空间向量及其运算同步练习10选修21

莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

《立体几何与空间向量》

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

1、(2009山东卷理)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“m”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2、在△ABC中，02,1.5,120ABBCABC,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）

A. 32 B. 52 C. 72 D. 92

3.（2009全国卷Ⅱ文） 已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AA=2AB，E为1AA重点，则异面直线BE与1CD所形成角的余弦值为（ ）

A.1010 B. 15 C. 31010 D.35

4、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）

A.22 B.23 C.4 D.25

中学学科

5、某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）.

A. 6 B. 33 C. 23 D. 3

6、一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是（ ）.

A. 22 B. 24 C. 26 D. 12

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）

1、把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC翻折,则过A,B,C,D四点的球的体 积为 。

2、关于直线与平面，有下列四个命题：

1）若m∥，n∥，且∥，则m∥n；

2）若m，n且，则mn；

3）若m，n∥且∥，则mn；

4）若m∥，n且，则m∥n；

其中不正确的命题为

3、已知某个几何体的三视图如下，

根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

4、在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P在AD上运动，设ABP，将ABP

沿BP折起，使得面ABP垂直于面BPDC， AC长最小时的值为 ．

5、 如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 。

PCDBA莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

三、解答题：（本大题共2小题，满分25分）

1、（2009广东东莞）在直三棱柱111CBAABC中，1ACAB，090BAC，且异面直线BA1与11CB所成的角等于060，设aAA1.（1）求a的值；（2）求平面11BCA与平面11BCB所成的锐二面角的大小.

2. 如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACBoAPBPAB，PCAC．

（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．

A

B C

A1

B1 CA

C B D P 莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

一、选择题

1、【答案】:B【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的

一条直线,m,则,反过来则不一定.所以“”是“m”的必要不充分条件.

2、【答案】.A 【解析】：213(11.51)32VVVr大圆锥小圆锥

3.【答案】：C【解析】：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，CD’∥BA',因此求△EBA'中∠A'BE即可，易知EB=2,A'E=1,A'B=5,故由余弦定理求cos∠A'BE=31010，或由向量法可求。

4、【答案】C【解析】：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为,,mnk，由题意得2227mnk，

226mk1n21ka，21mb，所以22(1)(1)6ab228ab，22222()282816abaabbabab∴

4ab当且仅当2ab时取等号

5、【答案】D

【解析】从三视图可以观察发现几何体是正三棱柱，底面边长为2cm，高为1cm，所以体积为）（32cm31243.

6、【答案】B

二、填空题

1、【解析】本题不告知翻折的角度，意在提醒学生找不变量。不难发现正方形对角线交点到四个顶点的距离相等，故交点即为球心，半径为1。

【答案】43

2、【答案】1），4）；

【解析】 传统空间位置关系的判断依然是高考小题考查的重点，解决此类问题，可多参考教室空间，或手中的笔与桌子这些具体模型。

3、【解析】 三视图是新增考点，根据三张图的关系，可知几何体是正方体的一部分，是一个四棱锥。本题也可改编为求该几何体的外接球的表面积，则必须补全为正方体，增加了难度。 莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

【答案】380003cm

4、【解析】本题是立体几何中的最值问题，建立数学模型，用函数解决是一种重要方法。过A作AHBP于H，连CH，

∴BCP面AH．∴cos3BHsin3AHAt，中，在BHR．

在）（）（中，90coscos3424cos3CH222BHC，[来源:学*科*网]

∴在中ACHRt，2sin12252AC，∴45时，AC长最小；

【答案】45

5、 【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。侧面展开后得矩形ABCD，其中,2ABAD问题转化为在CD上找一点,Q使AQPQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点,Q则得 AQPQ的最小值为92

【答案】92

三、填空题

解法一：（1）11//CBBC，

BCA1就是异面直线BA1与11CB所成的角，

即0160BCA，……（2分）

连接CA1，又ACAB，则CABA11

BCA1为等边三角形，……………………………4分

由1ACAB，090BAC2BC，

121221aaBA；………6分

（2）取BA1的中点E，连接EB1，过E作1BCEF于F，连接FB1，

BAEB11,EBCA111EB1平面11BCA

EB11BC ………………8分

又1BCEF，所以1BC平面EFB1，即11BCFB，

所以FEB1就是平面11BCA与平面11BCB所成的锐二面角的平面角。…………10分

在EFB1中，0190EFB，221EB，3211FB,

23sin111FBEBFEB0160FEB，…………………………13分

因此平面11BCA与平面11BCB所成的锐二面角的大小为060。…………14分

说明：取11CB的中点D，连接DA1，…………同样给分（也给10分）

解法二：（1）建立如图坐标系，于是)0,0,1(B，)1,0,1(1B，)1,1,0(1C，),0,0(1aA（0a）

)0,1,1(11CB，),0,1(1aBA， 1111BACB…………3分

由于异面直线BA1与11CB所成的角060， A1

C

B1 C1

y z 莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

所以11CB与BA1的夹角为0120

即1120cos||||0111BACB

11)21(122aa………6分

（2）设向量),,(zyxn且n平面11BCA

于是BAn1且11CAn，即01BAn且011CAn，

又)1,0,1(1BA，)0,1,0(11CA，所以00yzx，不妨设)1,0,1(n……8分

同理得)0,1,1(m，使m平面11CBB，（10分）

设m与n的夹角为，所以依cos||||nmnm，

06021cos1cos22，………………12分

m平面11CBB，n平面11BCA，

因此平面11BCA与平面11BCB所成的锐二面角的大小为060。…………14分

说明：或者取BC的中点M，连接AM，于是)0,21,21(AM显然AM平面11CBB

2. 解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PDCD，．APBPQ，PDAB．ACBCQ，CDAB．

PDCDDQI，AB平面PCD．PCQ平面PCD，PCAB．

（Ⅱ）ACBCQ，APBP，APCBPC△≌△．又PCAC，PCBC．

又90ACBo，即ACBC，且ACPCCI，BC平面PAC．取AP中点E．连结BECE，．

ABBPQ，BEAP．ECQ是BE在平面PAC内的射影，CEAP．

BEC是二面角BAPC的平面角．在BCE△中，90BCEo，2BC，362BEAB，6sin3BCBECBE．33622cos•EBECEBECBEC中学高.考.资.源.网 A C B E P

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