下载文档原格式
线性分组码与循环码1．线性分组码的概念线性分组码是指信息位和监督位满足一组线性代数方程式的分组码。
其中分组码（n，k）满足条件式中，r＝n－k为监督位数。
2．线性分组码的原理（1）监督矩阵①监督矩阵的表示形式式中，H为r×n阶监督矩阵；A为分组码构成的1×n阶矩阵。
②监督矩阵的典型式式中，P为r×k阶矩阵；I r为r×r阶单位方阵。
（2）生成矩阵式中，G为k×n阶生成矩阵；Q为k×r阶矩阵，是P的转置，即由生成矩阵可以产生整个码组式中，A0为由分组码的信息位构成的1×k阶矩阵。
3．线性分组码的检验（1）检验计算式中，S称为校正子；B为接收码组。
（2）检验规则①若为0，代表该位无错码；②若为1，代表该位有错码。
4．线性分组码的性质（1）封闭性线性分组码的任意两个码组之和仍为这种码中的一个码组。
（2）最小码距最小码距就是码组的最小重量（全“0”码组除外）。
六、循环码1．循环码的原理（1）循环码的定义循环码是指除了具有线性码的一般性质外，还具有循环性的码，即任一码组循环一位以后，仍为该码中的一个码组的编码方式。
（2）循环码的特点a．编码和解码设备简单；b．检（纠）错的能力较强。
（3）循环码的运算①循环码的代数表示将码组中各码元当作是一个多项式的系数，即把一个长度为n的码组表示成式中，x仅是码元位置的标记，该多项式称为码多项式。
②码多项式的按模运算一个长为n的循环码必为按模（x n＋1）运算的一个余式，即式中，的作用是将代表的许用码组向左循环移位次得到许用码组。
③循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵G可以写成式中，g(x)为循环码的生成多项式。
④循环码的生成多项式（n，k）循环码的生成多项式g(x)必须是一个常数项不为“0”的（n－k）次多项式且是的一个因子。
如（7，3）循环码的生成多项式g(x)为2．循环码的编解码方法（1）循环码的编码方法①用x n－k乘信息码元多项式m(x)；②用g(x)除x n－k m(x)，得到商Q(x)和余式r(x)，即③令编出的码组为（2）循环码的解码方法①检错a．检错方法在接收端将用原生成多项式g(x)除接收码组B(x)。
线性分组码8.3.1 基本概念是一组固定长度的码组，可表示为（n, k），通常它用于前向纠错。
在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。
在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。
当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种分组码就称为。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择M=个码组（k<n）组成一种码。
这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。
线性分组码是建立在代数群论基础之上的，各许用码的集合构成了代数学中的群，它们的如下：（1）任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模二和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；（2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。
在8.2.1节中介绍的奇偶监督码，就是一种最简单的线性分组码，由于只有一位监督位通常可以表示为（n,n-1），式（8-5）表示采用偶校验时的监督关系。
在接收端解码时，实际上就是在计算：（8-6）其中，…表示接收到的信息位，表示接收到的监督位，若S＝0，就认为无错；若S＝1就认为有错。
式（8-6）被称为监督关系式，S是校正子。
由于校正子S的取值只有“0”和“1”两种状态，因此，它只能表示有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。
设想如果监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式（8-6）的监督关系式，计算出两个校正子和，而共有4种组合：00，01，10，11，可以表示4种不同的信息。
除了用00表示无错以外，其余3种状态就可用于指示3种不同的误码图样。
同理，由r个监督方程式计算得到的校正子有r位，可以用来指示-1种误码图样。
对于一位误码来说，就可以指示-1个误码位置。
对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n - k位的分组码（常记作（n，k）码），如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能，则要求：（8-7) 下面通过一个例子来说明的。
第3章线性分组码第3章线性分组码第3章线性分组码第3章线性分组码章3.1 线性分组码的基本概念 3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵 3.3 伴随式与标准阵列及其它译码 3.4 线性码的覆盖半径 3.5 由一个已知码构造新码的简单方法 3.6 用多个已知码构造新码的方法 3.7 线性码的重量分布与译码错误概率3.8 线性码的纠错能力1第3章线性分组码第3章线性分组码3.1 线性分组码的基本概念线性空间是一个非空集合, 是一个数域, 在集合V 设V是一个非空集合 P 是一个数域在集合中定义了一种代数运算，叫做加法即对在V 加法: 义了一种代数运算，叫做加法即对在中都存在唯记为：一的一个元素λ, 一的一个元素，称λ为α与β的和，记为：的λ = α + β ;在P与V的元素之间还定义了一种运算，的元素之间还定义了一种运算，与的元素之间还定义了一种运算叫做数量乘法数量乘法：叫做数量乘法：即α ∈ V , k ∈ P , 中都存在唯一的一个元素δ与它们对应在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称δ为中都存在唯一的一个元素与它们对应，为 k与α 的数量乘积，记为δ = kα . 如果加法和数量乘法数量乘积，还满足下述规则，则称V 为数域P上的线性空间：上的线性空间还满足下述规则，则称为数域上的线性空间：第3章线性分组码第3章线性分组码3.1 线性分组码的基本概念加法满足下列四条规则：加法满足下列四条规则：α , β , γ ∈ V ① α + β = β +α ② (α+ β ) + γ = α + ( β + γ ) 中有一个元素0, ③ 在V中有一个元素，对α ∈ V , 有α + 0 = α 中有一个元素都有V中的一个元素中的一个元素β ④ 对α ∈V , 都有中的一个元素β,使得具有这个性质的元素0称为称为V的零元素) (具有这个性质的元素称为的零元素)α + β = 0 ;(β称为α 的负元素) 负元素)第3章线性分组码第3章线性分组码3.1 线性分组码的基本概念数量乘法满足下列两条规则 : ⑤ 1α = α ⑥ k ( lα ) = ( kl )α 数量乘法与加法满足下列两条规则：数量乘法与加法满足下列两条规则：⑦ ( k + l )α = kα + lα ⑧ k (α + β ) = kα + k β第3章线性分组码第3章线性分组码3.1 线性分组码的基本概念线性空间的性质零元素是唯一的负元素是唯一的，负元素是唯一的，α ∈ V 关于0元素有关于元素有0α = 0, k 0 = 0, ( 1)α =α , - α唯一k (α β ) = kα k β如果如果kα =0,那么 =0或α =0. ,那么k= 或第3章线性分组码第3章线性分组码3.1 线性分组码的基本概念线性分组码定义[n, k]线性分组码是GF(q)上的n维线性空间中的一个k 维子空间。
