高一数学二倍角公式讲解

二倍角解方攻略二倍角的三角函数是和、差角的三角函数的特例，其求值，化简，证明的出发点是统一角，统一函数和降低次数。

在变形过程中，要注意角与角之间的和、差、倍关系和特殊角之间的关系等。

同时还要观察式子的特征，适当选用公式进行化简。

这里对几种常用方法举例解析，供同学们参考。

一、逆用公式法： 例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。

分析：注意到sin10°sin50°sin70°=cos80°cos40°cos20°,分子分母可同时乘以2sin20°,逆用正弦的二倍角公式求解，也可用变形式作商相消。

解法1 (连续逆用法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12 cos80°cos40°cos20°=14sin20° ·cos80°cos40°·(2sin20°cos20°) =18sin20°·cos80°·(2sin40°cos40°) = 116sin20° ·(2sin80°cos80°) = sin160°16sin20° = 116解法2 (作商法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12cos80°cos40°cos20°= 12 · sin160°2sin80° · sin80°2sin40° · sin40°2sin20° = sin160°16sin20° = 116 评注：①解法1是根据其特点采用同乘同除一个三角函数式，使其构成使用二倍角公式sin2α=2sin αcos α的形式，从而达到求值的目的。

高一寒假第六讲：二倍角与半角的正弦、余弦和正切【知识梳理】1、二倍角公式： αααc o s s i n 22s i n =；)(2αSααα22sin cos 2cos -=；)(2αCααα2tan1tan 22tan -=；)(2αT降幂公式：1cos 22cos 2-=αα αα2sin 212cos -=)(2αC ' 升幂公式：22cos 1sin22cos 1cos 22αααα-=+=2、半角公式：α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan,2cos 12cos,2cos 12sin3、万能公式：2tan12tan2tan ,2tan12tan1cos ,2tan12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）； （2）三角比名互化(切割化弦)； （3）公式变形使用（ta n ta n αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±；（4）三角比次数的降升(降幂公式：21c o s 2c o s 2αα+=，21c o s 2s in 2αα-=与升幂公式：21c o s 22c o s αα+=，21c o s 22sin αα-=)；【方法总结】 三角比的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！第二看三角比的名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.（5）式子结构的转化(对角、三角比名称、式子结构化同) ； （6）常值变换主要指“1”的变换（221sinc o s x x =+22se cta nta n c o t x x x x=-=⋅ta ns in 42ππ===）（7）正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内在联系――“知一求二”，若sin cos x x t ±=，则sin cos x x =212t -±，特别提醒：[2,2]t ∈-．【例题精讲】例1、不用计算器，求下列各式的值（1）15cos 15sin ； （2）8sin8cos22ππ-； （3）5.22tan 15.22tan 22-； （4）75sin 212-．变式练习：求下列各式的值（１）)125cos125)(sin125cos 125(sin ππππ-+ （２）2sin2cos44αα-（３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例2、已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值例3、已知π<α<π2，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71-，求2α + β【辅助角公式】()22s in c o s s in a x b x ab x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由2222s in ,c o s b a a ba bθθ==++ ,ta n b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用.变式练习：已知α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0求证：α＋2β＝2π例4、 已知sin α - cos α = 21，π<α<π2，求2tanα和tan α的值例5、已知cos α - cos β = 21，sin α - sin β = 31-，求sin(α + β)的值变式练习：已知12c o s (),s in (),923ααββ-=--=且,022ππαπβ<<<<，求c o s ()αβ+的值。

高一数学二倍角公式的应用课题：二倍角公式的应用 教学目标：1. 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明。

2. 增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

教学重点：灵活运用倍角公式及其变形。

教学过程： 一、 复习公式：例一、（板演或提问）化简下列各式： 1．=αα4cos 4sin42sin 2α2．=-40tan 140tan 280tan 21 3．2sin 2157.5︒ - 1 = 22315cos -=-4．=ππ125sin 12sin416sin 2112cos 12sin =π=ππ 5．cos20︒cos40︒cos80︒ =20sin 80cos 40cos 20cos 20sin20sin 80cos 40cos 40sin 21=8120sin 160sin 8120sin 80cos 80sin 41===例二、求证：[sin θ(1+sin θ)+cos θ(1+cos θ)]×[sin θ(1-sin θ)+cos θ(1-cos θ)] = sin2θ 证：左边 = (sin θ+sin 2θ+cos θ+cos 2θ)×(sin θ-sin 2θ+cos θ-cos 2θ) = (sin θ+ cos θ+1)×(sin θ+cos θ -1) = (sin θ+ cos θ)2 -1 = 2sin θcos θ= sin2θ = 右边∴原式得证二、 关于“升幂”“降次”的应用注意：在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。

在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。

（以下四个例题可视情况酌情选用） 例三、求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域。

解：21)42sin(222sin 2122cos 1+π+=++=x x x y ——降次 ∵1)42sin(1≤π+≤-x ∴]221,221[+-∈y 例四、求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值。

2倍角万能公式一、二倍角公式。

1. 正弦二倍角公式。

- sin2α = 2sinαcosα- 推导：根据两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B，令A = B=α，则sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα = 2sinαcosα。

2. 余弦二倍角公式。

- cos2α=cos^2α - sin^2α- 推导：根据两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B，令A = B=α，则cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2α-sin^2α。

- 另外，由于sin^2α+cos^2α = 1，所以cos2α = 2cos^2α - 1=1 - 2sin^2α。

3. 正切二倍角公式。

- tan2α=(2tanα)/(1-tan^2)α- 推导：根据正切公式tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1 - tan Atan B)，令A =B=α，则tan2α=tan(α+α)=(tanα+tanα)/(1-tanαtanα)=(2tanα)/(1-tan^2)α。

二、万能公式（与二倍角公式相关）1. 正弦万能公式。

- 设tan(α)/(2)=t，则sinα=(2t)/(1 + t^2)。

- 推导：- 因为sinα = 2sin(α)/(2)cos(α)/(2)，又sin^2(α)/(2)+cos^2(α)/(2)=1，tan(α)/(2)=(sinfrac{α)/(2)}{cos(α)/(2)} = t，即sin(α)/(2)=(t)/(√(1 + t^2))，cos(α)/(2)=(1)/(√(1 + t^2))。

- 所以sinα=2sin(α)/(2)cos(α)/(2)=2×(t)/(√(1 + t^2))×(1)/(√(1 + t^2))=(2t)/(1 + t^2)。

二倍角公式高一还是高二内容在学习高中数学的过程中，二倍角公式是一个重要的知识点。

它是基于三角函数的基础知识，并在高中数学的三角函数部分起到承前启后的作用。

那么，二倍角公式是在高一还是高二学习呢？答案是，二倍角公式在高一和高二数学课程中都有一定的涉及。

首先，我们来了解一下二倍角公式的定义和用途。

二倍角公式指的是，如果一个角的弧度数为θ，那么它的二倍角θ"的弧度数为2θ。

在数学和物理领域，二倍角公式被广泛应用于求解各种问题，如求解三角函数值、计算角度等。

在高一数学课程中，二倍角公式主要用于引入正弦、余弦、正切等三角函数的概念，并通过二倍角公式来求解相关问题。

例如，已知一个角的正弦值或余弦值，可以通过二倍角公式来求解另一个角的正弦值或余弦值。

进入高二阶段，二倍角公式的应用更加广泛。

在这个阶段，学生将学习更为复杂的三角函数问题，如和差化积、倍角公式等。

二倍角公式在这一部分起到了关键作用，它可以简化问题，帮助学生更快地求解问题。

同时，二倍角公式还为后续学习三角函数的性质和恒等式奠定基础。

那么，如何学习和掌握二倍角公式呢？首先，要熟练掌握三角函数的基础知识，如角度与弧度的转换、三角函数的定义等。

其次，要理解二倍角公式的推导过程，这样才能更好地应用它。

最后，通过大量的练习来提高解题能力。

以下是一些练习题及解答，供大家参考：1.题目：已知sinθ=0.6，求cos2θ。

解答：利用二倍角公式cos2θ=1-2sin^2θ，代入已知条件得cos2θ=1-2*(0.6)^2=0.52。

2.题目：已知cosθ=0.8，求sin2θ。

解答：利用二倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，代入已知条件得sin2θ=2*sinθ*cosθ=2*(√(1-cos^2θ))*cosθ。

由于cos^2θ=0.8^2=0.64，所以sin2θ≈0.28。

通过以上解答，我们可以看出二倍角公式在求解三角函数问题中的实用性。