北师大版高中数学选修21第二章空间向量与立体几何教案

§6 距离的计算[对应学生用书P40]如图，设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点．如图，作AA ′⊥l ，垂足为A ′.问题1：点A 到直线l 的距离与线段AA ′的长度有何关系？ 提示：相等．问题2：若s 0为s 的单位向量，你能得出PA 在s 上的投影长吗？提示：向量PA 在s 上的投影长为|PA ||cos 〈PA ，s 〉|＝|PA |·|PA ·s ||PA ||s |＝|PA ·s ||s |＝|PA ·s|s ||＝|PA ·s 0|.问题3：设点A 到直线l 的距离为d ，你能根据问题2的答案写出d 的表达式吗？ 提示：d ＝|AA ′|＝ |PA |2－|PA ·s 0|2.点到直线的距离设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点，向量PA 在s 上的投影的大小为|PA ·s 0|，则点A 到直线l 的距离d ＝ |PA |2－|PA ·s 0|2.如图，设π是过点P 垂直于向量n 的平面，A 是平面π外一定点．作AA ′⊥π，垂足为A ′.问题1：点A 到平面π的距离d 与线段AA ′的长度有何关系？ 提示：相等．问题2：n 0是n 的单位向量，则向量PA 在向量n 上的投影大小是什么？与|AA ′|相等吗？提示：|PA ·n 0|，相等．点到平面的距离设n 为过点P 的平面的一个法向量，A 是该平面外一定点，向量PA 在n 上的投影的大小为|PA ·n 0|，则点A 到该平面的距离d ＝|PA ·n 0|.1．用向量法求点到直线的距离，在直线上选点时，可视情况灵活选择，原则是便于计算，s 0是s 的单位向量， s 0＝s|s |.2．用向量法求点到平面的距离，关键是找到平面的法向量和平面的斜线段的方向向量．[对应学生用书P40][例1] 如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝2，BC ＝3，AA ′＝4，求点B 到直线A ′C 的距离．[思路点拨] 用点到直线的距离公式计算点B 到直线A ′C 的距离D.[精解详析] 因为AB ＝2，BC ＝3，AA ′＝4， 所以B (2,0,0)，C (2,3,0)，A ′(0,0,4)．CA '＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3,4)． CB ＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．所以CB 在CA '上的投影：CB ·CA '|CA '|＝(0，－3,0)·－2，－3，－2＋－2＋42＝(0，－3,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－229，－329，429＝0×－229＋(－3)×－329＋0×429＝929；所以点B 到直线A ′C 的距离为d ＝|CB |2－|CB ·CA '|CA '||2＝32－⎝⎛⎭⎪⎫9292＝614529. [一点通]1．用向量法求直线外一点A 到直线l 的距离的步骤 (1)确定直线l 的方向向量s 及s 0； (2)在l 上找一点P ，计算PA 的长度； (3)计算PA ·s 0的值；(4)由公式d ＝ |PA |2－|PA ·s 0|2求解．2．用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法求距离的难点(即过A 1点作l 的垂线，难在垂足的位置的确定)．1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1与对角线BC 1所在的直线间的距离为( )A.62a B ．a C.2aD.a2解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )．∴1A B ＝(0，a ，－a )，1BC ＝(－a,0，a )． ∴|1A B |＝2a ，|1BC |＝2a . ∴点A 1到BC 1的距离d ＝|1A B |2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1A B ·1BC |1BC |2 ＝2a 2－12a 2＝62a .答案：A2．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E ，F 分别是C 1C ，D 1A 1的中点，求点A 到EF 的距离． 解：以D 点为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．设DA ＝2，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1，0,2)，则EF ＝(1，－2,1)，FA ＝(1,0，－2)，|EF |＝12＋－2＋12＝6，FA ·EF ＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，FA 在EF 上的投影长＝|FA ·EF ||EF |＝16.∴点A 到EF 的距离＝ |FA |2－⎝⎛⎭⎪⎫162＝ 296＝1746.[例2] 如图，已知△ABC 是以∠ABC 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求A 到平面SND 的距离．[思路点拨] 建立空间直角坐标系，用向量法求点到面的距离． [精解详析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)，D (－1,4,0)，∴NS ＝(0，－2,2)，SD ＝(－1,4，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)．∴n ·NS ＝0，n ·SD ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，∴n ＝(2,1,1)．∵AS ＝(0,0,2)．∴A 到平面SND 的距离为|n ·AS ||n |＝26＝63.[一点通]用向量法求平面π外一点A 到平面的距离的步骤： (1)计算平面π的法向量n 及n 0； (2)在平面π上找一点P ，计算PA ； (3)由公式计算d ＝|PA ·n 0|.利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可．3．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，PD ＝AD ＝1，则C 到平面PAB 的距离d ＝( ) A ．1 B. 2 C.22D.32解析：以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，∴AP ＝(－1,0,1)，AB ＝(0,1,0)，AC ＝(－1,1,0)， 设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎨⎧n ·AP ＝0，n ·AB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，y ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)． ∴d ＝|AC ·n ||n |＝|－1|2＝22.答案：C4．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为________．. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系．A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,1)，∴1AB ＝(3，1，－1)，1AC ＝(0,2，－1)．设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B ＝0，n ·1A C ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33y ，z ＝2y ，令y ＝3，则n ＝(3，3,6)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，32. 又1AA ＝(0,0,1)，∴d ＝|1AA ·n 0|＝32. 答案：325.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解：建立空间直角坐标系如图， 则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)，∴AG ＝(0,1,0)，GE ＝(－2,1,1)， GF ＝(－1，－1,2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面GEF 的法向量， 点A 到平面EFG 的距离为d ，则⎩⎨⎧n ·GE ＝0，n ·GF ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋z ＝0，－x －y ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z .令z ＝1， 则n ＝(1,1,1)，∴d ＝|AG ·n ||n |＝13＝33.即点A 到平面EFG 的距离为33.1．空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．2．空间一点A 到直线l 的距离的算法：3．空间一点A 到平面π的距离的算法：[对应课时跟踪训练十三1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (2，－1,0)在α内，则P (1,3，－2)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.103解析：PA ＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，所以P 到α的距离为|PA ·n |n ＝|－2＋8＋2|3＝83.答案：C2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在1AC 上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |为( )A.216a B.66aC.156a D.153a 解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在1AC 上且AM ＝121MC .∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. ∴|MN | ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 答案：A3.如图，P －ABCD 是正四棱锥，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，PA ＝6，则B 1到平面PAD 的距离为( )A ．6 B.355 C.655D.322解析：以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，由题意知，B 1(2,0,0)，A (0,0,2)，D (0,2,2)，P (1,1,4)．AD ＝(0,2,0)，AP ＝(1,1,2)，∴AD ·n ＝0，且AP ·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵1B A ＝(－2,0,2)，∴B 1到平面PAD 的距离d ＝|1B A ·n ||n |＝655.答案：C4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B.38 C.43D.34解析：如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)． ∴11D B ＝(2,2,0)，1D A ＝(2,0，－4)，1AA ＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥11D B ，n ⊥1D A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·11D B ＝0，n ·1D A ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由1AA 在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|1AA ·n ||n |＝43.答案：C5．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则1C A ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，－1，11C B ＝(0,1,0)，1C B ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1C A ·n ＝01C B ·n ＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫33，1，1， 则d ＝|11C B ·n|n ||＝113＋1＋1＝217.答案：2176．如图所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1. ∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·11D B ＝0，且n ·1B N ＝0.即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0.∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1.∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|11A B ·n 0| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13＝23. 答案：237.如图，已知正方形ABCD ，边长为1，过D 作PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别是AB 和BC 的中点．求直线AC 到平面PEF 的距离．解：由题意知直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，1，0，∴PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，PF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－1. 设n ＝(x ，y ，z )是平面PEF 的一个法向量，则由⎩⎨⎧n ·PE ＝0，n ·PF ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2－z ＝0，x 2＋y －z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝32，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，32.又∵AP ＝(－1,0,1)， ∴d ＝|AP ·n ||n |＝－1×1＋0×1＋1×321＋1＋94＝1717.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC1＝3，BE ＝1.求点C 到平面AEC 1F 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)．设n 为平面AEC 1F 的法向量，显然n 不垂直于平面ADF ，故可设n ＝(x ，y,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ＝0，n ·1EC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0·x ＋4·y ＋1＝0，－2·x ＋0·y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－14.n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－14，1.又1CC ＝(0,0,3)． ∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|1CC ·n ||n |＝31＋116＋1＝43311.[对应学生用书P42]一、空间向量的概念与运算1．空间向量有关概念与平面向量的有关概念类似，对基本概念的理解要做到全面、准确、深入．2．空间向量的运算包括加、减、数乘及数量积运算，其中加、减、数乘运算称为线性运算，结果仍为向量，加减算法可运用平行四边形法则与三角形法则进行运算；数量积运算结果为实数，运用数量积可解决长度、夹角与距离等问题．二、向量的坐标表示与运算和空间向量基本定理1．选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，是空间向量基本定理的具体体现．2．空间向量的坐标表示与运算是解决立体几何中的夹角、长度、距离等问题的关键，要熟记公式．三、空间向量与平行和垂直利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法为： 1．线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． 2．线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 3．线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(需说明直线不在平面内)；(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量(需说明直线不在平面内)；(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来(需说明直线不在平面内)．4．线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行； (2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． 5．面面平行：(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； (2)证明一个平面内的两个不共线向量与另一平面平行． 6．面面垂直：(1)证明两个平面的法向量互相垂直；(2)证明一个平面内某直线的方向向量是另一平面的法向量． 四、空间向量与空间角1．求两异面直线的夹角可利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |，但务必注意两异面直线夹角θ的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2 ，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]．故实质上应有cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.2．求线面角：求直线与平面的夹角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的投影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面的夹角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面的夹角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.3．求两平面间的夹角：利用空间直角坐标系求得两个平面的法向量n 1，n 2，代入cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|.当cos 〈n 1，n 2〉>0时，两平面的夹角为〈n 1，n 2〉， 当cos 〈n 1，n 2〉<0时，两平面的夹角为π－〈n 1，n 2〉． 五、空间距离的计算主要掌握点到直线的距离与点到平面的距离，利用直线的方向向量与平面的法向量求解．1．若直线l 的方向向量为s ，s 0＝s|s |，点P 是直线l 上的点，点A 是直线外任一点，则点A 到直线l 的距离d ＝ |PA |2－|PA ·s 0|2.2．若n 0为平面α的单位法向量，点P 是平面α内一点，点A 是平面α外一点，则点A 到该平面的距离d ＝|PA ·n 0|.⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测二 见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，若a∥b ，则xz ＝( ) A ．－4 B ．9 C ．－9D.649解析：∵a∥b ，∴x 3＝42＝3z.∴x ＝6，z ＝32.∴xz ＝9.答案：B2.如图所示，已知四面体ABCD ，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，AC 的中点，则12(AB ＋BC ＋CD )＝( )A ．BFB ．EHC ．HGD ．FG解析：∵12(AB ＋BC ＋CD )＝12(AC ＋CD )＝12AD ，又∵HG ＝12AD ，∴12(AB ＋BC ＋CD )＝HG .答案：C3．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：∵PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ， ∴PB ·(PA －PC )＝0， 即PB ·CA ＝0， ∴PB ⊥CA .同理PC ·(PB －PA )＝0， ∴PC ·AB ＝0，∴PC ⊥AB ， ∴P 是△ABC 的垂心． 答案：D4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎪⎫33，－33，33C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 解析：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ·AB ＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0，∴－x ＋y ＝0.n ·BC ＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0，∴－y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)，与n 平行的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33.答案：D5．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量． ∵AB ＝(－5，－1,1)，AC ＝(－4，－2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－32，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1.又AD ＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ， 则sin θ＝|AD ·n ||AD ||n |＝727＝12，∴θ＝30°.答案：A6．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 夹角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23解析：建立如图所示的空间直角坐标系．令正四棱锥的棱长为2，则A (1，－1,0)，D (－1，－1,0)，S (0,0，2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，22，AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，22，SD ＝(－1，－1，－2)，∴cos 〈AE ，SD 〉＝AE ·SD|AE ||SD |＝－33，∴AE 、SD 夹角的余弦值为33. 答案：C7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 的夹角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1， ∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－12，GH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，cos 〈EF ·GH 〉＝－1422×22＝－12.∴EF 与GH 的夹角为60°. 答案：B8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的余弦值为( ) A.24 B.23 C.33D.32解析：以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则C 1(1，1,1)，A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，D (0,1,0)．∵1AC ＝(1,1,1)，1BA ＝(－1,0,1)，BD ＝(－1,1,0)， ∴1AC ·1BA ＝0，1AC ·BD ＝0， ∴1AC 即为平面A 1BD 的法向量．设BC 1与面A 1BD 夹角为θ，又1BC ＝(0,1,1)， 则sin θ＝|1AC ·1BC ||1AC ||1BC |＝23×2＝63，∴cos θ＝33. 答案：C9．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( )A.66a B.36a C.34a D.63a解析：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (a ，a,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，0，12a ，A 1(a,0，a )．∴DB ＝(a ，a,0)，DM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，12a ，1A M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，－12a .设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay ＝0，ax ＋12za ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋12z ＝0.令z ＝2，得x ＝－1，y ＝1. ∴n ＝(－1,1,2)，∴n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－66，66，266.∴A 1到平面BDM 的距离为d ＝|1A M ·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a ×266＝66a . 答案：A10．三棱锥O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 解析：∵OG ＝341OG ＝34(OA ＋1AG )＝34OA ＋34×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AB ＋AC＝34OA ＋14[(OB －OA )＋(OC －OA )] ＝14OA ＋14OB ＋14OC ， 而OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ， ∴x ＝14，y ＝14，z ＝14.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF ＝AD ＋x AB ＋y AA '，则x －y ＝________.解析：如图，∵AF ＝AD ＋DF ，DF ＝12(DC ＋DD ')＝12(AB ＋AA ')，∴AF ＝AD ＋12AB ＋12AA '，又AF ＝AD ＋x AB ＋y AA '， ∴x ＝12，y ＝12，即x －y ＝12－12＝0.答案：012．已知向量a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a·b ＝2，则x 的值为________． 解析：∵a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a·b ＝2， ∴－3×1＋2x ＋5×(－1)＝2，∴x ＝5. 答案：513．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离是________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系， ∵正方体的棱长为1，∴A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，1.设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴n ·AB ＝0，且n ·1BC ＝0，即(x ，y ，z )·(0,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·(－1,0,1)＝0.∴y ＝0，且－x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝1， ∴n ＝(1,0,1)． ∴n 0＝⎝⎛⎭⎪⎫22，0，22，又EC '＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为|EC '·n 0| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22＝22.答案：2214. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1的夹角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C 1(0,2,1)，A 1(2,0,1)， ∴1AC ＝(－2,2,1)，1AA ＝(0,0,1)．由长方体的性质知平面A 1B 1C 1D 1的法向量为1AA ＝(0，0,1)． ∴cos 〈1AC ，1AA 〉＝1AC ·1AA | 1AC ||1AA |＝13×1＝13，∴AC 1与平面A 1B 1C 1D 1的夹角的正弦值为13.答案：13三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,2)．求： (1)a·b ；(2)a 与b 夹角的余弦值；(3)确定λ，μ的值使得λa ＋μb 与z 轴垂直，且(λa ＋μb )·(a ＋b )＝77. 解：(1)a·b ＝(3,5，－4)·(2,1,2)＝3×2＋5×1＋(－4)×2＝3. (2)∵|a |＝32＋52＋－2＝52，|b |＝22＋12＋22＝3. ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝352×3＝210.(3)取z 轴上的单位向量n ＝(0,0,1)，a ＋b ＝(5,6，－2)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧λa ＋μb n ＝0，λa ＋μba ＋b ＝77，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋2μ，0，＝0，λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋2μ，6，－＝77，化简整理，得⎩⎪⎨⎪⎧－4λ＋2μ＝0，53λ＋12μ＝77，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.16．(本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．(1)求证：PA ⊥底面ABCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解：(1)证明：∵AP ·AB ＝－2－2＋4＝0， ∴AP ⊥AB .又∵AP ·AD ＝－4＋4＋0＝0， ∴AP ⊥AD.∵AB ，AD 是底面ABCD 上的两条相交直线， ∴AP ⊥底面ABCD.(2)设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ＝AB ·AD|AB ||AD |＝8－24＋1＋16×16＋4＝3105.V ＝13|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝23105× 1－9105×1＋4＋1＝16. 17．(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求A 1到平面BCN 的距离； (2)求证：A 1B ⊥C 1M .解：如图，建立空间直角坐标系．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，A 1(1,0,2)，B 1(0,1,2)， ∴1BA ＝(1，－1,2)，1CB ＝(0,1,2)，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5，∴cos 〈1BA ，1CB 〉＝1BA ·1CB |1BA ||1CB |＝3010.设平面BCN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BN ＝(1，－1，1)，CB ＝(0,1,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0，－1)．n 0＝⎝⎛⎭⎪⎫22，0，－22，则A 1到平面BCN 的距离为d ＝|1BA ·n 0|＝|22－2|＝22. (2)证明：依题意得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，1A B ＝(－1,1，－2)，1C M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.∵1A B ·1C M ＝－12＋12＋0＝0，∴1A B ⊥1C M .∴A 1B ⊥C 1M .18．(本小题满分14分)如图①，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图②所示的四棱锥A ′­BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求平面A ′CD 与平面BCD 的夹角的余弦值．解：(1)证明：在折叠前的图形中，在等腰直角三角形ABC 中，因为BC ＝6，O 为BC 的中点，所以AC ＝AB ＝32，OC ＝OB ＝3.如图，连接OD ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD ＝ OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.在折叠后的图形中，因为A ′D ＝22， 所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥O D. 同理可证A ′O ⊥OE .又OD ∩OE ＝O ， 所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)以点O 为原点，建立空间直角坐标系O ­xyz ，如图所示， 则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以OA '＝(0,0，3)，CA '＝(0,3，3)，DA '＝(－1,2，3)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·CA '＝3y ＋3z ＝0.n ·DA '＝－x ＋2y ＋3z ＝0.令z ＝3，得n ＝(1，－1，3)，|n |＝1＋1＋3＝ 5. 由(1)知，OA '＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量， 又|OA '|＝3，OA '·n ＝0×1＋0×(－1)＋3×3＝3，所以cos 〈n ，OA '〉＝n ·OA '|n ||OA '|＝33×5＝155，即平面A ′CD 与平面BCD 的夹角的余弦值为155.。

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。

教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。

（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。

第4节用向量讨论平行与垂直【空间向量的应用之-----垂直】【教学目标】通过本节课的学习让学生体会到向量这种工具在解决立体几何问题中的重要应用，体会数学中数与形的结合，转化之美。

激发学生学习数学的兴趣，减轻空间思维能力差的学生的学习压力。

【课型】新授课 【课时安排】1课时【教学难点】利用向量解决立体几何问题的本质即如何将空间中的线面关系转化为相关向量之间的关系 【教学重点】1教会学生如何用向量解决空间中的垂直问题 2掌握坐标法，知道基底法【设计思路】本节课的教学首先我将重点放在与直线和平面有关的向量问题上，只要学生意识到与直线和平面有关的向量分别是直线的方向向量和平面的法向量，那么如何用向量去研究平行与垂直关系便显而易见！然后结合例题展示解题过程，强化知识点。

【教学方法】启发探讨式 【教学过程】 一：课前梳理1.空间向量基本定理的内容：已知321,,e e e 是三个_____________的向量，那么对于空间任意一个向量a ，存在唯一一组实数321,,λλλ使得_____________________.2.空间向量的坐标运算：已知),,(111z y x a =，),,(222z y x b = 那么=+b a =-b a=a λ =•b a >=<b a ,cos⇔≠)0(//b b a ⇔⊥b a3.与直线有关的向量是_________________4.与平面有关的向量是_________________二：课前预习思考空间中的平行关系包括哪些？如何用向量来体现？空间中的垂直关系包括哪些？如何用向量来体现？三：新知探索：1小组呈现预习思考研究结果（1）平行关系（2）垂直关系2．应用演练例2：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，ABCD PA 平面⊥,AP=AB=2，BC=22,E,F 分别是AD,PC 的中点，求证：PC ⊥平面BEF练习.在正方体1111ABCD A B C D -中,E F 、分别是1BB CD、的中点, 求证:1D F ADE⊥平面.例3：已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，,600=∠BCD E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD,PA=2求证：平面PBE ⊥平面PAB四：点拨与小结:利用向量解决空间的线面关系其本质是研究直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，所以熟练掌握直线的方向向量与平面的法向量的求解方法是解题的关键。

北师大版高中数学2-1教案：第二章空北师大版选修2-1第二章空间向量与立体几何间向量与立体几何复习与小结（1）本节课题空间向量与立体几何复习与小结（1）1、把握空间向量的概念、运算及其应用；三维目标2、把握利用空间向量解决立体几何问题的方法提炼的课题空间向量及其运算和空间向量的应用教学手段运用探析归纳，讲练结合教学资源选择教学过程知识梳理（一）、差不多概念1、共线向量定理：关于空间任意两个向量（0b ≠），//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．推论：假如l 为通过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么关于任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA ta =+，其中向量a 叫做直线l 的方向向量．在l 上取AB a =，则OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+．O 是空间任一点，A 、B 、C 三点共线的充要条件是OA xOB yOC =+，其中x + y = 1．专门地，当12t =时，P 为AB 的中点，1()2OP OA OB =+称为线段AB 的中点公式．2、共面向量定理：假如两个向量,a b 不共线，则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使p xa yb =+。

推论：空间一点位于平面MBA 内的充分必要条件是存在有序实数对（x ，y ），使MA xMB yMC =+．关于空间任一定点O ，有OP OM xMA yMB =++．关于空间任一定点O ，P 、M 、A 、B 四点共面的充分必要条件是OP xOM yOA zOB =++，其中1x y z ++=。

3、假如三个向量a b c 、、不共面，那么关于空间任一向量p ，存在唯独的有序实数组（x ，y ，z ），使p xa yb zc =++，其中{a b c 、、}叫做空间的一个基底，a b c 、、都叫做基向量。

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯独的有序实数组x y z 、、，使OP xOA yOB zOC =++。

§4用向量讨论垂直与平行[对应学生用书P28]直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.问题1：假设直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，那么它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1∥u2∥n1.问题2：假设l1⊥l2，l1∥π2呢？提示：u1⊥u2，u1⊥n2.问题3：假设π1∥π2，那么n1，n2有什么关系？提示：n1∥n2.1．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2，那么线线平行l∥m⇔a＝k b(k∈R)线面平行l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝k n2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝k n1(k∈R)面面垂直π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝02.假设平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，那么这两条直线垂直．3．面面垂直的判定定理假设一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直．一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．第一课时 空间向量与平行关系[对应学生用书P28]由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系[例1] (1)设a ，b 分别是两条不同直线l 1，l 2的方向向量，根据以下条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设n 1，n 2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，根据以下条件判断π1，π2的位置关系：①n 1＝(1，－1,2)，n 2＝(3,2，－12)；②n 1＝(0,3,0)，n 2＝(0，－5,0)； ③n 1＝(2，－3,4)，n 2＝(4，－2,1)．(3)设n 是平面π的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据以下条件判断π和l 的位置关系：①n ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②n ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③n ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[思路点拨] 此题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系．[精解详析] (1)①∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b .∴a∥b ，∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)， ∴a·b ＝0.∴a⊥b .∴l 1⊥l 2. ③∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)， ∴a 与b 不共线，也不垂直．∴l 1与l 2的位置关系是相交或异面(不垂直)． (2)①∵n 1＝(1，－1,2)，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12， ∴n 1·n 2＝3－2－1＝0. ∴n 1⊥n 2，∴π1⊥π2.②∵n 1＝(0,3,0)，n 2＝(0，－5,0)， ∴n 1＝－35n 2，∴n 1∥n 2.∴π1∥π2.③∵n 1＝(2，－3,4)，n 2＝(4，－2,1)， ∴n 1与n 2既不共线，也不垂直． ∴平面π1和π2相交(不垂直)． (3)①∵n ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)， ∴n·a ＝－6＋8－2＝0. ∴n⊥a .∴直线l 和平面π的位置关系是l π或l ∥π. ②∵n ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)， ∴n ＝－14a .∴n∥a .∴l ⊥π.③∵n ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，∴n和a既不共线，也不垂直．∴l与π斜交．[一点通]用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．1．设直线l的方向向量为a，平面π的法向量为b，假设a·b＝0，那么( ) A．l∥πB．lπC．l⊥πD．lπ或l∥π解析：当a·b＝0时，lπ或l∥π.答案：D2．假设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l不在平面α内，那么能使l∥α的是( )A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，要使l∥α，那么a⊥n，∴a·n＝0.只有D中a·n＝0.答案：D3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EF∥HG.证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为2，那么E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)．∴EF＝(0,1，－1)，GH ＝(0,1，－1)．∴EF ＝GH .∴EF ∥GH . 又∵G ∉EF ，∴EF ∥GH .用空间向量证明线面平行问题[例2] 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，且OA ＝OP ，OP ⊥平面ABC .求证：OD ∥平面PAB .[思路点拨] 思路：一证明OD 与平面PAB 的法向量垂直．思路二：证明OD 与面PAB 内某一直线平行．[精解详析] 法一：因为AB ＝BC ，O 为AC 的中点，所以OB ⊥AC ，OA ＝OB ＝OC ，如图，建立空间直角坐标系，设OA ＝a ，那么A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a ，0,0)，P (0,0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，所以OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2.设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·PA ＝0，n ·AB ＝0.由于PA ＝(a,0，－a )，AB ＝(－a ，a,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax －az ＝0，－ax ＋ay ＝0.令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)，所以OD ·n ＝－a 2＋a2＝0，所以OD ⊥n ，因为OD 不在平面PAB 内，所以OD ∥平面PAB .法二：因为O ，D 分别是AC ，PC 的中点，所以OD ＝－CO ＝12－12CA ＝12AP ，所以OD ∥AP ，即OD ∥AP ，O D ⃘平面PAB ，PA 面PAB ，所以OD ∥平面PAB .[一点通]用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直线在平面外．4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥平面RSD .证明：法一：如下图，建立空间直角坐标系，那么根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23.∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，MN ＝.∴MN ∥. ∵M ∉RS .∴MN ∥RS .又RS 平面RSD ，M N ⃘平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .法二：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ， 那么MN ＝1MB ＋11B A ＋1A N ＝13c －a ＋12b ，＝RC ＋＋DS ＝12b －a ＋13c ，∴MN ＝，∴MN ∥， 又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .又RS 平面RSD ，M N ⃘平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：法一：如下图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，那么可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，1DA ＝(1,0,1)，DB ＝(1,1,0)，设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，那么n ·1DA ＝0且n ·DB ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又MN ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN ⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN ＝1C N －C 1M ―→＝1211C B －121C C＝12(11D A －1D D )＝121DA ，∴MN ∥1DA . 又DA 1平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .用空间向量证明面面平行[例3] 111111，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD .[思路点拨] 此题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．[精解详析] 法一：如下图，建立空间直角坐标系，那么A (4,0,0)，M (2,0,4)，N (4,2,4)，D (0,0,0)，B (4,4,0)，E (0,2,4)，F (2,4,4)．取MN 的中点G 及EF 的中点K ，BD 的中点Q ，连AG ，QK ，那么G (3,1,4)，K (1,3,4)，Q (2,2,0)．∴MN ＝(2,2,0)，EF ＝(2,2,0)，AG ＝(－1,1,4)，QK ＝(－1,1,4)．可见MN ＝EF ，AG ＝QK ，∴MN ∥EF ，AG ∥QK . 又M N ⃘平面EFBD ，A G ⃘平面EFBD . ∴MN ∥平面EFBD ，AG ∥平面EFBD . 又MN ∩AG ＝G ， ∴平面AMN ∥平面EFBD .法二：由法一得AM ＝(－2,0,4)，MN ＝(2,2,0)，DE ＝(0,2,4)，EF ＝(2,2,0)． 设平面AMN 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AM ＝0，n 1·MN ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋4z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝12x 1，y 1＝－x 1.令x 1＝1，那么n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12. 设平面BDEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF ＝0，n 2·DE ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，2y 2＋4z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－y 2，z 2＝－12y 2，令x 2＝1，那么n 2＝(1，－1，12)．∴n 1＝n 2.∴平面AMN ∥平面BDEF . [一点通]用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．6.如下图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：平面EGF ∥平面ABD .证明：如下图，由条件知BA ，BC ，BB 1两两互相垂直，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由条件知B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，E (0,0,3)，F (0,1,4)，设BA ＝a ，那么A (a,0,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，4.所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，1，EF ＝(0,1,1)．法一：∵1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0， 所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .因BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .又1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0.所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF ，又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EFG ，可知平面EGF ∥平面ABD . 法二：设平面EGF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EF ＝0，n 1·EG ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z ，令y ＝1，那么n 1＝(0,1，－1)．设平面ABD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BA ＝0，n 2·BD ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z ，令y ＝1，那么n 2＝(0,1，－1)．所以n 1＝n 2.所以平面EGF ∥平面ABD .7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F . 证明：建立空间直角坐标系如图，那么有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，那么n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，那么y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1. 又因为FC 1⃘平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)∵11C B ＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1．平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体中的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．2．用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行．(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直． (3)面面平行转化为平面法向量的平行．[对应课时跟踪训练九]1．向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，假设l 1∥l 2，那么( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.答案：D2．l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，那么m ＝( )A ．－8B ．－5C ．5D ．8解析：∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.答案：A3．假设两个不同平面π1，π2的法向量分别为n 1＝(1,2，－2)，n 2＝(－3，－6,6)，那么( )A ．π1∥π2B ．π1⊥π2C ．π1，π2相交但不垂直D ．以上均不正确解析：∵n 1＝－13n 2，∴n 1∥n 2，∴π1∥π2.答案：A4．平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，假设α∥β，那么λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6 D.103解析：∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行， ∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6. 答案：B5．两直线l 1与l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－3，－2)，v 2＝(－3,9,6)，那么l 1与l 2的位置关系是________．解析：∵v 2＝－3v 1， ∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．答案：平行或重合6．假设平面π1的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且π1∥π2，那么y ＋z ＝________.解析：∵π1∥π2，∴n 1∥n 2.∴－36＝y －2＝2z .∴y ＝1，z ＝－4. ∴y ＋z ＝－3. 答案：－37.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．证明：直线MN ∥平面OCD .证明：作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．那么A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，0. MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－2， OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 那么n ·＝0，n ·OD ＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)． ∵MN ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，∴MN ⊥n . 又M N ⃘平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .8．如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：依题意，建立如下图的空间直角坐标系，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，那么A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，1BA ＝(－1,0,1)，BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，12.设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，那么由n ·1BA ＝0，n ·BE ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件，又B 1(1,0,1)，所以1B F ＝(t －1,1,0)．而B 1F ⃘平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔1B F ·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .第二课时 空间向量与垂直关系[对应学生用书P31]用空间向量证明线线垂直[例1] 直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点，在DD 1上存在一点N ，使MN ⊥DC 1，试确定N 点位置．[思路点拨] 此题中DA ，DC ，DD 1两两垂直，故可以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．可设出点N 坐标后利用方程MN ·1DC ＝0，进行求解．[精解详析] 建立空间直角坐标系，如图．那么C 1(0,2,3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，0，D (0,0,0)，∴1DC ＝(0,2,3)． 设点N (0,0，h )，那么MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h . ∵MN ⊥DC 1，那么MN ·1DC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h ＝0.∴h ＝43，那么N ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，43.故N 点在DD 1上且|DN |＝43时，有MN ⊥DC 1.[一点通]用向量法证明两直线互相垂直时，可以证明两直线的方向向量a ，b 的数量积为零，即a·b ＝0.假设图形易于建立空间直角坐标系，那么可用坐标法进行证明，否那么可用基向量分别表示a ，b 后进行证明．1．如图，长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .求证：AD ⊥BM .证明：因为平面ADM ⊥平面ABCM ，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点，∴AD ＝DM ，取AM 的中点O ，连接OD ，那么DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连接ON ，那么ON ⊥AM ，以O 为原点建立如下图的空间直角坐标系，根据条件，得A ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，2，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22，那么AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，BM ＝(0，－2，0)，所以AD ·BM ＝0，故AD ⊥BM . 2．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，BB 1＝6，M 为CC 1中点，求证：AM ⊥BA 1.证明：如图，建立空间直角坐标系，那么B (0,0,0)，C (1,0,0)，A (0，3，0)，B 1(0,0，6)，A 1(0，3，6)，C 1(1，0，6)．∵M 为CC 1的中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，62. ∴AM ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，62，1BA ＝(0，3，6)．∴AM ·1BA ＝1×0－3＋62×6＝0. ∴AM ⊥1BA ，即AM ⊥BA 1.用空间向量证明线面垂直[例2] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC .[思路点拨] 欲证B 1O ⊥平面PAC ，只需证明1B O 与平面PAC 内的两条相交直线都垂直，1B O 与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可．[精解详析] 如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，那么A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0，2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)． 于是1OB ＝(1,1,2)，AC ＝(－2,2,0)，AP ＝(－2,0,1)．由于1OB ·AC ＝－2＋2＝0，1OB ·AP ＝－2＋2＝0.所以OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP .又AC 面PAC ，AP 面PAC ，且AC ∩AP ＝A ， 所以OB 1⊥平面PAC . [一点通]用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理．3.如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：建立如下图坐标系，令正方体的棱长为1，那么A (1,0,0)，B 1(1，1,1)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1，那么1AB ＝(0,1,1)，AC ＝(－1,1,0)，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12.法一：令平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·1AB ＝0，n ·AC ＝0，得：⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－y ，x ＝y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－1)＝－2⎝⎛⎭⎪⎫－12，－12，12＝－2EF ，∴n ∥EF ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：∵EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12，1B A ＝(0，－1，－1)，1B C ＝(－1,0，－1)，又EF ·1B A ＝0，EF ·1B C ＝0， ∴EF ⊥B 1A ，EF ⊥B 1C又B 1C ∩B 1A ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .4．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，以O 为原点，，1OO ，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系，那么B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，∴1AB ＝(1,2，－3)，BD ＝(－2,1,0)，BA 1―→＝(－1,2，3)． ∵1AB ·BD ＝－2＋2＋0＝0，1AB ·1BA ＝－1＋4－3＝0，∴1AB ⊥BD ，1AB ⊥1BA . 即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1.又BD ∩BA 1＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BD .用空间向量证明面面垂直[例3] 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E ，F 分别是AC ，AD 的中点．求证：平面BEF ⊥平面ABC .[思路点拨] 此题可建立空间坐标系后，证明面BEF 内某一直线的方向向量为面ABC 的法向量；也可分别得出两面的法向量，证明法向量垂直．[精解详析] 建立空间直角坐标系如图，设AB ＝a ，那么BD ＝3a ，于是A (0,0，a )，B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，a 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，法一：可得EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0，BA ＝(0,0，a )，BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0， ∴EF ·BA ＝0，EF ·BC ＝0. 即EF ⊥AB ，EF ⊥BC .又AB ∩BC ＝B ，∴EF ⊥平面ABC . 又EF 平面BEF ，∴平面ABC ⊥平面BEF . 法二：∵∠BCD ＝90°，∴CD ⊥BC . 又AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD . 又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . ∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0为平面ABC 的一个法向量． 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·EF ＝0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0＝0. ∴x ＝y .由n ·BF 0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2＝0， 有32ay ＋a2z ＝0，∴z ＝－3y . 取y ＝1，得n ＝(1,1，－3)． ∵n ·＝(1,1，－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0＝0， ∴n ⊥.∴平面BEF ⊥平面ABC . [一点通]用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向量互相垂直．5．：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．求证：平面DEA ⊥平面A 1FD 1.证明：建立空间直角坐标系如图．令DD 1＝2，那么有D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A (2,0,0)，A 1(2，0,2)，F (0,1,0)，E (2,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面DEA ，平面A 1FD 1的法向量，那么n 1⊥DA ，n 1⊥DE .∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1，y 1，z 1·2，0，0＝0，x 1，y 1，z 1·2，2，1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＋z 1＝0.令y 1＝－1，得n 1＝(0，－1,2)．同理可得n 2＝(0,2,1)． ∴n 1·n 2＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0，知n 1⊥n 2. ∴平面DEA ⊥平面A 1FD 1.6.如图，ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点．求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.证明：法一：取AB 1的中点M ， 那么DM ＝DC ＋CA ＋AM . 又因为DM ＝1DC ＋11C B ＋1B M ， 两式相加，得2DM ＝CA ＋11C B ＝CA ＋， 由于2DM ·1AA ＝(CA ＋)·1AA ＝0，2DM ·AB ＝(CA ＋)·(－CA )＝||2－|CA |2＝0，所以DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ， 又AA 1∩AB ＝A ，所以DM ⊥平面ABB 1A 1，而DM 平面AB 1D . 所以平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.法二：如图建立空间直角坐标系，取AB 的中点E ，连接CE ，由题意知CE ⊥平面ABB 1A 1.由图知，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫3a 4，a 4，0，B 1(0,0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，A ⎝⎛⎭⎪⎫3a 2，a 2，0， ∴＝⎝⎛⎭⎪⎫34a ，－34a ，0，1B A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，－a ，1B D ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，－a 2.设平面AB 1D 的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·1B A ＝0，n ·1B D ＝0，即⎩⎨⎧x ＝3y ，z ＝2y ，令y ＝1，那么n ＝(3，1,2)． 又·n ＝34a －34a ＝0，∴⊥n .∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.垂直问题包括：直线与直线的垂直，常用两直线的方向向量的数量积为0来判断；直线与平面的垂直，常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为简单．[对应课时跟踪训练〔十〕]1．假设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，那么( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．不确定解析：∵直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)， ∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0. ∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2. 答案：B2．假设直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面π的法向量为n ＝(－3,0，－6)，那么( )A ．l ∥πB ．l ⊥πC ．l πD ．l 与π斜交解析：a ＝－13n ，∴a∥n ，∴l ⊥π.答案：B3．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 等于( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1解析：建立如下图的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a .那么B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y,0)，那么BF ＝(－1，y,0)，PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF ·PE ＝0，解得y ＝12，那么F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 答案：B4．AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，假设AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，那么向量BP ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，－3C.⎝⎛⎭⎪⎫407，－2，－3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，407，－3 解析：AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，由BP ·AB x －1＋5y ＋6＝0，且BP ―3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：A5．a ＝(1,2,3)，b ＝(1,0,1)，c ＝a －2b ，d ＝m a －b ，假设c ⊥d ，那么m ＝________. 解析：∵c ＝a －2b ，∴c ＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)， ∵d ＝m a －b ，∴d ＝m (1,2,3)－(1,0,1)＝(m －1,2m,3m －1)． 又c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(－1,2,1)·(m －1,2m,3m －1)＝0， 即1－m ＋4m ＋3m －1＝0，∴m ＝0. 答案：06．在直角坐标系O －xyz 中，点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，假设直线OP 与直线OQ 垂直，那么x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ 0.即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π37.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：如下图，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心．故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0， 且PA ＝()a ，0，－a ，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a2.∴PA ＝2EG ，那么PA ∥EG . 又EG 平面EDB 且P A ⃘平面EDB . ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB ·DE ＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD .8.三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如下图，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 证明：如图，建立空间直角坐标系，那么A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)， ∵D 为BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)．∴1AA ＝(0,0，3)，AD ＝(1,1,0)，BC ＝(－2,2,0)，1CC ＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA ＝0，n 10，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，那么x 1＝1，z 1＝0， ∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ＝0，n 20，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，那么x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.。

科目：教师：授课时间：第周星期年精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力. 四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计2.学案导学（学案详见附1）知识要点：(1)空间向量的有关概念空间向量的概念及表示自由向量向量的模(或长度)④向量a,b的夹角、X围及垂直与平行(共线)⑤单位向量⑥零向量⑦相等向量⑧相反向量⑨共面向量(2)向量、直线、平面激励主动学习，培养自主探究能力.(1)对于让学生感受到维度改变(平面到空间)对概念产生的影响，培养类比的意识；对于④⑤⑥⑦⑧让学生感受直接由平面向量类比得到空间向量的相关概念所得到的成就感；对于⑦结合数量适时引出“向量不能比较大小”的结论；对于④直线l的方向向量平面α的法向量适时回顾区分向量与异面直线的夹角概念的区别,对于⑦引出“空间任何两个向量都共面”的结论.(2)对于直线的方向向量与平面的法向量主要由教师随后引导完成概念教学.5.教师引导性讲解向量、直线、平面直线l的方向向量平面 的法向量借助多媒体向同学引入直线的方向向量和平面的法向量的概念，并且完成问题(7)(8).八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.。

第二章空间向量与立体几何教材解析本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．需注意：（1）根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系.（2）通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）.（3）对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．（4）通过例题，引导学生对解决立体几何问题的二种方法（向量方法、坐标法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．课时安排2．1 从平面向量到空间向量 1课时2．2 空间向量的运算 1课时2．3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3课时2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示2.3.2 空间向量基本定理2.3.3 空间向量运算的坐标表示2．4 用向量讨论垂直与平行 1课时2．5 夹角的计算 3课时2.5.1 直线间的夹角2.5.2 平面间的夹角2.5.3 直线与平面的夹角2．6 距离的计算 1课时小结 1课时§2.1从平面向量到空间向量§2.2空间向量的运算§2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示§2.3.2向量基本定理§2.3.3空间向量运算的坐标表示§2.4用向量讨论垂直与平行§2.5.1直线间的夹角授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人李春侠学习目标用向量求直线间的夹角重点难点用向量求直线间的夹角学习过程与方法自主学习：①两直线共面时夹角概念②两直线异面时夹角③精讲互动（1）课本43页例1（2）如图1，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．错误!未找到引用源。

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