第1章习题解答
1.4 计算下列标量场u 的梯度u ∇：
（1）234
u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）2
2
2
323u x y z =-+。
解：（1） 34224233234x
y z x y z u u u
u e e e e xy z e x y z e x y z x y z
∂∂∂∇=++=++∂∂∂ （2）()()()x
y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ∂∂∂∇=++=+++++∂∂∂ （3）646x
y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z
∂∂∂∇=++=-+∂∂∂ 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导
数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x
y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ∂∂∂∇=++=+++∂∂∂ 因为410x
y z x y z
A
f f f
f
e e e e e e x y z
∂∂∂∇=++=++∂∂∂
所以
()
max
410117l x y z f
e e e e l ∂==++∂
()
min
410117l x y z f e e e e l
∂==-++∂
1.10 求下列矢量场在给定点的散度值：
（1）()
x y z A xyz e x e y e z =++在()1,3,2M 处； （2）2
42x y z A e x e xy e z =++在()1,1,3M 处；
（3）()()1222x y z A e x e y e z
x y z =++++在()1,1,1M 处。
解：（1） 222636y x z
M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z
∂∂∂∇⋅=
++=++=∇⋅=∂∂∂ （2）42212y x z
M A A A A x z A x y z ∂∂∂∇⋅=
++=++
∇⋅=∂∂∂
（3）y x z
A A A A x y z
∂∂∂∇⋅=
++∂∂∂ (
)(
)(
)
2222
2222
2222
3
3
3
x y z x x y z
y x y z z ++-++-++-=
+
+
=
M
A
∇⋅=
1.15 求下列矢量场在给定点的旋度：
（1）222x y z A e x e y e z =++在()1,0,1M -处； （2）x y z A e yz e zx e xy =++在()2,1,3M 处； （3）()
x y z A e e e xyz =++在()1,1,1M -处。
解：（1）00x y z M x
y z
e e e A A x y z
A A A ∂
∂∂
∇⨯=
=∇⨯=∂∂∂
（2）00x y z M x y z
e e e A A x y z
A A A ∂
∂∂
∇⨯=
=∇⨯=∂∂∂
（3）()()()0x y z x y z M x
y
z
e e e A e xz xy e xy yz e yz xz A x y z
A A A ∂
∂∂
∇⨯=
=-+-+-∇⨯=∂∂∂
