二倍角公式课件

= = = =
sin 40 cos 40 cos80
1 sin 80 cos 80 2 1 sin160 4 1 sin 20 4
四、小结:
1、本节课重点讲述了二倍角公式的应用， 通过例 题的分析，对二倍角公式有了理深刻的理解；
2、从角特点看，可得到换元的数学思想，从解题过程 中我们又可以学到一种“配凑”的数学方法
注意： “倍”是描述两个数量之间关系的， 1 2 是 的二倍，4 是 2 的二倍， 2 1 是 的二倍，这里蕴含着换元的思想。 4
二、 逆用
例2.求下列各式的值
(1) sin 15 cos15

2 tan 22.5 (2) 1 tan2 22.5
1 1 1 解： （1） sin 15 cos 15 = ×2 sin 15 cos 15 = sin 30 = ； 2 2 4

；
注：本题也蕴含了一种“配凑”的数学思想。
(2)
2 tan 22.5 tan 45 1 2 1 tan 22.5
三、活用
例3 化简
(1)
（2）
解： (1)
1 1 sin cos 2sin cos sin 2 2 2 2 2 2


解（2）：2sin 20 cos 20 cos 40 cos80
2


2
k
k Z 4
一、正用
公式应用
分析：已知条件给出了2α的正弦值， 由于4α是2α的二倍角，即4α=2*2α， 因此可以考虑用二倍角公式
解：由于 〈 〈 ，得 〈 2 〈 5 〈 2 〈 〈 2 〈 〈 2 〈 〈 2 〈 2 22 = 4 又 sin2 2 〈2 〈 〈 ，得 2 2 解：由于 〈 解：由于 〈 〈 ，得 2 13 5 5 4 2 2 5 5 5 4 又 sin2 = 〈 2 〈 又 sin2 = 又 sin2 又 sin2 又 sin2 = = 13 5 = 13 2 13= 13 又 sin2 〈2 〈 13 5 2 12 2 〈 2 〈 2 13 5 所以 cos 2 1 ( 5 ) 12 . 2 1 sin2 2 又 sin2 = 5 22 13 12 5 22 25 12 5 12 13 5 12 2 2 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 13 又 sin2 = 2 2 所以 cos 2 5 1 sin sin 2 1 1 ( () ) .12 所以 cos 2 1 2 1 ) . 所以 cos 2 1 sin 22 ( ) . 所以 cos 2 1 sin 1 ( . 5 13 2 13 13 13 13 又所以 sin2 =2 1 sin 2 2 13 13 13 cos 1 ( 13 ) . 13 13 于是 sin4 =sin[2 ×(2 )] 13 1312 513 5 2 2 12 2 2 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 于是 =sin[2 × (2 =2sin2 )] 于是sin4 sin4 =sin[2 × (2 )] cos2 13 5 13 12 13 13 于是=2sin2 sin4 =sin[2 × (2 )] cos2 =2sin2 cos2 2 2 =2sin2 cos2 =2sin2 cos2 2120 =2sin2 cos2 所以 cos 2 5 1 sin 1 ( ) . 12 于是 sin4 =sin[2 × (2 =2sin2 cos2 )] 13 12 120 5 12 120 5 于是 sin4 =2 =sin[2 × (2 )] 13 12 120 5 12 120 5 12 120 5 × × = ; 12 120 5 =2 × × = ; =2 × × = ; =2 × ×（ ） = ; ; ; 120 cos2 == =2 ×× × = ; =2 × =2sin2 =2 × × 12 5 169 13 13 169 13 13 169 13 13 13 169 13 =2sin2 cos2 13 169 13 169 13 12 ; 120 =2 × × = 169 13 13 于是 sin4 =sin[2 ×13 (2 )] 5 13 13 cos4 =cos[2 × (2 )] =2 × × 169= ; =cos[2 )] cos4 =cos[2 × (2 )] cos4 =cos[2 × (2 )] 12 120 5 cos4 × (2 cos4 =cos[2 × (2 )] cos4=2 =cos[2 × (2 )]13 × = 169 13 =2sin2 × ; 2 cos2 22 2 2 =1-2sin 2 cos4 =cos[2 ×(2169 )] (2 )] × =1-2sin 2 2 =1-2sin 2 13 13 =1-2sin 2 =1-2sin 2 cos4 =cos[2 =1-2sin 2 5 2 12 2 120 119 5 =1-2sin 2 ; =2 × × =2 119 5 2 119 5 =1-2sin cos4 =cos[2 × (2 )] 2 2 119 5 2 =1-2 × ( ) = 119 5 2 =1-2 × (( )) = =1-2 × ( = 2) 13 169 119 13 =1-2 × ( ) = 2 =1-2 × = =1-2 × ( ) = 119 5 169 13 5 2 2 169 13 169 13 =1-2sin 2 169 13 =1-2 × ( ) = =1-2 × ( ) = 169 13 169 13 cos4 =cos[2 × (2 )] 169 13 sin 4 120 169 120 169 13 sin 4 120 169 120 sin 4 120 169 120 119 5 2 sin 4 120 169 120 2 . 169 tan4 =4 = × = sin 4 120 169 120 tan4 = = × = .. tan4 = = × = =1-2sin 2 sin 120 169 120 sin 4 120 120 =1-2 × ( ) = tan4 = = × = . cos 4 169 119 119 tan4 = = × = . sin 4 120 169 120 tan4 = = × = . cos 4 169 119 119 cos 4 169 119 119 tan4 = = × = . 169 13 cos 4 169 119 119 tan4 = = 4119 = 119 . 119 4 cos 169 119 cos 169 119 5 ×

描述
通过二倍角公式，我们可以将一个角 度的三角函数值转化为两个较小角度 的三角函数值的组合，从而简化计算 过程。
二倍角公式的推导过程
推导
二倍角公式的推导主要基于三角函数的加法定理和倍角公式。通过将一个角度的三角函数值表示为两个较小角度的三 角函数值的和或差，再利用三角函数的加法定理进行化简，最终得到二倍角公式。
02
03
04
题目一
计算sin(45°)的值。
答案解析
通过二倍角公式，可以将45° 转换为2×22.5°，然后利用已 知的三角函数值进行计算。
题目二
求cos(135°)的值。
答案解析
利用二倍角公式，将135°转 换为2×67.5°，然后利用已知
的三角函数值进行计算。
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二倍角公式ppt课件
目录
• 二倍角公式的定义 • 二倍角公式的形式 • 二倍角公式的扩展 • 二倍角公式的应用 • 总结与回顾
01
二倍角公式的定义
Chapter
什么是二倍角公式
定义
二倍角公式是三角函数中一系列用于 计算二倍角度Leabharlann 正弦、余弦和正切的 公式。举例
二倍角公式中最常用的有正弦二倍角 公式、余弦二倍角公式和正切二倍角 公式。
二倍角公式的应用场景
应用领域
二倍角公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的 应用。例如，在求解振动问题、波动问题、电磁学 问题等过程中，常常需要用到二倍角公式来化简角 度或计算相关量。
举例说明
在求解振动问题时，常常需要用到正弦二倍角公式 来计算振幅、频率等参数；在求解波动问题时，需 要用到余弦二倍角公式来计算波速、波长等参数； 在求解电磁学问题时，需要用到正切二倍角公式来 计算电场强度、磁场强度等参数。

(5)降幂扩角变换： cos2α＝12(1＋cos 2α)； sin2α＝12(1－cos 2α)； sin αcos α＝12sin 2α. 2．解决给值求值问题的一般思路：一是先化简(变形)三 角式，再代入求值；二是由已知变形，获得所求解的式子．其
关键是找出条件和结论两者之间的关系．
＝2sin（π4c＋osx（）π4·＋coxs（）π4＋x）＝2sin(π4＋x)．
∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝153，且 0＜x＜π4，
∴π4＋x∈(π4，π2)，
∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2（π4＋x）＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对 题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程 既要结合已知条件，又要增强目标意识．
cos 2α＝ cos2α－sin2α
二倍角的余弦 ＝ 2cos2α－1
＝ 1－2sin2α
2tan α 二倍角的正切 tan 2α＝ 1－tan2α
记法 S2α C2α
T2α
1．二倍角公式给出了倍角 2α 与单角 α 之间的关
系．对于“二倍角”应该有广义的理解，不仅限于 2α 是 α 的二倍形式，其他如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角， 2α＋π2是 α＋π4的二倍角．
80°＝4. 80°
[例 2] 已知 sin(π4－x)＝153，0＜x＜π4，求cos（coπs4＋2xx）的值． [思路点拨] 注意角的关系(π4＋x)＋(π4－x)＝π2，注意诱导 公式的应用 cos 2x＝sin(π2＋2x)，利用倍角公式解题．

例6
4
在△ ABC 中， cos A 5
tan 2 A 2B 的值.
， tan B 2 ，求
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系？
解：在△ ABC 中，由 cos A
4
，0
5
A π ，得
2
3
4
sin A 1 cos 2 A 1 ，
5
2
tan tan
2 tan
tan 2 tan

.
2
1 tan tan 1 tan
2
推导
二倍角的余弦公式有三种表达情势：
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2
2
推导
余弦公式，有下面的等价变情势：
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2sin
2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
2
2
2
=±
2
1+
2
2
sin 与 cos 的符号由角
24 4

tan 2 A tan 2 B
44
7 3
tan 2 A 2 B


24 4 117 .
1 tan 2 A tan 2 B
1
7 3
，
解法 2：
4
在△ ABC 中，

三角形面积公式
可以通过二倍角公式计算三 角形的面积，进一步计算体 积，这在建筑设计和航空工 程中非常有用。
浪高相关问题
科学研究
海浪通常用余弦函数来描述。 二倍角公式为了简化计算， 常常在波长和浪高相关问题 的计算中应用。
二倍角公式在科学研究中非 常有用，如过敏体质预测、 药物效应预测等。
应用
二倍角在科学、数学和 工程等领域有着广泛的 应用，是解决一些问题 的有效工具。
二倍角公式的定义
公式
二倍角的正弦公式为 $sin 2 heta = 2sin hetacos heta$，二 倍角的余弦公式为 $cos 2 heta = cos^2 heta - sin^2 heta$，二倍角的正切公式为 $tan 2 heta = \frac{2tan heta}{1-tan^2 heta}$
二倍角的正弦、余弦、正 切公式
学习二倍角的正弦、余弦、正切公式有助于更快速、更准确地解决三角函数 计算问题。
什么是二倍角
定义
二倍角是指一个角度的 两倍大小的角度，较为 常见的二倍角有 $30^{circ}$，$45^{circ}$， $60^{circ}$和$90^{circ}$。
特点
二倍角具有一些特殊的 数值和三角函数值，对 于复杂计算非常有用。
推导过程
二倍角公式的推导可以使用 三倍角公式或欧拉公式等方 法实现。
学习建议
掌握二倍角公式的定义和推 导过程，加深对三角函数的 理解，有助于你在数学学科 中取得更出色的成绩。
二倍角公式的应用
1
科学应用
2
二倍角公式可以应用到物理和工程
等领域，如电磁学、波长的计算、
机械分析等。
3
三角函数计算

14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．

为 $cos A = 2cos^2frac{A}{2} - 1$。
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
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THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。

二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 S2α C2α
T2α
二倍角公式 公式
sin 2α＝____2_s_in__α_c_o_s_α_
cos 2α＝___c_o_s2_α_－__s_i_n_2α_ cos 2α＝___1_－__2_s_i_n_2α_ cos 2α＝___2_c_o_s_2α_－___1
解析： ∵sin β＝ 1100，
∴cos
2β＝1－2sin2β＝1－2×
11002＝45.
由 β∈0，π2，且 cos 2β＝45＞0，可推得 2β∈0，π2. ∴α＋2β∈(0，π)．
∵α∈0，π2，且 sin α＝102，
∴cos α＝ 1－sin2α＝7102.
又∵2β∈0，π2，且 cos 2β＝45，
2．二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os 2α；
sin2α＝1－c2os
2α .
(3)万能公式：sin 2α＝1＋2tatannα2α；
cos 2α＝11－＋ttaann22αα.
化简求值 自主练透型 求下列各式的值： (1)sin110°－cos 310°；(2)cos 20°cos 40°cos 80°.
解析： (1)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4（sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°）
＝4ssiinn2200°°＝4.
(2)原式＝2sin
20°·cos 20°·cos 40°·cos 2sin 20°

sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
tanx 学科网
例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2