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三角函数的二倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，涉及到角度与三角比的关系。
在求解三角函数值时，常常用到二倍角与半角的公式。
本文将介绍三角函数的二倍角与半角公式，以及它们的应用。
1. 二倍角公式在三角函数中，二倍角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的二倍角的三角函数值的公式。
我们用角θ 表示已知角，角2θ 表示其二倍角。
接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式。
1.1 正弦的二倍角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其二倍角2θ 的正弦值可以表示为：sin 2θ = 2sin θ cos θ这个公式表明，求解正弦的二倍角可以通过利用已知角的正弦、余弦和两者之积来计算。
1.2 余弦的二倍角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其二倍角2θ 的余弦值可以表示为：cos 2θ = cos² θ - sin² θ这个公式可以改写为：cos 2θ = 2cos² θ - 1 = 1 - 2sin² θ根据这个公式，我们可以通过已知角的余弦、正弦和两者之积来求解余弦的二倍角值。
1.3 正切的二倍角公式已知角θ 的正切值为tan θ，其二倍角2θ 的正切值可以表示为：tan 2θ = (2tan θ)/(1 - tan² θ)这个公式表明，正切的二倍角可以通过已知角的正切值来计算。
2. 半角公式半角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的一半角的三角函数值的公式。
接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的半角公式。
2.1 正弦的半角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其半角θ/2 的正弦值可以表示为：sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)在这个公式中，正负号取决于角的象限。
2.2 余弦的半角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其半角θ/2 的余弦值可以表示为：cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2)同样地，正负号取决于角的象限。
中职数学常用公式及常用结论大全1. 常见数集：N---自然数集 ---正整数集 Z---整数集 Q---有理数集 R---实数集*N 2、充要条件：（1）充分条件：若，则是充分条件.p q ⇒p q （2）必要条件：若，则是必要条件.q p ⇒p q （3）充要条件：若，且，则是充要条件.p q ⇒q p ⇒p q 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.3、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠（1）求根公式：x =（2）根与系数的关系：，12b x x a +=-12c x x a⋅=4、不等式的基本性质：（1）若 ，则；a b >a c b c ±>±（2）若 ，且 ，则a b >0c >ac bc>（3）若 ，且 ，则a b >0c <ac bc<5、一元一次不等式（1）0(0)bax b a ax b x a->>⇒>⇒>（2）0(0)b ax b a ax b x a -<>⇒<⇒<（3）注意在解一元一次不等式组时，最后一定要求两个不等式解集的交集才是整个一元一次不等式组的解集。
6、一元二次不等式（1）的解集： 、是对应方程的两个根且<20(0)ax bx c a ++>>{}12x x x x x <>或1x 2x 1x 2x （2）的解集：、是对应方程的两个根且<20(0)ax bx c a ++<>{}12x x x x <<1x 2x 1x 2x 7、含绝对值的不等式（1）()(0),x a a a a <>⇒-（2）()()(0),,x a a a a >>⇒-∞-⋃+∞（3）(0)ax b c c ax b c ax b c +>>⇒+<-+>⇒或（4）(0)ax b c c c ax b c +<>⇒-<+<⇒8、定义域口诀：函数定义域好求，分母不能等于零；偶次方根非负，零和负数无对数；零的零次方无意义，正切函数角不直；其余函数实数集，多种情况求交集。
1.1.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式乌审旗职业中学 理科组 海莲一、 教学目标：1,知识与技能：培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构 。
2．过程与方法 ：领会重点与难点，包括倍角公式的形成和公式的变形(突出 2C α 的两种变形)并理解倍角公式的相对性 。
3.情感态度与价值观：会利用倍角公式进行求值运算、培养学生运算、分析和逻辑推理能力 。
二、重点与难点：1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式 。
2、 难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、和角公式的综合应用。
三,学习用具：ppt ，多媒体教室四、教学过程(师生互动):1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而知新。
) 本环节设置旧知复习与新知关联的知识，一方面复习，另一方面作好新知铺垫。
☆ 复习回顾： sin()αβ+=cos()αβ+= tan()αβ+=☆ 情境引入：提问：“角2α” 的三角函数能用 “角α” 的三角函数来表示呢？ 我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归 。
那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢 ? 现在研究二倍角，线索是两角和的正弦、余弦、正切公式，请同学们自己先试一试发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在联系 。
☆探索新知:独立思考，解决问题主要是通过已有知识水平及预习解决新知，问题设置相对简单，大部分学生应该能自己完成。
☆ (请把化归的结果填入下面的式中)sin 2α= 简记： 2()S α cos2α= 简记： 2()C α tan 2α= 简记：2()T α 2，.师生探究，合作交流提问： 我们发现 22cos 2cos sin ααα=- 公式的右边既有 cos α 也有 sin α ，假设已知 sin α 的值，要求 cos2α 的值，就必然要再求到 cos α 的值，然后再代入公式求解 。
科目_数学 班级 任课教师 使用时间____年____月____日章（单元） 第一章 课题 1.1.2 二倍角公式 课时__2___ 课型 新授课一．学习目标：1、.熟记二倍角的正弦、余弦公式及变形公式2、能够正确应用公式进行简单的三角函数化简，求值等二．学习过程：（一）【自我研学】：(由浅入深引导学生自学本节需学习内容 10′）1、复习两角和（差）的三角公式余弦公式：正弦公式：正切公式：2、 ，得二倍角公式：____;__________2sin =α ______________________________________________2cos ===α； ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--3、由二倍角的正弦、余弦公式可得变形公式：.______________cos ____;__________sin 22==ααs i n c o s αα= 【典例分析】 5′例1 若3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin 2α= ；cos 2α= ；tan 2α= ；βα=令：例2 证明恒等式（二）【合作互学】(课上小组内合作交流本组学会了什么，什么不会【标注疑问】5′)（三）【展示促学】(各小组展示学习成果【标注用时】8′)（四）【精讲点拨】(教师根据学情以学定教，突出重点，突破难点5′)（五）【检测反馈】（课上完成7′）1、sin22︒30/cos22︒30/=__________________;2、 22cos 112π-=_________________; 3、8cos 2π8sin 2π-=____________________; 4、若 ，求5、教材10页A 组1题、2题。
（课下作业）三．自主空间2sin 2sin tan 2cos 22sin cos θθθθθθ+=++3sin()5πα-=cos 2α。
二倍角计算公式
“二倍角”是数学中一种重要概念，它在很多数学领域中都发挥着关键作用。
它的定义是：若给定一个角α，则α的二倍角是α的平行四边形中的另一个角，其大小等于2α（α的大小）。
它的定义可以用几何图形来描述：给定一个边长为a的正方形，在它的每条边上取一点A，B，C，D，组成一个平行四边形ABCD，其中AB和CD长度相等，若给定角A，则A的二倍角就是D角。
它也可以用数学公式来表达：2α＝360°－α。
其中2α是α的二倍角，360°是360度，α是给定的角的大小。
二倍角的计算公式可以用两种方法实现：
一种是求和法：2α＝α＋(360°－α)；
另一种是减法法：2α＝360°－(360°－α)。
从计算的角度来看，两种方法的结果是一样的，但是求和法更能体现出概念，因此更容易理解。
二倍角的计算公式也可以用来求取任意三角形的角度，例如：三边分别为a，b，c，给定角α时，α的二倍角β=360°－(180°－α)－arccos[（a－b）/c]。
其中a，b，c分别为三角形的三边，α是给定的角度，arccos表示反余弦函数。
另外，二倍角还可以用来求取椭圆的角大小，即任意一点P处的角α，其二倍角β=360°－(180°－α)－arctan[（b/a）
×tanα]。
其中a和b分别是椭圆的长短半轴，α是给定的角度，arctan表示反正切函数。
上述就是二倍角计算公式的定义和计算方法，由它可以看出，二倍角也是几何图形中非常重要的概念，在很多场合都会使用它的计算公式来求得所需的结果。
二倍角工式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二倍角工式作为数学中重要的一个分支，在几何、代数和三角学等领域都有广泛的应用。
通过学习二倍角，我们可以更深入地理解角度的概念，进一步探讨三角函数的性质，以及在解决实际问题中的应用。
本文将详细介绍二倍角的定义、性质和应用，帮助读者更好地理解并运用二倍角工式。
通过对二倍角的研究，不仅可以提高数学思维能力，还可以应用到实际问题的解决中，具有重要的理论和实际意义。
1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将会介绍本文的概述，简要说明二倍角的基本概念，并说明文章的结构以及目的。
在正文部分，将会详细介绍什么是二倍角，包括二倍角的定义、性质、以及二倍角的应用。
通过具体的示例和推导，展示二倍角在数学中的重要性和应用价值。
在结论部分，将会对本文进行总结，强调二倍角的重要性，探讨二倍角工式在实际中的意义，并展望未来对二倍角研究的发展方向。
通过对二倍角的全面讨论，为读者提供一个清晰的结构框架，帮助他们更好地理解和应用二倍角概念。
1.3 目的本文的目的在于探讨二倍角工式在数学中的重要性和应用。
通过深入分析二倍角的概念、性质和应用，我们将能更清晰地理解二倍角在解决数学问题中的作用和价值。
同时，我们也希望通过本文的介绍，让读者更加理解和掌握二倍角工式，为他们在数学学习和实际应用中提供一定的帮助和指导。
通过对二倍角的研究和探讨，不仅可以加深我们对数学知识的理解，还可以拓展我们的数学思维和解题能力，为未来数学学习和研究打下牢固的基础。
2.正文2.1 什么是二倍角在三角函数中，二倍角是指一个角度的两倍。
具体来说，如果我们有一个角度θ，那么它的二倍角就是2θ。
二倍角在数学中扮演着重要的角色，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，并且在解决各种数学问题中起到关键作用。
二倍角可以通过多种方式表示，其中最常见的是使用三角函数公式来计算。
例如，正弦函数的二倍角公式是sin(2θ) = 2sinθcosθ，余弦函数的二倍角公式是cos(2θ) = cos^2θ- sin^2θ。
三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos正切：xy=αtan二、同角三角函数的基本关系式商数关系：αααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα。
三、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-四、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+2R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径）六、余弦定理A bc c b acos 2222⋅-+=B ac c a b cos 2222⋅-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=七、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正．切．来表示。
八、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，22sin ba b +=ϕ，22cos ba a +=ϕ，ab =ϕtan 。
二倍角的全部公式
二倍角公式：2cosθ=cos2θ-1
二倍角公式在数学中是一个比较常见的公式，它的推导相对简单，主要步骤如下：
1.首先，我们从基本的三角函数开始，有cosθ=sin(π/2-θ)，这是一个基本的三角函数，是一个定值公式。
2.接下来，我们将上面的基本三角函数代入到二倍角公式中，即2cosθ=cos(2π/2-2θ)=cos2θ-1。
3.最后，我们将上面的结果代入到二倍角公式中，得到最终的二倍角公式：2cosθ=cos2θ-1。
这个二倍角公式可以用来解决许多三角函数问题，它主要用来解决关于角度和弧度的问题，它也可以用来求出三角形面积、三角形周长等数学问题。
此外，它还可以用来解决一些更复杂的数学问题，如求解一元二次方程、求解抛物线等。
总之，二倍角公式是一个十分重要的数学公式，它的推导相对比较简单，但是它可以用来解决许多三角函数问题，以及一些更复杂的数学问题，因此，它是一个非常有用的公式，也是一个我们应该牢记的公式。
两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)一．【学习目标】1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.二．重点、难点、易错（混）点、常考点灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值三．【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： C (),cos()αβαβ--= ； C (),cos()αβαβ++= S (),sin()αβαβ--= ； S (),sin()αβαβ++= ． T (),tan()αβαβ++= 由T ()αβ+可得公式变形tan tan αβ+= T (),tan()αβαβ--=由T ()αβ-可得公式变形得：tan tan αβ-= 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式2:sin 2S ________________；2:tan 2T ________________。
2:cos 2C ________________=________________=________________；四．【基础题达标】 1．12cos312sinππ-=2．sin15°sin30°sin75°＝__________．3．cos20°cos40°cos60°cos80° =4．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=5.313sin 253sin 223sin 163sin +的值等于 6．12cos312sinππ-=7．化简：x x sin 6cos 2-= 8．若51cos sin =+θθ，则θ2sin 的值 9．81cos sin =x x 且24ππ<<x ，则=-x x sin cos 10．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=11．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值为 12．.若223tan 1tan 1+=-+αα，则=-αα2cos 2sin 113．50tan 10tan 350tan 10tan ++=14．化简：15tan 115tan 1-+=15．已知cos （6πα-）+sin α76)πα+的值是考点一： 运用公式求值、求角问题【例1】 (1)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α－β)的值． (2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (3)已知π2＜β＜α＜34π，sin(α－β)＝1213，cos(α＋β) =－35，求sin2α的值(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【训练1】已知βα,是锐角且1010sin ,55sin ==βα，求βα+【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．考点二： 公式的变形应用【例2】已知：)tan(βα+=βtan 2。
预备知识：中职数学基础知识汇总1.完全平方和（差）公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b22.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)3.立方和（差）公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)第一章集合1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。
2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。
3.常用数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N+（正整数集）4.元素与集合、集合与集合之间的关系：（1）元素与集合是“∈”与“∉”的关系。
（2）集合与集合是“ Í” “ ”“= ”“/Í”的关系。
注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。
（做题时多考虑Ф是否满足题意）（2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n-1 个，非空真子集有2n-2 个。
5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1）A B ={x| xÎ（2）A B ={x| xÎA且xÎA或xÎB}：A与B的公共元素组成的集合B}：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。
（3）C U A ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。
注：C U(A B)=C U A C U B C U(A B) =C U A C U B6.会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。
7.充分必要条件: p 是q 的……条件p 是条件，q 是结论如果 p ⇒q，那么 p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件.如果 p ⇔q，那么 p 是q 的充要条件第二章不等式1.不等式的基本性质：（略）注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。
（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。
