【典型题】中考数学试题(含答案)
一、选择题
1．如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（）A．B．C．D．
2．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为()
A．4B．5C．6D．7
3．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是()
A．1B．2C．3D．4
4．下列命题正确的是（）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形
5．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数01234
人数41216171
关于这组数据，下列说法正确的是（）
A．中位数是2 B．众数是17 C．平均数是2 D．方差是2
6．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为?AB的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）
A．1
2
B．5C
53
D．3
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，有以下四个命题，则一定正确命题的序号是（）
①x=1是二次方程ax2＋bx＋c=0的一个实数根；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向下；
③二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的左侧；
④不等式4a+2b+c>0一定成立．
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．③④
8．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A ．三棱柱
B ．四棱锥
C ．长方体
D ．正方体
9．实数,,a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若a b =，则下列结论中错误的是（ ）
A ．0a b +>
B ．0a c +>
C ．0b c +>
D ． 0ac <
10．如图,某小区规划在一个长16m ，宽9m 的矩形场地ABCD 上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为112m 2
，设小路的宽为xm ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．2x 2-25x+16=0
B ．x 2-25x+32=0
C ．x 2-17x+16=0
D ．x 2-17x-16=0
11．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．606030(125%)x x
-=+ B ．6060
30(125%)x x
-=+
C ．
60(125%)60
30x x
?+-=
D ．
6060(125%)
30x x
?+-= 12．cos45°的值等于( )
A ．2
B ．1
C ．3
D ．
22
二、填空题
13．如图，矩形ABCD 中，AB=3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为____________．
14．如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．
在第n 个图形中有______个三角形（用含n 的式子表示）
15．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，则AF 的最小值为_______
16．关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－2x ＋3＝0有实数根，则整数a 的最大值是_____. 17．农科院新培育出A 、B 两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量
100 200 500 1000 2000 A
出芽种子数 96 165 491 984 1965 发芽率 0.96 0.83 0.98 0.98 0.98 B
出芽种子数 96 192 486 977 1946 发芽率
0.96
0.96
0.97
0.98
0.97
下面有三个推断：
①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，A 种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A 种子出芽的概率是0.98；
③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率可能会高于B 种子．其中合理的是__________（只填序号）．
18．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 为边BC 的中点，点P 在对角线BD 上移动，则PE+PC 的最小值是 ．
19．当m =____________时,解分式方程
533x m
x x
-=--会出现增根． 20．10a b b --=，则1a +=__．
三、解答题
21．某大学生利用业余时间参与了一家网店经营,销售一种成本为30元/件的文化衫,根据以往的销售经验,他整理出这种文化衫的售价y 1(元/件),销量y 2(件)与第x(1≤x<90)天的
函数图象如图所示(销售利润=(售价-成本)×销量).
(1)求y1与y2的函数解析式.
(2)求每天的销售利润W与x的函数解析式.
(3)销售这种文化衫的第多少天,销售利润最大,最大利润是多少?
22．2x=600
答：甲公司有600人，乙公司有500人.
点睛：本题考查了分式方程的应用，关键是分析题意找出等量关系，通过设未知数并根据等量关系列出方程.
23．计算：
（1）2（m﹣1）2﹣（2m+1）（m﹣1）
（2）（1﹣）
24．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．
25．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．
【详解】
设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.
【点睛】
本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键. 3．B
解析：B
【解析】
【分析】
的大小，即可得到结果．
【详解】
Q，
<<
46 6.25
∴<<，
2 2.5
的点距离最近的整数点所表示的数是2，
故选：B．
【点睛】
此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
运用矩形的判定定理，即可快速确定答案.
【详解】
解：A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误;对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；因此答案为A.
【点睛】
本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.
5．A
解析：A
【解析】
试题解析：察表格，可知这组样本数据的平均数为：
（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=；
∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3；
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
∴这组数据的中位数为2，
故选A．
考点：1.方差；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．
【详解】
连接OC、OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵AB为弦，点C为?AB的中点，
∴OC ⊥AB ，
在Rt △OAE 中，
∴AB=， 故选D ． 【点睛】
此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．
7．C
解析：C 【解析】
试题分析：当x=1时，a+b+c=0，因此可知二次方程ax 2＋bx ＋c=0的一个实数根，故①正确；根据a ＞b ＞c ，且a+b+c =0，可知a ＞0，函数的开口向上，故②不正确； 根据二次函数的对称轴为x =-
2b
a
，可知无法判断对称轴的位置，故③不正确； 根据其图像开口向上，且当x =2时，4a+2b+c ＞a+b+c=0，故不等式4a+2b+c>0一定成立，故④正确. 故选：C.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
本题可以根据三棱柱展开图的三类情况分析解答 【详解】
三棱柱的展开图大致可分为三类：1.一个三角在中间,每边上一个长方体,另一个在某长方形另一端.2.三个长方形并排,上下各一个三角形.3.中间一个三角形,其中两条边上有长方形,这两个长方形某一个的另一端有三角形,在这三角形的一条(只有一条,否则拼不上)边有剩下的那个长方形.此题目中图形符合第2种情况 故本题答案应为：A 【点睛】
熟练掌握几何体的展开图是解决本题的关键，有时也可以采用排除法．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据a b =，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答． 【详解】 解：a b =Q ，
∴原点在a ，b 的中间，
如图，
由图可得：a c <，0a c +>，0b c +<，0ac <，0a b +=， 故选项A 错误， 故选A ． 【点睛】
本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
10．C
解析：C 【解析】
解：设小路的宽度为xm ，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x ）m ，（9-x ）m ；根据题意即可得出方程为：（16-2x ）（9-x ）=112，整理得：x 2-17x +16=0．故选C ． 点睛：本题考查了一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
11．C
解析：C 【解析】
分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．
详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%
x
+万
平方米，
依题意得：6060
30
125%
x x
-=+，即()60125%6030x x
?+-=． 故选C ．
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】 解：cos45°= 2
2
． 故选D ． 【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
二、填空题
13．【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是矩形∴OB=ODOA=OCAC=BD∴OA=OB∵AE 垂直平分OB∴AB=AO∴OA=AB=OB=3∴BD=2OB=6∴AD=【点睛】此题考查了矩形的性质等边三角
解析：
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB =OD ，OA =OC ，AC =BD ， ∴OA=OB ， ∵AE 垂直平分OB ， ∴AB =AO ， ∴OA =AB =OB =3， ∴BD =2OB =6，
∴AD ==
【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
14．【解析】【分析】分别数出图①图②图③中的三角形的个数可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3如图③中三角形的个数为9=4×3-3按照这个规律即可求出第n 各图形中有多少三角形【详解】分 解析：()43n -
【解析】 【分析】
分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．如图③中三角形的个数为9=4×3-3．按照这个规律即可求出第n 各图形中有多少三角形． 【详解】
分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数， 图①中三角形的个数为1=4×1-3； 图②中三角形的个数为5=4×2-3； 图③中三角形的个数为9=4×3-3； …
可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3． 按照这个规律，如果设图形的个数为n ，那么其中三角形的个数为4n-3． 故答案为4n-3． 【点睛】
此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．
15．【解析】试题分析：如图设AF的中点为D那么DA=DE=DF所以AF的最小值取决于DE的最小值如图当DE⊥BC时DE最小设DA=DE=m此时DB=m由AB=DA+DB 得m+m=10解得m=此时AF=2
解析：15 2
【解析】
试题分析：如图，设AF的中点为D，那么DA=DE=DF.所以AF的最小值取决于DE的最小值.
如图，当DE⊥BC时，DE最小，设DA=DE=m，此时DB=5
3
m，由AB=DA+DB，得m+
5
3
m=10，解
得m=15
4
，此时AF=2m=
15
2
.
故答案为15 2
.
16．－2【解析】【分析】若一元二次方程有实数根则根的判别式△=b2-4ac≥0建立关于a的不等式求出a的取值范围还要注意二次项系数不为0【详解】∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根
解析：－2
【解析】
【分析】
若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【详解】
∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，
∴△=4-4（a+1）×3≥0，且a+1≠0，
解得a≤-2
3
，且a≠-1，
则a的最大整数值是-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．
17．②③【解析】分析：根据随机事件发生的频率与概率的关系进行分析解答即可详解：（1）由表中的数据可知当实验种子数量为100时两种种子的发芽率虽然都是96但结合后续实验数据可知此时的发芽率并不稳定故不能确
解析：②③
【解析】分析：
根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.
详解：
（1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理；
（2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的；
（3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以③中的说法是合理的.
故答案为：②③.
点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键. 18．【解析】试题分析：要求PE+PC的最小值PEPC不能直接求可考虑通过作辅助线转化PEPC的值从而找出其最小值求解试题解析：如图连接AE∵点C关于BD的对称点为点A∴PE+PC=PE+AP根据两点之间
【解析】
试题分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC 的值，从而找出其最小值求解．
试题解析：如图，连接AE，
∵点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，
∴BE=1，
∴22
+
125
考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．
19．2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根且使分式方程的分母为0的未知数的值详解：分式方程可化为：x-5=-m由分母可知分式方程的增根是3当x=3时3-5=-m解得m=2故答案为：2
解析：2
【解析】
分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
详解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．【解析】【分析】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出ab的值进而即可得出答案【详解】∵+|b﹣1|=0又∵∴a﹣b=0且b﹣1=0解得：a=b=1∴a+1=2故答案为2【点睛】本题主要
解析：【解析】
【分析】
利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出a，b的值，进而即可得出答案．【详解】
-b﹣1|=0，
a b
b-≥，
-≥，|1|0
a b
∴a﹣b=0且b﹣1=0，
解得：a=b=1，
∴a+1=2.
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质以及绝对值与二次根式的性质，根据几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0得到关于a、b的方程是解题的关键．
三、解答题
21．（1）y2与x的函数关系式为y2=-2x+200(1≤x<90)；（2）
W=
2
2x180x2?000(1x50),
120?x12?000(50x90).
?-++≤<
?
-+≤<
?
（3）销售这种文化衫的第45天，销售利润最大，最
大利润是6050元．
【解析】
【分析】
（1）待定系数法分别求解可得；
（2）根据：销售利润=（售价-成本）×销量，分1≤x＜50、50≤x＜90两种情况分别列函数关系式可得；
（3）当1≤x＜50时，将二次函数关系式配方后依据二次函数性质可得此时最值情况，当50≤x＜90时，依据一次函数性质可得最值情况，比较后可得答案．
【详解】
(1)当1≤x<50时，设y1=kx+b，
将(1，41)，(50，90)代入，
得
k b41,
50k b90,
+=
?
?
+=
?
解得
k1,
b40,
=
?
?
=
?
∴y1=x+40，
当50≤x<90时，y1=90，
故y1与x的函数解析式为y1=
x40(1x50), 90(50x90);
+≤<
?
?
≤<
?
设y2与x的函数解析式为y2=mx+n(1≤x<90)，将(50，100)，(90，20)代入，
得
50m n100,
90m n20,
+=
?
?
+=
?
解得:
m2,
n200,
=-
?
?
=
?
故y2与x的函数关系式为y2=-2x+200(1≤x<90)．(2)由(1)知，当1≤x<50时，
W=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000；
当50≤x<90时，
W=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000；
综上，W=
2
2x180x2?000(1x50), 120?x12?000(50x90).?-++≤<
?
-+≤<
?
(3)当1≤x<50时，∵W=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050，
∴当x=45时，W取得最大值，最大值为6050元；
当50≤x<90时，W=-120x+12000，
∵-120<0，W随x的增大而减小，
∴当x=50时，W取得最大值，最大值为6000元；
综上，当x=45时，W取得最大值6050元．
答:销售这种文化衫的第45天，销售利润最大，最大利润是6050元．
22．无
23．（1）﹣3m+3；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项即可得；（2）先计算括号内分式的减法，将除法转化为乘法，再约分即可得．
【详解】
（1）原式＝2（m2﹣2m+1）﹣（2m2﹣2m+m﹣1）
＝2m2﹣4m+2﹣2m2+2m﹣m+1
＝﹣3m+3；
（2）原式＝（﹣）÷
＝
＝．
【点睛】
本题主要考查分式和整式的混合运算，熟练掌握分式与整式的混合运算顺序和运算法则是解题关键．
24．(1)见解析3
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．
【详解】
证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠DBF ， ∵DE ∥BC ， ∴∠EDB=∠DBF ， ∴∠EBD=∠EDB ， ∴BE=ED ，
∴平行四边形BFDE 是菱形； （2）连接EF ，交BD 于O ，
∵∠BAC=90°，∠C=30°， ∴∠ABC=60°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBC=30°， ∴BD=DC=12， ∵DF ∥AB ， ∴∠FDC=∠A=90°， ∴4333
== 在Rt △DOF 中，()
2
22243623DF OD -=-=
∴菱形BFDE 的面积=12×EF ?BD ＝1
2
×12×33 【点评】
此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 25．（1）y=5x+400．（2）乙. 【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断； 试题解析：（1）设y=kx+b ，则有400100900b k b =??+=? ，解得5
400k b =??=?
，
∴y=5x+400．
（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元， ∵6300＜6400
∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．