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小学阶段数与代数领域落实新课标精神的教学策略1 领会课标精神明确教学方向新课程标准价值取向、基本理念、课程目标、课程内容、评价方式。
2、把握数学本质实现数学理解“数学本质”的内涵：(张奠宙教授)数学的内在联系，数学规律的形成过程，数学思维方法的提炼，数学理性精神的体验。
基于数学理解的单元主题教学数学理解的本质含义数学理解：是指学生积极主动地通过分析、推理、判断、解释、抽象、概括、表征、综合等活动，把数学所学与已有知识和经验建立联结，获得数学学科本质及其思维方式的认识，形成认知结构的过程。
理解不是孤立的认知，而是与学生的情绪、态度、意志品质等其他心理因素密切相关。
，相互影响，相辅相成。
体现结构化特征的课程内容（小学阶段）数与符号的认识、数的运算、数量关系、图形的认识与测量、图形的位置与运动、数据的收集、整理与表达、随机现象发生的可能性。
核心概念和核心素养表现数与运算主题核心概念和核心素养表现点统领教学:“数与运算”主题大致有以下几核心概念：位置制。
数的抽象用数字符号及其所在位置(数位)进行表达。
计数单位。
计数单位是数的表达所用的更一般的概念。
相加、相等、运算律。
(马云鹏教授)“数的运算”主题核心素养表现点：数感、符号意识、运算能力、推理意识等。
“数量关系”主题核心概念和核心素养表现点统领教学核心概念体现的学科本质的一致性，促进知识与方法的迁移，达到举一反三的效果，提高教学效率。
数量关系主题重点是通过实际情境中数量关系的分析解决问题。
从这个意义上理解，数量关系主题大致有以下几个核心概念。
加法模型和乘法模型、相等、比。
(马云鹏教授)“数量关系”主题核心素养表现点：模型意识、初步的应用意识等。
01 种子课02 生长课03 主题活动、项目学习种子课种子课是知识技能基础的课、是数学思想方法渗透的课、是知识结构联结的课，即承载数学学科核心知识技能、数学思想方法和数学核心素养的关键课。
共筛选50节种子课。
3 掌握教学策略发展核心素养数与运算”主题教学基本策略以数的运算为主题，最大的问题是如何在教学活动中体现数与运算的一致性。
张奠宙对数学本质的阐述
数学是一门追求真理的学科，而数学本质是其追求真理的核心。
在数学史上，
许多数学家都尝试过阐述数学的本质，其中张奠宙的观点也具有重要意义。
张奠宙是中国著名数学家，他对数学本质的阐述可以追溯到20世纪50年代。
他认为，数学本质在于表达抽象概念和规律，并通过逻辑推理进行证明和解决问题。
他注重数学的内在结构和逻辑推理的规范性。
根据张奠宙的观点，数学的本质包含两个关键要素：抽象和逻辑推理。
抽象是
数学的基础，通过将具体事物抽象为符号和概念来描述数学对象。
这种抽象使得数学能够研究和处理各种不同的问题，忽略细枝末节，从而更好地理解和解决问题。
逻辑推理是数学的思维方式，通过逻辑关系和推理规则来建立数学推导和证明。
逻辑推理使得数学推理过程更加准确和可靠，确保数学结论的正确性。
这种逻辑思维也是数学家解决问题的重要方法，帮助他们发现问题的本质，并找到解决途径。
张奠宙还强调数学本质与实际应用之间的紧密关系。
尽管数学具有抽象性和理
论性，但它也能应用于实际问题解决。
数学是科学和技术的基础，它在物理学、工程学、经济学等领域的应用被广泛认可。
总而言之，张奠宙对数学本质的阐述强调了抽象和逻辑推理的重要性。
数学的
本质在于表达抽象概念和规律，通过逻辑推理来解决问题。
数学的应用也是其本质的重要体现，它在现实世界中的广泛应用赋予了数学以更大的意义和价值。
数学的本质是什么数学的本质是什么？这是一个让人深思的问题。
数学是一门研究数量、结构、变化及空间等概念的学科，它为各种学科提供了基础工具，是我们认识世界和解决问题的重要手段。
然而，数学的本质究竟是什么呢？数学具有抽象性。
数学研究的对象不是具体的物质或现象，而是抽象的概念和结构。
例如，数学中的“数”是一个抽象概念，它代表了一般意义上的数量和数量关系。
同样，几何学中的“点”、“线”、“面”等概念也是抽象的。
数学的这种抽象性使得它能够描述和探索现实世界中各种不同现象的共性和规律性。
数学具有逻辑性。
数学的研究建立在严密的逻辑基础上，每一个结论都需要经过严格的证明才能成立。
数学的这种逻辑性使得它的结论具有高度的可靠性和普适性。
例如，欧几里得几何学是一个建立在公理体系上的逻辑系统，它的所有结论都是经过严格证明的。
第三，数学具有广泛的应用性。
数学为各种科学和技术领域提供了基础工具，例如物理学、化学、工程学、经济学等。
数学的广泛应用性使得它成为现代社会中不可或缺的一部分。
无论是自然科学还是社会科学，都需要用到数学的概念和方法来解决各种问题。
数学具有美学价值。
数学的美在于其简洁、对称、和谐和普遍性。
例如，欧拉公式e^(iπ)+1=0体现了数学中的简洁性和普遍性，它用最简单的方式表达了复数的基本性质。
数学的这种美学价值使得它成为人们追求智慧和真理的重要途径之一。
数学的本质是一种抽象的、逻辑的、广泛应用的和具有美学价值的学科。
它不仅为我们认识世界提供了基础工具，也为我们解决问题和创新提供了重要的思路和方法。
在人类社会的发展进程中，教育始终扮演着至关重要的角色。
它既是知识的传承与普及，也是智慧的开启与创新。
然而，随着时代的变迁和社会的发展，教育的本质也在不断地被人们重新审视和思考。
那么，教育的本质究竟是什么呢？教育是一种人类社会的需求。
人类作为社会性动物，需要通过学习和交流来适应不断变化的社会环境。
教育不仅是满足这种社会需求的重要手段，也是推动社会进步和发展的重要力量。
数学的本质和应用数学是一门研究数量、结构、变化等概念的学科，是人们认识和掌握自然科学及其应用技术的重要工具。
数学的本质在于理解和发现模式、规律以及解决问题的方法。
数学的应用则是在科学、工程、经济、社会等领域解决实际问题的过程中，发挥了重要作用。
一、数学的本质数学的本质在于探究事物的本质规律、通过模型抽象表现事物、设计算法解决问题。
数学的各种概念、公理、定义、定理、算法等都是在数学家长期的思考和研究中得到的精美产物。
数学的本质一方面在于培养严谨的思维能力、逻辑能力、数学思维和创造力，另一方面在于为人类认识世界、解决实际问题提供了基础。
例如，数学家通过数学上的证明，证明了勾股定理的正确性，并不是简单得到勾股定理的解答，而是通过一种特定的方法叫做“证明”，从基础原理出发，用几何图形证明了定理的正确性。
这种数学家在数学上提出的严格而有效的证明方式，长期以来受到了全世界数学界的高度赞誉与推崇。
因为这种证明方式严格而有效，不需要人们的直觉和直接体验就能以高准确率的方式证明定理的正确性。
数学的本质为我们提供了一个思考的框架，它使得我们可以用抽象的方法来制定并解决各种问题。
二、数学的应用数学的应用领域较为广泛，从技术应用到社会实践，几乎是无所不包。
以现代科学技术领域为例，网络通信、计算机科学、工程技术等都极大地依赖于数学的发展与应用。
网络通信：网络通信是指将不同条件下的终端设备通过互联网进行连接并进行信息共享、消息传递和资源共享的技术。
网络通信技术非常复杂，需要运用许多高级数学方法和算法，如傅里叶变换，多边形曲线拟合算法等，这些方法都是由数学家研究出来并应用到实践中的。
计算机科学：计算机科学是强相关于数学的一门科学。
计算机科学与数学紧密地相互关联，特别是在算法设计与分析、图像处理与计算机视觉、编译技术与自然语言处理等方向。
很多数学家通过对计算机算法及计算机解决问题过程的研究为计算机科学及其应用做出了极大贡献。
工程技术：自古以来，工程技术领域就需要采用大量数学知识和方法。
理解初中数学的本质数学作为一门学科，无论是在初中阶段还是在更高的学术领域，都具有其独特的本质。
理解初中数学的本质，既有助于学生在学习过程中更好地掌握数学知识，也能够培养他们对数学的兴趣和思维能力。
初中数学的本质首先体现在其严谨的逻辑性上。
数学作为一门科学，追求精确性和严谨性。
在初中阶段，学生开始接触到严谨的数学证明和推理。
通过学习数学定理和公式的推导，学生学会了编写数学证明，培养了逻辑思维和严谨性。
掌握初中数学的本质，意味着了解到数学不仅仅是简单的计算和运算，更是一种推理和证明的方法。
这种严谨的逻辑性让学生在数学学习中培养了思考问题、解决问题的能力，这些能力也对其他学科和日常生活具有重大的影响。
其次，初中数学的本质体现在其抽象概念与实际问题的联系上。
数学在初中阶段开始引入了一些抽象概念，如方程、函数、平面几何等。
这些概念对初中学生来说可能比较抽象和难以理解，但实际上数学中的这些概念都是从实际问题中抽象出来的。
初中数学的本质就是要让学生明白数学是对于客观世界的一种描述和解释，通过抽象和数学模型的建立，将实际问题转化为数学问题进行解决。
通过学习初中数学，学生逐渐意识到数学并不是一些无关紧要的知识，而是与生活密切相关的工具和语言。
初中数学的本质还体现在培养学生的问题解决能力和创造性思维上。
数学学科强调的不仅仅是计算和运算的结果，更重要的是培养学生解决问题的能力。
初中数学的学习过程中，学生需要面对各种各样的问题，并通过运用数学知识和方法来解决。
这种解决问题的过程，培养了学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及创造性思维。
初中数学的本质就是让学生尝试寻找不同的解决路径和方法，从而培养他们思考问题的灵活性和创造性。
最后，初中数学的本质还包括培养学生的数学思维和数学语言能力。
数学思维是指通过数学方法来进行思考问题的能力，它强调的是逻辑、抽象和推理的能力。
通过学习初中数学，学生在解决问题的过程中逐渐培养了数学思维能力。
高中数学的核心素养
高中数学的核心素养包括数学知识的深度理解、数学思维的培养以及解决实际问题的能力。
以下是高中数学的核心素养的一些方面：
1. 概念的深度理解：理解数学概念的本质，而非仅仅记住公式和定义。
对于代数、几何、微积分等各个领域的基本概念和定理有深刻的理解。
2. 逻辑推理能力：培养逻辑思维和推理能力，能够合理地分析和解决问题。
能够正确使用数学语言陈述、证明和推理。
3. 抽象思维：能够将实际问题抽象为数学问题，并在数学领域中进行有效的操作。
理解和运用数学的抽象性，将其应用到不同的领域。
4. 问题解决能力：具备独立分析和解决实际问题的能力。
能够将抽象的数学概念应用到实际生活中，解决实际问题，培养问题意识和解决问题的方法论。
5. 数学模型的建立和运用：能够运用数学知识建立数学模型，解释和预测实际问题。
了解数学在各种科学和工程领域中的应用，培养数学思维和实际问题解决能力。
6. 合作与沟通：具备团队协作和沟通的能力，能够与他人分享数学思想、讨论问题，并协同解决复杂问题。
7. 学科知识的整合：能够将代数、几何、概率与统计等不同领域的知识进行整合，形成全面的数学素养。
8. 数学表达和符号运用：能够清晰、准确地使用数学语言和符号，正确表达数学思想，进行数学计算和证明。
高中数学的核心素养旨在培养学生全面发展的数学思维，使其在学术、工作和日常生活中能够灵活运用数学知识，具备解决各类问题的能力。
如何理解数学数学作为一门学科，已经存在了很长一段时间，然而很多人依旧对数学感到困惑、恐惧、无奈。
我们常常可以听到身边人抱怨：数学为什么这么难？它有什么用？实际上，数学是一种思维方式，是一种独特的语言和工具，我们需要用一种正确的方式去看待数学。
在本文中，笔者将分别从“数学的本质”、“数学的工具”、“数学的应用”和“数学的魅力” 四个方面来探讨如何理解数学。
一、数学的本质数学是一门纯粹的学科，是关于数量、结构、变化和空间的研究。
从某种程度上说，数学不需要与现实世界产生联系。
与其说是一门科学，不如说是一种思维方式。
数学的基础是逻辑和证明。
学习数学，就是学习如何用准确的语言进行思考和表述。
数学的思维是推导式的思维，推导式是一种通过推理来达成结论的思维方式。
它不具备任何主观的偏见，推理出来的结果是客观的。
这种思维方式不仅可以运用在数学领域，更可以应用到其他学科中。
掌握数学的思维方式，可以帮助我们更好地分析问题、解决问题。
二、数学的工具数学是一种灵活的工具。
从某种意义上来说，数学就像一把万能的钥匙，可以打开其他领域的大门。
我们可以使用数学来建立公式、绘制图表、运用计算机模拟现象。
数学还可以帮助我们预测趋势、模拟变化趋势、简化复杂的问题。
它是其他学科的重要支撑。
例如，在物理学中，研究空间的曲率和弯曲需要使用数学中的拓扑学；在生物学中，生物体的复杂结构需要使用数学中的图论。
除此之外，数学还可以引导发现。
通过对某一领域或者现象的公式建立和解决，有可能发现以往从未被注意到过的现象或事实；有时候，一个看起来不相干的公式也可以直接指明一个问题的答案。
三、数学的应用数学在我们生活中存在的方方面面，乃至于我们日常所使用到的一些测量、计算、评价工具和决策系统都是基于数学分析的。
压力传感器、汽车控制、人脸识别，都是数学的应用。
而现代社会中的各种工业、金融科技等行业更是大量运用了数学的方法和工具，这种数学在各个领域的应用，为我们的生活和社会发展带来了很多便利。
数学的学科本质是什么？听了晋江市教师进修学校林老师的讲座，使我对数学有了更深的领悟，更透彻的理解了数学的学科本质。
那么，数学学科的本质是什么呢？落实到小学阶段有哪些呢？这是一个非常具有挑战性的问题。
要解决好这个问题。
不仅需要研究者能从很高的层面对数学有所把握，还需要研究者对小学数学的教学内容、教学定位以及学生的认知水平、心理特征等都有所了解。
1.数学学科本质一：对数学基本概念的理解。
小学阶段所涉及的数学概念都是非常基本、非常重要的，“越是简单的往往越是本质的”。
因此，对小学阶段的数学基本概念内涵的理解是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观，真正使“情感、态度、价值观”目标得以落实的载体。
基本概念教学非常重要，学生经历不同的学习过程将导致学生对概念的理解达到不同水平。
对此见笔者另文《让学生获得什么样的基本知识》（《小学教学》数学版2007年第2期）。
所谓“对数学基本概念的理解”是指了解为什么要学习这一概念，这一概念的现实原型是什么，这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么，以这一概念为核心是否能构建一个“概念网络图”。
小学数学的基本概念主要有：十进位制、单位（份）、用字母表示数、四则运算，位置、变换、平面图形，统计。
2.数学学科本质二：对数学思想方法的把握。
数学基本概念背后往往蕴涵着重要的数学思想方法。
数学的思想方法极为丰富，小学阶段主要涉及哪些数学思想方法呢？这些思想方法如何在教学中落实呢？我们的基本观点是在学习数学概念和解决问题中落实。
小学阶段的重要思想方法有：分类思想、转化思想（叫“化归思想”可能更合适）、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。
3.数学学科本质三：对数学特有思维方式的感悟。
每一学科都有其独特的思维方式和认识世界的角度，数学也不例外，尤其数学又享有“锻炼思维的体操、启迪智慧的钥匙”的美誉。
小学阶段的主要思维方式有：比较、类比、抽象、概括、猜想——验证，其中“概括”是数学思维方式的核心。
论数学的本质林夏水学的本质是一个数学认识论问题。
不同时代的哲学家和数学家都从认识论角度提出不同的理论和观点。
但随着数学的发展又暴露出它们的片面性或性，特别是，当计算机引起数学研究方式的变革时，又提出有关数学本质更深层次的问题，从而推动着人们全面而辩证地认识数学的本质。
、数学认识的一般性与特殊性学作为对客观事物的一种认识，与其他科学认识一样，其认识的发生和发展过程遵循实践——认识——再实践的认识路线。
但是，数学对象（量）殊性和抽象性，又产生与其他科学不同的、特有的认识方法和理论形式。
由此产生数学认识论的特有问题。
学认识的一般性识论是研究认识的本质以及认识发生、发展一般规律的学说，它涉及认识的来源、感性认识与理性认识的关系、认识的真理性等问题。
数学作为对事物的一种认识，其认识论也同样需要探讨这些问题；其认识过程，与其他科学认识一样，也必然遵循实践——认识——再实践这一辩证唯物论的路线。
实上，数学史上的许多新学科都是在解决现实问题的实践中产生的。
最古老的算术和几何学产生于日常生活、生产中的计数和测量，这已是不争的事实。
数学家应用已有的数学知识在解决生产和科学技术提出的新的数学问题的过程中，通过试探或试验，发现或创造出解决新问题的具体方法，或概括出新的公式、概念和原理；当新的数学问题积累到一定程度后，便形成数学研究的新问题（对象）类或新领域，产生解决这类新问题的一般、公式、概念、原理和思想，形成一套经验知识。
这样，有了新的问题类及其解决问题的新概念、新方法等经验知识后，就标志着一门新的数学分科的产生，例如，17世纪的微积分。
由此可见，数学知识是通过实践而获得的，表现为一种经验知识的积累。
时的数学经验知识是零散的感性认识，概念尚不精确，有时甚至导致推理上的矛盾。
因此，它需要经过去伪存真、去粗取精的加工制作，以便上升条理的、系统的理论知识。
学知识由经验知识形态上升为理论形态后，数学家又把它应用于实践，解决实践中的问题，在应用中检验理论自身的真理性，并且加以完善和发展时，社会实践的发展，又会提出新的数学问题，迫使数学家创造新的方法和思想，产生新的数学经验知识，即新的数学分支学科。
个人对数学的理解1. 数学的本质数学是一门普适的科学，它不仅仅存在于我们日常生活的计算中，更是一种思维方式与逻辑推理的艺术。
数学是对人类认知世界的一种强大工具，通过它我们可以揭示世界的规律和本质。
数学被认为是最完美、最精确的科学。
2. 数学的美数学之美在于它的简洁和优雅。
数学语言的简洁和逻辑的严密性使得它成为一门令人着迷的学科。
数学所呈现的美学不仅仅在于它的结构和形式，更在于它的深刻和抽象。
3. 数学教育的重要性数学教育对于培养学生的逻辑思维、抽象思维和解决问题的能力意义重大。
数学教育不仅仅是为了传授计算技能，更是培养学生的思维方式和解决问题的能力。
通过数学教育，学生可以培养自己的创造力和思维能力，这对于学生未来的发展非常重要。
4. 对数学教育的理解数学教育应该注重培养学生的数学兴趣和数学思维，而不仅仅是传授知识。
教师应该注重启发式教学，引导学生主动探索数学知识，培养他们的创造力和解决问题的能力。
数学教育也应该注重与现实生活的联系，使学生能够理解数学在实际中的应用，增强学生对数学的兴趣和学习动力。
总结：数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
数学所呈现的美学和逻辑性使得它成为一门令人着迷的学科。
数学教育的目的不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教师在数学教育中应该注重培养学生的兴趣和思维能力，使他们能够更好地理解和应用数学知识。
个人观点：我认为数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。
数学教育应该注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，这样学生才能在未来的学习和工作中游刃有余。
教师在数学教育中应该注重启发式教学，引导学生主动探索数学知识，培养他们的创造力和思维能力。
数学是一门普适的科学，它存在于我们日常生活的方方面面。
从简单的加减乘除到复杂的微积分和线性代数，数学贯穿着我们的生活和工作。
但数学的本质远不止于此，它是一种思维方式与逻辑推理的艺术，是一种强大工具，可以揭示世界的规律和本质。
数学理解的本质认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征．对知识的理解与知识的表征密切相关，事实上，对一个事物本质的理解，就是指该事物的性质以一定的方式在学习者头脑中呈现并能迅速提取．基于此，我们将理解解释为对知识的正确、完整、合理的表征．根据对数学知识的分类，数学理解应涵盖对陈述性知识、程序性知识及过程性知识的理解等3个方面．(1)对陈述性知识的理解．陈述性知识以命题、表象、线性排序等3种形式作为基本表征单位．命题相当于头脑中的一个观念，一个命题被看作是陈述性知识的最小单元．一个命题不是孤立的，它与其它命题相互联系组成命题网络．表象表征是对事物的知觉特征的保留，是一种连续的，模拟的表征．线性排序是对一系列元素所作的线性次序的编码．在人的知识表征中往往组合了命题、表象及线性排序，从而形成对知识的综合表征—_一图式．Anderson[8]认为：“图式是对范畴的规律性做出编码的一种形式．这些规律性既可以是知觉性的，也可以是命题性的．”显然，图式包容了命题网络，因为命题网络并不对可以知觉的规律性做出编码．Gagne 隅】对图式的特征作了更细致的刻画：①图式含有变量；②图式可按层级组织起来，也可以嵌入另一图式之中；③图式能促进推论．对数学陈述性知识的理解是从知识的基本单元表征，到形成命题网络，再到获得图式的过程．许多学者认为，所谓对一个陈述性数学知识的理解就是在个体头脑中建立了该对象的一个命题网络．这种界定将知觉表征排除在外，有偏颇的一面，笔者认为，对一个陈述性数学知识的理解，是指学习者获得了该对象的图式．(2)对程序性知识的理解．程序性知识是由陈述性知识转化而来的，是陈述性知识的动态成分．与静态的陈述性知识不同，程序性知识以“产生式”这种动态形式来表征．所谓产生式指一条“条件——行动”规则，即一个产生式总是对某一或某些特定的条件满足时才发生的某种行为的一种程序．当一个产生式的行动成为另一个产生式的条件时，这2个产生式便建立了相互的联系，若一组产生式有这种相互联系，便形成一个产生式系统，产生式系统代表了人从事某一复杂行为的程序性知识．对数学知识而言，其二重性表现得尤为突出，这种二重性或称为概念性知识和方法性知识(Hiebert& Carpenter) ，或称为对象和过程(Thompson 等)，其本质就是陈述性知识和程序性知识．一个数学概念既包含结果也包含过程，如“加法”：a+b，既代表2个集合中的元素合并或添加起来的过程，又代表合并或添加后的结果．因而，对数学知识的理解就不仅包括对静态的、结果的陈述性知识的理解，而且还包括对动态的程序性知识的理解．既然程序性数学知识的表征是产生式和产生式系统，因此，程序性数学知识的理解就应解释为学习者对产生式和产生式系统的获得．特别地，我们认为对程序性知识中的策略性知识，其表征是一种双向产生式．双向产生式是一种具有双重功能的指令，它既能指令在具备什么样的条件下会有什么动作，又能指令在不同的情形中选用不同的产生式．换言之，学习者不仅知道“如果⋯那么⋯”，而且还应知道在什么条件下去使用这个“如果⋯那么⋯”．综上所述，学习者对程序性数学知识的理解，是指他建立了双向产生式和产生式系统．(3)对过程性知识的理解．过程性知识与程序知识的共通之处是2者都是动态型知识，但2者的内涵是不同的．其一，过程性知识是指个体对数学知识发生发展过程的体验性知识，当然包含对陈述性知识及程序性知识获得的体验，其动态性贯穿于知识学习的全过程．而程序性知识是进行某项操作活动的程序，它是陈述性知识经过内化而得，其动态性表现在学习过程中的知识应用阶段．其二，程序性知识通过一定量的练习后可以习得甚至形成自动化技能，但过程性知识难以通过练习去习得．其三，程序性知识往往是针对某个知识点而言的，而过程性知识则是关注知识点之间的关系．我们将过程性知识的表征分为2个层面，一是关系表征，二是观念表征．关系表征指个体对知识发展过程中知识之间存在某些关系的体悟．具体地说，它相当于陈述性知识的命题网络中连结命题的连线，以及程序性知识的产生式系统中连结产生式的连线．观念表征则是对知识之间发生关系的缘由的体悟，其成分更多的是一种元认知体验．这2种表征因人而异，不同的学习者对同一对象的关系表征的完善性、观念表征的深刻性都可能不同．综上分析，对过程性知识理解的内核是，学习者形成完善而深刻的关系表征和观念表征．过程性知识（这里即为程序性知识）的认知策略过程性知识告诉我们如何做某件事。
要知道如何做某件事，我们不仅要知道过程的每一步，而且还要知道采取每一步的条件。
过程性知识因此可以被认为是由“如果……那么……”条件陈述句组成的，其形式是：如果某个条件适合，那么就要采取某个行动。
例如，在分数除法中有这样一个过程：如果除以一个分数，那么倒置分数进行乘法，在一个简单的过程中可能只有一个“如果……那么……”陈述句，但在一个相当复杂的过程中，存在着许多这样的步子，这些条件陈述句可能连接在一起，上一步的结果可能成了下一步的条件。
一个复杂的大数目的除法就是这样一个条件陈述句的链条。
过程性知识用于信息的转换，如在除法中，将有关除数和被除数的信息转换成商，过程性知识无论对学校中的还是对日常生活中的基本技能都是至关重要的，成功地执行将一个数字转换成另一个数字、将符号转换成意义这一过程的能力，是学校中任何成功的基础。
过程性知识可分为模式再认知识或动作系列知识两种形式。
（一）模式再认知识模式再认知识涉及对刺激的模式进行再认和分类的能力。
模式再认知识的一个重要的例子是识别某个概念的一个新事例。
比如，再认鲸鱼属于哺乳动物；模式再认知识的第二个重要的例子就是识别符合某个行为的条件或符合应用某个规则的条件，比如，什么时候“倒置分数后相乘”。
和概念一样，模式再认过程是通过概括和分化的过程学习来的。
（二）动作系列知识第二种过程性知识指动作系列知识。
加涅认为，一个动作系列是为了达到某个目标所采取的一系列行为或认知动作，减法中的借位就是一个很好的例子。
动作系列首先是当作构成某个过程的一系列步子来学习的。
学习者必须有意识地执行每一步，一次执行一步，直到过程完成。
一开始，每一步都要有意识地想着去做，这样效率很低。
但是，随着练习，这一过程就会几乎变成自动化。
自动化地执行某个动作系列的好处是腾出工作记忆去完成其他任务，如开动汽车时和乘客交谈，但也可能带来错误，这就是定势效应（set effect），这种定势效应会妨碍处理重要的信息。
比如，从单位骑车回家，忘了到某个商店买东西，这是因为，从单位骑车回家这一动作系列一旦启动，就很难中断。
因此，在教动作系列时，我们要小心避免定势效应带来的错误。
最简单的矫正方法就是只对那些不容易变化或用得比较频繁的过程实现自动化，这样，速度高才有价值。
基本的学业技能如阅读、计算机，书写等过程就要达到自动化水平。
在阅读过程中，当字词的识别、解码等达到自动化后，才能空出工作记忆去完成理解等任务。
在学习某一个过程时，存在两个主要的障碍。
第一个就是工作记忆存贮量的限制。
尤其在学习一个长而又复杂的过程时，困难更大，任何一个过程如果步子长达９步以上，超过短时记忆的容量（７＋２），那么就很难保持在工作记忆中。
为了克服这一局限，可以利用一些记忆辅助手段，如把这些步子写下来给学生。
当然，重要的是成功地完成这一过程，而不是记住这些步子。
第二个潜存的问题就是学生缺少必备的知识，在学习某一过程时，要确保学生已经具备所必需的知识和技能，这一点是非常重要的，俗话说“难者不会，会者不难”。
我们都知道，学习某个过程，刚学时似乎很难，但随着不断地练习，看起来却越来越容易了。
但是，“习拳容易改拳难”，好的动作来自好的练习，对过程的不正确的练习，只会导致这一过程的不正确的执行。
因此，在练习中反馈是必不可少的，并且不仅要找出反应的对错，而且要纠正错误。
下面，我们举一个完整的例子，来说明动作系列的学习过程，看看教师应当如何根据动作系列的学习过程采用相应的学习和教学策略。
假如现在我们要教学生“除数为分数的除法”，那么我们把教学程序分为四个方面：第一，给学生写出这一过程：“颠倒除数，然后相乘”；第二，对学生进行前测，评估学生的必备知识，学生必须知道“颠倒除数”的意义，必须知道如何乘以分数，才能完成这一过程；第三，给学生演示这一过程，并且确保学生每天都做一小会儿练习；第四，对练习给以正确的反馈。
要想确定学生错在哪儿，我们可以用这样三种方法：一种方法，让学生口头描述在解决问题时所采取的每一步，从而解释他们是如何获得一个不正确答案的。
另一种方法是让学生演示他们的作业。
这两种方法都能使我们指出并改正学生解题过程中的错误的步子。
但是，这两种方法并非都能实现，因为，我们是在课后批改作业，学生也不可能都能演示所有的作业。
于是，我们可以采用错误分析的方法，来检查学生的错误，以确定他们在哪儿做错了。
请记住，我们一定要尽快地给学生提供反馈，以便他们停止不正确的练习。
尽管我们分别讨论了模式再认和动作系列过程，但实际上很少将它们截然分开。
正确运用一个动作系列离不开对动作条件的再认，再认条件就是一个模式再认的过程。
同样，过程性知识和陈述性知识也是相互作用的，陈述性知识通常提供过程所需的材料，理解符合某个过程的条件需要陈述性知识，在前面的例子中，学生必须理解“除数”、“倒置”和“÷”的意义才能成功地执行这一过程。
再比如，学生做一个化学实验（过程性知识），他必须知道各种药品的信息（陈述性知识），当他要解决一个化学问题时，既需要陈述性知识，又需要过程性知识。
程序性知识的获得过程根据认知心理学家安德森（J.Anderson,1990)和加涅(E.Gagne et al.,1993)等人的观点，程序性知识的获得通常要包括以下三个阶段：第一阶段：陈述性阶段。
学习者获得有关步骤或程序的陈述性知识。
比如陈述分数加法的规则或者能够描述在驾驶汽车时该如何换档。
在此阶段，学习者对活动的完成是非常艰辛的，需要逐条记忆每一项规则，并缓慢地操作每一步骤。
第二阶段：联合阶段。
在这一阶段，学习者仍需思考各个步骤的规则，但经过练习和接收到的反馈，学习者已能将各个步骤联合起来，流畅地完成有关的活动。
第三阶段：自动化阶段。
随着进一步的练习，学习者最终进入自动化阶段。
在此阶段，学习者常常无需意识的控制或努力就能够自动完成有关的活动步骤。
例如，一个人在开车时可以一边说话，一边流利地换挡，在交通拥挤的路面上连续地改变方向；或者一个学生不用想着分数加法的各项规则就能快速准确地计算分数加法题，表明他们已达到自动化阶段，即获得了有关的程序性知识或技能。
