数学本质·认识论·数学观—简评“对数学本质的认识”

小学数学学科的本质是什么？小学数学学科的本质是什么？——摘自《小学数学课堂的有效教学》在共同的教学实践诊断、交流、研讨中，一线小学数学教师也真正意识到自身最欠缺的正是对数学书课本质的把握。

那么，数学学科本质是什么呢？落实到小学阶段有哪些呢？这是一个非常具有挑战性的问题，要解决好这个问题不仅需要研究者能从高角度上对数学有所把握，还需要研究者对小学数学的教学内容、教学定位以及学生的认知水平、心理特征等都有所了解。

对这一问题我们有一个初步的思考（主要限于小学阶段），还很不成熟，提出来与同行共同商榷。

数学学科本质1：对基本数学概念的理解小学阶段所涉及的数学概念都是非常基本、非常重要的，“越是简单的往往越是本质的”，因此对小学阶段的基本数学概念内涵的理解是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观、真正使“情感、态度、价值观”目标得以实施的载体。

基本概念教学非常重要，学生经历不同的“学习过程”将导致学生对概念教学非常重要，学生经历不同的“学习过程”将导致学生对概念的理解达到不同水平，对此请见《小学教学（数学版）》2007年第2期上《让学生获得什么样的基础知识》一问。

所谓“对基本数学概念的理解”是指了解为什么要学习这一概念，这一概念的现实原型是什么，这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么以这一概念为核心是否能构建一“概念网络图”。

小学数学的基本数学概念主要有：十进位值制、单位（份）、用字母表示数、四则运算；位置、变换、平面图形；统计观念。

数学学科本质2：对数学思想方法的把握基本数学概念背后往往蕴涵重要的数学思想方法。

数学的思想方法极为丰富，小学阶段主要设计哪些数学的思想方法呢？这些思想方法如何在教学中落实呢？我们的基本观点是：在学习数学概念和解决问题中落实。

小学阶段的重要思想方法有：分类思想、转化思想（叫“化归思想”可能更合适）、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。

数学的本质和应用数学是一门研究数量、结构、变化等概念的学科，是人们认识和掌握自然科学及其应用技术的重要工具。

数学的本质在于理解和发现模式、规律以及解决问题的方法。

数学的应用则是在科学、工程、经济、社会等领域解决实际问题的过程中，发挥了重要作用。

一、数学的本质数学的本质在于探究事物的本质规律、通过模型抽象表现事物、设计算法解决问题。

数学的各种概念、公理、定义、定理、算法等都是在数学家长期的思考和研究中得到的精美产物。

数学的本质一方面在于培养严谨的思维能力、逻辑能力、数学思维和创造力，另一方面在于为人类认识世界、解决实际问题提供了基础。

例如，数学家通过数学上的证明，证明了勾股定理的正确性，并不是简单得到勾股定理的解答，而是通过一种特定的方法叫做“证明”，从基础原理出发，用几何图形证明了定理的正确性。

这种数学家在数学上提出的严格而有效的证明方式，长期以来受到了全世界数学界的高度赞誉与推崇。

因为这种证明方式严格而有效，不需要人们的直觉和直接体验就能以高准确率的方式证明定理的正确性。

数学的本质为我们提供了一个思考的框架，它使得我们可以用抽象的方法来制定并解决各种问题。

二、数学的应用数学的应用领域较为广泛，从技术应用到社会实践，几乎是无所不包。

以现代科学技术领域为例，网络通信、计算机科学、工程技术等都极大地依赖于数学的发展与应用。

网络通信：网络通信是指将不同条件下的终端设备通过互联网进行连接并进行信息共享、消息传递和资源共享的技术。

网络通信技术非常复杂，需要运用许多高级数学方法和算法，如傅里叶变换，多边形曲线拟合算法等，这些方法都是由数学家研究出来并应用到实践中的。

计算机科学：计算机科学是强相关于数学的一门科学。

计算机科学与数学紧密地相互关联，特别是在算法设计与分析、图像处理与计算机视觉、编译技术与自然语言处理等方向。

很多数学家通过对计算机算法及计算机解决问题过程的研究为计算机科学及其应用做出了极大贡献。

工程技术：自古以来，工程技术领域就需要采用大量数学知识和方法。

数学的定义是什么？数学的本质是什么？数学的定义是什么？数学的本质是什么？⼀⼀百多年前，⼀位叫恩格斯的德国⼈给数学下了⼀个定义：数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。

我相信这个德国⼈在中国的知名度远远超过他在母国的知名度。

导师嘛！⾔归正传，我们今天谈的是数学，那么恩格斯的数学⽔平究竟如何呢，如何评价他给出的这个数学的定义呢？⼆从传记资料来看，恩格斯是⾃学过微积分的，但没有资料表明他学得有多深⼊。

从他对微积分的理解来看，他还是⾮常纠结微分，⽆穷⼩量等的⽭盾和逻辑问题，甚⾄想从辩证法的⾓度来解读这些东西。

很明显，他没有接触他那个时代正在轰轰烈烈开展的分析严格化运动，尤其是实数和极限理论。

也就是说，他对微积分的理解还停留在⽜顿，莱布尼茨时代。

所以他只能算是⼀个⽐较⾼级的数学爱好者！我们再来看看，恩格斯关于数学的定义：数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。

不可否认，这个定义确实很精练，概括了数学的数与形两个⽅⾯。

不过在恩格斯的时代，集合论，群论，Galois理论，各种结合代数理论等数学理论早已远远突破了数与形的狭⼩范围。

恩格斯作为⼀位⾼级的数学爱好者，不太可能指望他接触这些当时⽐较前沿的数学理论。

也就是说，这个关于数学的定义，其实在恩格斯那个时代，就已经过时了！三，今天，经过⼀百多年的发展，中间历经多次⾰命，运动和⾥程碑的突破发展，数学整门学科早已沧海桑⽥。

即使是现在的中学数学教育的内容，也已经突破了数与形的狭⼩范围。

令⼈觉得不可思议的是，到了今天，在国内，恩格斯的这个关于数学的定义还在被⾮常正式地使⽤。

⽐如⾼中新课标，第⼀句话就是数学是研究空间形式和数量关系的科学这是要拿这个完全过时的定义来开宗明义吗？四，有⼈可能会说，既然这个定义过时了，那你能否给出⼀个更好的定义。

这其实涉及到另⼀个问题：数学的本质是什么？要想给出⼀个关于数学的好的定义，⼀定要触及到数学的本质。

有⼈认为，数学是⼀套⼈为规定的语⾔、符号系统；有⼈认为，数学是关于推理的学科。

对数学本质特征的若干认识什么是数学？这是任何一个数学教育工作者都应认真摸索的问题。

只有对数学的本质特点有比较清晰的认识，才能在数学教育研究中把握正确的方向。

1、数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。

”自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是通过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。

数学既能够来自现实世界的直截了当抽象，也能够来自人类思维的能动制造。

2、从人类社会的进展史看，人们对数学本质特点的认识在不断变化和深化。

“数学的根源在于一般的常识，最显著的例子是非负整数。

"欧几里德的算术来源于一般常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，关于数的科学探究还停留在一般的常识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体进展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发觉得如此之早，“就象是大生的。

”因此，19世纪往常，人们普遍认为数学是一门自然科学、体会科学，因为那时的数学与现实之间的联系专门紧密，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐步占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到进展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。

与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A. N. Wh iiehead，186----1947）在《数学与善》中说，“数学的本质特点确实是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学关于明白得模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。

”1931年，歌德尔（K，G0de1，1978）不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，如此，人们又想到了数学是体会科学的观点，闻名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和体会科学两种特性。