电磁场与电磁波第9讲静电场的边值问题

φ=0 h r2
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
qq
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其

r e ez z ，故
在圆柱面坐标系中，取 E 0与x轴方向一致，即 E 0 e E ，而 x 0
r r r r ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
由此解得
C1
利用边界条件，有
x 0 处， 1 (0) 0 2 (a) 0 x a处， x b 处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x 0 x x b
所以 D 0 1 C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2 C2 C1 S 0 0
故单位长度的电容为
l
U

0
ln ( D a)
F/m
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
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例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体
间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 ll， ll 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于
导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面 4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
En en E s /
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
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任何两个导体都可看作一点容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • • • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以

a）高斯定律的微分形式
（真空中） E v 0
（电介质中） E v v 0
代入v P ,得

E

1 0
(v
P)
(0E P) v
定义电位移矢量（ Displacement） D 0E P 则有 D 电介质中高斯定律的微分形式

2 0l
ln R2
R1
3) 球形电容器
Q
E 40r 2
R2
R1
U＝ Q
4 0
R2 R1
dr＝ Q
r2 4 0

1 R1

1 R2

C0

Q U1 U2


4 0
R1 R2 R2 R1

15
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.1 E 和 D 的边界条件
q q 0 得 q q 4 R0
于是，


q
4
1 R

1 R


q4 来自1x2 y2 (z h)2
1


x2 y2 (z h)2
R

1
40
＝8.99 109 (m)

103
Re
12
§3.3 静电场中的导体
二、两个导体的电容
Q
ssds
nˆ Eds
s
E ds
s
B
U A E dl l E dl
C Q ＝ sE ds U E dl
求电容的两条途径 l
折射定律
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安培环路定律1）真空中的安培环路定律在真空的磁场中，沿随意回路取 B 的线积分，其值等于真空的磁导率乘以穿过该回路所限制面积上的电流的代数和。

即2）一般形式的安培环路定律在随意磁场中，磁场强度 H 沿任一闭合路径的线积分等于穿过该回路所包围面积的自由电流（不包含磁化电流）的代数和。

即B( 返回顶端 )边值问题1）静电场的边值问题静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类界限条件下，求电位函数的泊松方程() 或拉普拉斯方程() 定解的问题。

2）恒定电场的边值问题在恒定电场中，电位函数也知足拉普拉斯方程。

好多恒定电场的问题，都可归纳为在必定条件下求拉普拉斯方程 () 的解答，称之为恒定电场的边值问题。

3）恒定磁场的边值问题（ 1）磁矢位的边值问题磁矢位在媒质分界面上知足的连接条件和它所知足的微分方程以及场域上给定的界限条件一同构成了描绘恒定磁场的边值问题。

关于平行平面磁场，分界面上的连接条件是磁矢位 A 所知足的微分方程（ 2）磁位的边值问题在平均媒质中，磁位也知足拉普拉斯方程。

磁位拉普拉斯方程和磁位在媒质分界面上知足的连接条件以及场域上界限条件一同构成了用磁位描绘恒定磁场的边值问题。

磁位知足的拉普拉斯方程两种不一样媒质分界面上的连接条件界限条件1．静电场界限条件在场域的界限面S 上给定界限条件的方式有：第一类界限条件( 狄里赫利条件，Dirichlet)已知界限上导体的电位第二类界限条件（聂以曼条件Neumann)已知界限上电位的法导游数( 即电荷面密度或电力线)第三类界限条件已知界限上电位及电位法导游数的线性组合静电场分界面上的连接条件和称为静电场中分界面上的连接条件。

前者表示，分界面双侧的电通量密度的法线重量不连续，其不连续量就等于分界面上的自由电荷面密度；后者表示分界面双侧电场强度的切线重量连续。

电位函数表示的分界面上的连接条件和，前者表示，在电介质分界面上，电位是连续的；后者表示，一般状况下, 电位的导数是不连续的。