两角和与差及二倍角公式讲义,例题含答案
- 格式：doc
- 大小：5.30 MB
- 文档页数：8
第1页 共9页 3.3 两角和与差及二倍角公式 3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）
3.3 两角和与差及二倍角公式
一．【复习要求】
1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.
二、【知识回顾】
1．两角和与差的三角函数
sin() ；sin() ；
cos() ；cos() ；
tan() ；tan() ；
2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()中令，可得相应的二倍角公式。
sin2 ；
cos2 = =
tan2 。
3．降幂公式
2sin ； 2cos .
注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用
4．辅助角公式
sincosyaxbx22sin()abx，（其中,ab不能同时为0）
证明：222222(sincos)sincosababxxababyxx
22(cossinsincos)abxx
22sin()abx
其中，22cosaab，22sinbab，tanba且角终边过点(,)ab
在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想
如：sincos ；sincos 。
5.公式的使用技巧
第2页 共9页 3.3 两角和与差及二倍角公式 （1）连续应用：sin()sin[()]sin()coscos()sin
（2）“1”的代换：22sincos1，sin1,tan124
（3）收缩代换：sincosyxx22sin()abx，（其中,ab不能同时为0）
（4）公式的变形：
tantantan()1tantantan()tantantan()tantan
tantantan()1tantantan()tantantan()tantan
如：tan95tan353tan95tan35 。
tan70tan503tan70tan50 。
（5）角的变换（拆角与配角技巧）
22， ()， ()， 1[()()]2，
()44， ()424，1[()()]2，
（6）二倍角公式的逆用及常见变形
二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。
①sin2sincos22；②2222coscossin12sin2cos12222
③22tan2tan1tan2；④21sin2(sincos)；⑤22(sincos)(sincos)2
5．三角函数式的化简
（1）化简方法：①直接应用公式进行降次、消项；②化切为弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。④降幂或升幂
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；
④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
6．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。
7．三角等式的证明
第3页 共9页 3.3 两角和与差及二倍角公式 （1）三角恒等式的证明
根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一、转换命题等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证明
通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系。若从结论开始，通过变形，将已知表达式代入得出结论，采用代入法；若从条件开始，化简条件，将其代入要证表达式中，通过约分抵消等消去某些项，从而得出结论，采用消参法；若这两种方法都证不出来，可采用分析法进行证明。
三．【例题精讲】
考点一、给角求值
例1. 求值：cos20cos103sin10tan702cos40sin20
例2.求值：2[2sin50sin10(13tan10)]2sin80
【反思归纳】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
①化为特殊角的三角函数值 ②化为正负相消的项，消去求值 ③化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值。
考点二、给值求值
第4页 共9页 3.3 两角和与差及二倍角公式 例3.已知tan222,22，求22cossin122sin()4的值.
例4.已知33350,cos(),sin()4445413，求sin()的值
第5页 共9页 3.3 两角和与差及二倍角公式 考点三、给值求角
例5.已知tan()11,tan27，且,(0,)，求2的值.
考点四、三角函数式的化简与证明
例6.已知()1cossin1cossin1sincos1sincosfxxxxxxxxx，且2,2xkkZ
（1） 化简()fx
（2） 是否存在x，使tan()2xfx与21tan2sinxx相等？若存在，求出x；若不存在，说明理由。
第6页 共9页 3.3 两角和与差及二倍角公式
例7.已知5sin3sin(2)，求证：tan()4tan0
【练习】
1. 已知tan2，则2sin2cos21cos
2. 求值：tan20tan60tan60tan10tan10tan20
第7页 共9页 3.3 两角和与差及二倍角公式
3. 在ABC中，已知3cos()45A，则cos2A的值为
4. （08年高考山东卷改编）已知43cos()sin65，则7sin()6=
5. （07年高考江苏卷）若13cos(),cos()55，则tantan
6. （08年江苏卷）如图，在平面直角坐标第xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为225105，，
（1）求tan()的值；
（2）求2的值
第8页 共9页 3.3 两角和与差及二倍角公式
7. 已知、为锐角，向量(cos,sin)a，(cos,sin)b，11(,)22c.
(1) 若231,24abac,求角2的值;
(2) 若abc,求tan的值.
