高三数学周练(9.15)
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高三数学周末随堂练习（.9.15）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1.已知复数z 的实部为1，虚部为2-，则13iz+的虚部为 ．1 2.已知tan 2α=，则sin()cos()sin()cos()παπααα++--+-＝ . 33.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 . [-1，3]4.某为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s 随机选择了50名学生进行调查，下图是这50名学生百米成绩的频率分布直 方图.根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在[13,15]（单位：s ）内的人数大约是 . 1205．先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为m ，n ，设向量),(n m a =，则满足5||<a 的概率为 .3613 6.设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭c ，由小到大为 . c b a ,, 7.右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．75008.设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列 的四个命题：（1）若,m n m α⊥⊥，则//n α；（2）若,,n m αβ⊂⊂α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直； （3）若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥； （4）若//,,//,m n n ααβ⊥则m β⊥.其中，所有真命题的序号是 ． （3）（4） 9.已知函数x x x f 2)(2-=，[,]x a b ∈的值域为[－1， 3 ]， 则b a -的取值范围是 .[2,4]10.如图，在平面四边形ABCD 中，若3,2AC BD ==， 则()()+⋅+=AB DC AC BD .511.若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 . 412.如果二次方程 20(,x px q p q --=∈*N ) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有A第10题D B开始结束是否100k ≥3s s k←+1,0k s ←←S输出2k k ←+7第题图___________个. 713.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是左右焦点，l 是右准线，若椭圆上存在点P ，使1||PF 是P 到直线l 的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是__________．14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的等差数列{}n a 及任意的正整数n 都有不等式22212n n S a a n λ+≥成立，则实数λ的最大值为 ． 15二、解答题15．（本小题满分14分）设ABC ∆的三个内角C B A ,,对边分别是c b a ,,，已知sin a A =. （1）求角B 的大小 ；（2）若A 是ABC ∆的最大内角，求A C B sin 3)cos(++的取值范围．15．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理，得sin sin a bA B =，又因为sin a A =，所以sin B B =，所以tan B =， 又因为0πB << ， 所以π3B =． （2）在△ABC中，πB C A+=-，所以cos()cos B C A A A +=-=π2sin()6A -， 由题意，得π3≤A ＜2π3 ， π6≤π6A -＜π2， 所以sin(π6A -)1[,1)2∈，即 2sin(π6A -)[1,2)∈， 所以A CB sin 3)cos(++的取值范围[1,2)．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，090BAD ∠=，3AD BC =，O 是AD 上一点．（1）若//CD PBO 平面，试确定点O 的位置； （2）求证:PAB PCD ⊥平面平面．OPDCBA第16题17．（本小题满分14分）如图，已知椭圆22:195x y C +=的左顶点、右焦点分别为A 、F ，右准线为l ，N 为l 上一点，且在x 轴上方，AN 与椭圆交于点M .（1）若AM MN =，求证：AM MF ⊥；（2）设过,,A F N 三点的圆与y 轴交于,P Q 两点，求PQ17．⑴证明：由已知，(3,0),(2,0)A F -，设9(,)(0)2N t t >则3(,)42tM 在椭圆22:195x y C +=上，得t =；3(4M ∴29332AM AN k k ∴===+，4324MF k ==-1AM MF k k ∴⋅=-，即AM MF ⊥；⑵解：设圆方程为220x y dx ey f ++++=，将,,A F N 两点坐标代入得：219305542048192042d d f d fe t tf t d et f ⎧=-⎧⎪-+=⎪⎪⎪++=⇒=--⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪++++=⎩⎩， ∴圆方程为2255()204x y x t y t+--+-=，令0x =，得：220y ey +-=， 设12(0,),(0,)P y Q y ，12||||PQ y y ∴=-=∴PQ 的最小值为18. (本小题满分16分) 已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为常数，且0>a . （1）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线121+=x y 垂直，求a 的值； （2）若函数()f x 在区间[1，2]上的最小值为21，求a 的值.解：2221()1'()x a x a x a f x x x x x x----=+=-=(0x >) （1）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线121+=x y 垂直， 所以'(1)-2f =，即12, 3.a a -=-=解得 (2)当01a <≤时，'()0f x >在（1，2）上恒成立， 这时()f x 在[1，2]上为增函数min ()(1)1f x f a ∴==-当12a <<时，由'()0f x =得，(1,2)x a =∈对于(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1，a]上为减函数，对于(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ，2]上为增函数，min ()()ln f x f a a ∴==当2a ≥时，'()0f x <在（1，2）上恒成立，这时()f x 在[1，2]上为减函数，min ()(2)ln 212af x f ∴==+-. 综上，①当01a <≤时，min ()1f x a =-0≤ ②当12a <<时，min ()ln f x a =，令21ln =a ，得e a =③当a ≤2时，min()ln 212a f x =+-212ln >≥综上，e a =19．（本小题满分16分）在下表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列．正数ij a 表示位于第i 行第j 列的数，其中8124=a ，142=a ，16554=a ．（1） 求q 的值； （2）求ij a 的计算公式；（3）设数列}{n b 满足nn n a b =，}{n b 的前n项和为n S ，试比较n S 与)1(5116++=n n T n )(*N n ∈的大小，并说明理由.19．解：（1）设第4列公差为d ，则161381165252454=-=--=a a d ． 故411611655444=-=-=d a a ，于是4142442==a a q ．由于0>ij a ，所以0>q ，故21=q ． （2）由于各列成等差数列，故在第4列中，i i d i a a i 161)2(16181)2(244=-+=-+=． 由于第i 行成等比数列，且公比21=q ， 所以，j j j i ij i i q a a )21()21(161444=⋅=⋅=--．（3）由（2）可知n nn n a )21(=．即n n n b )21(=．所以n n b b b b S ++++= 321.即n n n n n S )21()21()1()21(3)21(2211132⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ， 故1432)21()21()1()21(3)21(2)21(121+⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S ． 两式相减，得132)21()21()21()21(2121+⋅-++++=n n n n S11)21()21(1)21(211])21(1[21++--=---=n n n n n n ，所以nn n n n n S 22222121+-=--=-． 因为0212)3()42(2222321111>+=+-+=++-+-=-++++n n n n n n n n n n n S S （)*∈N n 所以数列}{n S )(*∈N n 是递增数列. 同理)2)(1(5)2)(116()1)(176()1(5116)2(511)1(61++++-++=++-+++=-+n n n n n n n n n n T T n n0)2)(1(55<++-=n n )(*∈N n 所以}{n T )(*∈N n 是递减数列.容易计算813,811,1,214321====S S S S ， 57,2029,1523,10174321====T T T T 显然11T S <，22T S <，33T S <，44T S > 所以当3≤n 时，n n T S <；当3>n 时，n n T S >. 20．（本小题满分16分）已知函数()f x 的图像在],[b a 上连续不断，定义：1()min{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，2()max{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，其中min{()/}f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最小值，max{()/}f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数)(x f 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（1）若()cos ,[0,]f x x x π=∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（2）已知函数2(),[1,4],f x x x =∈-试判断)(x f 是否为[-1，4]上的“k 阶收缩函数”， 如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由；（3）已知0b >，函数32()3,f x x x =-+是[0，b]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. 20. 解：（1）由题意可得：1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈.（221,[1,0)()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩221,[1,1)(),[1,4]x f x x x ∈-⎧⎪=⎨∈⎪⎩， 22121,[1,0)()()1,[0,1),[1,4]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩当[1,0]x ∈-时，21(1),1,2;x k x k x k -≤+∴≥-≥当(0,1)x ∈时，11(1),,1;1k x k k x ≤+∴≥∴≥+ 当[1,4]x ∈时，2216(1),,.15x x k x k k x ≤+∴≥≥+ 综上所述，165k ≥.即存在4k =，使得)(x f 是[-1，4]上的“4阶收缩函数”.（32()363(2)f x x x x x '=-+=--令()0f x '=得0x =或2x =. 函数()f x 的变化情况如下：令()0f x =得0x =或3x =.（i ）当2b ≤时，()f x 在[0,]b 上单调递增，因此，322()()3f x f x x x ==-+，1()(0)0f x f ==.因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的“二阶收缩函数”，所以，①21()()2(0)f x f x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立； ②存在[0,]x b ∈，使得21()()(0)f x f x x ->-成立.①即：3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，由3232x x x -+≤解得01x ≤≤或2x ≥. 要使3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤. ②即：存在[0,]x b ∈，使得2(31)0x x x -+<成立.由2(31)0x x x -+<解得0x <x <<所以，只需b >.1b <≤.（i i ）当23b <≤时，()f x 在[0,2]上单调递增，在[2,]b 上单调递减，因此，2()(2)4f x f ==，1()(0)0f x f ==，21()()4,0f x f x x x -=-=，显然当0x =时，21()()2(0)f x f x x -≤-不成立.（i i i ）当3b >时，()f x 在[0,2]上单调递增，在[2,]b 上单调递减，因此，2()(2)4f x f ==，1()()0f x f b =<，21()()4()4,0f x f x f b x x -=->-=，显然当0x =时，21()()2(0)f x f x x -≤-不成立.综合（i ）（i i ）（i i i 1b <≤.。
