2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：
)
0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。
解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则
21=r ，32=r ，23=r 。
利用点电荷的场强公式r e E 2
04r
q πε=
，其中r e 为点电荷q 指向场点
P 的单位矢量。那么，
1q 在P 点的场强大小为0
2
1
011814πεπε=
=
r q E ，方向为
()z y
r e e
e +-
=2
11。
2q 在P 点的场强大小为0
2
2
022121
4πεπε=
=
r q E ，方向为
()z y x
r e e e
e ++-
=3
12。
3q 在P 点的场强大小为0
2
3
033414πεπε=
=
r q E ，方向为y r e e -=3
则P 点的合成电场强度为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-
=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε
2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-⨯C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。试求：①P 点的电位；②将电量为6102-⨯C 的点电荷由无限远
处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。
解 根据叠加原理，P 点的合成电位为
()V 105.24260⨯=⨯
=r
q πεϕ
因此，将电量为C 1026
-⨯的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ϕ
2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度
πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。
解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷l l d ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的y E 分量，即
习题图2-4
习题图2-6
φπερsin 4d d d 2
0a l
E E l y =
=
考虑到φρρφsin ,d d 0==l a l ，代入上式求得合成电场强度为
y y a
a e e E 000
2008d sin 4ερ
φφπερπ
==⎰
2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<>=a r a
qr a r r q
, ,2
r e E 试求球内外各点的电位。 解 在a r <区域中，电位为
()()
a
q
r a a q r a
a r
r
+-=
⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞
∞222d d d r E r E r E ϕ 在a r >区域中，()r
q r r
=
⋅=⎰
∞
r E d ϕ
2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=a r r
a a r r
, ,253r e E
试求空间的电荷密度。
解 利用高斯定理的微分形式0
ερ
=
⋅∇E ，得知在球坐标系中 ()()
r E r r
r r 2
2
0d d 1εερ=⋅∇=E 那么，在a r ≤区域中电荷密度为
()()
205
2
5d d 1r r r
r r εερ== 在a r ≥区域中电荷密度为
()()
0d d 15
2
==a r
r r ερ 2-17 若在一个电荷密度为ρ，半径为a 的均匀带电球中，存在一个半径为b 的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d ，试求空腔中的电场强
度。
解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为a 的整个球内充满电荷密度为ρ的电荷，则球内P 点的电场强度为
r e E r P 0
32013 3441
ερρππε==
r r 式中r 是由球心o 点指向P 点的位置矢量，
再设半径为b 的球腔内充满电荷密度为ρ-的电荷，则其在球内P 点的电场强度为
r e E r
P '-='''-
=0320233441
ερ
ρππεr r 式中r '是由腔心o '点指向P 点的位置矢量。
那么，合成电场强度P P E E 21+即是原先空腔内任一点的电场强度，即
()d r r E E E P P P 0
02133ερερ
='-=
+= 式中d 是由球心o 点指向腔心o '点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。
2-19 已知内半径为a ，外半径为b 的均匀介质球壳的介电常数为ε，若在球心放置一个电量为q 的点电荷，试求：①介质壳内外表面上的束缚电荷；②各区域中的电场强度。
解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理
习题图
2-17
