概率论与数理统计教程华东师大茆诗松版第三章

密度函数的关系:在 f ( x, y) 的连续点处，有
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
例: 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
kx 0 x y 1 f ( x, y) . 0 其他
求:(1)常数 k;
解 (1)由

(2)
( (,) X YG ) P ( 证 P ( x x , yy ) ) i j
x x , y y i j
P ( xx , y y ) p i j i j
( x , y ) G i j ( x , y ) G i j
例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取 一个值,令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取 一个值.求 （X， Y） 的联合分布律及 P( X 3, Y 2) .
1 2 2 x 1, y 1 f ( x, y) x y , 0 其它
求 ( X , Y ) 的联合分布函数.
(x ,y ) f ( uvd , )u d v 解 由 F
x y
当 x 1 或 y 1 时, f (x, y) 0 则
F(x, y) 0
y x
当x>1,y>1时,
1 1 1 F ( x ,) y f ( u ,) v d u d v d u d v ( 1) ( 1 ) 2 2 u v x y 1 1
1 1 ( 1 ) ( 1 ) x 1 , y 1 y F (x ,y ) x 0 其 它
§2 二维连续性随机变量
§2.1二维随机变量的联合分布函数
定义: 设(X,Y) 为二维随机变量,对任意实数 x,y,二 元函数

2 2 1 x , 1≤x≤1, f X ( x) π 0, 其它. 可见, 得到以下的关系:
fX (x) fY (y)≠f(x,y). 因此, X与Y不相互独立. 讲评 此题是连续型随机变量的独立性
问题. 在第四章的不相关问题中还要用此题 上页 下页 返回 .
1 1 21 2
21 2 1 2
, 从而ρ = 0.
上页 下页 返回
综上所述, 得到以下的重要结论:
定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与
Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0. 讲评: 随机变量的独立性往往由实际问题确定. 在
独立的情况下, 边缘分布唯一确定联合分布, 这
样就将多维随机变量的问题转化为一维随机变
量的问题. 所以独立性是非常值得重视的概念
之一.
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2. n维随机变量的相关理论
关于多个随机变量的有关理论, 可
由二维随机变量的一些概念推广得到. n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数定义 为 F(x1, x2,…, xn)=P{ X1≤x1, X2≤x2, …, Xn≤xn}, 其中x1, x2,…, xn为任意实数. 若存在非负函数f (x1, x2,…, xn), 使得对于 任意实数x1, x2,…, xn有如下的关系:
第三章 多维随机变量及其分布
3.3 随机变量的独立性
第三章 多维随机变量及其分布
3.3 随机变量的独立性
内容简介:随机变量的独立性是研究两个 或几个随机变量之间的影响关系. 独立性是 概率论与数理统计中的一个很重要的概念， 同时也是非常实用的方法, 它是由随机事件 的相互独立性引申而来的. 我们重点学习如 何判定独立性.
试证X与Y相互独立的充要条件是ρ = 0. 证 由例3.1.6知道,边缘概率密度fX(x)和 fY(y)的乘积为

1 x 1,
16
0,
其它.
五、二维正态分布
exp{ x } e x
若 ( X,Y ) 的概率密度为
f (x, y)
1
exp{ 1 [(x 1 )2
2 1 2 1 2
2(1 2 )
2 1
2 (x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 ]}, x, y (, )
1 2
0, 其它 .
-1
fY ( y )
f ( x, y )dx
1 1 y2
2
1 y2
dx
1 y2 ,
1 y 1,
0, 当1 y 1时，fY ( y ) 0
其它.
fX Y( x y)
f ( x,y )
2
1 1 y2
,
fY ( y ) 0, 其它 .
1 y2 x
1 y2 ,
f
(
1 x2 ,
例3. 设数X在区间(0,1)上随机地取值, 当观察到
X=x(0<x<1)时, 数Y在区间(x, 1)上随机地取值,
求Y的概率密度.
解:
按题意,
X~fX
(x)
1, 0 x 1, y 0, 其它,
又在X x条件下, Y的条件分布概率密度 1 y=x
1 (1-x), x y 1,
0.004 0.001
P{Y 1|X 1} 0.010 / 0.045 P{Y 2|X 1} 0.005 / 0.045.
用表格形式表示为:
k
0
1
2
P{Y=k|X=1} 6/9 2/9 1/9
例2：(X,Y)的联合分布律为
已知：P(Y 1| X 1) 0.5

A. ➢互不相容： A 和 B不可能同时发生.
例1.1.1
口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？
解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;. 2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数.
• 排列讲次序，组合不讲次序.
• 全排列：Pn= n! • 0! = 1.
• •
重选复排排列：列Pn：r n(rn
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
事件的表示
➢在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A.
➢维恩图 ( Venn ). ➢事件的三种表示
用语言、用集合、用随机变量.
1.1.5 事件间的关系
➢包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发
生. ➢相等关系: A = B A B 而且 B
5. 试用A、B、C ห้องสมุดไป่ตู้示下列事件：
① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC
④ 至少有一个出现；A B C
⑤ 至多有一个出现；ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC
⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现；AB AC BC
A A不发生、对立事件 A的余集
注意点(1)
基本事件互不相容，基本事件之并
=ΩA A A
A A Ω
A A
A A
A
A
AB A B
B