…时， （ⅰ）当9a =时，100980601200b ?++…，∴3b ≤， ∴3b =最大值，此时12a b +=，费用为1200元. （ⅱ）当8a =时，100880601200b ?++…，∴7 2 b ≤， ∴3b =最大值，此时1112a b +=<，不合题意，舍去. （ⅲ）同理，当8a <时，12a b +<，不合题意，舍去. 综上所述，最多可以安排成人和少年共12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中当成人10人，少年2人时购票费用最少. 【点睛】 本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组． 25．分式方程的解为x=﹣34 ． 【解析】 【分析】方程两边都乘以x （x+3）得出方程x ﹣1+2x=2，求出方程的解，再代入x （x+3）进行检验即可． 【详解】两边都乘以x （x+3），得：x 2﹣（x+3）=x （x+3）， 解得：x=﹣ 34 ， 检验：当x=﹣ 34 时，x （x+3）=﹣27 16≠0， 所以分式方程的解为x=﹣ 34 ． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与注意事项是解题的关键.