线性分组码
8.3.1 基本概念
分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k），通常它用于前向纠错。在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种分组码就称为线性分组码。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择M=个码组（k
线性分组码是建立在代数群论基础之上的，各许用码的集合构成了代数学中的群，它们的主要性质如下：
（1）任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模二和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；
（2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。
在8.2.1节中介绍的奇偶监督码，就是一种最简单的线性分组码，由于只有一位监督位通常可以表示为（n,n-1），式（8-5）表示采用偶校验时的监督关系。在接收端解码时，实际上就是在计算：
（8-6）
其中， … 表示接收到的信息位，表示接收到的监督位，若S＝0，就认为无错；若S＝1就认为有错。式（8-6）被称为监督关系式，S是校正子。由于校正子S的取值只有“0”和“1”两种状态，因此，它只能表示有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。
设想如果监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式（8-6）的监督关系式，计算出两个校正子和， 而共有4种组合：00，01，10，11，可以表示4种不同的信息。除了用00表示无错以外，其余3种状态就可用于指示3种不同的误码图样。
同理，由r个监督方程式计算得到的校正子有r位，可以用来指示-1种误码图样。对于一位误码来说，就可以指示-1个误码位置。对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n - k位的分组码（常记作（n，k）码），如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能，则要求：
线性分组码编码分析与实现
第一章 线性分组码的基本概念与特点
1.1 线性分组码的定义：
线性分组码是一种具有线性结构的编码方式，采用矩阵运算的方式实现数据的编码和解码。
1.2 线性分组码的特点：
（1）码字长度相同
（2）编码和解码具有线性性质
（3）具有很强的纠错和检错能力
（4）编码和解码过程中没有死区
（5）对于大量数据的编码和解码工作具有很高的效率
1.3 线性分组码的模型：
线性分组码的模型由3部分组成：
（1）信息部分 （2）校验部分
（3）生成矩阵
第二章 编码和解码的实现原理
2.1 编码的实现原理：
（1）将数据划分为信息部分和校验部分
（2）利用生成矩阵将信息部分和校验部分按照一定的规则进行编码
（3）产生码字
2.2 解码的实现原理：
（1）接收到码字，并划分为信息部分和校验部分
（2）建立校验矩阵
（3）根据校验矩阵的摆放方式进行解码
（4）恢复原始数据
第三章 线性分组码的具体实现
3.1 编码的具体实现步骤：
（1）确定数据长度和校验长度
（2）生成矩阵的构建
（3）信息部分和校验部分按照一定的规则进行编码
（4）产生码字
3.2 解码的具体实现步骤：
（1）接收到码字，并划分为信息部分和校验部分
（2）建立校验矩阵
（3）根据校验矩阵的摆放方式进行解码
（4）恢复原始数据
第四章 线性分组码的应用
4.1 线性分组码在通信领域的应用：
（1）在通信过程中往往会出现误码和丢包现象，利用线性分组码可以增强数据传输的可靠性 （2）线性分组码可以应用于数字语音、数字视频、加密通信等领域，提高通信的效率和安全性
4.2 线性分组码在计算机网络领域的应用：
（1）在计算机网络领域，线性分组码可以应用于数据校验和错误纠正，提高数据传输的可靠性和稳定性
（2）线性分组码可以应用于TCP/IP协议中，提高数据传输的效率和安全性
第五章 线性分组码的发展趋势
5.1 智能化：
线性分组码的智能化发展趋势是将其与人工智能、大数据处理等技术相结合，实现自动化编码和自动化解码，提高编码和解码的效率。
线性分组码与循环码
1．线性分组码的概念
线性分组码是指信息位和监督位满足一组线性代数方程式的分组码。其中分组码（n，k）满足条件
式中，r＝n－k为监督位数。
2．线性分组码的原理
（1）监督矩阵
①监督矩阵的表示形式
式中，H为r×n阶监督矩阵；A为分组码构成的1×n阶矩阵。
②监督矩阵的典型式
式中，P为r×k阶矩阵；Ir为r×r阶单位方阵。
（2）生成矩阵
式中，G为k×n阶生成矩阵；Q为k×r阶矩阵，是P的转置，即
由生成矩阵可以产生整个码组
式中，A0为由分组码的信息位构成的1×k阶矩阵。
3．线性分组码的检验
（1）检验计算
式中，S称为校正子；B为接收码组。
（2）检验规则
①若为0，代表该位无错码；
②若为1，代表该位有错码。
4．线性分组码的性质
（1）封闭性
线性分组码的任意两个码组之和仍为这种码中的一个码组。
（2）最小码距
最小码距就是码组的最小重量（全“0”码组除外）。
六、循环码
1．循环码的原理 （1）循环码的定义
循环码是指除了具有线性码的一般性质外，还具有循环性的码，即任一码组循环一位以后，仍为该码中的一个码组的编码方式。
（2）循环码的特点
a．编码和解码设备简单；
b．检（纠）错的能力较强。
（3）循环码的运算
①循环码的代数表示
将码组中各码元当作是一个多项式的系数，即把一个长度为n的码组表示成
式中，x仅是码元位置的标记，该多项式称为码多项式。
②码多项式的按模运算
一个长为n的循环码必为按模（xn＋1）运算的一个余式，即
式中，的作用是将代表的许用码组向左循环移位次得到许用码组。
③循环码的生成矩阵
循环码的生成矩阵G可以写成
式中，g(x)为循环码的生成多项式。
④循环码的生成多项式
（n，k）循环码的生成多项式g(x)必须是一个常数项不为“0”的（n－k）次多项式且是的一个因子。如（7，3）循环码的生成多项式g(x)为
2．循环码的编解码方法
（1）循环码的编码方法 ①用xn－k乘信息码元多项式m(x)；
《信息论》课程讲义（第六章）
6-1 第六章 线性分组码
纠错编码(FEC)主要分为分组码和卷积码两大类，这一章主要介绍分组码。
6-1 汉明码(Hamming Code)
汉明码是一种基本的线性分组码。
6-1-1 线性分组码的定义
分组码是一种代数编码，它的基本关系一个码字包括独立的信息元和监督元，其监督元与信息元之间是一种代数关系，如果这种代数关系为线性的则称为线性分组码。分组码的编码器的模型为：
[m]= (mk,mk-1,…m0) [C]=(cn-1,cn-2,…,c0)
[m]为编码器的输入，称为信息码元（信息位），它由k位码元组成。[C]为编码器的输出，称为码字矢量，它由n位码元组成，其中有k位信息元，r=n-k位监督元。对于二元编码来说，k位信息码元共有2k个不同组合，根据编码器为一一对应关系，输出的码字矢量也应当有2k种码字。对于长度为n的二元序列来(n-重)说，共有2n个可能的码字矢量，编码器只是在这2n个可能码矢中选择2k个码字，被选中的2k个n-重称为许用码字，其余的2n-2k个码字称为禁用码字，称这2k个码字矢量的集合为(n,k)分组码。 Encoder 《信息论》课程讲义（第六章）
6-2
[线性分组码定义]：长度为n，有2k个码字的分组码，当且仅当这2k个码字是GF(2)上n维矢量空间（所有n重）的一个k维子空间时，称为(n,k)线性分组码，简称(n,k)码。
二元分组码为线性分组码的充要条件为两个码字的模二加也是一个码字。
由于k维子空间是在模2加法下运算的，构成了一个加法交换群（阿贝尔群），所以线性分组码也称为群码。
线性分组码的一个重要参数为码率(Code rate)：R=k/n; 它实际上也就是编码效率或传输效率。
如果(n,k)码位信息位没有变化，与信息码元排列相同，并且与监督位分开，称为系统码，否则称为非系统码。
