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二倍角正弦余弦正切的公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)二倍角余弦公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 -2sin²(θ)二倍角正切公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))这些公式是三角函数中的重要定理，可以用于求解各种三角函数的问题。
下面将对这些公式进行推导和证明。
首先，我们先推导二倍角正弦公式。
假设有一个角θ，那么其二倍角为2θ。
可以通过三角函数的和差化积公式推导出二倍角正弦公式。
根据三角函数的和差化积公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)令A=θ，B=θ，则有：sin(2θ) = sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) = 2sin(θ)cos(θ)因此，得到二倍角正弦公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)接下来，我们推导二倍角余弦公式。
同样地，我们仍然使用三角函数的和差化积公式。
根据三角函数的和差化积公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)令A=θ，B=θ，则有：cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ) = cos²(θ) - sin²(θ)又根据三角恒等式sin²(θ) + cos²(θ) = 1，我们可以将上式进一步变形：cos(2θ) = cos²(θ) - (1 - cos²(θ)) = 2cos²(θ) - 1因此，得到二倍角余弦公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) =2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)最后，我们推导二倍角正切公式。
二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。
在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。
接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。
2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。
3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。
使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。
此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。
需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。
当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。
另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。
总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。
3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z . 知识点二 二倍角公式的变形1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2. 降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.1．sin α＝2sin α2cos α2.( √ ) 2．cos 4α＝cos 22α－sin 22α.( √ )3．对任意角α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( × ) 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如当α＝π4及α＝π2时，上式均无意义． 4．cos 2α＝1－cos 2α2.( × )题型一 给角求值例1 (1)计算：cos 2π12－sin 2π12； 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值解 原式＝cos π6＝32. (2)计算：1－tan 275°tan 75°； 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正切的二倍角公式化简求值解 1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值解 原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80° ＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80° ＝122sin 20°sin 80°cos 80° ＝123sin 20°·sin 160° ＝sin 20°23sin 20°＝18. 反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 (1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( ) A.14 B ．－14 C.18 D ．－18考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝⎛⎭⎫－cos 4π7·⎝⎛⎭⎫－cos 2π7 ＝2sin π7cos π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos 4π74sin π7＝sin8π78sin π7＝－18. (2)12－cos 2π8＝ ； 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 －24解析 原式＝12⎝⎛⎭⎫1－2cos 2π8＝－12cos π4＝－24. 题型二 条件求值例2 (1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝ . 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 89解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫132，即sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝89.(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 A解析 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得 cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝⎛⎭⎫342＝42516＝6425. 引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α. 解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19， ∴sin 2α＝－89. 反思感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 (1)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－429B ．－229 C.229 D.429考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值答案 A解析 因为sin(π－α)＝13，所以sin α＝13， 又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429. (2)已知α为第三象限角，cos α＝－35，则tan 2α＝ . 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角正切值答案 －247解析 因为α为第三象限角，cos α＝－35， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－45， tan α＝43，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247.利用二倍角公式化简证明典例 (1)化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用二倍角公式化简证明三角函数式解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ) ＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝2sin θ2cos θ＝tan θ. (2)求证：4sin αcos α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边． [素养评析] (1)三角函数式化简、证明的常用技巧①特殊角的三角函数与特殊值的互化．②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． ③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．(2)通过本例掌握推理的基本形式和规则，学会有逻辑地思考问题，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养.1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos 2x 等于() A ．－14 B.14 C ．－18 D.18考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用公式求二倍角的余弦值答案 D解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝⎛⎭⎫342－1＝18.故选D.2.1－tan 215°2tan 15°等于( ) A. 3 B.33 C ．1 D ．－1考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用公式求二倍角正切值答案 A解析 原式＝12tan 15°1－tan 215°＝1tan 30°＝ 3.3．sin 4π12－cos 4π12等于( )A ．－12 B ．－32 C.12 D.32考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 4．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°等于( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34考点 利用二倍角公式化简求值题点 利用正弦二倍角公式化简求值答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54. 5．求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B . 考点 利用二倍角公式化简求值题点 利用余弦二倍角公式化简证明证明 左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边，所以等式成立．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n 是α2n ＋1的二倍(n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：(1)1＋cos 2α＝2cos 2α.(2)cos 2α＝1＋cos 2α2. (3)1－cos 2α＝2sin 2α.(4)sin 2α＝1－cos 2α2.。
二倍角的正弦余弦和正切公式二倍角公式是用来求解二倍角的三角函数的公式，以正弦、余弦和正切为例，其公式分别为：1.正弦的二倍角公式：正弦的二倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ该公式说明了一个角的正弦的两倍可以通过该角的正弦和余弦相乘来得到。
2.余弦的二倍角公式：余弦的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ该公式说明了一个角的余弦的两倍可以通过该角的余弦平方与正弦平方的差来得到。
3.正切的二倍角公式：正切的二倍角公式可以表示为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)该公式说明了一个角的正切的两倍可以通过该角的正切的两倍与1减去该角的正切的平方的商来得到。
这些二倍角公式可用于简化复杂的三角函数表达式，以便更轻松地计算和求解。
下面将更详细地解释这些公式的推导和应用。
根据三角函数的定义，正弦函数可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：sinΦ = 对边 / 斜边那么对边到底边的距离可以通过利用余弦函数来表示为：sinΦ = cos(Φ - 90°)将Φ代入，并展开cosine函数的定义：sin2θ = cos(2θ - 90°)根据余弦的差积公式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ将(2θ-90°)分解为(2θ)与(90°)：cos(2θ - 90°) = cos2θcos90° + sin2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：cos(2θ - 90°) = sin2θ因此，可得到正弦的二倍角公式：sin2θ = cos(2θ - 90°)由于cos(2θ - 90°) = sin2θ，所以可以进一步化简为：sin(2θ) = 2sinθcosθ根据三角函数的定义，余弦函数可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：cosΦ = 邻边 / 斜边那么邻边到底边的距离可以通过利用正弦函数来表示为：cosΦ = sin(Φ + 90°)将Φ代入，并展开sine函数的定义：cos2θ = sin(2θ + 90°)根据正弦的和积公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ将(2θ+90°)分解为(2θ)与(90°)：sin(2θ + 90°) = sin2θcos90° + cos2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：sin(2θ + 90°) = cos2θ因此cos2θ = sin(2θ + 90°)由于sin(2θ + 90°) = cos2θ，所以可以进一步化简为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ根据三角函数的定义，正切函数可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边令角度Φ等于2θ，则有：tanΦ = 对边 / 邻边可以利用正弦和余弦的定义来表示对边和邻边：tanΦ = sinΦ / cosΦ将Φ代入，根据正弦和余弦的二倍角公式：tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)通过之前推导的正弦和余弦的二倍角公式代入，即可得到正切的二倍角公式：tan(2θ) = (2sinθcosθ) / (cos^2θ - sin^2θ)由于正弦的倒数是余弦，所以可以进一步化简为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)综上所述，正弦、余弦和正切的二倍角公式可以帮助我们计算和求解二倍角的三角函数。
3.13 二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点一 二倍角公式的推导sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α(α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z )． cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的变形1．公式的逆用2sin αcos α＝sin2α， sin αcos α＝12sin2α， cos 2α－sin 2α＝cos_2α， 2tan α1－tan 2α＝tan2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式 cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.类型一 给角求值对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1.cos 2π12－sin 2π12；2.1－tan 275°tan75°；3. 12－cos 2π84. sin15°sin75°5. cos20°cos40°cos80° 6．cos π7cos 3π7cos 5π77．sin 4π12－cos 4π12 8.3tan π81－tan 2π8类型二 给值求值(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.1.已知cos x ＝34，则cos2x 等于( )2、若sin α－cos α＝13，则sin2α＝________.若改为sin α＋cos α＝13，求sin2α.3、若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于4、若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )5、已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.类型三 利用二倍角公式化简证明三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分．(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．1α为第三象限角，则1＋cos2αcos α－1－cos2αsin α＝________.2、1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.3、4sin αcos α1＋cos2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan2α.。
二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin 22sin cos ()S αααα=⋅22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2k παπ≠+及()42k k Z ππα≠+∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2cos2sin2sin ααα=；11sin2sincos ()222nn n n Z ααα++=∈2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用2sin cos sin 2ααα=；1sin cos sin 22ααα=．2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=．22tan tan 21tan ααα=-． 2．公式的变形21sin 2(sin cos )ααα±=±；降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==升幂公式：221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用 例1．化简下列各式：（1）4sincos22αα；（2）22sincos 88ππ-；（3）2tan 37.51tan 37.5︒-︒． 【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．【答案】（1）2sin α（2）3 【解析】 （1）4sincos22sincos2sin 2222ααααα=⋅=．（2）2222sin cos cos sin cos 888842πππππ⎛⎫-=--=-=-⎪⎝⎭．（3）22tan 37.512sin 37.512tan 751tan 37.521tan 37.522︒︒+=⋅=︒=-︒-︒． 【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：【变式1】求值：（1）cossincos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22cos 18π-；（3）22tan 751tan 75-oo．【答案】（1）2；（2）2；（3）【解析】（1）原式=22cossin cos121262πππ-==；（2）原式=cos(2)cos842ππ⨯==；（3）原式=tan150tan(18030)tan 30=-=-=oooo． 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值． 【思路点拨】解这类题型有两种方法： 方法一：适用sin 2sin 2cos ααα=，不断地使用二倍角的正弦公式．方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用sin 2cos 2sin ααα=进行化简．【答案】116【解析】方法一： sin 20sin 50sin 70sin10sin 50sin 702cos10︒︒︒︒︒︒=︒sin 20cos 20sin 50sin 40sin 50sin 40cos 402cos104cos104cos10︒︒︒︒︒︒︒===︒︒︒sin 8018cos108︒==︒． ∴1sin10sin 30sin 50sin 7016︒︒︒︒=方法二：原式1cos 20cos 40cos802=︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos804sin 20︒︒︒︒=︒sin 40cos 40cos80sin80cos801sin16014sin 202sin 2016sin 2016︒︒︒︒︒︒===⋅=︒︒︒．【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若sin 0α≠，则11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++=L ． 举一反三：【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°． 【解析】原式2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos802sin 20︒︒︒︒=︒︒︒=︒2sin 40cos 40cos802sin80cos804sin 208sin 20︒︒︒︒︒==︒︒ sin160sin 2018sin 208sin 208︒︒===︒︒． 类型三：利用二倍角公式化简三角函数式 例3．化简下列各式： (1)4sin 1)2(2cos cos 12sin sin -+++θθθθ【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．【答案】（1）tan θ（2）sin 2cos2-【解析】(1).tan )cos 21(cos )cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2θθθθθθθθθθθθθθ=++=+⋅+=+++ (2)4sin 1-.2cos 2sin |2cos 2sin |)2cos 2(sin 2cos 2cos 2sin 22sin 222-=-=-=+⋅-=【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：αααα22sin 22cos 1,cos 22cos 1=-=+．经常起到消除式子中1的作用．②由于2)cos (sin sin21cos sin 22sin αααααα±=±⋅=，从而，可进行无理式的化简和运算．例4．化简：222cos 12tan sin 44αππαα-⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】 原式2cos 22sin 4cos 4cos 4απαπαπα=⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭cos 2cos 22sin cos sin 2442ααπππααα==⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 21cos 2αα==．【总结升华】 三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．举一反三： 【变式1】（1的化简结果是 ．（2）已知3sin 5α=，且α∈(2π ，π)，则2sin 2cos αα 的值为 ．【答案】（1）sin3cos3-（2）32-【解析】（1）原式=|sin3cos3|- =sin3cos3- （2）因为3sin 5α=，且α∈(2π ，π)，所以4cos 5α=-，原式=22sin cos 3532()cos 542ααα=⨯⨯-=-． 类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用 例5．求值： （1）已知3sin()1225πθ-=，求cos()6πθ-．（2）已知sin()4m πα+=，求sin2α．【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．【答案】（1）725（2）221m - 【解析】 （1）cos()cos cos 266122πππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=212sin 122πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =91225-⨯ =725（2）sin 2cos(2)2παα=-+=212sin 4πα⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =212sin 4πα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=221m -【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧． 举一反三：【变式1】 已知1sin cos 3αα+=，且0απ<<，求sin 2α，cos2α，tan 2α的值．【答案】89- 【解析】由1sin cos 3αα+=，得21(sin cos )9αα+=，即112sin cos 9αα+=，∴8sin 22sin cos 9ααα==- 由1sin cos 3αα+=，得1cos sin 3αα=-，∴221cos sin 3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭．即22121sin sin sin 93ααα-=-+． 整理得29sin3sin 40αα--=．解得1sin 6α+=或1sin 6α=（舍去）．∴22cos 212sin 12αα=-=-⨯=⎝⎭．∴sin 2tan 2cos 2ααα==．【总结升华】解题过程中注意角α的范围的判定．【变式2】已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．【解析】 （1）tantan 1tan 14tan 41tan 21tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，解得1tan 3α=-．（2）222sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos 1cos 212cos 12cos αααααααααα---==++-1115tan 2326α=-=--=-． 【总结升华】 第（1）问中利用了方程的思想求tan α的值；对于第（2）问的题型，一般需要将分式转化为含tan α的式子求解，或者通过消元转化的方法求解． 类型五：二倍角公式的综合应用例6．已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求： （1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）f (x )的单调区间．【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成sin()A x k ωϕ++的形式．【答案】（12 |,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）单增区间 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 单减区间 5,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）原式=1sin 2cos21x x +++ =sin 2cos22x x ++)24x π++则当22,42x k πππ+=+即|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭时，max ()2f x =（2）f (x )的单调递增区间为：222242k x k πππππ-≤+≤+，则3,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦f (x )的单调递减区间为：3222242k x k πππππ+≤+≤+，则 5,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及sin()y A x ωϕ=+的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式21sin sin cos 22ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，21sin sin cos 22ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（2）扩角降幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 例7． 已知向量(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，求函数()f x =⋅a b ．（1）求()f x 的最大值及相应的x 值；（2）若8()5f θ=，求cos 224πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．【答案】（11 3()8x k k Z ππ=+∈（2）1625【解析】 （1）因为(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，所以22()1sin 2sin cos 1sin 2cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=++-=+-=-+ ⎪⎝⎭．因此，当2242x k πππ-=+，即3()8x k k Z ππ=+∈时，()f x1．（2）由()1sin 2cos 2f θθθ=--及8()5f θ=得3sin 2cos 25θθ-=，两边平方得91sin 425θ-=，即16sin 425θ=．因此，16cos 22cos 4sin 44225ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．举一反三：【变式1】已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2π，52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k z ∈（Ⅱ）12- 【解析】（Ⅰ）1cos ()sincos 1222x x x f x +=+- 111sin cos 222x x =+-1sin().242x π=+-所以函数()f x 的最小正周期为2π.由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+.函数()f x 单调递减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . (Ⅱ)由342x ππ≤≤，得7244x πππ≤+≤.则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x 取得最小值12-.【变式2】已知向量m =（sinA ，cosA ），1)=-n ，m ·n =1，且A 为锐角． （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域．【答案】（1）3π（2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题意，得cos 1m n A A ⋅=-=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由A 为锐角得66A ππ-=，3A π=．（2）由（1）知1cos 2A =， 所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭．因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]．因此，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32，当sin x=－1时，()f x 有最小值－3，所以所求函数()f x 的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
